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专题三 导数与三次函数


专题三

导数与三次函数

三次函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ( a 、 b 、 c 、 d ? R 且 a ? 0 )是中学数 学利用导数研究函数的单调性、极值(最值)的一个重要载体,是应用二次函 数图象和性质的好素材,既可以整合函数图象和性质、不等式、方程、导数等 相关知识,完善知识结构,又能体会其中蕴

涵的数学思想方法。近几年的全国 各省市高考试卷以导数为工具, 有重点地考查了有关三次函数的单调性、 极值、 在闭区间上的最值、对参数的取值范围的探究等函数性质,凸显“在知识网络 交汇点上”命题的理念。 例 1、已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3x ⑴求函数 f ? x ? 的单调区间及极值;⑵求 f ? x ? 在 ?0,3? 上的最值。 解:令 f ? ? x ? ? 3x2 ? 3 ? 0 ? x1 ? 1, x2 ? ?1

x 、 f ? ? x ? 、 f ? x ? 的变化情况如下表 x
f ? ? x? f ? x?

? ??, ?1?


-1 0 极大值

(-1,1) -

1 0 极小值

? ?1, ???


∴ f ? x ? 的单调递增区间是 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ?

f ? x ? 的单调递减区间是 ? ?1,1?
当 x ? ?1 时, f ? x ? 有极大值 f ? ?1? ? ? ?1? ? 3 ? ? ?1? ? 2
3

当 x ? 1 时, f ? x ? 有极小值 f ?1? ? 13 ? 3?1 ? ?2 ⑵ f ? 0? ? 0 , f ?3? ? 33 ? 3? 3 ? 18 ∵ f ? x ? 在 ?0,3? 上只有一个极值点 f ?1? ? ?2 ∴ f ? x ? 在 ?0,3? 上的最小值为-2,最大值为 18 变式一、已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3x2 ? 3x ,其他不变
1

解: f ? ? x ? ? 3x 2 ? 6 x ? 3 ? 3 ? x ? 1? ? 0
2

∴ f ? x ? 在 ? ??, ??? 单调递增, f ? x ? 没有极值

f ? x ? 在 ?0,3? 上的最小值为 f ? 0? ? 0 ,最大值为 f ?3? ? 63
变式二、已知函数 f ? x ? ? x3 ? x2 ? 3x ;其他不变 解: f ? ? x ? ? 3x2 ? 2x ? 3 △ ? 22 ? 4 ? 3 ? 3 ? ?20 ? 0 ∴ f ? ? x ? ? 0 没有实数根 ∴ f ? ? x ? ? 0 在 R 上恒成立

∴ f ? x ? 在 ? ??, ??? 上单调递增, f ? x ? 没有极值

f ? x ? 在 ?0,3? 上的最小值为 f ? 0? ? 0 ,最大值为 f ?3? ? 45
变式三、已知函数 y1 ? t , y2 ? x3 ? 3x ,实数 t 为何值时,函数 y1 与 y2 的图象的 交点有一个、二个、三个? 解:由例 1 画出函数 y2 的大致图象如图,观察图象,可得
y

当 t ? 2 或 t ? ?2 时,函数 y1 与 y2 只有一个交点。 当 t ? ?2 或 t ? 2 时,函数 y1 与 y2 有二个交点。 当 ?2 ? t ? 2 时,函数 y1 与 y2 有三个交点。

2 O
-1 -2

1

x

变式四、 a 为何值时,函数 f ( x) ? x ? 3x ? a 有一个零点?两个零点?三个零点?
3

解:令 f ? ? x ? ? 3x ? 3 ? 0 ? x1 ? 1, x2 ? ?1
2

x 、 f ? ? x ? 、 f ( x) 的变化情况如下表

2

x
f ? ? x?

? ??, ?1?

-1

(- 1,1) -

1

? ?1, ???



0

0



f ( x)

极大值

极小值

∴ f ( x) 的单调递增区间是 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ?
f ( x) 的单调递减区间是 ? ?1,1?

当 x ? ?1 时, f ? x ? 有极大值 f ? ?1? ? ? ?1? ? 3 ? ? ?1? ? a ? a ? 2
3

当 x ? 1 时, f ? x ? 有极小值 f ?1? ? 13 ? 3?1 ? a ? a ? 2

?a ? 2 ? 0 要使 f ( x) 有一个零点,需且只需 ? ,解得 a ? ?2 ?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 0 要使 f ( x) 有二个零点,需且只需 ? ,解得 a ? ?2 ?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 0 要使 f ( x) 有三个零点,需且只需 ? ,解得 ?2 ? a ? 2 a ? 2 ? 0 ?
变式五、已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3x, a ? 0 ,如果过点 A? a,2? 可作曲线 y ? f ? x? 的 三条切线,求 a 的取值范围 解:设切点为 ? x0 , y0 ? ,则 f ? ? x ? ? 3x2 ? 3 ∴切线方程 y ? y0 ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? ∵切线过点 A ? a,2?
2 3 ? 3? x ? 2 x0 即 y ? ? 3x0

2 3 ? 3? a ? 2 x0 ∴ 2 ? ? 3x0

3 2 即 2x0 ? 3ax0 ? 3a ? 2 ? 0 ???

∵过点 A? a,2? 可作 y ? f ? x ? 的三条切线
3

∴方程 ? ?? 有三个相异的实数根

3 2 2 设 g ? x0 ? ? 2x0 ? 3ax0 ? 3a ? 2 ,则 g? ? x0 ? ? 6x0 ? 6ax0 ? 6x0 ? x0 ? a ?

当 x0 变化时, g ? ? x0 ? 、 g ? x0 ? 的变化情况如下表

x0

? ??,0?


0 0 极大值 3a ? 2

? 0, a ?


a
0 极小值
?a3 ? 3a ? 2

? a, ???


g ? ? x0 ? g ? x0 ?

由单调性知:①若极大值 3a ? 2 ? 0 或极小值 ?a3 ? 3a ? 2 ? 0 ,方程 g ? x0 ? ? 0 只 有一个实数根;②若 3a ? 2 ? 0 或 ?a3 ? 3a ? 2 ? 0 ,方程 g ? x0 ? ? 0 只有两个相异 的 实 数 根 , 综 上 , 要 使 方 程 g ? x0 ? ? 0 有 三 个 相 异 的 实 根 , 须 且 只 须

2 ? ?3a ? 2 ? 0 ?a ? ? 所以, 所求的 a 的取值范围是 ? 2, ??? 。 ? ? 3 ? a ? 2, ? 3 ??a ? 3a ? 2 ? 0 ? ?a ? 2
变式六、已知函数 f ? x ? ? 解:∵ f ? ? x ? ? x2 ? 2x ? a ①若 a ? 1 ,则 ? ? 0 ∴ f ? ? x ? ? 0 在 R 上恒成立 ∵ f ? 0? ? ?a ? 0 ∴ f ? x ? 在 R 上单调递增
1 3 x ? x 2 ? ax ? a ? a ? R? ,若函数 f ? x ? 的图象与 x 轴 3 有且只有一个交点,求 a 的取值范围。

∴ ? ? 4 ? 4a ? 4 ?1 ? a ?

f ? 3? ? 2 a? 0

∴当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 的图象与 x 有且只有一个交点。 ②若 a ? 1 ,则 ? ? 0
? x1 ? x2 ? 2 ∴ f ? ? x ? ? 0 有两个不相等的实根, 不妨设为 x1 、 x2 且 x1 ? x2 , 则 ? ? x1 x2 ? a

当 x 变化时, f ? ? x ? 、 f ? x ? 的取值变化情况如下表
4

x
f ? ? x? f ? x?

? ??, x1 ?


x1
0 极大值

? x1 , x2 ?


x2
0 极小值

? x2 , ???


f ? x1 ?
∴ a ? ? x12 ? 2x1

f ? x2 ?

∵ x12 ? 2x1 ? a ? 0

1 1 ∴ f ? x1 ? ? x13 ? x12 ? ax1 ? a ? x13 ? x12 ? ax1 ? x12 ? 2 x1 3 3 1 1 ? x13 ? ? a ? 2 ? x1 ? x1 ? x12 ? 3 ? a ? 2 ? ? ? ? 3 3 1 2 x2 ? 3 ? a ? 2 ?? 同理 f ? x2 ? ? x2 ? ? ? 3 1 2 ? x12 ? 3 ? a ? 2 ? ? x2 ? 3 ? a ? 2 ?? ∴ f ? x1 ? f ? x2 ? ? x1 x2 ? ? ? ? ? 9 1 2 2 2 ? x1 x2 ?? x1 x2 ? ? 3 ? a ? 2 ? ? x12 ? x2 ? 9 ? a ? 2? ? ? ? ? 9 1 2 2 ? a a 2 ? 3 ? a ? 2 ? ?? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ? 9 ? a ? 2 ? ? ? 9

?

?

2 ? 4 4 ?? 3 3 ? 2 ? a ? a ? 3a ? 3? ? a ?? a ? ? ? ? 9 9 ? 2 ? 4? ?? ?

令 f ? x1 ?

f ? x2 ? ? 0 ,解得 a ? 0

当 0 ? a ? 1 时, f ? 0? ? ?a ? 0 , f ? 3? ? 2a ? 0 ∴当 0 ? a ? 1 时,函数 f ? x ? 的图象与 x 轴 有且只有一个交点 ∴ f ? x ? 的大致图象如图所示: 综上所述, a 的取值范围是 ? 0, ???
-a x2 x1 3 x y y=f(x)

5

综 合 练 习 题
1、 已知函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极大值 5,其导函数 y ? f ? ? x ? 的 图象经过点 ?1,0 ? , ? 2, 0 ? ;如图所示, 求:⑴ x0 的值; ⑵ a 、 b 、 c 的值。 (2006 北京) 解:⑴由数形结合可知 当 1 ? x ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 ; ∴ f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上递减 当 x ? 1或 x ? 2 , f ? ? x? ? 0 , ∴ f ? x ? 在 ? ??,1? 和 ? 2, ??? 上递增 ∴当 x ? x0 ? 1 时, f ? x ? 有极大值 ⑵解法一、 f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? c
O
1

y

2

x

? f ? ?1? ? 3a ? 2b ? c ? 0 ? 由已知,得 ? f ? ? 2 ? ? 12a ? 4b ? c ? 0 ? ? f ?1? ? a ? b ? c ? 5
?a ? 2 ? 解得 ?b ? ?9 ?c ? 12 ?

解法二、由数形结合可设

f ?? x ? 1?? ?? m ? x

x ?2 m x? 3 ? ? 2

m? x 2

m

又 f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? c

6

m ? ?a ? 3 ?m ? 3a ? 3 ? ? ∴ ??3m ? 2b ? ?b ? ? m 2 ? 2m ? c ? ? ?c ? 2 m ? ?

由 f ?1? ? 5 ? a ? b ? c ? 5 ∴
m 3 ? m ? 2m ? 5 3 2

? m?6
m 3m ? 2 ,b ? ? ? ?9, c ? 2m ? 12 3 2 1 1 2 、 若 函 数 f ? x ? ? x3 ? ax 2 ? ? a ? 1? x ? 1 在 区 域 ?1, 4? 内 为 减 函 数 , 在区 间 3 2

∴a ?

(2004 全国卷) ?6, ??? 上为增函数,试求实数 a 的取值范围。 解: f ? ? x ? ? x2 ? ax ? a ?1 令 f ? ? x ? ? 0 解得 x1 ? 1 , x2 ? a ?1 ①当 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 时, f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数,不合题意 ②当 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 时,函数 f ? x ? 在 ? ??,1? 上为增函数,在 ?1, a ? 1? 内为 减函数,在 ? a ?1, ??? 上为增函数,依题意应有: 当 x ? ?1, 4? 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? 6, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 所以 4 ? a ? 1 ? 6 ,解得 5 ? a ? 7 综上, a 的取值范围是 ?5,7? 3、已知函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值, ⑴讨论 f ?1? 和 f ? ?1? 是函数 f ? x ? 的极大值还是极小值; ⑵过点 A ? 0,16? 作曲线 y ? f ? x ? 的切线,求此切线方程。 (2004 天津)
7

解:⑴ f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? 3 ,依题意有

?3a ? 2b ? 3 ? 0 f ? ?1? ? f ? ? ? 1 ? ? 0即 ? ?3a ? 2b ? 3 ? 0 ?a ? 1 解得 ? ?b ? 0
∴ f ? x ? ? x3 ? 3x

∴ f ? ? x ? ? 3x2 ? 3 ? 3? x ?1?? x ?1? 令 f ? ? x ? ? 0 得 x1 ? ?1 , x2 ? 1 若 x ?? ??, ?1?

?1, ??? ,则 f ? ? x ? ? 0

∴ f ? x ? 的单调递增区间为 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ? 若 x ? ? ?1,1? ,则 f ? ? x ? ? 0 ∴ f ? x ? 的单调递减区间为 ? ?1,1? 所以, f ? ?1? ? 2 是极大值, f ?1? ? ?2 是极小值 ⑵曲线方程为 y ? x3 ? 3x ,点 A ? 0,16? 不在曲线上,
3 设切点为 M ? x0 , y0 ? ,则点 M 的坐标满足 y0 ? x0 ? 3x0
2 2 ? 1? ,故切线方程为 y ? y0 ? 3 ? x0 ? 1? ? x ? x0 ? 因 f ? ? x0 ? ? 3 ? x0

∵点 A 在切线上
3 2 ? 3 x0 ? ? 3 ? x0 ? 1? ? 0 ? x0 ? ∴ 16 ? ? x0

解得 x0 ? ?2 ∴切点为 ? ?2, ?2? ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 变式:若第⑵小题 A ? 0,16? 改为 ?1, ?2? ,其他不变。 提示:仿照上题中的解法,有
3 2 ?2 ? ? x0 ? 3 x0 ? ? 3 ? x0 ? 1? ?1 ? x0 ?

8

3 2 ? 2x0 ? 3x0 ?1 ? 0

? ? x0 ? 1? ? 2 x0 ? 1? ? 0
2

? x0 ? 1或 x0 ? ?

1 2

所求的切线方程为 y ? ?2 或 9 x ? 4 y ? 1 ? 0
2 3、已知函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? 与 x ? 1 时都取得极值。 3

⑴求 a 、 b 的值及函数 f ? x ? 的单调区间; ⑵若对 x ?? ?1, 2? ,不等式 f ? x ? ? c2 恒成立,求 c 的取值范围。 (2006 江西) 解:⑴ f ? ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? b ,依题意,得
? ? 2? 1 2 4 1 ? ?0 ? f ? ? ? ? ? ? a? b ?a ? ? 3 9 3 ,解得 ? ? 2 ? ? ? f ? ?1? ? 3? 2 ? a? b ? 0 ?b ? ? 2 ?

∴ f ? ? x ? ? 3x2 ? x ? 2 ? ?3x ? 2?? x ?1?

x 变化时, f ? ? x ? 、 f ? x ? 的变化情况如下表 x
f ? ? x? f ? x?
2? ? ? ??, ? ? 3? ?
? 2 3

? 2 ? ? ? ,1? ? 3 ?

1 0 极小值

?1, ???




0 极大值



2? ? ? 2 ? 所以 f ? x ? 的递增区间为 ? ??, ? ? 与 ?1, ?? ? ,递减区间为 ? ? ,1? 3? ? ? 3 ?

⑵ f ? x ? ? x3 ?

1 2 x ? 2 x ? c , x ?? ?1, 2? 2 2 22 ? c 为极大值,而 f ? 2? ? 2 ? c 当 x ? ? 时, f ? x ? ? 3 27

∴ f ? 2? ? 2 ? c 为最大值
9

要使 f ? x ? ? c2 , x ???1,2? 恒成立 只须 c2 ? f ? 2? ? 2 ? c 解得 c ? ?1 或 c ? 2 思考:若 x ?? ?1, 2? 变为 x ? ? ?1, 2? , c 的取值范围怎样? 4、已知函数 f ? x ? ? ax3 ? cx ? d ? a ? 0? 是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时, f ? x ? 取得 极值 ?2 ,⑴求 f ? x ? 的单调区间和极大值;⑵证明:对任意 x1 , x2 ?? ?1,1? , 不等式 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 恒成立。 ⑴解:由奇函数的定义,应有 f ? ?x ? ? ? f ? x ? , x ? R 即 ?ax3 ? cx ? d ? ?ax 2 ? cx ? d ∴d ? 0 注意:可用 f ? 0? ? 0 ? d ? 0 因此, f ? x ? ? ax3 ? cx 由条件 f ?1? ? ?2 为 f ? x ? 的极值,得
? ?3a ? c ? 0 ? f ? ?1? ? 0 即 ? ? ?a ? c ? ?2 ? ? f ?1? ? ?2 解得 a ? 1 , c ? ?3

∴ f ? x ? ? x3 ? 3x

2 f ?? x ?3 ? 3 1 ??3 x ? x ???

x? ?1

f ? ? ?1? ? f ? ? 1 ?? 0
当 x ? ? ??, ?1? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在单调区间 ? ??, ?1? 上为增函数 当 x ? ? ?1, ?1? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在单调区间 ? ?1,1? 上为减函数 当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在单调区间 ?1, ?? ? 上为增函数 所以 f ? x ? 在 x ? ?1 处取得极大值,极大值为 f ? ?1? ? 2
10

⑵证明:由⑴知, f ? x ? ? x3 ? 3x , x ???1,1? 是减函数 且 f ? x ? 在 ??1,1? 上的最大值为 M ? f ? ?1? ? 2

f ? x ? 在 ??1,1? 上的最小值为 N ? f ?1? ? ?2
所以对任意 x1, x2 ? ? ?1,1? 恒有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? M ? m ? 2 ? ? ?2 ? ? 4 5、已知 b ? ?1 , c ? 0 ,函数 f ? x ? ? x ? b 的图象与函数 g ? x ? ? x2 ? bx ? c 的图象 相切。⑴求 b 与 c 的关系式(用 c 表示 b ) ;⑵设函数 F ? x ? ? f ? x ? g ? x ? 在 (2004 湖北) ? ??, ??? 内有极值点,求 c 的取值范围。 解:⑴依题意,令 f ? ? x ? ? g? ? x ? ,得 2 x ? b ? 1 ? x ?
2 ? 1? b ? ? 1? b ? 由f? ? ? g? ? ,得 ? b ? 1? ? 4c ? 2 ? ? 2 ?

1? b 2

∵ b ? ?1, c ? 0

∴ b ? ?1 ? 2 c

⑵ F ? x ? ? f ? x ? g ? x ? ? x 3 ? 2bx 2 ? ? b 2 ? c ? x ? bc ∴ F ? ? x ? ? 3x2 ? 4bx ? b2 ? c 令 F ? ? x ? ? 0 即 3x2 ? 4bx ? b2 ? c ? 0 则△ ? 16b 2 ? 12 ? b 2 ? c ? ? 4 ? b 2 ? 3c ? ①若 ? ? 0 ,则 F ? ? x ? ? 0 有一实根上,且 x 变化时, F ? ? x ? 的变化如下

x
f ? ? x?

? ??, x0 ?


x0
0

? x0 , ???


于是 x ? x0 不是函数 F ? x ? 的极值点 ②若 ? ? 0 ,则 F ? ? x ? ? 0 有两个不等的实根 x1 , x2 ? x1 ? x2 ?
11

x 变化时, f ? ? x ? 的变化如下 x
f ? ? x?

? ??, x1 ?


x1
0

? x1 , x2 ?


x2
0

? x2 , ???


由此, x ? x1 是函数 F ? x ? 的极大值点, x ? x2 是函数 F ? x ? 的极小值点。 综上所述,当且仅当 ? ? 0 时,函数 F ? x ? 在 ? ??, ??? 上有极值点 由 ? ? 4 ? b 2 ? 3c ? ? 0 ,得

b ? ? 3c 或 b ? 3c
∵ b ? ?1 ? 2 c ∴ ?1 ? 2 c ? ? 3c 或 ?1 ? 2 c ? 3c 解得 0 ? c ? 7 ? 4 3 或 c ? 7 ? 4 3 故所求 c 的取值范围是 0, 7 ? 4 3

?

? ?7 ? 4

3, ??

?

12


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