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湖南省长沙市长郡中学2017届高三上学期月考(四)理数试题 Word版含答案


数学(理)试题 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.若集合 A ? ? y | y ? x 3 ? , B ? ?x | y ? ln(1 ? x)? ,则 A ? B 等于(

? ?

1

? ?



A. ?0,1? 2.复数 z ? A. 2 ? i

B. ? 0,1?

C. [1, ??) ) C. ?2 ? i

D. (??,1)

5i 的共轭复数为( 1 ? 2i
B. 2 ? i

D. ?2 ? i

3.若将函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象向右平移 ? 个单位, 所得图象关于 y 轴对称, 则? 的 最小正值是( A. ) B.

? 8

? 4

C.

3? 8

D.

3? 4

4.某企业生产甲、乙两种产品均需用 A , B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品需原料及每天 原料的可用限额如表所示,如果生产 1 吨甲、1 吨乙产品可获利分别为 3 万元、4 万元,则该 企业每天可获得最大利润为 甲 乙 2 2 原料限额 12 8 C.17 万元 ) C. (0, ) ? (1, ??) D. (0, ) ? ( , ??) D.18 万元

A (吨) B (吨)
A.12 万元 5.若 log a

3 1

B.16 万元

4 ? 1 ,则 a 的取值范围是( 5 4 4 A. ( ,1) B. ( , ??) 5 5

4 5

4 5

4 5

2 2 6.已知圆 M :x ? y ? 4 , 在圆周上随机取一点 P , 则 P 到直线 y ? ? x ? 2 的距离大于 2 2

的概率为( ) A.

1 4

B.

1 3

C.

2 3

D. )

3 4

7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为(
-1-

A. 9 ? 18 2

B. 18 ? 9 3

C. 18 ? 3 2

D.9

8.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是( A.1007 B.2015 C.2016

) D.3024

9.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱和底面垂直,底面是正三角形,侧棱长是底边长的 2 倍, 若该三棱柱的各顶点都在球 O 的表面上,且球 O 的表面积为 36? ,则三棱锥 A ? A1B1C1 的体 积为( A. ) B.

121 25

81 16

C.

16 9

D.

9 4

10.若方程组 ? 为( A.60 )

?ax ? by ? 1,
2 2 ? x ? y ? 50,

至少有一解,且所有的解都是整数解,则有序实数对 ( a, b) 的组数

B.66

C.72

D.78

11.△ ABC 的外接圆的圆心为 O , 半径为 1,2 AO ? AB ? AC 且 | OA |?| AB | , 则向量 BA 在 向量 BC 方向上的投影为(

????

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?



-2-

A.

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

12.在△ ABC 中, 内角 A ,B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c , 已知 a cos B ? b cos A , 边 BC 上的中线长为 4,则△ ABC 面积的最大值是( A.9 B. )

28 3

C.

32 3

D.12

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,粮农送来米 1536 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 224 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约 石. 14.若 O 为△ ABC 内部任意一点,连 AO 并延长交对边于 A ' ,则

AO S四边形ABOC ,同理连 ? AA ' S?ABC

BO , CO 并延长,分别交对边于 B ' , C ' ,这样可以推出

AO BO CO ? ? ?2; AA ' BB ' CC '

类似的,若 O 为四面体 ABCD 内部任意一点,连 AO , BO , CO , DO 并延长,分别交相 对面于 A ' , B ' , C ' , D ' ,则

AO BO CO DO ? ? ? ? AA ' BB ' CC ' DD '



15.双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0) , F2 (c,0) , M , N a 2 b2

C 于点 Q ,且 两点在双曲线 C 上,且 MN / / F 1 F2 , | F 1 F2 |? 4 | MN | ,线段 F 1 N 交双曲线

| FQ 1 |?| QN | ,则双曲线 C 的离心率为



16.设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ?

a2 ? 7 ,若 x

f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 恒成立,则 a 的取值范围为



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? ? Sn ? 1 ( n ? N * , ? ? ?1 ) ,且 a1 , 2a2 ,

a3 ? 3 为等差数列 ?bn ? 的前三项.
(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;

-3-

(2)求数列 ?anbn ? 的前 n 项和. 18.2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策, 为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态 度,某市选取 70 后和 80 后作为调查对象,随机调查了 100 位,得到数据如下表: 生二胎 70 后 80 后 合计 30 45 75 不生二胎 15 10 25 合计 45 55 100

(1)以这 100 个人的样本数据估计该市的总体数据,且视频率为概率,若从该市 70 后公民 中随机抽取 3 位,记其中生二胎的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望; (2)根据调查数据,是否有 90%的把握认为“生二胎与年龄有关” ,并说明理由.

n(ad ? bc)2 参考公式: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

参考数据:

P( K 2 ? k0 )
k0

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

19.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形,?ADC ? 60? , PA ? PC , PD ⊥ PB ,

AC ? BD ? E ,二面角 P ? AC ? B 的大小为 60 ? .
(1)证明: AC ? PB ; (2)求二面角 E ? PD ? C 的余弦值.

20.已知椭圆 C :

1 x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过抛物线 y ? x 2 的焦点 B ,离心率为 ,直线 2 4 a b 3

l 交椭圆于 P , Q (异于点 B )两点,且 BP ⊥ BQ .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 ?BPQ 面积的最大值.

-4-

21.已知函数 f ( x) ? (2ax2 ? bx ? 1) ? e? x ( e 为自然对数的底数) . (1)若 a ?

1 , b ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; 2

(2)若 f (1) ? 1 ,且方程 f ( x) ? 1 在 (0,1) 内有解,求实数 a 的取值范围. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, M (?2,0) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,

A( ? ,? ) 为曲线 C 上一点, B ( ? , ? ? ) ,且 | BM |? 1 . 3
(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求 | OA |2 ? | MA |2 的取值范围. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ?

?

1 3 | ?a | x ? | . 2 2

(1)当 a ? ?1 时,解不等式 f ( x) ? 3x ; (2)当 a ? 2 时,若关于 x 的不等式 2 f ( x) ? 1 ?|1 ? b | 的解集为空集,求实数 b 的取值范围.

-5-

炎德·英才大联考长郡中学 2017 届高三月考(四)数学(理)试题答案 一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 192 三、解答题 17.解: (1)因为 an?1 ? ? Sn ? 1 ( n ? N * ) ,所以 an ? ? Sn?1 ? 1(n ? 2) , ∴ an?1 ? an ? ?an ,即 an?1 ? (? ? 1)an (n ? 2) , ? ? 1 ? 0 , 14.3 15. 6 16. a ? ? 1 D 2 B 3 C 4 D 5 C 6 A 7 A 8 D 9 B 10 C 11 A 12 C

8 7

所以 an ? 2n?1 , bn ? 1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 . (2) anbn ? (3n ? 2) ? 2n?1 , ∴ Tn ? 1?1 ? 4 ? 21 ? 7 ? 22 ? …? (3n ? 2) ? 2n?1 ,① 故 2Tn ? ① ? ②得

1? 21 ? 4 ? 22 ? …? (3n ? 5) ? 2n?1 ? (3n ? 2) ? 2n ,②

?Tn ? 1?1 ? 3 ? 21 ? 3 ? 22 ? …? 3? 2n?1 ? (3n ? 2) ? 2n ? 1 ? 3 ?
整理得 Tn ? (3n ? 5) ? 2 ? 5 .
n

2 ? (1 ? 2n ?1 ) ? (3n ? 2) ? 2n , 1? 2

18.解: (1)由已知得 70 后“生二胎”的概率为 ∴ P( X ? k ) ? C3 ( ) ( )
k k

2 2 ,并且 X ~ B (3, ) , 3 3

2 3

1 3

3? k

( k ? 0,1, 2,3 ) ,其分布列如下:

-6-

X
P
所以 EX ? 3 ?
2

0

1

2

3

1 27

2 9

4 9

8 27

2 ? 2. 3

100(30 ?10 ? 45 ?15) 2 100 n(ad ? bc)2 ? ? ? 3.030 ? 2.706 , (2) K ? 75 ? 25 ? 45 ? 55 33 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
所以有 90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关” . 19.(1)证明:∵ E 是 AC 的中点, PA ? PC , ∴ AC ⊥ PE , ∵底面 ABCD 是菱形,∴ AC ⊥ BD , 又 PE ? BD ? E ,∴ AC ? 面 PDB , 又 PB ? 面 PDB ,∴ AC ? PB . (2)由(1) CE ⊥面 PDB , PD ? 面 PDB ,∴ CE ⊥ PD , 过 E 作 EH ⊥ PD 于 H ,连接 CH ,则 PD ⊥面 CEH , 又 CH ? 面 CEH ,则 PD ⊥ CH , ∴ ?CHE 是二面角 E ? PD ? C 的平面角. 由(1)知 ?PEB 是二面角 P ? AC ? B 的平面角,所以 ?PEB ? 60? ,

t? P D B 设 AB ? a , 在R

中,PE ?

1 3 3 BD ? BE ? a, a, △ PBE 是等边三角形,PB ? 2 2 2 1 3 PB ? a, 2 4

EH 是△ PBD 的中位线,则 EH ?

CE ?

a 7 2 2 a, , CH ? CE ? EH ? 2 4

∴ cos ?CHE ?

EH 21 ? , CH 7 21 . 7

即二面角 E ? PD ? C 的余弦值为

-7-

20.解: (1)依题意 B(0,1) ,∴ b ? 1 ,



c 2 2 2 2 2 , a ? b ? c ,解得 a ? 3 , ? a 3
x2 ? y 2 ? 1. 9 x2 ? y 2 ? 1,得 (9k 2 ? 1) x2 ? 18kmx ? 9m2 ? 9 ? 0 , 9

∴椭圆方程为

(2)设 l : y ? kx ? m ,代入 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,

由 ? ? (18km)2 ? 4(9k 2 ? 1)(9m2 ? 9) ? 0 ,得 9k ? 1 ? m ? 0 ,
2 2

x1 ? x2 ?

?18km 9m 2 ? 9 x x ? , , 1 2 9k 2 ? 1 9k 2 ? 1

由 BP ⊥ BQ ,∴ BP ? BQ ? x1x2 ? ( y1 ?1)( y2 ?1) ? 0 , ∴ (k ? 1) ?
2
2

??? ? ??? ?

9m 2 ? 9 ?18km ? k (m ? 1) ? 2 ? (m ? 1)2 ? 0 , 2 9k ? 1 9k ? 1
4 或 1(舍) , 5

整理得 5m ? m ? 4 ? 0 ,∴ m ? ? 所以直线 l 过定点 M (0, ? ) , ∴S ?

4 5

1 9 ?18km 2 9m2 ? 9 27 9k 2 ? 1 ? m2 | BM | ? | x1 ? x2 |? ( 2 ) ? 4? 2 ? ? 2 10 9k ? 1 9k ? 1 5 9k 2 ? 1
9k 2 ? 27 5 9 9k ? ? 25
2

9 27 25 ? ? ? 2 5 9k ? 1

16 25 9k 2 ? 9 25

?

27 , 8

-8-

此时 9k 2 ?

9 ? 25

16 25 9k 2 ? 9 25

,∴ k ?
2

7 , 225

即k ? ?

27 7 时,△ BPQ 面积的最大值为 . 8 15

21.解: (1)若 a ?

1 , f ( x) ? ( x 2 ? bx ? 1) ? e? x , 2

则 f '( x) ? ?( x ?1) ? x ? (1 ? b)? e? x , 由 f '( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? 1 ? b , ①若 1 ? b ? 1 ,即 b ? 0 时, f '( x) ? 0 ,此时函数单调递减,单调递减区间为 (??, ??) ,

? , ②若 1 ? b ? 1 , 即 b ? 0 时, 由 f '( x) ? 0 , 得1 ? b ? x ? 1 ; 由 f (' )x 0 得 x ? 1? b , 或 x ?1,
∴单调增区间为 (1 ? b,1) ,单调减区间为 (??,1 ? b) , (1, ??) . (2)若 f (1) ? 1 ,∴ 2a ? b ? 1 ? e ,则 b ? e ? 1 ? 2a , 若方程 f ( x) ? 1 在 (0,1) 内有解, 即 2ax ? bx ? 1 ? e 在 (0,1) 内有解,即 e ? 2ax ? bx ? 1 ? 0 在 (0,1) 内有解,
2 x x 2

设 g ( x) ? e ? 2ax ? bx ?1 ,则 g ( x) 在 (0,1) 内有零点,
x 2

设 x0 是 g ( x) 在 (0,1) 内的一个零点, ∵ g (0) ? 0 , g (1) ? 0 ,∴ g ( x) 在 (0, x0 ) 和 ( x0 ,1) 上不可能单调, 由 g '( x) ? e ? 4ax ? b ,
x

设 h( x) ? e ? 4ax ? b ,则 h( x) 在 (0, x0 ) 和 ( x0 ,1) 上存在零点,
x

即 h( x) 在 (0,1) 上至少有两个零点,∵ h '( x) ? e ? 4a ,
x

1 时, h '( x) ? 0 , h( x) 在 (0,1) 上递增,不合题意; 4 e 当 a ? 时, h '( x) ? 0 , h( x) 在 (0,1) 上递减,不合题意; 4 1 e 当 ? a ? 时,令 h '( x) ? 0 ,得 x ? ln(4a) ? (0,1) . 4 4
当a ?

-9-

则 h( x) 在 (0, ln(4a)) 上递减,在 (ln(4a),1) 上递增, h( x) 在 (0,1) 上存在最小值 h ?ln(4a)? . 若 h( x) 有零个零点,则有 h ?ln(4a)? ? 0 , h(0) ? 0 , h(1) ? 0 , ∴ h ?ln(4a)? ? 6a ? 4a ln 4a ?1 ? e , 设 ? ( x) ?

1 e ?a? , 4 4

3 1 x ? x ln x ? 1 ? e ( 1 ? x ? e ) ,则 ? '( x) ? ? ln x ,令 ? '( x) ? 0 ,得 x ? e , 2 2

当 1 ? x ? e 时, ? '( x) ? 0 ,此时函数 ? ( x) 递增; 当 e ? x ? e 时, ? '( x) ? 0 ,此时函数 ? ( x) 递减; 则 ? ( x)max ? ? ( e ) ? e ? 1 ? e ? 0 ,所以 h ?ln(4a)? ? 0 恒成立, 由 h(0) ? 1 ? b ? 2a ? e ? 2 ? 0 , h(1) ? e ? 4a ? b ? ?2a ? 1 ? 0 ,

e?2 1 ?a? , 2 2 e?2 1 ? a ? 时,设 h( x) 的两个零点为 x1 , x2 ,则 g ( x) 在 (0, x1 ) 递增, 当 2 2
∴ 在 ( x1 , x2 ) 上递减,在 ( x2 ,1) 上递增, 则 g ( x1 ) ? g (0) ? 0 , g ( x2 ) ? g (1) ? 0 ,则 g ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内有零点, 综上,实数 a 的取值范围是 (

e?2 1 , ). 2 2

22.解: (1)设 A( x, y ) ,则 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , ∴ xB ? ? cos(? ?

?
3

)?

1 3 ? 3 1 x? y ; yB ? ? sin(? ? ) ? x? y , 2 2 3 2 2

故 B( x ?

1 2

3 3 1 y, x ? y) , 2 2 2 1 2 3 3 1 y ? 2)2 ? ( x ? y)2 ? 1 , 2 2 2

由 | BM | ? 1 ,得 ( x ?
2

∴ C 的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 . (2)圆 C : ?

? ? x ? ?1 ? cos ? ( ? 为参数) , ? ? y ? 3 ? sin ?

则 | OA |2 ? | MA |2 ? 4 3sin ? ?10 ,

- 10 -

∴ | OA | ? | MA | ? ?10 ? 4 3,10 ? 4 3 ? .
2 2

?

?

23.解: (1)当 a ? ?1 时,不等式 f ( x) ? 3x 可化为

1 3 3 ? ? 1 ? x? , ? ?x? , x? , ? ? ? ? ? 4 ? 4 2 2 或? 或? ? ??(2 x ? 1 ) ? ( x ? 3 ) ? 3x ?(2 x ? 1 ) ? ( x ? 3 ) ? 3x ?(2 x ? 1 ) ? ( x ? 3 ) ? 3 x, ? ? ? ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2
解得 ?

1 1 1 3 3 ? x ? ? 或? ? x ? 或x ? , 2 4 4 2 2

故不等式 f ( x) ? 3x 的解集为 ? x | x ? ? ? . (2)当 a ? 2 时, f ( x) ?| 2 x ? 号) , 则 ? 2 f ( x) ? 1?min ? 2 ?

? ?

1? 2?

1 1 7 1 3 | ? | 2 x ? 3 | ?| (2 x ? ) ? (2 x ? 3) | ? ( ? ? x ? 时取等 2 2 2 4 2

7 ? 1 ? 8 ,不等会 2 f ( x) ? 1 ?|1 ? b | 的解集为空集等价于 |1 ? b |? 8 , 2

解得 ?7 ? b ? 9 ,故实数 b 的取值范围是 ? ?7,9? .

- 11 -


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