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滕州二中-高二理-等差数列的前n项和(一)(12)


2.3 等差数列的前 n 项和(1)
一、教学目标
重点: 探索并掌握等差数列前 n 项和公式,学会用公式解决一些实际问题,体会等差数列的前 n 项和与二 次函数之间的联系.. 难点:等差数列前 n 项和公式推导的思路的获得. 知识点:了解等差数列前 n 项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前 n 项和公式推导的过程, 记忆公式的两种形式,会用等差数列前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题. 能力点:通过通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律, 初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法;通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵 活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.在解决实际问题的过程中,体会如何去分析问题, 解决问题,激发学习数学的兴趣,培养提高综合能力. 教育点:通过公式的推导过程,展现数学中的对称美,通过生动具体的现实问题,令人着迷的数学史,激 发学生探究的兴趣,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数 学的情感. 自主探究点:如何高斯算法证明等差数列前 n 项和公式. 考试点:用等差数列前 n 项和公式公式解决简单的数学问题. 易错易混点:等差数列前 n 项和公式的 3 种形式. 拓展点:如何利用等差数列前 n 项和公式的第 3 种形式证明原数列为等差数列.

二、引入新课
教师展示印度泰姬陵的优美图片 问题 1:印度泰姬陵是世界七大建筑奇迹之一,所在地阿格拉市,泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作, 这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格,是印度伊斯兰教文化的象征 陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案,以相同大小的圆宝石 镶饰而成,共有 100 层(如下图),奢华之程度,可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗?

生:只要计算出 1+2+3+…+100 的结果就是这些宝石的总数. 师: 对,问题转化为求这 100 个数的和.怎样求这 100 个数的和呢?这里还有一段故事. 教师展示数学家高斯的图片 问题 2:高斯是伟大的数学家、天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说:“现在给大家 出道题目: 过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说:
[来源:Z_xx_k.Com]

教师问:“你是如何算出答案的? 高斯回答说:因为 1+100=101;2+99=101;…;50+51=101,所以 101× 50=5 050. 师:这个故事告诉我们什么信息?高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢? 生:高斯用的是首尾配对相加的方法 .也就是: 1+100=2+99=3+98=…=50+51=101 ,有 50 个 101 ,所以 师: 对,高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为 50 组,第一个数与最后一个数一组,第二

个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于 101,50 个 101 就等于 5 050 了 高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果 作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性 的东西 师:数列 1,2,3,…,100 是什么数列?而求这一百个数的和 1+2+3+…+100 相当于什么? 生:这个数列是等差数列,1+2+3+…+100 这个式子实质上是求这数列的前 100 项的和. 师: 对,这节课我们就来研究等差数列的前 n 项的和的问题 [设计意图]:赋予了课堂人文历史的气息,缩短了数学与现实之间的距离,图中算数,激发学习兴趣.

三、探究新知

我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中,在图中我们取下第 1 层到第 21 层,得 到右图,则图中第 1 层到第 21 层一共有多少颗宝石呢 生 :这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题,高斯的方法不能用了 .要是偶数项的数求和就好首尾配 成对了 师 :高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和,适用于偶数个项,我们是否有简单的方 法来解决这个问题呢 方法一:将这个全等三角形倒置,与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为 22 个,共 21 行.则三角形中的宝石个数就是

(1 ? 21) ? 21 2

方法二:将几何法写成式子就是:

1 ? 2 ? 3 ? ? ? 21 ? 21? 20 ? 19 ? ? ? 1 ? 22 ? 22 ? 22 ? 22 ? ?? ?? ?? ?? ?
21个

(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序 这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法 思考:计算 1 ? 2 ? 3 ?

? (n ? 1) ? n 的值.

问题 3:现在将求和问题一般化:如何求等差数列{an}的前 n 项的和 Sn 方法一:因为 sn ? a1 ?a 2 ?a3 ? ? ? an ,

sn ? an ?a n?1?an?2 ? ? ? a1
再将两式相加,利用等差数列的通项的性质:若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq, 所以 S n ?

n(a1 ? a n ) .(Ⅰ 2

方法二:结合等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d 则 sn ?? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ? ? ?a1 ? (n ?1)d ?

所以 sn ? na1 ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1)?d ? na1 ? 即 sn ? na1 ?

n(n ? 1) d 2

n( n ? 1) d (Ⅱ 2

[设计意图]:以字母代替数字,从特殊到一般引导学生自己从多角度去探究等差数列求和公式,通过老师 提出问题驱动学生解决问题,学生自己思考,自己解决促进学生求异思维的发展,促进学生思维的飞跃, 进一步领会“倒序相加”的思想.

四、理解新知
[教师精讲] 师 :两位同学的推导过程都很精彩,一位同学是用“倒序相加法”,后一位同学用的是基本量来转化为用我 们前面求得的结论,并且我们得到了等差数列前 n 项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都 称为等差数列的前 n 项和公式.其中公式(Ⅰ )是基本的,我们可以发现,它可与梯形面积公式(上底+下底)× 高÷ 2 相类比,这里的上底是等差数列的首项 a1,下底是第 n 项 an,高是项数 n,有利于我们的记忆. 师 : 如果已知等差数列的首项 a1,项数为 n,第 n 项为 an,则求这数列的前 n 项和用公式(Ⅰ )来进行,若 已知首项 a1,项数为 n,公差 d,则求这数列的前 n 项和用公式(Ⅱ )来进行. [方法引导] 引导学生总结:这些公式中出现了几个量? 生 :每个公式中都是 5 个量. 师 :如果我们用方程思想去看这两个求和公式,你会有何种想法 生 :已知其中的三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二). 师 : 当公差 d≠0 时,等差数列{an}的前 n 项和 Sn 可表示为 n 的不含常数项的二次函数,且这二次函数的 二次项系数的 2 倍 就是公差. [设计意图]:通过探究公式,让学生进一步的理解与熟悉等差数列大的求和公式,为灵活应用公式做准备. 五、运用新知 例1:根据下列条件,求相应的等差数列 ?an ? 的前n项和 sn

(1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10;
(2)a1 ? 100, d ? ?2, n ? 50;

(3)a1 ? 14.5, d ? 0.7, an ? 32;
解: (1)由 S n ?

n(a1 ? an ) 10 ? (5 ? 95) ? 500 得, s10 ? 2 2 n( n ? 1) 50 ? (50 ? 1) d 可得, s 50 ? 50 ?100 ? ? (?2) ? 2550 2 2

(2)由 sn ? na1 ?

(3)由 an ? a1 ? (n ?1)d 先求 n ?

32 ? 14 .5 ? 1 ? 26 0. 7

?s 26 ?

26 ? (14.5 ? 32) ? 604 .5 2

[设计意图]:让学生熟练掌握等差数列求和公式的两种形式,以便根据题目所给条件灵活选用而求解. 练习 1.等差数列-10,-6,-2,2,?前多少项的和是 54 ?

2.在等差数列

?an ? 中,已知 a6 ? a15 ? 10 ,求 S 20 .

解:(1)本例题已知公差为 4,首相为-10,前 n 项和为 54,欲求项数 n,于是变用公式 2。

54=-10n ?

又因为项数不能为负数,所以-3 舍去,一共有 9 项 (2)解法 1: 即

n(n ? 1)4 解得:n ? ?3 或 n=9 2

? a6 ? a15 ? 10 , ? a1 ? 5d ? a1 ? 14d ? 10 ,

2a1 ? 19d ? 10 .
20?a1 ? a20 ? 20?a1 ? (a1 ? 19 d )? 20?2a1 ? 19d ? ? ? ? 10? 10 ? 100 2 2 2 .
20 ? 19 d ? 10(2a1 ? 19 d ) ? 10 ? 10 ? 100 2 .

? S 20 ?

解法 2:

S 20 ? 20 a1 ?

解法 3:

S 20 ?

20(a1 ? a 20 ) 20?a 6 ? a15 ? 20 ? 10 ? ? 100 ? 2 2 2 .

[设计意图]:引导学生学以致用,直接运用公式加深对公式的认识和理解,主要通过方程的思想进行基本量 的运算,注意理解格式的规范性. 例 2、2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》 ,某市据此提出 了实施“校校通”工程的总目标:从 2001 年起用 10 年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据 测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资 金都比上一年增加 50 万元。那么,从 2001 年起的未来 10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多 少? 分析:请同学仔细阅读题目,从中提取出有用的信息,构建等差数列模型,然后让学生写出这个等差 数列的首项和公差,并根据首项和公差自己选择恰当的求和公式进行求解. 故,该市在未来 10 年内的总投入为: 解: 由题意, 该市在 “校校通” 工程中每年投入的资金构成等差数列 ?an ?, 且 a1 ? 5 0 0 , d? 5 0 , n1 ? 0 .

sn ? 10 2 ? 500 ?

[设计意图]:培养学生从实际情境中发现等差数列模型,并用相关知识解决问题. 练习:习题 2.3A 组第 3 题

10 ? (10 ? 1) ? 50 ? 7250 (万元 ) 2

六、课堂小结
学生分组讨论总结,反思本节教学内容及思想方法,小组之间互相补充完成. 1.知识层面:

(1)两个公式

Sn ?

n(a1 ? an ) 2
n( n ? 1) d 2

①;

S n ? na1 ?

②.

S ? na1 , 注意:当 d ? 0 时, n
(2)推导公式的倒序相加法. 2.思想层面: ① 通过等差数列的前 n 项和公式的推导我们了解到我们解决问题常用的从特殊到一般的研究方法. ② “知三求二”的方程思想,即已知其中的三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变量.

七、布置作业
1.阅读教材 P42—45; [设计意图] 是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.在牢固抓住基础的前提下,让学有余 力的同学得到更长远的发展. 2. 书面作业 必做题:P45 练习1,2,3. P46 习题2.3 A组 2,6; 选做题:1.P47 B组 4. 2.在等差数列 ?an ?中, (1)若 a1 ? a2 ? p, a3 ? a4 ? q, 求其前6项的和 s 6 ; (2)若 a2 ? a4 ? p, a3 ? a5 ? q, 求其前6项的和 s 6 . [设计意图]必做题是让学生巩固所学的知识,熟练公式的应用。根据我校的特点,为了促进数学成绩优秀 学生的发展,培养他们分析问题解决问题的能力,我们设计了选做题,达到分层教学的目的.

八、教后反思
1、亮点在于合理地对教材进行了个性化处理,挖掘了教材中可探究的因素,促使学生探究、推导。 例如:等差数列前 n 项和的公式一,是通过具体的例子,引到一般的情况,激励学生进行猜想,再进行论 证得出;而第二个公式并不象书本上那样直接给出,而是让学生从习题中进行归纳总结得到的.这样处理 教材,使学生的思维得到了很大的锻炼. 2、本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法,通过具体问题的引入,使学生体会数学源于生活, 创设情境,重在启发引导,使学生由浅到深,由易到难分层次对本节课内容进行掌握。学生在学习的过程 中体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力. 3、在教学中,鼓励学生借助几何直观进行思考,揭示研究对象的性质和关系,渗透了数形结合的数 学思想.

九、板书设计
等差数列的前 n 项和(一) 1.公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1)d ? na1 ? 2 2

3.例 1 4.例 2

2.推导过程


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