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第六章 第三节 一元二次不等式及其解法


?x2-1<0 ? 1.不等式组? 2 ?x -3x<0 ?

的解集为 B.{x|0<x<3} D.{x|-1<x<3}

(

)

A.{x|-1<x<1} C.{x|0<x<1}

解析:由 x2-1<0,得-1<x<1; 由 x2-3x<0,得 0<x<3.
?x2-1<0 ? ∴不等式组? 2 ?x -3x<0 ?

的解集为{x|0<x<1}.

答案:C

1 2.设二次不等式 ax +bx+1>0 的解集为{x|-1<x< },则 a· 的 b 3
2

值为 A.-6 C.6 B.-5 D.5

(

)

1 解析:因 x=-1, 是方程 ax2+bx+1=0 的两根, 3 b 1 b 2 1 1 ∴-a=-1+ ,∴a= ,又-1× =a, 3 3 3 ∴a=-3,b=-2,∴a· b=6.

答案:C

3.若a<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解是

(
A.x>5a或x<-a C.5a<x<-a ∴(x-5a)(x+a)>0, 又∵a<0. ∴x>-a或x<5a. B.x>-a或x<5a D.-a<x<5a

)

解析:∵x2-4ax-5a2>0,

答案:B

x-2 4.不等式 ≤0 的解集是________. x+1 x-2 解析: ≤0?(x-2)(x+1)<0 或 x-2=0 x+1 由(x-2)(x+1)<0 得-1<x<2 由 x-2=0 得 x=2 x-2 ∴不等式 ≤0 的解集是(-1,2]. x+1

答案:(-1,2]

5.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取
值范围是________.
解析:设 f(x)=x2+mx+4,
?f?1?≤0, ? 由题意得? ?f?2?≤0, ? ?5+m≤0, ? 即? ?8+2m≤0. ?

∴m≤-5.

答案:m≤-5

一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方

程的关系如下表
Δ>0 Δ=0 Δ<0

判别式Δ=b2-

二次函数y=ax2
+bx+c(a>0) 的图象

判别式 Δ=b2- 4ac 一元二次方程 ax +bx+c=0 (a>0)的根
2

Δ>0

Δ=0

Δ<0

有两相异实根

有两相等实根

没有实 数根

b x1,x2(x1<x2) x1=x2=- 2a

判别式 Δ=b -4ac ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a >0)的解集

2

Δ>0

Δ=0

Δ<0

{x|x<x1或x>x2} {x|x≠- b } R 2a {x|x1<x<x2}

?

?

考点一

一元二次不等式的解法 解下列不等式.

(1)19x-3x2≥6, (2)0<x2-x-2≤4.

[自主解答] (1)法一:原不等式可化为 3x2-19x+6≤0, 1 方程 3x2-19x+6=0 的解为 x1= ,x2=6. 3 1 函数 y=3x -19x+6 的图象开口向上且与 x 轴有两个交点( ,0)和 3
2

(6,0). 1 所以原不等式的解集为{x| ≤x≤6}. 3

法二:原不等式可化为 3x2-19x+6≤0 1 ?(3x-1)(x-6)≤0?(x- )(x-6)≤0. 3 1 ∴原不等式的解集为{x| ≤x≤6}. 3

?x2-x-2>0 ? (2)原不等式等价于? 2 ?x -x-2≤4 ? ??x-2??x+1?>0 ? ?? ??x-3??x+2?≤0 ?

?x2-x-2>0 ? ?? 2 ?x -x-6≤0 ?

?x>2,或x<-1, ? ?? ?-2≤x≤3. ?

如图所示,原不等式的解集为 {x|-2≤x<-1 或 2<x≤3}.

解下列不等式:
(1)-x2+2x->0; (2)9x2-6x+1≥0.

解:(1)两边都乘-3,得 3x2-6x+2<0, ∵3x2-6x+2=0 的解是 3 3 x1=1- ,x2=1+ , 3 3 3 3 ∴原不等式的解集为{x|1- <x<1+ }. 3 3

(2)法一:不等式 9x2-6x+1≥0 相应的方程为 9x2-6x+1=0, Δ=(-6)2-4×9=0, 1 ∴该方程有两个相等实根 x1=x2= , 3 结合二次函数 y=9x2-6x+1 的图象知原不等式的解集为 R. 法二:9x2-6x+1≥0?(3x-1)2≥0, ∴x∈R,∴不等式的解集为 R.

考点二

解含参数的一元二次不等式

解关于x的不等式ax2+(a-1)x-1>0(a∈R).

[自主解答] 原不等式等价于(ax-1)(x+1)>0. ①当 a=0 时,由-(x+1)>0,得 x<-1; 1 ②当 a>0 时,不等式化为(x-a)(x+1)>0, 1 解得 x<-1 或 x>a; 1 ③当 a<0 时,不等式化为(x-a)(x+1)<0; 1 1 若a<-1,即-1<a<0,则a<x<-1;

1 若a=-1,即 a=-1,则不等式解集为空集; 1 1 若a>-1,即 a<-1,则-1<x<a. 1 综上所述,a<-1 时,解集为{x|-1<x<a}; a=-1 时,原不等式无解; 1 -1<a<0 时,解集为{x|a<x<-1}; a=0 时,解集为{x|x<-1}; 1 a>0 时,解集为{x|x<-1 或 x>a}.

解:∵关于 x 的不等式 ax2+(a-1)x-1>0 的解集为 1 {x|x> 或 x<-1}. 2 ?a>0 ? 1 ?1· ?-1?=-a ∴?2 ?1 a-1 ? +?-1?=- a ?2

若上述不等式的解集为 1 {x|x> 或x<-1}, 2 求实数a的值.

,解之得 a=2.

解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R).

解:若 a=0,则原不等式等价于-x+1<0?x>1;若 a<0,则 1 1 原不等式等价于(x-a)(x-1)>0?x<a,或 x>1; 1 若 a>0,则原不等式等价于(x-a)(x-1)<0.(*) 1 ①当 a=1 时,a=1,所以不等式(*)解集为?; 1 1 ②当 a>1 时,a<1,所以(*)?a<x<1;

1 1 ③当 0<a<1 时,a>1,所以(*)?1<x<a. 1 综上所述:当 a<0 时,解集为{x|x<a,或 x>1}; 当 a=0 时,解集为{x|x>1}; 1 当 0<a<1 时,解集为{x|1<x<a}; 当 a=1 时,解集为?; 1 当 a>1 时,解集为{x|a<x<1}.

考点三

一元二次不等式的实际应用

某种商品,现在定价 p 元,每月卖出 n 件,设定价上涨 x 成,每月卖出数量减少 y 成,每月售货总金额变成现在的 z 倍. (1)用 x 和 y 表示 z; (2)设 y=kx(0<k<1),利用 k 表示当每月售货总金额最大时 x 的值; 2 (3)若 y= x,求使每月售货总金额有所增加的 x 值的范围. 3

x [自主解答] (1)按现在的定价上涨 x 成时,上涨后的定价为 p(1+ ) 10 y 元,每月卖出数量为 n(1- )件,每月售货总金额是 npz 元, 10 x y 因而 npz=p(1+ )· n(1- ), 10 10 ?10+x??10-y? 所以 z= . 100

(2)在 y=kx 的条件下, 25?1-k? 5?1-k? 2 1 z= · {100+ -k· [x- k ] }, k 100 5?1-k? 由于 0<k<1,所以 k >0, 5?1-k? 所以使 z 值最大的 x 值是 x= k .
2

2 ?10+x??10- x? 3 2 (3)当 y= x 时,z= , 3 100 要使每月售货总金额有所增加,即 z>1, 2 应有(10+x)· (10- x)>100,即 x(x-5)<0, 3 所以 0<x<5,所以所求 x 的范围是(0,5).

国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨,按
规定,农户向国家纳税为:每收入100元纳税8元(称作税 率为8个百分点,即8%).为了减轻农民负担,决定降低税 率.根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加 2x个百分点.试确定x的范围,使税率调低后,国家此项

税收总收入不低于原计划的78%.

解:设税率调低后的税收总收入为 y 元, 则 y=2 400m(1+2x%)×(8-x)% 12 =- m(x2+42x-400). 25 由题意知,0<x≤8,

要使税收总收入不低于原计划的 78%, 须 y≥2 400m×8%×78%, 12 即- m(x2+42x-400)≥2 400m×8%×78%, 25 整理,得 x2+42x-88≤0,解得-44≤x≤2, 又 0<x≤8,∴0<x≤2,所以,x 的取值范围是(0,2].

考点四

一元二次不等式的恒成立问题

设函数f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围. (2)若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.

[自主解答] (1)要使 mx2-mx-1<0 恒成立, 若 m=0,显然-1<0; 若 m≠0,
?m<0 ? 则? ?Δ=m2+4m<0 ?

?-4<m<0.

所以-4<m≤0.

(2)要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立. 1 3 就是要使 m(x- )2+ m-6<0,x∈[1,3]. 2 4 有以下两种方法: 12 3 法一:令 g(x)=m(x- ) + m-6,x∈[1,3]. 2 4 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数,

所以 g(x)max=g(3)?7m-6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7 当 m=0 时,-6<0 恒成立; 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以 g(x)max=g(1)?m-6<0, 所以 m<6,所以 m<0. 6 综上所述:m 的取值范围是{m|m< }. 7

12 3 法二:因为 x -x+1=(x- ) + >0, 2 4
2

6 又因为 m(x2-x+1)-6<0,所以 m< 2 . x -x+1 6 6 6 因为函数 y= 2 = 在[1,3]上的最小值为 ,所以只需 12 3 7 x -x+1 ?x- ? + 2 4 6 m< 即可. 7 6 所以,m 的取值范围是{m|m< }. 7

已知不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数
x恒成立,求实数m的取值范围.

解:(1)若 m2+4m-5=0,则 m=1 或 m=-5. m=1 时,原不等式为恒成立的不等式 3>0; m=-5 时,原不等式化为 24x+3>0,不恒成立. (2)若 m2+4m-5≠0,则原命题等价于
?m2+4m-5>0, ? ? ?16?m-1?2-12?m2+4m-5?<0. ?

解得 1<m<19.

综上,实数 m 的取值范围是[1,19).

一元二次不等式的解法、由一元二次不等式求参数的

取值、三个二次之间的关系是高考对本节内容考查的重点,
题型多为选择题或填空题,有时也会出现在知识的交汇处, 其中,一元二次不等式的解法与集合、分段函数相结合的 问题是高考的一种重要考向.

[考题印证] (2010· 江苏高考)已知函数

?x2+1,x≥0 ? f(x)=? ?1,x<0 ?

,则

满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的取值范围是________.

[规范解答]

?1-x2>0 ? 由题意得? ?2x<0 ?

?1-x2>2x ? 或? ?2x≥0 ?



解之得-1<x<0 或 0≤x< 2-1, 即 x 的取值范围为(-1, 2-1).

[答案]

(-1, 2-1)

1.一元二次不等式的解法
解一元二次不等式时,首先要将一元二次不等式化成标 准型,即ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的形式,其中a >0.如解不等式6-x2>5x时首先化为x2+5x-6<0.

2.一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的形式
(其中a>0)与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系. (1)知道一元二次方程ax2+bx+c=0的根会写出对应不等式 的解集. (2)反过来,知道一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+

c<0的解集也会写出对应方程的根.

3.含参数的不等式的解法

对于含有参数的不等式,在求解过程中,注意不要忽视
对其中的参数恰当的分类讨论,尤其是涉及形式上看似 一元二次不等式,而其中的二次项系数中又含有参变量 时,往往需要针对这个系数是否为0进行分类讨论,并 且如果对应的一元二次方程有两个不等的实根且根的表 达式中又含有参数时,还要再次针对这两根的大小进行 分类讨论.

1. (2011· 通州模拟)已知函数 式 f(x)≥x2 的解集是 A.[-1,1] C.[-2,1]

?x+2, x≤0 ? f(x)=? ?-x+2, x>0 ?

, 则不等 ( )

B.[-2,2] D.[-1,2]

?x≤0 ? 解析:依题意得 ? ?x+2≥x2 ?

?x>0 ? 或? 2 ?-x+2≥x ?

?-1≤x≤0 或

0<x≤1?-1≤x≤1.

答案:A

2.若不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(-4,1),则不等式 b(x2 -1)+a(x+3)+c>0 的解集为 4 A.(- ,1) 3 C.(-1,4) 4 B.(-∞,1)∪( ,+∞) 3 D.(-∞,-2)∪(1,+∞) ( )

解析:由不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(-4,1)知 a<0,-4 b 2 和 1 是方程 ax +bx+c=0 的两根.∴-4+1=-a,-4×1 c =a,即 b=3a,c=-4a.故所求解的不等式为 3a(x2-1)+a(x 4 2 +3)-4a>0,即 3x +x-4<0,解得- <x<1. 3

答案:A

3.若不等式ax2+4x+a>1-2x2对任意实数x均成立,则 实数a的取值范围是 A.a≥2或a≤-3 C.a>2 B.a>2或a≤-3 D.-2<a<2 ( )

解析:原不等式可化为(a+2)x2+4x+a-1>0,显然 a=-2 时不等式不恒成立,所以要使不等式对于任意的 x 均成立, 必须有 a+2>0,且 Δ<0,
?a+2>0, ? 即? ?16-4?a+2??a-1?<0, ?

解得 a>2.

答案:C

4.(2011· 包头模拟)已知函数

?x2+4x,x≥0 ? f(x)=? 2 ?4x-x ,x<0 ?



若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是________.

解析:y=x2+4x=(x+2)2-4在[0,+∞)上单调递增; y=-x2+4x=-(x-2)2+4在(-∞,0)上单调递增. 又x2+4x-(4x-x2)=2x2≥0,

∴f(2-a2)>f(a)?2-a2>a?a2+a-2<0?-2<a<1.
答案:-2<a<1

2x2+2mx+m 5.如果不等式 <1 对一切实数 x 均成立,则实 4x2+6x+3 数 m 的取值范围是________.

解析:由于4x2+6x+3>0,所以不等式可化为2x2+
2mx+m<4x2+6x+3,即2x2+(6-2m)x+(3-m)>0. 依题意有(6-2m)2-8(3-m)<0,解得1<m<3.

答案:1<m<3

1 6.当 0≤x≤2 时,不等式 (2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2 恒成立, 8 试求 t 的取值范围. 解:令 y=x2-3x+2,0≤x≤2. 32 1 ∵y=x -3x+2=(x- ) - , 2 4
2

1 ∴y 在 0≤x≤2 上取得最小值为- , 4 最大值为 2. 1 若 (2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2 8 在 0≤x≤2 上恒成立,则

1 ?1 ? ?2t-t2?≤- , 4 ?8 ?3-t2≥2 ?
?t2-2t-2≥0 ? 即? 2 ?t -1≤0 ? ?t≤1- 3 ? ∴? ?-1≤t≤1 ? ?t≥1+ 3 ? 或? ?-1≤t≤1 ?

.

∴t 的取值范围为-1≤t≤1- 3.

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