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2013年绵阳二诊数学试题及答案


绵阳市高 2011 级第二次诊断性考试

数学(文)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. DBCCD AABAC 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ? 3 12.1 13.0.3

1 2 3 (3 , ? 2 3) 14. 或( 3 , 3 )
16.解: (Ⅰ) f(x)=a?b=2sin2x+2sinxcosx =

5 15. 7

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2?

1 ? cos 2 x 2 +sin2x
???????????? 3 分

?
= 2 sin(2x- 4 )+1,

? ? ? ? 3? 2 4 2 8 由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,得- +kπ≤x≤ 8 +kπ,k∈Z,
? 3? 8 ∴ f(x)的单调递增区间是[- +kπ, 8 +kπ]( k∈Z). ???????? 6 分 ? ? ? (II)由题意 g(x)= 2 sin[2(x+ 6 )- 4 ]+1= 2 sin(2x+ 12 )+1,???? 9 分

? 7? ? ? 5? 由 12 ≤x≤ 12 得 4 ≤2x+ 12 ≤ 4 ,
∴ 0≤g(x)≤ 2 +1,即 g(x)的最大值为 2 +1,g(x)的最小值为 0. ? 12 分 17.解: (I)设等比数列{an}的公比为 q,由题知 a1= 又∵ S1+a1,S2+a2,S3+a3 成等差数列, ∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3, 变形得 S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3,即得 3a2=a1+2a3, ∴ 3 1 1 q= +q2,解得 q=1 或 q= , 2 2 2 ????????????????4 分 1 , 2

1 又由{an}为递减数列,于是 q= , 2 ∴ an=a1 q
n ?1

=(

1 n ). 2

??????????????????????6 分 1 n ), 2

(Ⅱ)由于 bn=anlog2an=-n?(

1 1 2 1 n?1 1 n Tn ? ?[1? +2( ? ) +?+ ? n ? 1?( ? ) ? n( ? ) ] 2 2 2 2 ∴ ,

1 1 2 1 n 1 n?1 Tn ? ?[1( ? ) +?+ ? n ? 1?( ? ) ? n( ? ) ] 2 2 2 于是 2 ,
1 1 ? [1 ? ( ) n ] 2 ? n ?( 1 )n ?1 , =? 2 1 1 1 1 1 1 2 1? Tn ? ?[ +( )2 +?+( )n ? n ?( )n?1 ] 2 2 2 2 2 两式相减得: 2
整理得

Tn ?

n?2 ?2 2n .

?????????????????????12 分

18.解: (I)∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05,

120 ? x ∴ 3600 =0.05,解得 x=60. ??????????????????2 分
∴ 持“无所谓”态度的人数共有 3600-2100-120-600-60=720. ??? 4 分 360 ∴ 应在“无所谓”态度抽取 720× =72 人. ?????????? 6 分 3600 (Ⅱ)∵ y+z=720,y≥657,z≥55,故满足条件的(y,z)有: (657,63),(658,62),(659,61),(660,60),(661,59),(662,58),(663,57),(664, 56),(665,55)共 9 种. ??????????? 8 分 记本次调查“失效”为事件 A, 若调查失效,则 2100+120+y<3600×0.8,解得 y<660. ∴ 事件 A 包含:(657,63),(658,62),(659,61)共 3 种. 3 1 ∴ P(A)= = . ??????????????????????? 12 分 9 3 19. (I)证明:取 AB 中点 M,连 FM,GM. ∵ G 为对角线 AC 的中点, 1 ∴ GM∥AD,且 GM= AD, 2 1 又∵ FE∥ AD, 2 ∴ GM∥FE 且 GM=FE. ∴四边形 GMFE 为平行四边形,即 EG∥FM. 又∵ EG ? 平面 ABF, FM ? 平面 ABF, ∴ EG∥平面 ABF.??????????????????????? 4 分 (Ⅱ)解:作 EN⊥AD,垂足为 N, 由平面 ABCD⊥平面 AFED ,面 ABCD∩面 AFED=AD, 得 EN⊥平面 ABCD,即 EN 为三棱锥 E-ABG 的高. ∵ 在△AEF 中,AF=FE,∠AFE=60?, ∴ △AEF 是正三角形. ∴ ∠AEF=60?, 由 EF//AD 知∠EAD=60?, ∴ EN=AE?sin60?= 3 . ∴ 三棱锥 B-AEG 的体积为 B F E N G C

A M

D

1 1 1 2 3 VB ? AEG ? VE ? ABG ? S?ABG ? EN ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 3 2 3 .????????8 分
(Ⅲ)解:平面 BAE⊥平面 DCE.证明如下: ∵ 四边形 ABCD 为矩形,且平面 ABCD⊥平面 AFED, ∴ CD⊥平面 AFED, ∴ CD⊥AE. ∵ 四边形 AFED 为梯形,FE∥AD,且 ?AFE ? 60° , ∴ ?FAD=120° . 又在△AED 中,EA=2,AD=4, ?EAD ? 60° , 由余弦定理,得 ED= 2 3 . ∴ EA2+ED2=AD2, ∴ ED⊥AE. 又∵ ED∩CD=D, ∴ AE⊥平面 DCE, 又 AE ? 面 BAE, ∴ 平面 BAE⊥平面 DCE.
2 2 2

???????????????????12 分

20.解: (I)设圆 C:(x-a) +y =R (a>0),由题意知

? | 3a ? 7 | ? R, ? 2 2 ? 3 ?4 ? 2 ? a ? 3 ? R, 解得 a=1 或 a=13 , 8
又∵ S=πR2<13, ∴ a=1, ∴ 圆 C 的标准方程为:(x-1)2+y2=4.

??????????????? 3 分

?????????????? 6 分

(Ⅱ)当斜率不存在时,直线 l 为:x=0 不满足题意. 当斜率存在时,设直线 l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2), 又∵ l 与圆 C 相交于不同的两点,

? y ? kx ? 3, ? ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4, 联立 ? 消去 y 得:(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0, ???????9 分
∴Δ =(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0, 解得

k ?1?

2 6 2 6 k ?1? 3 或 3 .

6k ? 2 2k ? 6 2 2 x1+x2= 1 ? k ,y1+ y2=k(x1+x2)+6= 1 ? k , ???? 1 ??? ? ??? ? 1 ? OD ? (OA ? OB) ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ???? MC ? (1, ? 3) , 2 2 , ???? ???? ? 假设 OD ∥ MC ,则 ?3( x1 ? x2 ) ? y1 ? y2 , ?


3?

6k ? 2 2 k ? 6 ? 1? k2 1? k2 ,

3 2 6 2 6 k ? ? (??, 1? ) ? (1 ? , ? ?) 4 3 3 解得 ,假设不成立.
∴ 不存在这样的直线 l.
2

????????????????????13 分

21.解: (I)由题知 f(x)=2ax +(a+4)x+lnx 的定义域为(0,+∞), 且

f ?( x) ?

4ax 2 ? (a ? 4) x ? 1 x .

1 又∵ f(x)的图象在 x= 处的切线与直线 4x+y=0 平行, 4

1 f ?( ) ? ?4 4 ∴ ,
解得 a=-6.?????????????????????????? 4 分 (Ⅱ)

f ?( x) ?

4ax 2 ? (a ? 4) x ? 1 (4 x ? 1)(ax ? 1) ? x x ,

4x ? 1 由 x>0,知 x >0.
? ①当 a≥0 时,对任意 x>0, f ( x) >0,
∴ 此时函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞).

? ②当 a<0 时,令 f ( x) =0,解得


x??

1 a,

0? x??

1 1 x?? ? f ( x ) a 时, a 时, f ?( x) <0, >0,当 ?

1 1 ? a 此时,函数 f(x)的单调递增区间为(0, ),单调递减区间为( a ,+∞).
???????????????????????? 9分 (Ⅲ)不妨设 A(

x1

,0),B(

x2

,0),且 0 ? x1 ? x2 ,由(Ⅱ)知 a ? 0 ,

? 于是要证 f ( x) <0 成立,只需证:


x0 ? ?


1 x1 ? x2 1 ?? a即 2 a.


f ( x1 ) ? 2ax12 ? ? a ? 4 ? x1 ? ln x1 ? 0
2

f ( x2 ) ? 2ax2 ? ? a ? 4 ? x2 ? ln x2 ? 0
2 1

, ②

2 ①-②得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2ax ? (a ? 4) x1 ? ln x1 ? 2ax2 ? (a ? 4) x2 ? ln x2 ? 0 , 2 2 即 a(2 x1 ? 2 x2 ? x1 ? x2 ) ? 4( x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? 0 ,

?


2 x12 ? x1 ? 2 x2 2 ? x2 1 ? a 4 x1 ? ln x1 ? 4 x2 ? ln x2 ,

x1 ? x2 2 x12 ? x1 ? 2 x2 2 ? x2 ? 2 4 x1 ? ln x1 ? 4 x2 ? ln x2 , 故只需证

即证明

( x1 ? x2 )[4 ? x1 ? x2 ? ? ? ln x1 ? ln x2 ?] ? 4 x12 ? 2 x1 ? 4 x2 2 ? 2 x2



ln x1 ? ln x2 ?
即证明

2 x1 ? 2 x2 x1 ? x2 ,变形为

ln

x1 ? x2

2?

x1 ?2 x2 x1 ?1 x2 ,

t?


x1 2t ? 2 g (t ) ? ln t ? x2 (0 ? t ? 1) ,令 t ?1 ,

(t ? 1) 2 1 4 ? g ?(t ) ? ? t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2 , 则
? ? 显然当 t>0 时, g (t ) ≥0,当且仅当 t=1 时, g (t ) =0,
∴ g(t)在(0,+∞)上是增函数. 又∵ g(1)=0, ∴ 当 t∈(0,1)时,g(t)<0 总成立,命题得证.???????????14 分

绵阳市高 2011 级第二次诊断性考试

数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. BDCDA AACCB 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ? 3

12.1

13.4

5 14. 7

15.②③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ)f(x)=a?b=2sin2x+2sinxcosx =

2?

1 ? cos 2 x 2 +sin2x
???????????? 3 分

?
= 2 sin(2x- 4 )+1,

? ? ? ? 3? 由- 2 +2kπ≤2x- 4 ≤ 2 +2kπ,k∈Z,得- 8 +kπ≤x≤ 8 +kπ,k∈Z,
? 3? ∴ f(x)的递增区间是[- 8 +kπ, 8 +kπ]( k∈Z). ?????????? 6 分

? ? ? (II)由题意 g(x)= 2 sin[2(x+ 6 )- 4 ]+1= 2 sin(2x+ 12 )+1,???? 9 分

? 7? ? ? 5? 由 12 ≤x≤ 12 得 4 ≤2x+ 12 ≤ 4 ,
∴ 0≤g(x)≤ 2 +1,即 g(x)的最大值为 2 +1,g(x)的最小值为 0. ? 12 分 1 17.解: (I)设等比数列{an}的公比为 q,由题知 a1= , 2 又∵ S1+a1,S2+a2,S3+a3 成等差数列, ∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3, 变形得 S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3,即得 3a2=a1+2a3, 3 1 1 ∴ q= +q2,解得 q=1 或 q= , ????????????????4 分 2 2 2 1 又由{an}为递减数列,于是 q= , 2 ∴ an=a1 q
n ?1

=(

1 n ). 2

????????????????????6 分 1 n ), 2

(Ⅱ)由于 bn=anlog2an=-n?(

1 1 2 1 n?1 1 n Tn ? ?[1? +2( ? ) +?+ ? n ? 1?( ? ) ? n( ? ) ] 2 2 2 2 ∴ ,

1 1 2 1 n 1 n?1 Tn ? ?[1( ? ) +?+ ? n ? 1?( ? ) ? n( ? ) ] 2 2 2 于是 2 ,

1 1 ? [1 ? ( ) n ] 2 ? n ?( 1 )n ?1 , =? 2 1 1 1 1 1 1 2 1? Tn ? ?[ +( )2 +?+( )n ? n ?( )n?1 ] 2 2 2 2 2 两式相减得: 2

1 Tn ? ? n ? 2? ? ( )n ? 2 2 ∴ . Tn ? 2 1 n 1 ?( ) 16 n ? 2 2 ∴ ≥ ,解得 n≤4,
∴ n 的最大值为 4. ??????????????????????12 分 18.解: (I)∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05,

120 ? x ∴ 3600 =0.05,解得 x=60. ??????????????????2 分
∴ 持“无所谓”态度的人数共有 3600-2100-120-600-60=720. ??? 4 分 360 ∴ 应在“无所谓”态度抽取 720× =72 人. ?????????? 6 分 3600 (Ⅱ)由(I)知持“应该保留”态度的一共有 180 人,

120 60 ?6 ?6 ∴ 在所抽取的 6 人中,在校学生为 180 =4 人,社会人士为 180 =2 人,
于是第一组在校学生人数 ξ=1,2,3,
1 4 2 2 2 4 1 2

?????????????? 8 分

3 0 CC C C C4 C2 1 1 3 ? ? ? 3 3 3 C 5 C 5 C 5, 6 6 6 P(ξ=1)= ,P(ξ=2)= ,P(ξ=3)=

即 ξ 的分布列为: ξ P 1 2 3

1 5

3 5

1 5 ??????? 10 分

1 3 1 ∴ Eξ=1× 5 +2× 5 +3× 5 =2. ????????????????? 12 分
19. (I)证明:如图,作 FG∥EA,AG∥EF, 连结 EG 交 AF 于 H,连结 BH,BG, ∵ EF∥CD 且 EF=CD, ∴ AG∥CD, 即点 G 在平面 ABCD 内. 由 AE⊥平面 ABCD 知 AE⊥AG, ∴ 四边形 AEFG 为正方形, CDAG 为 平 行 四 边 x G F H H H A D y z E

B

C

形, ???????????????????? 2 分 ∴ H 为 EG 的中点,B 为 CG 中点, ∴ BH∥CE, ∴ CE∥面 ABF.???????????????????????? 4 分 (Ⅱ)证明:∵ 在平行四边形 CDAG 中,∠ADC=90?,

∴ BG⊥AG. 又由 AE⊥平面 ABCD 知 AE⊥BG, ∴ BG⊥面 AEFG, ∴ BG⊥AF.?????????????????????????? 6 分 又∵ AF⊥EG, ∴ AF⊥平面 BGE, ∴ AF⊥BE.?????????????????????????? 8 分 (Ⅲ)解:如图,以 A 为原点,AG 为 x 轴,AE 为 y 轴,AD 为 z 轴建立空间直角坐标 系 A-xyz. 则 A(0,0,0),G(1,0,0),E(0,0,1),D(0,2,0),设 M(1,y0,0), ??? ? ???? ? ED ? (0 , 2 , ? 1) DM ? (1,y0 ? 2,0) , ∴ ,

z) , 设面 EMD 的一个法向量 n ? ( x,y, ??? ? ? n ? ED ? 2 y ? z ? 0, ? ? ? ???? n ? DM ? x ? ( y0 ? 2) y ? 0, ? ? 则 令 y=1,得 z ? 2,x ? 2 ? y0 ,
1 2) .?????????????????????? 10 分 ∴ n ? (2 ? y0,, ??? ? 又∵ AE ? 面 AMD , ??? ? AE ? (0, 0, 1) 为面 AMD 的法向量, ∴
??? ? | cos <n,AE >| ?


|2| 1 ? (2 ? y0 ) ? 1 ? 4
2

? cos

?
6

?

3 2



解得

y0 ? 2 ?

3 3 ,
2 ? (2 ?
3 3 ) 3 |= 3 .?????????12 分

故在 BC 上存在点 M,且|CM|=|

y2 x2 ? 2 ?1 2 b 20.解: (I)设椭圆的标准方程为 a (a>b>0),焦距为 2c,
则由题意得 c= 3 ,

2a ?

3 3 ? (1 ? 3)2 ? ? (1 ? 3)2 ? 4 4 4 ,

2 2 2 ∴ a=2, b ? a ? c =1,

y2 ? x2 ? 1 ∴ 椭圆 C 的标准方程为 4 .
∴ 右顶点 F 的坐标为(1,0).

??????????????? 4 分

2 设抛物线 E 的标准方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,

p ? 1, 2p ? 4 ∴ 2 ,
2 ∴ 抛物线 E 的标准方程为 y ? 4 x . ???????????????? 6 分

1 y ? ? ( x ? 1) k (Ⅱ)设 l1 的方程: y ? k ( x ? 1) ,l2 的方程 ,
A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , G( x3,y3 ) , H ( x4,y4 ) ,
? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 2 y ? 4 x, 由? 消去 y 得: k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 ,

4 2 ∴ x1+x2=2+ k ,x1x2=1.
1 ? ? y ? ? ( x ? 1), k ? 2 ? y ? 4 x, 由? 消去 y 得:x2-(4k2+2)x+1=0,
∴ x3+x4=4k2+2,x3x4=1,????????????????????9 分 ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? AG ? HB ? ( AF ? FG ) ? ( HF ? FB ) ∴ = AF ? HF ? AF ? FB ? FG ? HF ? FG ? FB =| AF |· | FB |+| FG |· | HF | =|x1+1|· |x2+1|+|x3+1|· |x4+1| =(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1)

4 ? 4k 2 2 k =8+
2
≥8+ =16.

4 ? 4k 2 k2

4 ? 4k 2 2 当且仅当 k 即 k=± 1 时, AG ? HB 有最小值 16.????????13 分
? ?) 时, 21.解: (I)∵ x ?[0,

f ( x) ? e x (1 ?

a 2 x ) 2 ,

a f ?( x) ? e x (? x 2 ? ax ? 1) 2 ∴ .
? ? ?) 上恒成立, 由题意, f ( x) ≥0 在 [0,
x ? 当 a=0 时, f ( x) ? e >0 恒成立,即满足条件.

? 当 a≠0 时,要使 f ( x) ≥0,而 ex>0 恒成立,

a ? x2 ? ax ? 1 ? ?) 上恒成立,即 故只需 2 ≥0 在 [0,
? a ? ? 0, ? ? 2 ? ?? a ? 0 2 ? a ? 0 ? 1 ? 0, ? ? 2 解得 a<0.
综上,a 的取值范围为 a≤0.?????????????????? 4 分

a 2 x xe (Ⅱ)由题知 f(x)≤x+1 即为 e - 2 ≤x+1.
x

a 2 x xe ①在 x≥0 时,要证明 e - 2 ≤x+1 成立,
x

a 2 x ?1 a 2 x x e ? x ?1 x ? x e , 只需证 e ≤ 2 ,即证 1≤ 2
x



1 ? e x ? ( x ? 1)e x x a 2 x ?1 ? g ( x ) ? ax ? ? ax ? x g ( x) ? x ? x x 2 (e ) e , 2 e ,得 令
整理得

g ?( x) ? x(a ?

1 ) ex ,

1 x ? ∵ x≥0 时, e ≤1,结合 a≥1,得 g ( x) ≥0, ? ?) 上是增函数,故 g(x)≥g(0)=1,从而①式得证. ∴ g ( x) 为在 [0,
a 2 x xe ②在 x≤0 时,要使 e - 2 ≤x+1 成立,
x

a 2 ?x a 2 ?2 x x e ? x ?1 x e ? ( x ? 1)e? x x e 只需证 ≤ 2 ,即证 1≤ 2 ,




m( x) ?

ax 2 ?2 x e ? ( x ? 1)e? x ?2 x x ? 2 ,得 m ( x) ? ? xe [e ? a( x ? 1)] ,

x 而 ? ( x) ? e ? a( x ? 1) 在 x≤0 时为增函数,

? 故 ? ( x) ≤ ? (0) ? 1 ? a ≤0,从而 m ( x) ≤0,
∴ m(x)在 x≤0 时为减函数,则 m(x)≥m(0)=1,从而②式得证.

a 2 x xe 综上所述,原不等式 e - 2 ≤x+1 即 f(x)≤x+1 在 a≥1 时恒成立.?10 分
x

(Ⅲ)要使 f(x0)>x0+1 成立,即

e x0 ?

a 2 x0 x0 e ? x0 ? 1 2 ,

2 ax0 x ?1 ? 0 x0 ? 1 ? 0 e 变形为 2 , ③

要 找 一 个 x0>0 使 ③ 式 成 立 , 只 需 找 到 函 数

t ( x) ?

ax 2 x ? 1 ? x ?1 2 e 的最小值,满足

t ( x)min ? 0 即可.


t ?( x) ? x(a ?

1 ) ex ,
1 a ,则 x=-lna,取 x0=-lna,

? 令 t ( x) ? 0 得

ex ?

? ? 在 0< x <-lna 时, t ( x) ? 0 ,在 x >-lna 时, t ( x) ? 0 ,
即 t(x)在(0,-lna)上是减函数,在(-lna,+∞)上是增函数,

a t ( x0 ) ? (ln a)2 ? a(? ln a ? 1) ? 1 2 ∴ 当 x=-lna 时, t ( x ) 取得最小值 a (ln a)2 ? a ln a ? a ? 1 ? 0 2 下面只需证明: 在 0 ? a ? 1 时成立即可. a p(a) ? (ln a)2 ? a ln a ? a ? 1 2 又令 , 1 p?(a) ? (ln a)2 2 则 ≥0,从而 p (a ) 在(0,1)上是增函数, a (ln a)2 ? a ln a ? a ? 1 ? 0 p ( a ) ? p (1) ? 0 则 ,从而 2 ,得证.
于是 t ( x ) 的最小值 t (? ln a) ? 0 , 因此可找到一个常数 x0 ? ? ln a(0 ? a ? 1) ,使得③式成立.??????14 分


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