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2017届高三数学二轮复习专题通关攻略专题六解析几何1.6.2圆锥曲线的概念与性质与弦有关的计算问题课件理


第二讲
圆锥曲线的概念与性质、与弦有关 的计算问题

【知识回顾】

1.圆锥曲线的定义式
(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|);

(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM

⊥l于M(l为
抛物线的准线方程).

2.圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系:
c b2 ①在椭圆中:________;离心率为 e ? ? 1 ? 2 . a a 2 2=a2+b2 c b c ②在双曲线中:________;离心率为 e ? ? 1 ? . a a2

a2=b2+c2

(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标:
b y ? ? x x y ①双曲线 ? =1(a>0,b>0)的渐近线方程为_______; a 2 2 a b
2 2

(-c,0) 2______; (c,0) 焦点坐标F1_______,F
②双曲线 y ? x 2 2
a b
2 2

a y?? x =1(a>0,b>0)的渐近线方程为______, b

(0,-c) 2______. (0,c) 焦点坐标F1_______,F

(3)抛物线的焦点坐标与准线方程:
p ( ? ,0) 2 ①抛物线y =±2px(p>0)的焦点坐标为______, 准线方 2 p x?? 程为______; 2 p (0, ? ) 2 2 ②抛物线x =±2py(p>0)的焦点坐标为______, 准线方 p y?? 程为______. 2

3.弦长问题 (1)直线与圆锥曲线相交时的弦长

设而不求,利用根与系数的关系,进行整体代入.即当斜
率为k,直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)时,
|AB| ? 1 ? k |x1 ? x 2 | ? 1 ? k
2 2

? x1 ? x 2 ?

2

? 4x1x 2 或
2

1 2 1 2 |AB| ? 1 ? ( ) |y1 ? y 2 |? 1 ? ( ) k k

? y1 ? y 2 ?

? 4y1y 2 .

(2)过抛物线焦点的弦长

抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),
2 x1+x2+p p 则x 1x 2= ,y1y2=-p2,弦长|AB|=_______. 4

【易错提醒】 1.忽略条件致误:应用圆锥曲线定义解题时,易忽视定

义中的条件导致错误.
2.忽略焦点的位置致误:当焦点位置没有明确给出时应 对焦点位置进行分类讨论,椭圆、双曲线有两种情况,

抛物线有四种情况.

3.混淆a,b,c的关系致误:在椭圆中a2=b2+c2,在双曲线 中c2=a2+b2,在使用时谨防张冠李戴.

4.注意隐含条件:圆锥曲线上点的横坐标、纵坐标是有
范围的,在涉及求最值或范围问题时可能要用到.

【考题回访】
x2 y2 1.(2016·全国卷Ⅰ)已知方程 2 表示 ? ?1 2 m ? n 3m ? n

双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值
范围是( A.(-1,3) ) B.(-1, 3 )

C.(0,3)

D.(0, 3 )

x2 y2 【解析】选A. 2 ? ? 1 表示双曲线, 2 m ? n 3m ? n

则(m2+n)(3m2-n)>0,

所以-m2<n<3m2,由双曲线性质知:c2=(m2+n)+(3m2-n)
=4m2, 其中c是半焦距,所以焦距2c=2·2|m|=4,

解得|m|=1,所以-1<n<3.

2.(2016?全国卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线
k y= (k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k= x 1 A. 2 B.1 3 C. 2 D.2

(

)

【解析】选D.因为抛物线方程是y2=4x,所以F(1,0). 又因为PF⊥x轴,
k 所以P(1,2),把P点坐标代入曲线方程y= (k>0), x 即 k =2,所以k=2. 1

2 2 x y 3.(2016?天津高考)已知双曲线 ? 2 =1(b>0),以原 4 b

点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的 两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为

2b,则双曲线的方程为
x 2 3y 2 A. ? ?1 4 4 x 2 y2 C. ? ?1 4 4

(

)

x 2 4y 2 B. ? ?1 4 3 x 2 y2 D. ? ?1 4 12

【解析】选D.

b 渐近线OB: y ? x, 2 b 1 b 2b 设B(x 0, x 0 ),则 ? x 0 ? x 0 ? , 2 2 2 8 2 b b 所以x0=1,所以 B(1, ),所以12 ? ? 22, 2 4

所以b2=12,
x 2 y2 所以 - ? 1. 4 12

4.(2014?全国卷Ⅰ)已知抛物线C:y2=x的焦点为F, A(x0,y0)是C上一点,|AF|= 5 x0,则x0= (
4

)

A.1

B.2

C.4

D.8
4 4

【解析】选A.根据抛物线的定义可知|AF|=x0+ 1 ? 5 x 0, 解得x0=1.

5.(2014?全国卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且 倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|= ( )

A. 30
3

B.6

C.12

D.7 3

【解析】选C.设|AF|=2m,|BF|=2n, F( 3 ,0). 则由抛物线
4

的定义和直角三角形知识可得, 2m=2〓 3 ? 3m, 2n=2〓 3 ? 3n, 解得 m ? 3 ? 2 ? 3 ? , n ? 3 ? 2 ? 3 ? ,
4 4 2 2

所以m+n=6.
|AB|=|AF|+|BF|=2m+2n=12.故选C.

热点考向一

圆锥曲线的定义、标准方程与性质

命题解读:主要考查圆锥曲线的定义、标准方程和离心 率、渐近线等性质,以选择题、填空题为主.

【典例1】(1)(2016?承德一模)已知抛物线C:y2=8x的 焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交
??? ??? ? 则|QF|= 点,若 FP ? 4FQ,
7 A. 2 B.3 5 C. 2

(
D.2

)

(2)(2016?郑州二模)经过点(2,1),且渐近线与圆 x2+(y-2)2=1相切的双曲线的标准方程为
x 2 y2 A. ? ?1 11 11 3 y2 x 2 C. ? ?1 11 11 3 x2 B. ? y 2 ? 1 2 y2 x 2 D. ? ?1 11 11 3

(

)

2 2 x y (3)(2016?福州一模)已知椭圆 ? ? 1(a>b>0)的左 a 2 b2

右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与椭圆交于A,B两点,

若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆
的离心率为
2 A. 2

(

)
C. 5 ? 2 D. 6 ? 3

B.2 ? 3

【解题导引】(1)先由向量的线性关系及相似三角形的 性质,确定线段间的比例关系,再根据抛物线的定义求

解线段长度.
(2)先求双曲线的渐近线方程,根据渐近线方程判断焦 点的位置,然后列方程组求解.

(3)根据△F1AB的周长为4a,把AF1,AF2用a表示,再根据
勾股定理找出a,c满足的关系式.

【规范解答】(1)选B.如图所示,

??? ??? ? PQ 3 ? , 因为 FP ? 4FQ, 所以 过点Q作QM⊥l,垂足为M, PF 4 MQ PQ 3 则MQ∥x轴,所以 所以|MQ|=3, ? ? , 4 PF 4

由抛物线定义知|QF|=|QM|=3.

(2)选A.设双曲线的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,由题 意知
| ?2| k ?1
2

? 1, 解得k=〒 3 ,

2 2 x y 则双曲线的焦点在x轴,设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1, a b ? 22 12 ? 2 11 ? 2 ? 1, ? 2 ?a ?a ? , b 则有 ? 解得 ? 3 ? b ? 3, ?b 2 ? 11. ? ? ?a 2 2 x y 所以,所求方程为 ? ? 1. 11 11 3

(3)选D.设|F1F2|=2c,|AF1|=m, 若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,

所以|AB|=|AF1|=m,|BF1|= 2 m.
由椭圆的定义可知△F1AB的周长为4a, 所以4a=2m+ 2 m,m=2(2- 2 )a.

所以|AF2|=2a-m=(2 2 -2)a.

因为|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2, 所以4(2- 2 )2a2+4( 2 -1)2a2=4c2,

所以e2=9-6 2 ,e= 6 ? 3.

【母题变式】
2 2 x y 1.本例(3)中若椭圆改为双曲线 ? ? 1(a>0,b>0)过 a 2 b2

F2的直线与双曲线交于A,B两点,其他条件不变,则双曲
线离心率e2的值为________.

【解析】如图所示: 因为|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,

|BF1|=|AF2|+|BF2|,
所以|AF2|=2a,|AF1|=4a. 所以|BF1|=2 2 a,|BF2|=2 2 a-2a.

因为|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2,

所以(2c)2=(2 2 a)2+(2 2 a-2a)2,
所以e2=5-2 2 . 答案:5-2 2

2 2 x y 2.在本例(3)中若条件变为“在双曲线 ? 2 ?1 2 a b

(a>0,b>0)中,A1,A2是左、右顶点,F是右焦点,B是虚轴

的上端点,若在线段BF上存在点P,使得△PA1A2构成以
A1A2为斜边的直角三角形”,试求双曲线离心率e的取 值范围.

【解析】由题意知以线段A1A2为直径的圆和线段BF有 公共点,则原点到直线BF的距离小于或等于a,

又直线BF的方程为 x ? y ? 1, 即bx+cy-bc=0,
所以 | ?bc| ? a, 整理得a4-3a2c2+c4≤0, 2 2 即e4-3e2+1≤0,解得 3 ? 5 ? e2 ? 3 ? 5 ,
b ?c

c

b

又e>1,所以1<e≤ 5 ? 1 .
2

2

2

【规律方法】 1.椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法

求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据
已知条件确定a,b,c的等量关系或不等关系,然后把b用 a,c代换,求 c 的值.
a

2.双曲线的渐近线的求法及用法 (1)求法:把双曲线标准方程等号右边的1改为零,分解

因式可得.
(2)用法:①可得 b 或 a 的值.
a b

②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.

3.焦点三角形的作用 借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角

关系式构建方程组,便于解决问题.

【题组过关】

1.(2016?全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
x 2 y2 ? 2 ? 1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点. 2 a b

P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点
M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率


1 A. 3

(

)
1 B. 2 2 C. 3 3 D. 4

【解析】选A.由题意可知直线AE的斜率存在,设为k,直 线AE的方程为y=k(x+a),令x=0可得点E坐标为(0,ka), 所以OE的中点H坐标为(0, ka ),又右顶点B(a,0),所以可得
2 y ? k(x ? a) , ? a ? ? k k 可得点M横坐标为- ,又点M的横坐标和 3 y ? - x ? a, ? 2 2 ? a 左焦点相同,所以- =-c,所以e= 1 . 3 3 2

直线BM的斜率为- k ,可设其方程为y=- k x+ k a,联立
2 2

2.(2016?合肥二模)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M 到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为
A. ? 3 B. ? 1 3 C. ? 4 3 D. ? 3

(

)

【解析】选A.设M(x0,y0),由题意x0+ p =2p,
2

则x0= 3p,从而y02=3p2,
2

3p 3p 则M( , 3p)或M( , ? 3p), 2 2 p 又F( ,0),则k MF ? ? 3. 2

【加固训练】 1.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一
? 个公共点,且∠F1PF2= ,则椭圆和双曲线的离心率的 3

倒数之和的最大值为
4 3 A. 3 2 3 B. 3

(
C.3

)
D.2

【解析】选A.设|PF1|=m,|PF2|=n,F1F2=2c且m>n,则椭 圆与双曲线离心率的倒数和为 m ? n ? m ? n ? m .
2c 2c c

由余弦定理4c2=m2+n2-2m?n?cos ? =m2+n2-mn.
3

即n2-mn+m2-4c2=0,关于n的一元二次方程有解, Δ=m2-4(m2-4c2)≥0,故16c2≥3m2,
m2 16 m 4 3 所以 2 ? , 故 ? . c 3 c 3

2 2 x y 2.已知椭圆C1: x ? y ? 1与双曲线C2: ? ? 1有相 m n m?2 n 2 2

同的焦点,则椭圆C1的离心率e的取值范围为
2 A.( , 1) 2 C.(0, 1) 2 B.(0, ) 2 1 D.(0, ) 2

(

)

x2 y2 【解析】选A.因为椭圆C1: ? ? 1与双曲线C2: m?2 n 2 2 x y ? ? 1 有相同的焦点,所以m>0,n<0. m n

且m+2-(-n)=m-n,解得n=-1.
1 1 2 ? 1? ? 1? ? , m?2 m?2 2 2 又e<1,所以椭圆C1的离心率e的取值范围为 ( 2 , 1). 2

所以椭圆C1的离心率e= 1 ?

? ? ?1?

3.已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线

x 2 y 2 =1的右焦 ? 7 9

点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上

且|AK|= 2 |AF|,则△AFK的面积为(
A.4 B.8 C.16 D.32

)

【解析】选D.因为抛物线y2=2px的焦点F与双曲线
x 2 y2 =1的右焦点重合,所以p=8.设A(m,n), ? 7 9

又|AK|= 2 |AF|,所以m+4=|n|,
又n2=16m,解得m=4,|n|=8, 所以△AFK的面积为S= 1 〓8〓8=32.
2

2 2 x y 4.设F是双曲线C: ? ? 1的一个焦点,若C上存在点P, a 2 b2

使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率

为________.

【解析】根据对称性,不妨设F(c,0),短轴端点为(0,b), 从而可知点(-c,2b)在双曲线上,
2 2 c 4b c 所以 ? ? 1 ? e ? ? 5. 2 2 a b a

答案: 5

热点考向二

圆锥曲线与圆、直线的综合

命题解读:主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及圆

锥曲线与圆相结合时处理问题的能力.

【典例2】(1)(2016?平顶山二模)已知点E(-λ ,0)
??? ? ??? ? (λ ≥0),动点A,B均在抛物线C:y2=2px(p>0)上,若 EA ? EB

的最小值为0,则λ 的值为
A.p
2

(

)
D.2p

B.0

C.p

2 2 x y (2)(2016?承德二模)已知椭圆C: 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的 a b 离心率为 6 ,且过点 (1, 6 ). 3 3

①求椭圆C的方程;
②设与圆O:x2+y2=
3 相切的直线l交椭圆C于A,B两点, 4

求△OAB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程.

??? ? ??? ? 【解题导引】(1)根据 EA ? EB 的最小值为0知,∠AEB的

最大值为90°,此时直线EA,EB均与抛物线相切,且直线

EA,EB的斜率分别为1和-1.
(2)①直接列方程组求a,b的值;②分直线l的斜率存在 与不存在两种情况求解,当斜率存在时,求△OAB面积的

最大值,实际上是求|AB|的最大值.

??? ? ??? ? 【规范解答】(1)选A.当 EA ? EB 的最小值为0时,直线

EA,EB相互垂直且都与抛物线相切,根据抛物线的对称

性不妨令直线EA的方程为y=x+λ,
? y ? x ? ?, 由? 2 得y2-2py+2pλ=0, ? y ? 2px 则Δ=4p2-8pλ=0,解得λ= p . 2

2 ?1 ? 2 ? 1, 2 ? 3b ?a (2)①由题意可得: ? c ? ? 6, ? 3 ?a 2 2 2 x a =3,b =1,所以 +y2=1. 3

②(ⅰ)当直线l的斜率k不存在时,x=〒 3 ,
2

所以y=〒 3,所以|AB|= 3 .又圆半径为 3 . 所以S△OAB= 1 ? 3 ? 3 ? 3 .
2 2 4

2

2

(ⅱ)当直线l的斜率k存在时, 设直线l方程为y=kx+m,
? x2 2 ? ? y ? 1, A(x1,y1),B(x2,y2), ? 3 ? y ? kx ? m, ?

(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,

又直线l与圆相切,则有

?6km 3m2 ? 3 x1 ? x 2 ? , x1x 2 ? , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k m

3 ? , 2 k ?1 2

即4m2=3(1+k2) 所以|AB|= 1 ? k 2 ( ?6km ) 2 ? 2
1 ? 3k 12 ? m 2 ? 1? 1 ? 3k 2

1 ? 10k 2 ? 9k 4 4k 2 ? 3? ? 3 ? 1? 2 4 1 ? 6k ? 9k 1 ? 6k 2 ? 9k 4 ? 3 ? 1? 4 1 2 ? 9k ?6 2 k ? 2.

当且仅当 12 ? 9k 2 ,即k=〒 3 时等号成立,
k

3

S△OAB= 1 AB ? r ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 ,
2 2 2

2 所以△OAB面积的最大值为 3 , 2 此时直线l的方程为y=〒 3 x〒1. 3

【规律方法】处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点 (1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用,如直径所

对的圆周角为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、
弦长的一半构成直角三角形等.

(2)注意圆与特殊线的位置关系,如圆的直径与椭圆长 轴(短轴),与双曲线的实轴(虚轴)的关系;圆与过定点

的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系
等.

【题组过关】
2 2 x y 1.(2016?长沙二模)双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)与椭 a b 2 2 x y 圆 ? ? 1的焦点相同,若过右焦点F且倾斜角为60° 25 9

的直线与双曲线的右支有两个不同交点,则此双曲线实 半轴长的取值范围是 ( )

A.(2,4)

B.(2,4]

C.[2,4)

D.(2,+∞)

x 2 y2 【解析】选A.椭圆 ? ? 1 的半焦距c=4. 25 9

要使直线与双曲线有两个交点,需使双曲线的其中一渐

近线方程的斜率小于直线的斜率,即 b ? tan 60? ? 3,
a

即b< 3 a,所以c2-a2<3a2,整理得c<2a,所以a>2, 又a<c=4,则此双曲线实半轴长的取值范围是(2,4).

2.(2016?新乡二模)已知直线x+ky-3=0所经过的定点F 恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大

距离为8.
(1)求椭圆C的标准方程. (2)已知圆O:x2+y2=1,直线l:mx+ny=1,试证:当点P(m,n)

在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交,并求直线l被圆O
所截得的弦长l的取值范围.

2 2 x y 【解析】(1)设椭圆C的方程为 2 ? 2 ? 1(a>b>0), a b

直线x+ky-3=0所经过的定点是(3,0),即点F(3,0). 因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8,所以a+3=8,a=5, 所以b2=52-32=16,所以椭圆C的方程为
x 2 y2 ? ? 1. 25 16

(2)因为点P(m,n)在椭圆C上,
2 2 2 16m m n 2 所以 ? ? 1, 即n =16. 25 25 16

又原点到直线l:mx+ny=1的距离d=

1 m ?n
2 2

?

1 9 2 m ? 16 25

? 1,

所以直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1恒相交, 则l2=4(12-d2)= 4(1 ?
1 9 2 m ? 16 25 因为-5≤m≤5,所以 15 ? l ? 4 6 . 2 5 ),

【加固训练】已知椭圆C1过点 ( 圆C2:x2+2y2=4的右焦点重合.

2 ,, 1) 且其右顶点与椭 2

(1)求椭圆C1的标准方程.
(2)设O为原点,若点A在椭圆C1上,点B在椭圆C2上,且 OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=1的位置关系,并证明

你的结论.

2 2 x y 【解析】(1)因为椭圆C2: ? ? 1的右焦点为( 2,0), 4 2 2 2 x y 所以可设椭圆C1: ? ? 1, 2 b2 又椭圆C1过点 ( 2 , 所以 1 ? 12 =1, 解得b2= 4 , 1), 4 b 2 3 x 2 y2 故椭圆C1的标准方程为 ? ? 1. 4 2 3

(2)直线AB与圆x2+y2=1相切.证明如下: 设原点到直线AB的距离为d.
2 B(〒2,0), ①若OA斜率不存在,则 A(0, ? ), 3

此时|AB|= 4 ,由|OA|?|OB|=|AB|d得,d=1.
3

②若OA斜率存在,由已知OA⊥OB, 可设OA:y=kx,OB:ky=-x,
2 ? y ? kx, 4 4k 2 2 由? 2 可得 x ? , y ; A A ? 2 2 2 3k ? 2 3k ? 2 ?2x ? 3y ? 4 ?ky ? ? x, 4 4k 2 2 2 由? 2 可得y B ? 2 ,x B ? 2 , 2 k ?2 k ?2 ? x ? 2y ? 4 4k 2 ? 4 4k 2 ? 4 2 2 2 2 2 2 OA ? x A ? y A ? 2 , OB ? x B ? y B ? 2 , 3k ? 2 k ?2

AB OA ? OB 1 1 1 ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 d OA OB OA OB OA OB 3k 2 ? 2 k 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1, 4k ? 4 4k ? 4

2

2

2

即d=1. 综上,直线AB与圆x2+y2=1相切.

热点考向三 弦有关的问题

圆锥曲线中的最值(范围)及与

命题解读:主要考查直线与圆锥曲线相交时的弦长公式
和最值的求法,三种题型都有可能出现.

命题角度一

圆锥曲线中的最值(范围)问题

【典例3】(2016?衡阳二模)已知抛物线E:y=ax2上三
??? ? ??? ? 个不同的点A(1,1),B,C满足关系式 AB ? BC ? 0.

(1)求抛物线E的方程. (2)求△ABC的外接圆面积的最小值及此时△ABC的外接

圆的方程.

【题目拆解】解答本题第(2)问,可拆解成四个小题:

①设B(x1,x1

2),C(x

2,x2

2),根据

??? ? ??? ? AB ? BC ? 0 找出x1,x2的

关系式,用x1表示x2; ②求x2的取值范围; ③用x2表示△ABC的外接圆的直径|AC|; ④利用导数求|AC|的最小值,从而求出△ABC的外接圆

面积的最小值.

【规范解答】(1)因为1=a〓12, 所以a=1,抛物线E的方程为y=x2.

(2)设B(x1,x12),C(x2,x22),则
? ??? ? 2-1), ??? 2-x 2) =(x -1,x =(x -x ,x BC 1 1 2 1 2 1 AB ??? ? ??? ? 因为 AB ? BC ? 0

?(x1-1)(x2-x1)+(x12-1)(x22-x12)=0,
因为x1≠1,x1≠x2, 所以1+(x1+1)(x1+x2)=0,且x1≠-1,

所以x2= ?(x1 ? 1 ? 1 ) ? 1,
x1 ? 1

当x1+1>0时,x2≤-1;当x1+1<0时,x2≥3,

所以x2∈(-≦,-1]∪[3,+≦).
??? ? ??? ? 因为 AB ? BC ? 0,

所以AB⊥BC,从而△ABC的外接圆的直径为|AC|,

要使△ABC的外接圆面积最小,须|AC|最小.

因为|AC|= ? x ? 1?2 ? ? x 2 ? 1?2 ? x 4 ? x 2 ? 2x ? 2, 2 2 2 2 2 令f(x)=x4-x2-2x+2,x∈(-≦,-1]∪[3,+≦),

所以f′(x)=4x3-2x-2=(x-1)(4x2+4x+2)
=(x-1)[(2x+1)2+1]. 所以x∈(-≦,-1]时,f′(x)<0,f(x)递减;

x∈[3,+≦)时,f′(x)>0,f(x)递增.

又f(-1)=4,f(3)=68, 所以|AC|min=2,此时x2=-1,

所以r=1,△ABC的外接圆面积Smin=π.
所以C(-1,1). 所以△ABC的外接圆的圆心为(0,1),半径r=1,

所以△ABC的外接圆方程为x2+(y-1)2=1.

【易错警示】解答本题易出现以下二种错误: (1)不会应用消元法把|AC|用一个变量表示.

(2)不会应用导数求|AC|的最小值.

命题角度二

与弦、弦中点有关的问题

【典例4】(2016?全国卷Ⅲ)已知抛物线C:y2=2x的焦 点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点, 交C的准线于P,Q两点.

(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ.
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的 轨迹方程.

【解题导引】(1)先写出直线AB的方程,再通过斜率相 等证明AR∥FQ.

(2)设出AB中点的坐标,利用S△PQF=2S△ABF列等式求轨迹
方程.

【规范解答】(1)由题意可知 F( ,0) , 设l1:y=a,l2:y=b
a2 b2 1 1 1 a?b 且ab≠0, A( ,a), B( , b), P(- ,a),Q(- , b), R(- , ), 2 2 2 2 2 2

1 2

记过A,B两点的直线方程为l,由点A,B可得直线方程为
2x-(a+b)y+ab=0, 因为点F在线段AB上,所以ab+1=0,

记直线AR的斜率为k1,直线FQ的斜率为k2,
a-b b 所以 k1 ? ,k 2 ? ? -b, 又因为ab+1=0, 2 1 1 1? a - - 2 2 a-b 1 -ab 所以 k1 ? a-b ? 2 ? ? ? -b, 所以k1=k2, 2 1? a a -ab a a

即AR∥FQ.

(2)设直线AB与x轴的交点为D(x1,0),
1 1 1 |a-b||FD| ? |a-b||x1- |, 2 2 2 又S△PQF= |a-b| , 2 a?b

所以S△ABF=

所以由题意可得S△PQF=2S△ABF即: 解得x1=0(舍)或x1=1.

2

1 1 ? 2 ? ? a ? b ? | x1 ? |, 2 2

设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得
2 y (x≠1). ? a ? b x- 1

而 2 ? 1 , 所以y2=x-1(x≠1).
a?b y

当AB与x轴垂直时,E与D重合,所以,所求轨迹方程为 y2=x-1.

【规律方法】 1.与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法

(1)数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出临界位
置后数形结合求解. (2)构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系,构建以

待求量为元的不等式求解.

(3)构建函数法:先引入变量构建以待求量为因变量的 函数,再求其值域.

2.弦中点问题的解法
点差法在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中 点与原点连线斜率问题时可简化运算,但要注意直线斜

率是否存在.

3.与弦端点相关问题的解法 解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一

般方法,就是将其转化为端点的坐标关系,再根据联立
消元后的一元二次方程根与系数的大小关系,构建方程 (组)求解.

【题组过关】 1.(2016?商丘二模)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已

知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.
过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则 的最大值为
3 A. 3 B.1
MN AB

(

)
2 3 C. 3 D.2

【解析】选A.设|AF|=a,|BF|=b,连接AF,BF,

由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|, 在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b,

由余弦定理得,
AB2=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab, 配方得,|AB|2=(a+b)2-ab,

又因为ab≤ ( a ? b ) 2 ,
2

所以(a+b)2-ab≥(a+b)2- 1 (a+b)2= 3 (a+b)2,
4 4

得到AB≥ 3(a+b).
1 ?a ? b? MN MN 3 2 所以 的最大值为 3 . ? ? ,即 AB AB 3 3 3 ?a ? b? 2

2

2 2 x y 2.(2016?天津高考)设椭圆 2 ? ? 1 a ? 3 的右焦点 a 3 1 1 3e 为F,右顶点为A.已知 ? ? , 其中O为原点,e为 |OF| |OA| |FA|

?

?

椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程.
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(点B不在x轴上),垂 直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且

∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.

【解析】(1)由题意,如图所示: 已知 1 ? 1 ? 3e ,
|OF| |OA| |FA|

所以

a 2-3 3? 1 1 a ? ? a 2-3 a a- a 2-3

解得a=2,
2 2 x y 所以椭圆方程为: ? ? 1. 4 3

(2)由已知,设l斜率为k(k≠0),方程为y=k(x-2). 设B(xB,yB),M(x0,k(x0-2)),x0≥1(∠MOA≤∠MAO),
? x 2 y2 ? ? 1, H(0,yH),与椭圆的方程联立可得 ? 3 ?4 ? y ? k(x-2). ? 2 2 2 2

整理得(3+4k )x -16k x+16k -12=0,Δ>0成立.
16k 2- 12 由根与系数的关系得2?xB= , 2 3 ? 4k 2 8k - 12k 所以 x B ? -6 , y ? k(x - 2) ? , B B 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

1 lHM:y-k(x0-2)=- (x-x0), k 令x=0,得yH= (k ? 1 ) x0-2k, k ??? ? ??? 因为HF⊥FB,所以 FH ? FB =(-1,yH)?(xB-1,yB)=0,

即1-xB+yHyB
8k 2-6 12k 1 ? 1- - [(k ? )x 0-2k] ? 0, 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k k

9 ? 20k 2 2≥3, 所以x0= ≥1,所以 8k 12 ? k 2 ? 1?

所以k≥ 6 或k≤- 6 .
4 4 6 6 所以直线l的斜率的取值范围为 (??, ? ] ?[ , ? ?). 4 4

【加固训练】 1.(2016?安阳一模)如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,

过F的直线交抛物线于M,N两点,其准线l与x轴交于K点.
(1)求证:KF平分∠MKN. (2)O为坐标原点,直线MO,NO分别交准

线于点P,Q,求|PQ|+|MN|的最小值.

【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x= -1.设直线MN的方程为x=my+1,M,N的坐标分别是
2 2 y y M( 1 ,y1),N( 2 ,y2), 4 4 x ? my ? 1, 2-4my-4=0, 由? 消去 x 得 y ? 2 ? y ? 4x,

所以y1+y2=4m,y1y2=-4.

(1)由题意,设KM与KN的斜率分别为k1,k2,显然只需证 明k1+k2=0即可.

因为K(-1,0),
所以 k1 ? k 2 ?
y1 y ?1 4
2 1

?

y2 y2 ?1 4
2

?

4 ? y1 ? y 2 ?? y1 y 2 ? 4 ?

?y

2 1

? 4 ?? y 2 ? 4 ?
2

? 0.

所以KF平分∠MKN.

(2)由M,O,P三点共线可求出P点的坐标为 (?1, ? 4 ),
由N,O,Q三点共线可求出Q点的坐标为 (?1, ? 4 ), 则 PQ ?| 4 ? 4 |? 4 ? y1 ? y2 ? ? 16m2 ? 16 ? 4 m2 ? 1.
y1 y2 y1y2

y1

y2

而|MN|= 1 ? m2 ? y ? y ?2 ? 4y y ? 1 ? m2 (4m)2 ? 42 1 2 1 2
? 4 ?1 ? m 2 ? .

所以|PQ|+|MN|= 4 m2 ? 1 +4(1+m2)
1 2 ? 4( m ? 1 ? ) ? 1. 2
2

所以当m=0时,|MN|+|PQ|取最小值8.

2.(2016?银川二模)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距 离是它到点N(1,0)的距离的2倍.

(1)求动点M的轨迹C的方程.
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB 的中点,求直线m的斜率.

【解析】(1)如图①,设点M到直线l的距离为d,根据题意, d=2|MN|,

由此得|4-x|? 2 ? x ?1?2 ? y2,
2 2 x y 化简得 ? ? 1, 4 3

所以动点M的轨迹C的方程为
x 2 y2 ? ? 1. 4 3

(2)方法一:由题意, 设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),

B(x2,y2),如图②.
2 2 x y 将y=kx+3代入 ? ? 1 中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0, 4 3

其中,Δ=(24k)2-4〓24(3+4k2)

=96(2k2-3)>0,

由根与系数的关系,得
24k x1 ? x 2 ? ? ,① 2 3 ? 4k 24 x1 x 2 ? .② 2 3 ? 4k

又A是PB的中点,故x2=2x1. ③
将③代入①②,得 x1 ? ? 8k 2 ,x12 ? 12 2 ,
3 ? 4k 3 ? 4k

可得 ( ?8k 2 )2= 12 2 , 且 k 2> 3 ,
3 ? 4k 3 ? 4k 解得k=- 3 或k= 3 , 2 2
2

所以直线m的斜率为- 3 或 3 .
2 2

方法二:由题意,设直线m的方程为

y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).
因为A是PB的中点,
x2 所以x1 ? ,① 2 3 ? y2 y1 ? .② 2 x12 y12 又 ? ? 1,③ 4 3 x 22 y22 ? ? 1,④ 4 3

联立①②③④,
x 2 ? 2, ? x 2 ? ?2, 解得 ? 或? ? ? y2 ? 0 ? y 2 ? 0,

即点B的坐标为(2,0)或(-2,0),
3 3 所以直线m的斜率为- 或 . 2 2

2 2 x y 3.(2016?衡阳一模)已知椭圆C: 2 ? 2 ? 1(a>b>0)过点 a b 2 3 离心率为 2 ,点F ,F 分别为其左右焦点. A( ? , ), 1 2 2 2 2

(1)求椭圆C的标准方程.
(2)若y2=4x上存在两个点M,N,椭圆上有两个点P,Q满足M, N,F2三点共线,P,Q,F2三点共线,且PQ⊥MN,求四边形PMQN

面积的最小值.

【解析】(1)由题意得: c ? 2 , a2-b2=c2,得b=c,
a 2 因为椭圆过点 A( ? 2 , 3 ), 2 2 则 1 2 ? 3 2 ? 1, 解得c=1,所以a2=2, 2a 4b 2 x 所以椭圆C的方程为 ? y2 ? 1. 2

(2)当直线MN斜率不存在时,直线PQ的斜率为0, 易得|MN|=4,|PQ|=2 2 ,S=4 2 .

当直线MN斜率存在时,设直线方程为:y=k(x-1)(k≠0),
与y2=4x联立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 令M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2= 42 +2,x1x2=1,
k

|MN|= 1 ? k 2 ? ( 42 ? 2) 2 ? 4.
k

即有|MN|= 42 +4,
k

因为PQ⊥MN,所以直线PQ的方程为:

y=- 1 (x-1),
k

将直线与椭圆联立得, (k2+2)x2-4x+2-2k2=0,
2 4 2 ? 2k 令P(x3,y3),Q(x4,y4),x 3 ? x 4 ? ,x 3 x 4 ? , 2 2 2?k 2?k

由弦长公式|PQ|= 1 ? 1 ? ? x 3 ? x 4 ?2 ? 4x 3 x 4 , 2
k 2 2 2 1 ? k 代入计算可得|PQ|= , 2 k ?2

?

?

所以四边形PMQN的面积
4 2 ?1 ? k ? 1 S ? MN ? PQ ? 2 2 , 2 k ? k ? 2?
2 2

令1+k2=t(t>1),

4 2t 2 4 2t 2 t 2 ?1 ? 1 上式 S ? ? 2 ?4 2 2 t ?1 ? t ? 1?? t ? 1? t ? 1 1 ? 4 2(1 ? 2 ) ? 4 2, t ?1

所以S≥4 2 .最小值为 4 2.


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