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全国重点大学(清华北大复旦等)自主招生保送生数学(68页26套)


交通大学 2000 年保送生数学试题
一、选择题(本题共 15 分,每小题 3 分.在每小题给出的 4 个选项中,只有一项正确,把所选项的字母填 在括号内) 1.若今天是星期二,则 31998 天之后是 ( ) A.星期四 B.星期三 C.星期二 D.星期一 2.用 13 个字母 A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T 作拼字游戏,若字母的各种排列是随机 的

,恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是 ( ) A.

48 13!

B.

216 13!

C.

1728 13!

D.

8 13!
( )

3.方程 cos2x?sin2x+sinx=m+1 有实数解,则实数 m 的取值范围是

1 A. m ? 8

B.m >?3

C.m >?1

1 D. ?3 ? m ? 8

4.若一项数为偶数 2m 的等比数列的中间两项正好是方程 x2+px+q=0 的两个根,则此数列各项的积是 ( ) m 2m m 2m A.p B .p C .q D.q 5.设 f ’(x0)=2,则 lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) h
C.?4 D.4

(

)

A.?2 B .2 二、填空题(本题共 24 分,每小题 3 分) 1.设 f(x)的原函数是 x ? 1 ,则 2.设 x ? (0,

?

1

0

f (2 x)dx ? __________.

?
2
x

) ,则函数( sin 2 x ?
x x

1 1 )(cos 2 x ? ) 的最小值是__________. 2 sin x cos2 x

3.方程 3 ?16 ? 2 ? 81 ? 5 ? 36 的解 x=__________.
? ? __________. 4.向量 a ? i ? 2 j 在向量 b ? 3i ? 4 j 上的投影 ( a )b

? ?

?

?

?

?

?

5.函数 y ? 2 x ? 3 x 的单调增加区间是__________.
3 2

6.两个等差数列 200,203,206,…和 50,54,58…都有 100 项,它们共同的项的个数是__________. 7.方程 7x2?(k+13)x+k2?k?2=0 的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则 k 的取值范围是__________. 8.将 3 个相同的球放到 4 个盒子中,假设每个盒子能容纳的球数不限,而且各种不同的放法的出现是等 可能的,则事件“有 3 个盒子各放一个球”的概率是________. 三、证明与计算(本题 61 分) 1.(6 分)已知正数列 a1,a2,…,an,且对大于 1 的 n 有 a1 ? a2 ? ? ? an ? 试证:a1,a2,…,an 中至少有一个小于 1.

3 n ?1 . n , a1a2 ? an ? 2 2

2.(10 分)设 3 次多项式 f(x)满足:f(x+2)=?f(?x),f(0)=1,f(3)=4,试求 f(x).
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3.(8 分)求极限 lim

1p ? 2 p ? ? ? n p ( p ? 0) . n ?? n p ?1

4.(10 分)设 f ( x ) ? ?

? x 2 ? bx ? c , x ? 0 ?lx ? m , x?0

在 x=0 处可导,且原点到 f(x)中直线的距离为

1 ,原点到 f(x)中 3

曲线部分的最短距离为 3,试求 b,c,l,m 的值.(b,c>0)

5.(8 分)证明不等式: 1 ? sin x ? cos x ? 2 4 , x ? [0,

3

?
2

].

6.(8 分)两名射手轮流向同一目标射击,射手甲和射手乙命中目标的概率都是 命中目标谁就获胜,试求甲、乙两射手获胜的概率.

1 .若射手甲先射,谁先 2

y 7.(11 分)如图所示,设曲线 y ?

1 上的点与 x 轴上的点顺次 x

构成等腰直角三角形△ OB1A1,△ A1B2A2,…,直角顶点在 曲线 y ?

1 上.试求 An 的坐标表达式,并说明这些三角形 x
B1 B2 O A1 A2 x

的面积之和是否存在.

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复旦大学 2000 年保送生招生测试数学试题(理科)
一、填空题(每小题 10 分,共 60 分) 1.将自然数按顺序分组:第一组含一个数,第二组含二个数,第三组含三个数,……,第 n 组含 n 个数, 即 1;2,3;4,5,6;…….令 an 为第 n 组数之和,则 an=________________. 2. sin 2 ? ? sin 2 (? ?
n ??

?

) ? sin 2 (? ? ) =______________. 3 3

?

3. lim[(n ? 2) log 2 ( n ? 2) ? 2( n ? 1) log 2 ( n ? 1) ? n log 2 n] =_________________. 4.已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于 60 度,又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角,和底 面成 60 度角,则两对角面面积之比为__________________. 5.正实数 x,y 满足关系式 x2?xy?4=0,又若 x≤1,则 y 的最小值为_____________. 6.一列火车长 500 米以匀速在直线轨道上前进,当车尾经过某站台时,有人驾驶摩托车从站台追赶火车 给火车司机送上急件,然后原速返回,返回中与车尾相遇时,此人发现这时正在离站台 1000 米处, 假设摩托车车速不变,则摩托车从出发到站台共行驶了______________米. 二、解答题(每小题 15 分,共 90 分) 1.数列{an}适合递推式 an+1=3an+4,又 a1=1,求数列前 n 项和 Sn.

2.求证:从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点.你还知道其它圆锥曲线的光 学性质吗?请叙述但不必证明.

3.正六棱锥的高等于 h,相邻侧面的两面角等于 2arcsin 求该棱锥的体积.( cos

1 ? ( 2 ? 6) ) 12 4

?

1 (3 2 ? 6) , 2

4.设 z1,z2,z3,z4 是复平面上单位圆上的四点,若 z1+z2+z3+z4=0. 求证:这四个点组成一个矩形.
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5.设 (1 ? 2) ? xn ? yn 2 ,其中 xn,yn 为整数,求 n→∞时,
n

xn 的极限. yn

6. 设平面上有三个点, 任意二个点之间的距离不超过 1. 问: 半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点. 请 证明你的结论.

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2000 年交大联读班试题
1. 2. 直线 y ? ax ? b 关于 y ? ?x 的对称直线为_______________。 已知 a, b, c 是 ? ABC 的三边, a ? 1 , b ? c ,且满足 logb?c a ? logc ?b a ? 2logb ?c a logc ?b a ,则

? ABC 是_______________的三角形。
3. 4. 5. 6. 已知 ? 3 x ? 1? ? a8 x8 ? a7 x 7 ? ? ? a1 x ? a0 ,则 a8 ? a6 ? a4 ? a2 ? a0 ? _______________。
8

已知 f ? x ? 满足: f ? x ? 1? ?

1? f ? x?

1? f ? x?

,则 f ? x ? 的最小正周期是_______________。

已知 f ? x ? 是偶函数, f ? x ? 2 ? 是奇函数, 且 f ? 0 ? ? 1998 , 则 f ? 2000 ? ? _______________。
a, b, c 是 ? ABC 的三边,且 ? b ? c ? : ? a ? c ? : ? a ? b ? ? 4 : 5 : 6 ,则

sin A : sin B : sin C ? _______________。
7.

n 是十进制的数, f ? n ? 是 n 的各个数字之和,则使 f ? n ? ? 20 成立的最小的 n 是
_______________。 ? 7? sin ? sin 12 12 ? _______________。 ? 7? cos ? cos 12 12 函数 f ? x ? ? 3 x ? 1 ? x2 ? 3 x ? 1 ? x2 ? x ? R ? 的反函数是_______________。

8.

9.

n ( k 是不等于 1 的常数) ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? _______________。 kn 11. 从自然数 1 至 100 中任取 2 个相乘, 其结果是 3 的倍数的情况有种_______________。 (取 出的数不分先后)

10. 已知数列 an ?

12. 己知 f ? x ? 在 x0 处可导,则 lim
h ??

f 2 ? x0 ? 3h ? ? f 2 ? x0 ? h ? h

? _______________。

13. 已知 x, y 为整数, n 为非负整数, x ? y ? n ,则整点 ? x, y ? 的个数为_______________。
? 1 ? 14. 抛物线 y ? x 2 ? x ? 0 ? 上,点 A 坐标为 ? ? , 0 ? ,抛物线在 P 点的切线与 y 轴及直线 PA 夹角 ? 3 ?

相等,求点 P 的坐标。 15. 在 ?an ? 中, a1 ? 4 , an ? an ?1 ? 6 ,①求证: an ? 3 ? 16. 已知 u ? y 2 ? x 2 , v ? 2 xy , ①若点 ? x, y ? 在单位圆上以 ? 0,1? 为起点按顺时针方向转一圈,求点 ? u , v ? 的轨迹;
1 an ?1 ? 3 ②求 lim an 。 n ?? 3

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②若点 ? x, y ? 在直线 y ? ax ? b 上运动,而点 ? u , v ? 在过点 ?1,1? 的直线上运动,求 a , b 的值。 17. 若 x, y 满足 x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 3x ? 3 y ? 12 ? 0 ,求下列函数的最小值:① x ? y ;② xy ;③
x3 ? y 3 。

18. 若方程 x3 ? 27 x ? m ? 0 有 3 个不同实根,求实数 m 的取值范围。 19. 己知函数 f ? x ? 满足 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ? xy ? x ? y ? ,又 f ' ?0 ? ?1 ,求函数 f ? x ? 的解析 式。 20. 口袋中有 4 个白球,2 个黄球,一次摸 2 个球,摸到的白球均退回口袋,保留黄球,到第 即第 n ? 1次时所摸出的只能是白球, 则令这种情况的发生概率是 n 次两个黄球都被摸出,
Pn ,求 P2 , P3 , Pn 。

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2001 复旦基地班数学试题
1. 2. 3. 4. 设函数 y ?
x 的反函数是它自身,则常数 a ? _______________。 x?a
2

2 不等式 ? ? log 2 ? ? x ? ? ? ? log 2 x 的解集是_______________。

直线 2 x ? 7 y ? 8 ? 0 与 2 x ? 7 y ? 6 ? 0 间的距离是_______________。 如果 ? 3 ? x ? 的展开式的系数和是 ?1 ? y ? 的展开式的系数和的 512 倍,那么自然数 n 与 m
n
m

5. 6. 7. 8.

的关系为_______________。 3 椭圆 ? ? 的焦距是_______________。 4 ? 2 cos ? 己知 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 ,那么 ? x ? 1? ? ? y ? 3? 的最小值为_______________。
2 2

与正实轴夹角为 arcsin ? sin 3? 的直线的斜率记为 k ,则 arctan k ? _______________。 (结果 用数值表示) 从 n 个人中选出 m 名正式代表与若干名非正式代表,其中非正式代表至少 1 名且名额不 限,则共有_______________种选法 ? m ? n ? 。

9.

正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, BC1 与截面 BB1 D1 D 所成的角为_______________。
1 (结果用数值表示) ? _______________。 cot10?

10. sec50? ?

3 ? ? 11. 函数 g ? x ? ? cos ? x ? cos ? ? x ? ? ? 的最小正周期是( 2 ? ?



A. 2?

B. ?

C.2

D.1 )

12. 设函数 f ? x ? ? x 的反函数为 f ?1 ? x ? ,则对于 ? 0,1? 内的所有 x 值,一定成立的是( A. f ? x ? ? f ?1 ? x ? B. f ? x ? ? f ?1 ? x ? ) D.1 ) D. x ? 4 C. f ? x ? ? f ?1 ? x ? D. f ? x ? ? f ?1 ? x ?

13. 813 除以 9 所得的余数是( A.6 B. ?1 C.8

14. 抛物线 y 2 ? ?4 ? x ? 1? 的准线方程为( A. x ? 1 B. x ? 2 C. x ? 3

1 ? x ? t ? ? ? t 15. 由参数方程 ? 所表示的曲线是( 1 ?y ? t ? ? t ?



A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.圆
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16. 己知抛物线 y ? x 2 ? 5 x ? 2 与 y ? ax 2 ? bx ? c 关于点 ? 3, 2 ? 对称,则 a ? b ? c 的值为( A.1 B.2 C.3 D.4



17. 作坐标平移,使原坐标下的点 ? a, 0 ? ,在新坐标下为 ? 0, b ? ,则 y ? f ?x ? 在新坐标下的方程 为( )
y ' ? f ? x '? a ? ? b B. y ' ? f ? x '? ? a ? b C. y ' ? f ? x '? a ? b ? D. y ' ? f ? x '? a ? ? b A.

18. 设有四个命题: ①两条直线无公共点,是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件; ②一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件; ③空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件。 ④ a, b 是平面 ? 外的两条直线,且 a // ? ,则 a // b 是 b // ? 的必要而不充分条件,其中真命题的 个数是( A.3 ) B.2 C.1 D.0

19. 集合 A, B 各有四个元素, A ? B 有一个元素, C ? A ? B ,集合 C 含有三个元素,且其中 至少有一个 A 的元素,符合上述条件的集合 C 的个数是( A.55 B.52 C.34 D.35 20. 全面积为定值 ? a2 (其中 a ? 0 )的圆锥中,体积的最大值为(
2 A. ? a 3 3

) )

B.

2 3 ?a 12

1 C. ? a 3 6

D.

3 3 ?a 6

21. 已知: sin ? ? sin ? ? a , cos ? ? cos ? ? a ? 1 ,求 sin ?? ? ? ? 及 cos ?? ? ? ? 。 22. 设复数 z1 , z2 满足: z1 ? z1 ? z2 , z1 z2 ? a 1 ? 3i ,其中 i 是虚数单位, a 是非零实数,求
z2 。 z1

?

?

23. 已知椭圆

? x ? a?
2

2

? y 2 ? 1 与抛物线 y 2 ?

1 x 在第一象限内有两个公共点 A, B ,线段 AB 的 2

中点 M 在抛物线 y 2 ?

1 ? x ? 1? 上,求 a 。 4
n

24. 设数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 , bn ? 0 , ? n ? 2,3,?? 其前 n 项乘积 Tn ? ? a n ?1bn ? 明 ?bn ? 是等比数列。②求 ?bn ? 中所有不同两项的乘积之和。

? n ? 1, 2,?? ,①证

25. 己知棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是等腰三角形, AB ? AC ,上底面的项点 A1 在下底面的射 影是 ? ABC 的外接圆圆心,设 BC ? a , ?A1 AB ?

?
3

,棱柱的侧面积为 2 3a 2 。

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①证明:侧面 A1 ABB1 和 A1 ACC1 都是菱形, B1 BCC1 是矩形。 ②求棱柱的侧面所成的三个两面角的大小。 ③求棱柱的体积。 26. 在直角坐标系中, O 是原点, A, B 是第一象限内的点,并且 A 在直线 y ? ? tan ? ? x 上(其
1 ?? ? ? 中? ? ? , ? ) ,OA ? 2? o s c ?4 2?

?

,B 是双曲线 x 2 ? y 2 ? 1上使 ?OAB 的面积最小的点, 求:

?? ? ? 当 ? 取 ? , ? 中什么值时, ?OAB 的面积最大,最大值是多少? ?4 2?

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2001 年交大联读班数学试卷
1. 2. 数 N ? 212 ? 58 的位数是_______________。
log 2 ? ?log 3 ? log 4 x ? ? ? ? log 3 ? ?log 4 ? log 2 y ? ? ? ? log 4 ? ?log 2 ? log 3 z ? ? ? ? 0求

x ? y ? z ? _______________。

3. 4.

p ? log8 3 , q ? log3 5 ,则用 p, q 表示 lg 5 ? _______________。

2sin ? ? sin ? ? cos? , sin 2 ? ? sin ? cos ? ,求

cos 2? ? _______________。 cos 2?

5. 6.

? ?? x ? ?0, ? ,求 f ? x ? ? cos x ? x sin x 的最小值为_______________。 ? 2?

有一盒大小相同的球,它们既可排成正方形,又可排成一个正三角形,且正三角形每边 上的球恰比每边上正方形多 2 个小球,球数为_______________。 数列 1,3, 2,? 中, an ? 2 ? an ?1 ? an ,求 ? ai ? _______________。
i ?1 100

7. 8. 9.

?1 ? 2 x ? x ?

2 4

展开式中 x 7 系数为_______________。

一人排版,有三角形的一个角,大小为 60? ,角的两边一边长 x ,一边长 9cm ,排版时把 长 x 的那边错排成 x ? 1长,但发现角和对边长度没变,则 x ? _______________。

10. 掷三粒骰子,三个朝上点恰成等差列 ? d ? 1? 的概率为_______________。 11.

? a ? 1?? b ? 1? ? 2 ,则 arctan a ? arctan b ? (
? 2
B.



12. A.

? 3

C.

? 4

D.

? 6


13. 某人向正东走 xkm ,再左转 150? 朝新方向走了 3km ,结果离出发点 3km ,则 x ?( A. 3 B. 2 3 C.3 D.不确定 )
?1
1 32

1 1 1 ? ?? ? ? ? 32 16 14. ?1 ? 2 ? ?1 ? 2 ?? ?1 ? 2 2 ? ? ( ? ? ?? ? ?

1 ? 1? 32 A. ?1 ? 2 ? 2? ?

?1

1 ? ? 32 B. ? 1 ? 2 ? ? ?

C. 1 ? 2

1 ? 1? 32 D. ? 1 ? 2 ? 2? ?

15. t ? 0 , S ?

?? x, y ? ? x ? t ? ? y
2

2

? t 2 ,则(

?



A. ?t , ? 0, 0 ? ? S

B. S 的面积 ? ? 0, ? ?
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C.对 ?t ? 5 , S ? 第一象限

D. ?t , S 的圆心在 y ? x 上 )个

16. 一个圆盘被 2n 条等间隔半径与一条割线所分割,则不交叠区域最多有( A. 2n ? 2 B. 3n ? 1 C. 3n D. 3n ? 1 17.

?i
k ?0

40

k

cos ? 45 ? 90k ? ? (
?


1 ? 21 ? 20i ? 2
1 ? 21 ? 20i ? 2

A.

2 2

B.

21 2 2

C.

D.

18. 对 x, y ? R ? ,定义 x * y ? A.交换律

xy ,则 ?*? 满足( x? y



B.结合律

C.都不

D.都可 ) ? mod N ?

19. 60 ? 90 ? 125 ? mod N ? ,则 81 ? ( A.3 B.4 C.5 D.6

20. f ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 2 ,在 x ? ?t , t ? 1? 上最小值为 g ? t ? ,求 g ? t ? 。
1? ? 6 ?6 ? x ? ? ??x ? x ?? 2 x? 21. x ? R? ,求 f ? x ? ? ? 的最小值。 3 1? ? 3 ?3 ?x? ? ?x ?x x? ?
6

22. f1 ? x ? ?

2x ?1 , f n ?1 ? x ? ? f1 ? ? f n ? x ?? ? ,求 f 28 ? x ? x ?1

23. 2 y ? x 2 ? 6 x cos t ? 9sin 2 t ? 8sin t ? 9 ( t ? R, t 为参数) ①求顶点轨迹,②求在 y ? 12 上截得最大弦长的抛物线及其长。 24. an 为递增数列,a1 ? 1 ,a2 ? 4 , 在 y ? x 上对应为 Pn an , an , 以 OPn , OPn?1 与曲线 Pn Pn ?1 围成面积为 S n ,若 ? S n ? 为 q ?
? 4 的等比数列,求 ? Si 和 lim an 。 n ?? 5 i ?1

?

?

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2001 年上海交通大学联读班数学试题
一、填空题(本题共 40 分,每小题 4 分) 1.数 N ? 2 ? 5 的位数是________________.
12 8

2.若 log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]=log4[log2(log3z)]=0,则 x+y+z=_________. 3.若 log23=p,log35=q,则用 p 和 q 表示 log105 为________________. 4.设 sin?和 sin?分别是 sin?与 cos?的算术平均和几何平均,则 cos2?:cos2?=____________. 5.设 x ? [0,

?
2

] ,则函数 f(x)=cosx+xsinx 的最小值为________________.

6.有一盒大小相同的小球,既可将他们排成正方形,又可将它们排成正三角形,已知正三角形每边比正 方形每边多 2 个小球,则这盒小球的个数为____________. 7.若在数列 1,3,2,…中,前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项,则这个数列的前 100 项之和是_______________. 8.在(1+2x?x2)4 的二项展开式中 x7 的系数是_______________. 9.某编辑在校阅教材时,发现这句:“从 60° 角的顶点开始,在一边截取 9 厘米的线段,在另一边截取 a 厘米的线段, 求两个端点间的距离”, 其中 a 厘米在排版时比原稿上多 1. 虽然如此,答案却不必改动, 即题目与答案仍相符合,则排错的 a=________________. 10.任意掷三只骰子,所有的面朝上的概率相同,三个朝上的点数恰能排列成公差为 1 的等差数列的概率 为_________________. 二、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 11.a>0,b>0,若(a+1)(b+1)=2,则 arctana+arctanb= ( ) A.

? 2

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

12.一个人向正东方向走 x 公里,他向左转 150° 后朝新方向走了 3 公里,结果他离出发点 3 公里,则 x 是 A. 3 13. (1 ? 2
? 1 32

( B. 2 3 C .3
? 1 4 ? 1 2

)

D.不能确定 (
? 1 32

)(1 ? 2

1 ? 16

)(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 ) ?
B. (1 ? 2
? 1 32 ?1

?

1 8

)

1 ? 1 32 ?1 A. (1 ? 2 ) 2

)

C. 1 ? 2

1 ? 1 32 D. (1 ? 2 ) 2

14.设[t]表示≤ t 的最大整数,其中 t≥0 且 S={(x,y)|(x?T)2+y2≤T2,T=t?[t]},则 ( ) A.对于任何 t,点(0,0)不属于 S B.S 的面积介于 0 和?之间 C.对于所有的 t≥5,S 被包含在第一象限 D.对于任何 t,S 的圆心在直线 y=x 上 15.若一个圆盘被 2n(n>0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔,则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的 最大个数是 ( ) A.2n+2 B.3n?1 C.3n D.3n+1 2 n 40 16.若 i =?1,则 cos45° +icos135°+…+i cos(45+90n)°+…+i cos3645° = ( ) A.

1 2

B.

21 2 2

C.

2 (21 ? 20i ) 2

D.

2 (21 ? 20i ) 2

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17.若对于正实数 x 和 y 定义 x ? y ?

xy ,则 x? y

(

)

A.”*”是可以交换的,但不可以结合 B.”*”是可以结合的,但不可以交换 C.”*”既不可以交换,也不可以结合 D.”*”是可以交换和结合的 18.两个或两个以上的整数除以 N(N 为整数,N>1),若所得的余数相同且都是非负数,则数学上定义这 两个或两个以上的整数为同余.若 69,90 和 125 对于某个 N 是同余的,则对于同样的 N,81 同余于 ( ) A.3 B .4 C .5 D.7 三、计算题(本题共 78 分) 19.(本题 10 分)已知函数 f(x)=x2+2x+2,x∈[t,t+1]的最小值是 g(t).试写出 g(t)的解析表达式.

1 1 ( x ? )6 ? ( x 6 ? 6 ) ? 2 x x 20.(本题 12 分)设对于 x>0, f ( x) ? ,求 f(x)的最小值. 1 3 1 3 (x ? ) ? x ? 3 x x
21.(本题 16 分)已知函数 f1 ( x) ? 的解析表达式是什么? 22.(本题 20 分)已知抛物线族 2y=x2-6xcost-9sin2t+8sint+9,其中参数 t∈R. (1) 求抛物线顶点的轨迹方程; (2) 求在直线 y=12 上截得最大弦长的抛物线及最大弦长. 23.(本题 20 分)设{xn}为递增数列,x1=1,x2=4,在曲线 y ? y Pn+1 Pn

2x ?1 ,对于 n=1,2,3,…定义 fn+1(x)=f1[fn(x)].若 f35(x)=f5(x),则 f28(x) x ?1

x 上与之对应的点列为

O

Xn

Xn+1

x

P1(1,1),P2(4,2), P3 ( x3 , x3 ) ,?, Pn ( xn , xn ) ?,且以 O 为原点,由 OPn、OPn+1 与曲线 PnPn+1 所围成部
3 2 3 4 2 2 ? x 的等比数列,图形 XnXn+1Pn+1Pn 的面积为 ( xn ?1 n ), 3 5

分的面积为 Sn,若{Sn}(n∈N)是公比为 试求 S1+S2+…+Sn+…和 lim xn .
n ??

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复旦大学 2001 年选拔生考试数学试题
一、填空(每小题 5 分,共 45 分) 1.sinx?siny?0,则 cos2x?sin2y?___________________. 2.平面?1, ?2 成?的二面角,平面?1 中的椭圆在平面?2 中的射影是圆,那么椭圆短轴与长轴之比为 __________. 3.(x2+2x+2)(y2-2y+2)=1,则 x+y?________________________. 4.电话号码 0,1 不能是首位,则本市电话号码从 7 位升到 8 位,使得电话号码资源增加____. 5.2002?83a3+82a2+8a1+a0,0≤a0,a1,a2,a3≤7 正整数,则 a0?______________. 6. ( x ?

1 15 ) 的常数项为_________________. x

7. lim n ( n ? 1 ? n ) =__________________.
n ??

8.空间两平面?,?,是否一定存在一个平面均与平面?,?垂直?___________. 9.在△ ABC 中,cos(2A?C)=cos(2C?B),则此三角形的形状是________________. 二、解答题(共 87 分) 1.求解:cos3xtan5x=sin7x.

2.数列 3,3?lg2,?,3?(n?1)lg2.问当 n 为几时,前 n 项的和最大?

3.求证:x∈R 时,|x?1|≤4|x3?1|.

4.a 为何值时,方程

lg x lg(a ? x) ? ? log 2 (a 2 ? 1) 有解?只有一解? lg 2 lg 2

5.一艘船向西以每小时 10 公里的速度航行,在它的西南方向有一台风中心正以每小时 20 公里速度向正 北方向移动,船与台风中心距离 300 米,在台风中心周围 100 米处将受到影响,问此船航行受台风影 响的时间段长度?

1 x 4 6.x -2y =1 的所有整数解(x,y),试证明: | ? 2 3 |? . y | y |3

3

3

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2002 复旦基地班数学考题
1. 2. 3. 4. 5. 已知: sin x ? sin y ? 0 则 cos2 x ? cos2 y ? _______________。
x, y ? R , ? x 2 ? 2 x ? 2 ?? y 2 ? 2 y ? 2 ? ? 1 ,则 x ? y ? _______________。

空间两平面 ?1 , ? 2 ,_______________ ? 3 与 ?1 , ? 2 均垂直? (请填“存在”或“不存在” ) 从奇偶性看:函数 y ? ln x ? x 2 ? 1 是_______________。 平面 ? 1 , ? 2 成 ? 角,一椭圆 E ? ? 1 在 ? 2 内射影为一个圆,求椭圆长轴与短轴之比 _______________。
2002 ? 83 a3 ? 82 a2 ? 8a1 ? a0 ?1 ? ai ? 7, ai ? N ? , a3 ? _______________。

?

?

6. 7. 8.

? ABC 中, cos ? 2 A ? C ? ? cos ? 2 B ? C ? ,则 ? ABC 为_______________。
若 0,1 作为特殊号码不能放在首位,则电话号码由 7 位升至 8 位后,理论上可以增加 _______________电话资源。
1 ? ?3 ? x? ? 中不含 x 的项为_______________。 x? ?
15

9.

10. 解方程: cos3x ? tan 5x ? sin 7 x 11. 一艘船以 v1 ? 10km / h 向西行驶,在西南方向 300km 处有一台风中心,周围 100km 为暴雨 区,且以 v2 ? 20km / h 向北移动,问该船遭遇暴雨的时间段长度。 12. 已知: 0.3010 ? lg 2 ? 0.3011 ,要使数列 3,3 ? lg 2,? ,3 ? ? n ? 1? lg 2 的前 n 项和最大,求 n 。 13. 参数 a 取何值时:
log a x log x ? 2a ? x ? 1 ? ? log a 2 log x 2 log a 2 ?1 2

①有解?②仅有一解? 14. 在 ? 0, ? ? 内,方程 a cos 2x ? 3a sin x ? 2 ? 0 有且仅有二解,求 a 的范围。 15. 证明方程: x3 ? 2 y 3 ? 1 的任一组整数解 ? x, y ?? y ? 0 ? 都有:
1 x 4 ? 23 ? 3 。 y y

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2002 年交大联读班数学试卷
1. 2.

? 3 ? 1 , ? 是虚数,则 ? 2 n ? ? n ? 1 ? _______________。
函数 y ? ax ? b ? a, b ? Z ? 的图象与三条抛物线 y ? x 2 ? 3 、 y ? x 2 ? 6 x ? 7 、 y ? x 2 ? 4 x ? 5 分 别有 2,1,0 个交点,则 ? a, b ? ? _______________。

3. 4. 5.

1 1 1 若 3a ? 4b ? 6c ,则 ? ? ? _______________。 a 2b c

若 2x ? 2? x ? 2 ,则 8 x ? _______________。 函数 y ?
sec 2 x ? tan x 的值域为_______________。 sec 2 x ? tan x

6.

1 ?? 1? ? 1 ? ? ?1 ? 2 ??1 ? 2 ?? ?1 ? 2 ? ? _______________。 ? 2 ?? 3 ? ? n ?

7. 8. 9.

正实数 x, y, z 满足 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,则

1 1 1 ? 2 ? 2 的最小值是_______________。 2 x y z

一个圆内接四边形 ABCD,已知 AB=4,BC=8,CD=9,DA=7,则 cos A ? _______________。 实数 a, b 满足 a 1 ? b 2 ? b 1 ? a 2 ? 1 ,则 a 2 ? b2 ? _______________。
9

1 ? ? 10. ? x 2 ? 1 ? ? 的展开式中 x 9 的系数为_______________。 2x ? ?

11. 方程 a 2 ? x 2 ? 2 ? x , 1 ? a ? 2 ,则方程有_______________个实数解。 12. ? ABC 三边长 a, b, c 满足 a ? b ? c , b ? n , ? a, b, c ? N * ? ,则不同的三角形有 _______________个。 13. 掷 3 个骰子,掷出点数之和为 9 的倍数的概率为_______________。 14. 若不等式 0 ? x 2 ? ax ? 5 ? 4 只有唯一实数解,则 a ? _______________。 15. 有两个两位数,它们的差是 56,两数分别平方后,末两位数相同,则这两个两位数为 _______________。 16. 在一个环形地带上顺次有五所学校 A、B、C、D、E,它们各有 15、7、11、3、14 台机 器,现要使机器平均分配,规定机器的运输必须在相邻学校间进行,为使总的运输台数 最少,则 A 应给 B_______________台,B 应给 C_______________台,A 给 E_______________台,总共运输_______________台。 1 1 1 1 n ? 2, n ? N * ? 。 17. ①用数学归纳法证明以下结论: 1 ? 2 ? 2 ? ?? ? 2 ? 2 ?   ? 2 3 n n

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②若有 1 ?

x 2 sin x 1? 1 1? ? ? 1 ,利用①的结论求 lim ?1? sin1 ? 2 ? sin ? ?? ? n ? sin ? n ?? n? 2 n? 6 x

18. 若 x ? f ? x ? ,称 x 为 f ? x ? 的不动点, f ? x ? ?

2x ? a x?b

①若 f ? x ? 有关于原点对称的两个不动点,求 a, b 满足的关系; ②画出这两个不动点的草图。 19. 有 50cm 的铁丝,要与一面墙成面积为 144cm2 长方形区域,为使用料最省,求矩形的长与 宽。
2 ? 1 , aN ? 1 且 aN ?1 ? 1,其中 N ? ?2,3, 4,?? 20. 数列 ?an ? 满足 an?1 ? 2an

①求证: a1 ? 1 ; ②求证: a1 ? cos
k? ?k ? Z ? 。 2 N ?2

? a?b? 21. 函数 f ? x ? ? lg x ,有 0 ? a ? b 且 f ? a ? ? f ? b ? ? 2 f ? ? ? 2 ?

①求 a, b 满足的关系; ②证明:存在这样的 b ,使 3 ? b ? 4 。 22. A, B 两人轮流掷一个骰子,第一次由 A 先掷,若 A 掷到一点,下次仍由 A 掷:若 A 掷不 到一点,下次换 B 掷,对 B 同样适用规则。如此依次投掷,记第 n 次由 A 掷的概率为 An 。 ①求 An?1 与 An 的关系; ②求 lim An 。
n ??

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上海交通大学 2002 年保送生考试数学试题
一、填空题(本题共 64 分,每小题 4 分) 1.设方程 x3=1 的一个虚数根为 ? , 则 ?
2n

? ? n ? 1 (n 是正整数)=__________.

2.设 a,b 是整数,直线 y=ax+b 和 3 条抛物线:y=x2+3,y=x2+6x+7 与 y=x2+4x+5 的交点个数分别是 2,1, 0,则(a,b)=___________. 3.投掷 3 个骰子,其中点数之积为 9 的倍数的概率为___________. 4.若 x,y,z>0 且 x2+y2+z2=1,则

1 1 1 ? 2 ? 2 的最小值为___________. 2 x y z

5.若 2x?2?x=2,则 8x=______________. 6.若 a,b,c 为正实数,且 3a=4b=6c,则 7. (1 ?

1 1 1 ? ? =_____________. a 2b c

1 1 1 )(1 ? 2 )?(1 ? 2 ) 的值为_____________. 2 2 3 n
sec 2 x ? tgx 的值域为______________. sec 2 x ? tgx

8.函数 y ?

9.若圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=4,BC=8,CD=9,DA=7,则 cosA=__________. 10.若 a,b 满足关系: a 1 ? b ? b 1 ? a ? 1 ,则 a2+b2=____________.
2 2

11. ( x ? 1 ?
2

1 9 ) 的展开式中 x9 的系数是_____________. 2x
2 时,方程 a 2 ? x 2 ? 2 ? | x | 的相异实根个数共有_____________个.
2

12.当 1 ? a ?

13.若不等式 0 ? x ? ax ? 5 ? 4 有唯一解,则 a=_______________. 14. 设 a,b,c 表示三角形三边的长, 均为整数, 且a ?b ?c, 若 b=n (正整数) , 则可组成这样的三角形______ 个. 15.有两个二位数,它们的差是 56,它们的平方数的末两位数字相同,则这两个数为_______. 16.某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等 5 所小学,各小学分别有电脑 15,7,11,3,14 台, 现在为使各小学的电脑数相等,各向相邻小学移交若干台,且要使移交的电脑的总台数最小,因此, 从第一小学向第二小学移交了________台,从第二小学向第三小学移交了______台,从第五小学向第 一小学移交了________台,移动总数是_________台. 二、计算与证明题(本题共 86 分) 17. (本题 12 分) (1)设 n 为大于 2 的整数,试用数学归纳法证明下列不等式: (1) 1 ?

x 2 sin x 1 1 1 1 0 ? x ? 1 时 ,1 ? ? ? 1, ; (2) 已知当 ? ? ? ? ? 2 ? 6 x 22 32 n2 n
n ??

试用此式与(1)的不等式求 lim

1 1 1 1 (sin1 ? 2sin ? 3sin ? ? ? n sin ) n 2 3 n

18. (本题 14 分)若存在实数 x,使 f(x)=x,则称 x 为 f(x)的不动点,已知函数 f ( x) ?
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2x ? a 有两个关于 x?b

原点对称的不动点 (1) 求 a,b 须满足的充要条件; (2) 试用 y=f(x)和 y=x 的图形表示上述两个不动点的位置(画草图)

19. (本题 14 分)欲建面积为 144m2 的长方形围栏,它的一边靠墙(如图) ,现 有铁丝网 50m,问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米?并求此时围栏的 长度.

x

144m2 y

20. (本题 14 分)设数列{an}满足关系 an ?1 ? 2an ? 1 (n ? 1, 2,?) ,若 N 满足 aN ? 1( N ? 2,3, ?) ,
2

试证明:(1) | a1 |? 1 ;

(2) a1 ? cos

k? (k 为整数) 2N ?2

21. (本题 16 分)设 f ( x) ?| lg x |, a, b 为实数,且 0 ? a ? b , 若 a, b 满足 f (a) ? f (b) ? 2 f ( 试写出 a 与 b 的关系,并证明在这一关系中存在 b 满足 3<b<4

a?b ) 2

22. (本题 16 分)A 和 B 两人掷骰子,掷出一点时,原掷骰子的人再继续掷,掷出不是一点时,由对方接 着掷, 第一次由 A 开始掷, 设第 n 次由 A 掷的概率是 Pn. 试求: (1) Pn+1 用 Pn 表示的式子; (2) 极限 lim Pn
n ??

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2003 年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题 2003.1.4
一、填空题(本大题共 40 分,每题 4 分) 1.三次多项式 f(x)满足 f(3)=2f(1),且有两个相等的实数根 2,则第三个根为___________. 2.用长度为 12 的篱笆围成四边形,一边靠墙,则所围成面积 S 的最大值是_______________. 3.已知 x, y ? R ,x+2y=1,则
?

2 2 ? 的最小值是______________. x y

4.有 4 个数,前 3 个成等比数列,后 3 个成等差数列,首末两数和为 32,中间两数和为 24,则这四个 数是___________________. 5.已知 f(x)?ax7+bx5+x2+2x?1,f(2)??8,则 f(?2)?_______________. 6.投三个骰子,出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________. 7.正四面体的各个面无限延伸,把空间分为________________个部分. 8.有 n 个元素的集合分为两部分,空集除外,可有___________种分法. 9. 有一个整数的首位是 7, 当 7 换至末位时, 得到的数是原数的三分之一, 则原数的最小值是___________. 10.100!末尾连续有______________个零. 二、解答题(本大题共 60 分,每题 10 分) 11.数列{an}的 a1?1,a2?3,3an+2?2an+1+an,求 an 和 lim an .
n ??

12.3 个自然数倒数和为 1.求所有的解.

13.已知 x1000+x999(x+1)+…+(x+1)1000,求 x50 的系数.

14.化简:(1) 1?1!? 2 ? 2!? ? ? n ? n!; (2) Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? Cn ? k .
1 2 k

15.求证:

a 3 ? 2a 为最简分式. a 4 ? 3a 2 ? 1

16.证明不等式 ( ) ? n ! ? ( ) ,当自然数 n≥6 时成立.
n n

n 2

n 3

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复旦大学 2003 年暨保送生考试数学试题
一、填空题(本大题共 80 分,每题 8 分) 1.函数 y ?

t2 1 f (t ? x) ,当 x=1 时, y ? ? t ? 5 ,则 f(x)=________________. 2 2x

2.方程 x2+(a?2)x+a+1?0 的两根 x1,x2 在圆 x2+y2?4 上,则 a?_______________. 3.划船时有 8 人,有 3 人只能划右边,1 人只能划左边,共有________种分配方法. 4.A={x|log2(x2?4x?4)>0},B={x||x+1|+|x?3|≥6},则 A ? B =_______________. 5.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 ak=k· pk(1?p),(p≠1),则 Sk=______________. 6.若(x?1)2+(y?1)2?1,则

y ?1 的范围是___________________. x?3
z1 ?______________. z2

7.边长为 4 的正方形 ABCD 沿 BD 折成 60o 二面角,则 BC 中点与 A 的距离是_________. 8.已知|z1|?2,|z2|?3,|z1+z2|?4,则

9.解方程 x

log a x

?

x3 ,x=________________. a2

10.(a>0), lim

an =______________. n ?? 2 n ? a n

二、解答题(本大题共 120 分) 11.已知|z|=1,求|z2+z+4|的最小值.

12.a1,a2,a3,…,an 是各不相同的自然数,a≥2,求证: (

1 a 1 1 1 ) ? ( )a ? ( )a ? ? ? ( )a ? 2 . a1 a2 a3 an

13.已知 sin ? ? cos ? ?

3 , cos ? ? sin ? ? 2 ,求 tan ? ? cot ? 的值. 2

14.一矩形的一边在 x 轴上,另两个顶点在函数 y ?

x (x>0)的图象上, 1 ? x2

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求此矩形绕 x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值.

15.一圆锥的底面半径为 12,高为 16,球 O1 内切于圆锥,球 O2 内切于圆锥侧面,与球 O1 外切,?,以 次类推, (1) 求所有这些球的半径 rn 的通项公式; (2) 所有这些球的体积分别为 V1,V2,…,Vn,….求 lim(V1 ? V2 ? ? ? Vn ) .
n ??

16.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, an ?

1 ,求 S2003. ( n ? 1 ? n )( n ? 1 ? n ? 1)( n ? n ? 1)

17.定义闭集合 S,若 a,b ?S ,则 a ? b ?S , a ? b ? S .(1) 举一例,真包含于 R 的无限闭集合.(2) 求 证对任意两个闭集合 S1,S2 ? R,存在 c ? R ,但 c ? S1 ? S 2 .

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同济大学 2003 年暨保送生考试数学试题
一、填空题 1.f(x)是周期为 2 的函数,在区间[?1,1]上,f(x)?|x|,则 f (2m ? ) ?___(m 为整数). 2.函数 y?cos2x?2cosx,x∈[0,2?]的单调区间是__________________. 3.函数 y ? 2 x 2 ? x 的值域是__________________.
2

3 2

4. 5.函数 y=f(x),f(x+1)?f(x)称为 f(x)在 x 处的一阶差分,记作△ y,对于△ y 在 x 处的一阶差分,称为 f(x) 在 x 处的二阶差分△ 2y,则 y=f(x)=3x· x 在 x 处的二阶差分△ 2y?____________. 6. 7.从 1~100 这 100 个自然数中取 2 个数,它们的和小于等于 50 的概率是__________. 8.正四面体 ABCD,如图建立直角坐标系,O 为 A 在底面的投 影,则 z M 点坐标是_________,CN 与 DM 所成角是_________. 9.双曲线 x2?y2=1 上一点 P 与左右焦点所围成三角形的面积 A ___________. M N 2 2 x y 10.椭圆 ? ? 1 在第一象限上一点 P(x0,y0),若过 P 的切线 B 与坐

4

3

O C

D x

y

标轴所围成的三角形的面积是_________. 二、解答题 11.不等式 log 2

2 x 2 ? 2kx ? k ? 0 对于任意 x∈R 都成立,求 k 的取值范围. 3x 2 ? 6 x ? 4

bx ? c 1 1 .(1) ,3 为不动点,求 a,b,c 的关系;(2) 若 f (1) ? ,求 f(x)的解析式;(3) x?a 2 2 sin ? ? cos? 13.已知 y ? (? ? [0, 2? )) ,(1) 求 y 的最小值;(2) 求取得最小值时的?. 2 ? sin ? ? cos?
12.不动点, f ( x) ? 14.正三棱柱 ABC-A1B1C1,|AA1|?h,|BB1|?a,点 E 从 A1 出发沿棱 A1A A 后沿 AD 运动,∠A1D1E??,求过 EB1C1 的平面截三棱柱所得的截 积 S 与?的函数关系式. 15.已知数列{an}满足 an ?1 ? bn=an?an?1(n=2,3,…), (2) 求 C D B (1) 若 A1 D1
n

运动, 面面

an ? an ?1 . 2

C1 B1

求 bn;

? b ;(3) 求 lim a
i ?1 i
n ??

n



16.抛物线 y2=2px,(1) 过焦点的直线斜率为 k,交抛物线与 A,B,求|AB|.(2) 是否存在正方形 ABCD, 使 C 在抛物线上,D 在抛物线内,若存在,求这样的 k,正方形 ABCD 有什么特点?

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上海交通大学 2004 年保送生考试数学试题(90 分钟)2004.1.3
一、填空题: 1.已知 x,y,z 是非负整数,且 x+y+z=10,x+2y+3z=30,则 x+5y+3z 的范围是__________. 2.长为 l 的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形,则它的面积的最大值是_________. 3.函数 y ?

sin x ? cos x ( 0 ? x ?

?
2

)的值域是_____________.

4.已知 a,b,c 为三角形三边的长,b=n,且 a≤b≤c,则满足条件的三角形的个数为________. 5. x ? ax ? b 和 x ? bx ? c 的最大公约数为 x ? 1 ,最小公倍数为 x ? (c ? 1) x ? (b ? 3) x ? d ,则
2 2
3 2

a =______, b =_______, c =_______, d =__________.
6.已知 1 ? a ? 7. ( 7
2004

2 ,则方程 a 2 ? x 2 ? 2 ? x 的相异实根的个数是__________.

? 36 ) 818 的个位数是______________.

8.已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , a 2 ? 2 ,且 a n ? 2 ? 3a n ?1 ? 2a n ,则 a 2004 =____________. 9. n ? n 的正方格,任取得长方形是正方形的概率是__________. 10.已知 6 xyzabc ? 7abcxyz ,则 xyzabc=_______________. 11. 12. 二、解答题 1.已知矩形的长、宽分别为 a、b,现在把矩形对折,使矩形的对顶点重合,求所得折线长. 2.某二项展开式中,相邻 a 项的二项式系数之比为 1:2:3:?:a,求二项式的次数、a、以及二项式 系数. 3.f(x)=ax4+x3+(5?8a)x2+6x?9a,证明: (1)总有 f(x)=0; (2)总有 f(x)≠0. 4. f 1 ( x ) ?

1? x ,对于一切自然数 n,都有 f n ?1 ( x) ? f1 [ f n ( x)] ,且 f 36 ( x) ? f 6 ( x) ,求 f 28 ( x) . x ?1

5.对于两条垂直直线和一个椭圆,已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心的轨迹.

6.已知 ?bn ? 为公差为 6 的等差数列, bn ?1 ? a n ?1 ? a n (n ? N ) . (1) 用 a1 、 b1 、 n 表示数列 ?a n ?的通项公式; (2) 若 a1 ? ?b1 ? a , a ? [27,33] ,求 a n 的最小值及取最小值时的 n 的值.

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复旦大学 2004 年保送生考试数学试题(150 分钟)2003.12.21
一、填空题(每题 8 分,共 80 分) 1. x ? 1 ? ( x ? 2 x ? 1)( x ? ax ? 1) ,则 a ? _________.
8 4 2 4 2

2.已知 5 x ? 3 ? 5 x ? 4 ? 7 ,则 x 的范围是___________.

3.椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,则椭圆内接矩形的周长最大值是___________. 16 9

4.12 只手套(左右有区别)形成 6 双不同的搭配,要从中取出 4 只正好能形成 2 双,有____种取法. 5.已知等比数列 ?a n ?中 a1 ? 3 ,且第一项至第八项的几何平均数为 9,则第三项为______. 6. x ? (a ? 1) x ? a ? 0 的所有整数解之和为 27,则实数 a 的取值范围是___________.
2

7.已知

( x ? 4) 2 y 2 x2 y2 的最大值为____________. ? ? ? 1,则 4 9 4 9
2

8.设 x1 , x 2 是方程 x ? x sin ? ? cos ? ? 0 的两解,则 arctgx 1 ? arctgx 2 =__________. 9. z ? z 的非零解是___________.
3

3 5

3 5

1? x

10. y ? 2 1? x 的值域是____________. 二、解答题(每题 15 分,共 120 分) 1.解方程: log 5 ( x ?

x ? 3) ? 1.

2.已知 sin(? ? ? ) ?

12 4 ? , sin(? ? ? ) ? ? ,且 ? ? 0, ? ? 0, ? ? ? ? ,求 tg 2? . 13 5 2

3.已知过两抛物线 C1: x ? 1 ? ( y ? 1) 2 ,C2: ( y ? 1)2 ? ?4 x ? a ? 1 的交点的各自的切线互相垂直,求 a .

4.若存在 M ,使任意 t ? D ( D 为函数 f ( x) 的定义域) ,都有 f ( x ) ? M ,则称函数 f ( x) 有界.问 函数 f ( x) ?

1 1 1 sin 在 x ? (0, ) 上是否有界? x x 2
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5.求证: 1 ?

1 23

?

1 33

???

1 n3

? 3.

6.已知 E 为棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB 的中点,求点 B 到平面 A1EC 的距离.

7.比较 log 24 25 与 log 25 26 的大小并说明理由.

8.已知数列 ?a n ?、 ?bn ? 满足 a n ?1 ? ?a n ? 2bn ,且 bn ?1 ? 6a n ? 6bn ,又 a1 ? 2 , b1 ? 4 , 求 (1) a n , bn ; (2) lim

an . bn

26 / 52

简单解答: 一、填空题:1. ? 2 二、解答题: 5.证明 1: 2. (?0.6,0.8) 3.20 4.

1 3

1 m3

?

1 (m ? 1)m(m ? 1)
=(

?( 1

1 (m ? 1)m )? 1 m ?

?

1 (m ? 1)m

)?

1 m ?1 ? m ?1

1 m ?1

?

m ?1

m ?1 ? m ?1 2



m ?1 ? m ?1 ? 2 1 m
3

m ?1? m ?1 ? m 2

?

1 m ?1

?

1 m ?1

原式<1+ ?

1 1

2 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?3 =2? ? ? ??? ? 2 3 2 4 n ?1 n ?1 n n ?1
n(n ? 1) ? (n ? 1)( n ? 1)
1 n ? 1( n ? n ? 1)
? n ? n ?1 n(n ? 1) ?

证明 2: 2n ? n ? n ?

1 ? 2n
1 2n n

?
1

n ? n ?1 n ?1
? 1 n

n ?1

原式〈 1 ? 2(1 ?

1 1 1 1 1 ? 1 ? ??? ? ) ? 3? ?3 2 2 3 n ?1 n n

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同济大学 2004 年自主招生优秀考生文化测试数学试卷
一、填空题(本大题共有 8 题,只要求直接填写结果,每题答对得 5 分,否则一律得零分,本 大题满分 40 分) 1.函数 f ( x) ? log 1 (sin x ? cos x) 的单调递增区间是_______________________.
2

2.如图所示,为某质点在 20 秒内作直线运动时,速度函数 v ? v(t ) 的 图象,则该质点运动的总路程 s=_____(厘米) . 3.设 a 与 b 是两条非相互垂直的异面直线,?与?分别是过直线 a 与 b 的平面,有以下 4 个结论:(1) b//?,(2) b??,(3) ?//?,(4) ???, 则其中不可能出现的结论的序号为__________. 4.设某地于某日午后 2 时达到最高水位,为 3.20 米,下一个最高水位 恰在 12 小时后达到,而最低水位为 0.20 米。若水位高度 h(米) 的变化由正弦或余弦函数给出,则该地水位高度 h(米)作为时间 ( t 单位: 时, 从该日零时起算) 的函数的表达式为_______________. 5.设?是第二象限角, sin ? ? v(cm/s) 20 15 10 5 O 5 10 15 t(s)

3 ? 57 ? , 则 sin ? ? ? 2? ? =_____________________. 5 ? 8 ?
2

6. 已知复平面上点 A 与点 B 分别对应复数 2 与 2i, 线段 AB 上的动点 P 对应复数 Z, 若复数 z 对应点 Q, 点 Q 坐标为(x,y),则点 Q 的轨迹方程为________________________. 7.设有正数 a 与 b,满足 a<b,若实数 x1,y1,x2,y2,使 x1+y1 是 a 与 b 的算术平均数,x2· y2 是 a 与 b 的几何 平均数,则

x1 ?y1 的取值范围是_________________. ( x2 ? y2 ) 2

8.从 0,1,2,?,9 这 10 个数码中随机抽出 5 个,排列成一行,则恰好构成可以被 25 整除的五位数的概率 是_______________(用分数给出答案) . 二、解答题(本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤,本大题满分 60 分) 9. (本题满分 12 分)试利用三角函数求函数 f ( x) ? 4 ? 2 x ? x 1 ? x 的最大值与最小值.
2 2

10. (本题满分 12 分)求证:对于任何实数 a 与 b,三个数:|a+b|,|a-b|,|1?a|中至少有一个不小于

1 . 2

28 / 52

11. (本题满分 12 分)设抛物线 y=x2?(2k?7)x?4k?12 与直线 y=x 有两个不同的交点,且交点总可以被一个 半径为 1 的圆片所同时遮盖,试问:实数 k 应满足什么条件?

12. (本题满分 12 分)设四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方 形,且 PA⊥面 ABCD. (1) 求证:直线 PC⊥直线 BD; (2) 过直线 BD 且垂直于直线 PC 的平面交 PC 于点 E,如果三棱锥 E—BCD 的体积取到最大值,求此时四棱锥 P—ABCD 的高. B

P

E A C D

13. (本题满分 12 分)设有抛物线 y2=2px(p>0),点 B 是抛物线的焦点,点 C 在正 x 轴上,动点 A 在抛物 线上,试问:点 C 在什么范围之内时∠BAC 是锐角?

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上海交通大学 2005 年保送、推优生数学试题
一、填空题(每小题 5 分,共 50 分) 1.方程 x 2 ? px ?

1 4 ? 2 ? 2 ,则 p?_________(p?R) . ? 0 的两根 x1 , x2 满足 x14 ? x2 2 2p

41 ? , x ? (0, ) ,则 x=________________. 128 2 1 1 2004 3.已知 n?Z,有 (1 ? )n ?1 ? (1 ? ) ,则 n?______________. n 2004
2. sin 8 x ? cos8 x ? 4.将 3 个 12cm× 12cm 的正方形沿邻边的中点剪开,分成两部分(如左图) ,将这 6 部分接于一个边长为 ,若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图,该多面 6 2 的正六边形上(如下图) 体的体积为_____________.

5.已知 2 3 ? 3 ?
2 2 2 2

3x ?

3 y ,x、y?R,则(x,y)=_______________.
n ?1

6. 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? ? ? (?1)

(2n)2 =___________.

7.若 z3=1,且 z?C,则 z3?2z2?2z?20?_____________. 8.一只蚂蚁沿 1× 2× 3 立方体表面爬,从一对角线一端到另一端最短距离为_______________. 9. 4 封不同的信放入 4 只写好地址的信封中, 装错的概率为______, 恰好只有一封装错的概率为_______. 10.已知等差数列{an}中, a3 ? a7 ? a11 ? a19 ? 44 , a5 ? a9 ? a16 =______________. 二、解答题(第 1 题 8 分,第 2、3、4 题各 10 分,第 5 题 12 分) 1. x ? ax ? bx ? c ? 0 的三根分别为 a,b,c,并且 a,b,c 是不全为零的有理数,求 a,b,c 的值.
3 2

30 / 52

2.是否存在三边为连续自然数的三角形,使得 (1) 最大角是最小角的两倍;(2) 最大角是最小角的三倍; 若存在,求出该三角形;若不存在,请说明理由.

3. y ?

ax 2 ? 8 x ? b 的最大值为 9,最小值为 1,求实数 a,b. x2 ? 1

4.已知月利率为?,采用等额还款方式,则若本金为 1 万元,试推导每月等额还款金额 m 关于?的函数关 系式(假设贷款时间为 2 年) .

5.对于数列{an}:1,3,3,3,5,5,5,5,5,?,即正奇数 k 有 k 个,是否存在整数 r,s,t,使得对于任意正整数 n 都 有 an ? r ?[ n ? s ] ? t 恒成立([x]表示不超过 x 的最大整数) .

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2005 年复旦大学考试试卷
一、填空题:
C x 1? x 1.A= x ? R | log 2 x ? x ? 1 ? 0 ,B= x ? R | 2 ? 2 ? 1 ,A ? B =______ ( B C 表示 B 在 R 上的
2

?

?

? ?

?

?

补集). 2.数 x 满足 x ?

1 1 ? ?1 ,求 x 300 ? 300 ? _______. x x

3.求?= 5 3 sin ? ? 5cos ? 的圆心坐标, ? ? ?0,2? ?
2 2 4.抛物线 y ? 2 x ? 2ax ? a 与直线 y ? x ? 1 交于 A 和 B 两点, AB 最大时, a=______.

5. lim
n??

?

n2 ? n ? 1 ? n2 ? n ? 1 ?________.
n(n ? 1) ? ______. 2

?

6.求 1+3+6+?+

7.一个班 20 个学生,有 3 个女生,抽 4 个人去参观展览馆,恰好抽到 1 个女生的概率为________. 8.求 3
1000

在十进制中最后 4 位_____________________.

9.定义在 R 上的函数 f(x)(x?1)满足 f ? x ? ? 2 f ? 10.求 y ? 二、解答题 1.在四分之一个椭圆 形的面积最小. 2.在 ΔABC 中,tanA:tanB:tanC=1:2:3,求

? x ? 2002 ? ? ? 4015 ? x ,则 f(2004)?______. ? x ?1 ?

1 ? sin x 的最大值是__________________. 2 ? cos x
x2 y2 ? ? 1(x>o, y>0)上取一点 P,使过 P 点椭圆的切线与坐标轴所围成的三角 a2 b2

AC . AB

3.在正方体 A B C D—A1B1C1D1 中,E、F、G 点分别为 AD、AA1、A1B1 中点, 求:(1) B 到面 EFG 距离;(2) 二面角 G—EF—D1 平面角?. 4.在实数范围内求方程: 4 10 ? x ? 4 7 ? x ? 3 的实数根. 5.已知 sin ? ? cos? ? a 0 ? a ?

?

2 ,求 sin n ? ? cosn ? 关于 a 的表达式.

?

6.直线 l 与双曲线 xy?1 交于 P 和 Q 两点,直线 l 与 x 轴交于 A,与 y 轴交于 B,求证: AP ? BQ . 7.定义在 R 上的函数 f ? x ? ?

4x ?1? , Sn ? f ? ? ? x 4 ?2 ?n?

?2? f ? ? ??? ?n?

? n ?1? f? ? ? n ?

n=2,3,?

(1) 求 S n ; (2) 是否存在常数 M>0, ?n ? 2 ,有
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1 1 1 ? ?? ? ?M. S 2 S3 S n ?1

2006 年上海交通大学推优、保送生考试数学试题
一、填空题(每题 5 分,共 50 分) 1. 矩形 ABCD 中, AD=a, AB=b, 过 A、 C 作相距为 h 的平行线 AE、 CF, 则 AF=____. A 2.一个正实数与它的整数部分,小数部分成等比数列,那么这个正实数是 _________. 3.2005!的末尾有连续________个零. B 4. ( x ? x ? 2) 展开式中, x 项的系数为__________.
2 10

F

D

E

C

3

5.在地面距离塔基分别为 100m、200m、300m 的 A、B、C 处测得塔顶的仰角分别为

? , ? , ? , 且 ? ? ? ? ? ? 90? ,则塔高为______________.
6.三人玩剪子、石头、布的游戏,在一次游戏中,三人不分输赢的概率为_____________;在一次游戏 中,甲获胜的概率为___________. 7.函数 y ? ? log3 ( x ? ax ? a) 在 (??,1 ? 3) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是________.
2

8. ? 是 x ? 1 的非实数根, ? (? ? 1)(? ? 1) =_____________.
5
2

9.2 张 100 元,3 张 50 元,4 张 10 元人民币,共可组成_______种不同的面值. 10.已知 ak ?

k ?2 ,则数列 {an } 前 100 项和为___________. k !? (k ? 1)!? (k ? 2)!

二、解答题(第 11 题 8 分,第 12、13、14 题每题 10 分,第 15 题 12 分) 11.a,b,c?R,abc?0,b?c,a(b?c)x2?b(c?a)x?c(a?b)?0 有两个相等根, 求证:

1 1 1 , , 成等差数列. a b c

12.椭圆

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 1) ,一顶点 A(0,1),是否存在这样的以 A 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三 a2

角形,若存在,求出共有几个,若不存在,请说明理由. 13.已知|z|=1,k 是实数,z 是复数,求|z2+kz+1|的最大值. 14.若函数形式为 f ( x, y) ? a( x)b( y) ? c( x)d ( y), 其中 a( x), c( x) 为关于 x 的多项式,b( y), d ( y) 为关于 y 的多项式,则称 f ( x, y ) 为 P 类函数,判断下列函数是否是 P 类函数,并说明理由. (1) 1+xy;
3 2 2

(2) 1+xy+x2y2.

15.设 k ? 9, 解方程 x ? 2kx ? k x ? 9k ? 27 ? 0 .

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2006 年复旦大学推优、保送生考试数学试题
1. (本题 20 分)求和: (1) 7 ? 77 ? 777 ? ? ? 777 ? 7 ? ? ? ? ?
n个7

(2) 2005 ? 20052005 ? 200520052005 ? ? ? 2005 ? 20052005 ??? ? ???? ?
n个2005

2. (本题 15 分)试构造函数 f(x),g(x)其定域为(0,1) ,值域为 [0,1] (1) 对于任意 a?[0,1],f(x)?a 只有一解; (2) 对于任意 a?[0,1],g(x)?a 有无穷多个解. 3. (本题 15 分)对于一个四位数,其各位数字至多有两个不相同,试求共有多少个这种四位数. 4. (本题 15 分)对于任意 n ? N , x1 , x2 ,? xn 均为非负实数,且 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 试用数学归纳法证明: (1 ? x1 )(1 ? x2 )? (1 ? xn ) ?
0 2 1 2 2 2

1 , 2

1 成立. 2
n 2 n

5. (本题 20 分)求证: (Cn ) ? (Cn ) ? (Cn ) ? ? ? (Cn ) ? C2 n . 6. (本题 20 分)a,b 满足何条件,可使

x 2 ? ax ? b ? 1 恒成立. x2 ? 2x ? 2

7. (本题 20 分)下列各式能否在实数范围内分解因式?若能,请作出分解;若不能,请说明理由.(1) x+1 (2) x2+x+1 (3) x3+x2+x+1 (4) x4+x3+x2+x+1 8. (本题 20 分)解三角方程: a sin( x ?

?
4

) ? sin 2 x ? 9, a 为一实常数.

9. (本题 20 分)已知曲线 C : 线 C ?? 关于直线 y ? ?

x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C 关于直线 y ? 2 x 对称的曲线为曲线 C ? ,曲线 C ? 与曲 4

1 x ? 5 对称,求曲线 C ? 、 C ?? 的方程. 2
2

10. (本题 20 分)已知抛物线 y ? ax ,直线 l1 , l2 都过点(1,?2)且互相垂直,若抛物线与直线 l1,l2 中至 少一条相交,求 a 的取值范围. 11. (本题 15 分)f(x)在[1,??)上单调递增,且对任意 x,y?[1,??),都有 f(x?y)?f(x)?f(y)成立,证明:存在常 数 k,使 f(x)?kx 在 x?[1,??)上成立.

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上海交通大学 2007 年冬令营选拔测试数学试题
一、填空题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设函数 f ( x) 满足 2 f (3x) ? f (2 ? 3x) ? 6 x ? 1 ,则 f ( x) ?



2.设 a, b, c 均为实数,且 3 ? 6 ? 4 ,则
a b

1 1 ? ? a b



3.设 a ? 0 且 a ? 1 ,则方程 a ? 1 ? ? x ? 2 x ? 2a 的解的个数为
x 2



4.设扇形的周长为 6,则其面积的最大值为 5. 1?1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ?? n ? n! ?
2 2

. .

6 .设不等式 x( x ? 1) ? y(1 ? y) 与 x ? y ? k 的解集分别为 M 和 N .若 M ? N ,则 k 的最小值 为 .

7.设函数 f ( x) ?

x x

,则 S ? 1 ? 2 f ( x) ? 3 f ( x) ? ? ? nf
2

n ?1

( x) ?



8.设 a ? 0 ,且函数 f ( x) ? (a ? cos x)(a ? sin x) 的最大值为

25 ,则 a ? 2



9.6 名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考,考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交 卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 . 10 . 已 知 函 数 f1 ( x) ?

2x ?1 , 对 于 n ? 1, 2, ? , 定 义 f n?1 ( x) ? f1 ( f n ( x)) , 若 f3 5( x) ? f5 ( x), 则 x ?1


f 28 ( x) ?

35 / 52

二、计算与证明题(每小题 10 分,共 50 分) 11.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径 R ,工人用三个半径均为 r 的圆柱形量棒 O1 , O2 , O3 放在如图与工件圆弧相切 的位置上,通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒 O2 顶侧面的垂直深度 h ,试写出 R 用 h 表示的函数 关系式,并计算当 r ? 10mm, h ? 4mm 时, R 的值.

12.设函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,试讨论 f ( x) 的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性) ,求其极值, 并作出其在 ? 0, 2? ? 内的图像.

36 / 52

13.已知线段 AB 长度为 3 ,两端均在抛物线 x ? y 上,试求 AB 的中点 M 到 y 轴的最短距离和此时 M
2

点的坐标.

14.设 f ( x) ? (1 ? a) x ? x ? (3a ? 2) x ? 4a ,试证明对任意实数 a :
4 3 2

(1)方程 f ( x) ? 0 总有相同实根; (2)存在 x0 ,恒有 f ( x0 ) ? 0 .

37 / 52

15.已知等差数列 ? an ? 的首项为 a ,公差为 b ,等比数列 ?bn ? 的首项为 b ,公比为 a , n ? 1, 2,? ,其中

a, b 均为正整数,且 a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 .
(1)求 a 的值; (2)若对于 ?an ? , ?bn ? ,存在关系式 am ? 1 ? bn ,试求 b 的值; (3)对于满足(2)中关系式的 am ,试求 a1 ? a2 ? ? ? am .

参考答案: 1. 2 x ? 1 2. 3. 4. 5. 6.

?
2

1 2

9 4

? n ? 1?!? 1
2

7.

?1 n ? n ? 1? x?0 ? ?2 ? n ?1 ? ? ?1? ? 2n ? 1? x ? 0 ? ? 4

8. 9.

?2 2

43 45 2x ? 3 10. 5 ? 3x 2 2 11. R ? r ? r , R ? 60mm h
? 12. ?1, 2 ? ;偶函数; ? k? ,
? ?

1 ?2

1 ?? k? ? ? ? 2 4?

1 ? k ?1 ? ? ? ? ? ? k ? Z ? ;周期为 ?k ? Z ? ; ? ? k? ? , ?2 4 2 ?

2

13. d min ?

?5 2? 5 ;M ? ,? ? ?4 2 ? 4 ? ?
2 n ?3

14. 略;反证法 15. 2;3; 3 ? 2

? 2n ? 2

38 / 52

2008 年交大冬令营数学试题 2008.1.1
一.填空题 1.若 f ( x) ? 2.函数 y ?

2x ? 1 3 ?1 , g ( x) ? f ( x) ,则 g ( ) ? _______ . x 2 ?1 5

x ?1 的最大值为__________. x2 ? 8

3.等差数列中, 5a8 ? 3a13 ,则前 n 项和 S n 取最大值时, n 的值为__________. 4.复数 | z |? 1 ,若存在负数 a 使得 z ? 2az ? a ? a ? 0 ,则 a ? ________ .
2 2

5.若 cos x ? sin x ?

1 3 3 ,则 cos x ? sin x ? ________ . 2
1 ,则这个数列的前 99 项之和 S99 ? _______ . n n ? 1 ? (n ? 1) n
98 99

6.数列 ? an ? 的通项公式为 an ?
2

7. (1 ? x) ? (1 ? x) ? …… ?(1 ? x) ? (1 ? x) 中 x 的系数为 ________ .
3

8. 数列 ? an ? 中,a0 ? 0 ,a1 ? ?

1 3 5 7 ,a2 ? 6 ,a3 ? ? ,a4 ? 20 ,a5 ? ? ,a6 ? 42 ,a7 ? ? ,a8 ? 72 , 2 4 6 8

此数列的通项公式为 an ? _______ . 9.甲、乙两厂生产同一种商品.甲厂生产的此商品占市场上的 80%,乙厂生产的占 20%;甲厂商品的合 格率为 95%,乙厂商品的合格率为 90%.若某人购买了此商品发现为次品,则此次品为甲厂生产的概率为 __________ . 10.若曲线 C1 : x ? y ? 0 与 C2 : ( x ? a ) ? y ? 1 的图像有 3 个交点,则 a ? _______ .
2 2
2 2

二.解答题 1.30 个人排成矩形,身高各不相同.把每列最矮的人选出,这些人中最高的设为 a ;把每行最高的人选 出,这些人中最矮的设为 b . (1) a 是否有可能比 b 高? (2) a 和 b 是否可能相等? 2.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,且 f ( x) ? x 没有实数根.那么 f ( f ( x)) ? x 是否有实数根?并
2

证明你的结论. 3.世界杯预选赛中,中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在 A 组,进行主客场比赛.规定每场比赛胜 者得三分,平局各得一分,败者不得分.比赛结束后前两名可以晋级. (1)由于 4 支队伍均为强队,每支队伍至少得 3 分.于是 甲专家预测:中国队至少得 10 分才能确保出线; 乙专家预测:中国队至少得 11 分才能确保出线. 问:甲、乙专家哪个说的对?为什么? (2)若不考虑 ?1? 中条件,中国队至少得多少分才能确保出线?
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, a 4 . 通 信 工 程 中 常 用 n 元 数 组 (a1 , a2 , a3 …… 表 示 信 息 , 其 中 ai ? 0 或 1 , i、n ? N . 设 n ) u ?(a …… a, ) v ? (b1 , b2 , b3……bn ) , d (u, v) 表示 u 和 v 中相对应的元素不同的个数. 1, a 2 , a 3 n
(1) u ? (0,0,0,0,0) 问存在多少个 5 元数组 v 使得 d (u, v) ? 1 ; (2) u ? (1,1,1,1,1) 问存在多少个 5 元数组 v 使得 d (u, v) ? 3 ; (3)令 w ? (0, 0, 0……0) , u ? (a1 , a2 , a3……an ) , v ? (b1 , b2 , b3……bn ) ,

?? ?? ?
n个 0

求证: d (u, w) ? d (v, w) ? d (u, v) .

2 2 5.曲线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 与圆 ( x ? 2) ? y ? 3 交于 A、B 两点,线段 AB 的中点在 y ? x 上,求 p .
2

40 / 52

2008 年交大冬令营数学试题参考答案 2008.1.1
一.填空题 1.若 f ( x) ? 2.函数 y ?

2x ? 1 3 ?1 , g ( x) ? f ( x) ,则 g ( ) ? _______ .2 x 2 ?1 5

x ?1 1 的最大值为__________. 2 x ?8 4

3.等差数列中, 5a8 ? 3a13 ,则前 n 项和 S n 取最大值时, n 的值为__________.20 4.复数 | z |? 1 ,若存在负数 a 使得 z ? 2az ? a ? a ? 0 ,则 a ? ________ .
2 2

1? 5 2

5.若 cos x ? sin x ?

1 11 3 3 ,则 cos x ? sin x ? ________ . 2 16
1 9 ,则这个数列的前 99 项之和 S99 ? _______ . 10 n n ? 1 ? (n ? 1) n
98 99
4

6.数列 ? an ? 的通项公式为 an ?
2

3 7. (1 ? x) ? (1 ? x) ? …… ?(1 ? x) ? (1 ? x) 中 x 的系数为 ________ . C100 ? 3921225

8. 数列 ? an ? 中,a0 ? 0 ,a1 ? ?

1 3 5 7 ,a2 ? 6 ,a3 ? ? ,a4 ? 20 ,a5 ? ? ,a6 ? 42 ,a7 ? ? ,a8 ? 72 , 2 4 6 8
n ( ?1)
n

此数列的通项公式为 an ? _______ . ( ?1) n( n ? 1)

9.甲、乙两厂生产同一种商品.甲厂生产的此商品占市场上的 80%,乙厂生产的占 20%;甲厂商品的合 格率为 95%,乙厂商品的合格率为 90%.若某人购买了此商品发现为次品,则此次品为甲厂生产的概率为

__________ .

2 3
2 2
2 2

10.若曲线 C1 : x ? y ? 0 与 C2 : ( x ? a ) ? y ? 1 的图像有 3 个交点,则 a ?

. ?1

二.解答题 1.30 个人排成矩形,身高各不相同.把每列最矮的人选出,这些人中最高的设为 a ;把每行最高的人选 出,这些人中最矮的设为 b . (1) a 是否有可能比 b 高? (2) a 和 b 是否可能相等? 1. 解: ?1? 不可能 ① 若 a、b 为同一人,有 a ? b ; ② 若 a、b 在同一行、列,则均有 a ? b ; ③ 若 a、b 不在同一行、 列, 同如图 1 以 5*6 的矩形为例, 记 a 所在列与 b 所在行相交的人为 x 。 因为 a 为 a、x 列最矮的人,所以有 a ? x ; 又因为 b 为 b、x 列最高的人,所以有 b ? x ; 于是有 a ? x ? b 。 综上,不可能有 a ? b
41 / 52

? 2 ? 有可能,不妨令 30 个人身高由矮至高分别为1, 2,3……30 ,如图 2 所示:
此时有 a ? b ? 26 . 2.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,且 f ( x) ? x 没有实数根.那么 f ( f ( x)) ? x 是否有实数根?并
2

证明你的结论. 解:没有. 法一: f ( x) ? x ? ax ? (b ? 1) x ? c ? 0 无实数根,
2

? ? (b ? 1)2 ? 4ac ? 0 ;

f ( f ( x)) ? x ? 0 .
a(ax 2 ? bx ? c)2 ? b(ax 2 ? bx ? c) ? c ? x ? 0 a(ax 2 ? bx ? c)2 ? ax 2 ? ax 2 ? b(ax 2 ? bx ? c) ? c ? x ? 0 . a(ax 2 ? bx ? c ? x)(ax 2 ? bx ? c ? x) ? (b ? 1)ax 2 ? (b 2 ? 1) x ? c(b ? 1) ? 0 .
2 2 2 a? ? ax ? (b ? 1) x ? c ? ?? ? ax ? (b ? 1) x ? c ? ? ? (b ? 1) ? ? ax ? (b ? 1) x ? c ? ? ? 0. 2 2 2 ? ? ax ? (b ? 1) x ? c ? ?? ? a x ? a(b ? 1) x ? b ? c ? 1? ? ?0.

于是有 ax ? (b ? 1) x ? c ? 0 或 a x ? a(b ? 1) x ? ac ? b ? 1 ? 0 .
2 2 2

?1 ? (b ? 1)2 ? 4ac ? 0 ;
? 2 ? a 2 (b ? 1)2 ? 4a 2 (ac ? b ? 1)
2 ? a2 ? a? c ? ? ?( b? 1 ) ? 4 ?4 2 4 a ? 。 0

故均不存在实数根。 法二:若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x , 于是 f ( f ( x)) ? f ( x) ? x ; 若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x , 于是 f ( f ( x)) ? f ( x) ? x ;
42 / 52

所以 f ( f ( x)) ? x 没有实数根。 3.世界杯预选赛中,中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在 A 组,进行主客场比赛.规定每场比赛胜 者得三分,平局各得一分,败者不得分.比赛结束后前两名可以晋级. (1)由于 4 支队伍均为强队,每支队伍至少得 3 分.于是 甲专家预测:中国队至少得 10 分才能确保出线; 乙专家预测:中国队至少得 11 分才能确保出线. 问:甲、乙专家哪个说的对?为什么? (2)若不考虑 ?1? 中条件,中国队至少得多少分才能确保出线? 解: ?1? 乙专家 若中国队得 10 分,则可能出现其余三队 12 分、10 分、10 分的情况,以澳大利亚 12 分, ,卡塔尔 10 分,伊拉克 3 分为例,得分情况如下表。中国队无法确保晋级,因此甲专家说的不对。 澳 澳 中 中 卡 卡 伊 伊 总分 3 0 3 0 3 3 12 澳 3 1 3 0 3 10 中 0 3 1 0 3 3 10 卡 0 0 3 0 0 0 3 伊 0 假设中国队得了 11 分而无法晋级,则必为第三名,而第一名、第二名均不少于 11 分,而第四名不少 于 3 分。12 场比赛四队总得分至多 36 分,所以前三名 11 分,第四名 3 分。而四队总分 36 分时不能出现 一场平局,而 11 不是 3 的倍数,故出线平局,矛盾! 所以中国队得 11 分可以确保出线。

? 2 ? 若中国队得 12 分,则可能出线如表情况,仍无法确保晋级。
总分 12 澳 3 12 中 0 3 3 0 12 卡 0 0 0 0 0 0 0 伊 0 假设中国队得 13 分仍无法出线,则必为第 3 名,则第一名、第二名均不少于 13 分,总得分已经不少 于 39 分大于 36 分,矛盾! 故中国队至少得 13 分才可以确保出线。 澳 澳 中 3 中 0 卡 3 0 卡 0 3 伊 3 3 3 伊 3 3 3

, a 4 . 通 信 工 程 中 常 用 n 元 数 组 (a1 , a2 , a3 …… 表 示 信 息 , 其 中 ai ? 0 或 1 , i、n ? N . 设 n ) u ?(a …… a, ) v ? (b1 , b2 , b3……bn ) , d (u, v) 表示 u 和 v 中相对应的元素不同的个数. 1, a 2 , a 3 n
(1) u ? (0,0,0,0,0) 问存在多少个 5 元数组 v 使得 d (u, v) ? 1 ; (2) u ? (1,1,1,1,1) 问存在多少个 5 元数组 v 使得 d (u, v) ? 3 ; (3)令 w ? (0, 0, 0……0) , u ? (a1 , a2 , a3……an ) , v ? (b1 , b2 , b3……bn ) ,

?? ?? ?
n个 0

求证: d (u, w) ? d (v, w) ? d (u, v) .

43 / 52

解: ?1? 5;

? 2 ? C53 ? 10 ;
对应项同时为 1 的项的个数为 q , 则对应项一个为 1, ? 3? 记 u、v 中对应项同时为 0 的项的个数为 p , 一个为 0 的项的个数为 n ? p ? q ; ( p、q ? N,p ? q ? n) .

d (u, w) 即是 u 中 1 的个数,d (v, w) 即是 v 中 1 的个数, d (u, v) 是 u、v 中对应项一个为 1,一个为 0
的项的个数。 于是有 d (u, v) ? n ? p ? q

u、v 中 1 一共有 2q ? (n ? p ? q) 个,即 d (u, w) ? d (v, w) ? n ? p ? q
所以有 d (u, w) ? d (v, w) ? d (u, v) ? 2q ? 0 于是 d (u, w) ? d (v, w) ? d (u, v) .
2 2 5.曲线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 与圆 ( x ? 2) ? y ? 3 交于 A、B 两点,线段 AB 的中点在 y ? x 上,求 p .
2

解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 联立 ( x ? 2) ? y ? 3 与 y ? 2 px ,
2 2 2

得: x ? 2( p ? 2) x ? 1 ? 0 .
2



x1 ? x2 ? 2 ? p , x1 x2 ? 1 ; 2

2 2 y12 ? y2 ?( y1 ? y) ?2 y1 y2 ?2 p ( x x ) 2 1? 2

且 y1 ? y2 ? x1 ? x2 . 得 y1 y2 ? 4(2 ? p)(1 ? p) . 又 y1 y2 ? 4 p x1 x2 ? 4 p .
2 2 2 2

所以 y1 y2 ? 2 p ? 8 ? 12 p ? 4 p 解得 p ?

2

7 ? 17 7 ? 17 或p? (舍) . 4 4

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复旦大学 2006 年自主选拔录取申请资格测试试卷(B 卷)
本试卷 27 页,满分为 1000 分;每题 5 分;考试时间为 180 分钟。

考生注意: 1、 答卷前,考生务必在试卷和答题卡上都用钢笔或圆珠笔填写姓名、准考证号,并用 2B 铅笔在答题卡上 正确涂写试卷类型(A 卷或 B 卷)和准考证号。 2、 本卷为单选题,由机器阅卷,答案必须全部涂在答题卡上 。在答题卡上,考生应将代表正确答案的小 方格用铅笔涂黑。注意试题题号和答题卡编号一一对应,不能错位。答案需要更改时,必须将原选项 用橡皮擦去,重新选择并填涂。答案不能写在试卷上,写在试卷上一律不给分。 107.在(x2-

1 10 ) 的展开式中系数最大的项是_________。 x

A.第 4、6 项 B.第 5、6 项 C.第 5、7 项 D.第 6、7 项 108.设函数 y=? (x)对一切实数 x 均满足 ?(5+x)=?(5-x),且方程 ?(x)=0 恰好有 6 个不同的实根,则 这 6 个实根的和为______。 A.10 B.12 C.18 D.30 109.若非空集合 X={x|a+1≤x≤3a-5} ,Y={x|1≤x≤16} ,则使得 X ? X∪Y 成立的所有 a 的集合是 _______。 A. {a|0≤a≤7} B. {a|3≤a≤7} C. {a|a≤7} 2 2 110.设 z 为复数,E={z|(z-1) =|z-1| } ,则下列_____是正确的 A.E={纯虚数} B.E={实数} C.{实数} ? E ? {复数} D.E={复数}
2 2 2

D.空集

( y ? 1) 2 111.把圆 x +(y-1) =1 与椭圆 x + =1 的公共点,用线段连接起来所得到的图形为_______。 9
A.线段 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.四边形

112.在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,则 AB1 与 C1B 所成的角的大小是______。 A.60° B.75° C.90° D.105° 113.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物,每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表所示: 货物 甲 乙 托运限制 体积 每箱(米 3) 20 10 110 重量 每箱(吨) 10 20 100 D.64 利润 每箱(百元) 8 10

在最合理的安排下,获得的最大利润是_________百元。 A.58 B.60 C.62

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 114.若向量 a +3 b 垂直于向量 7 a -5 b ,并且向量 a -4 b 垂直于向量 7 a -2 b ,则向量 a 与 b 的夹角为
_______。 A.

? ; 2

B.

? ; 3

C.

? ; 4

D.

? . 6

115.复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛,共有十人参赛,其中一班有三位,二班有两位, 其它班有五位。若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班的三位同学恰好演讲序号相连。问二 班的两位同学的演讲序号不相连的概率是______。 A.

1 20

B.

1 40

C.

1 60

D.

1 90

45 / 52

116.已知 sin ? , cos ? 是关于 x 的方程 x2-αx+α=0 的两个根,这里 α∈R。则 sin 3 ? + cos3 ? =____。 A.-1- 2 ; B.1+ 2 ; C.-2+ 2 D.2- 2

117.设 z1,z2 为一对共轭复数,如果|z1-z2|= 6 且

z1 为实数,那么|z1|=|z2|=______。 2 z2
D. 6

A. 2

B.2

C.3

118.若四面体的一条棱长是 x,其余棱长都是 1,体积是 V(x),则函数 V(x)在其定义域上为______。 A.增函数但无最大值 B.增函数且有最大值 C.不是增函数且无最大值 D.不是增函数但有最大值 119.下列正确的不等式是______。 A.16<

?
k ?1

120

1 <17; k 1 <21; k

B.18<

?
k ?1

120

1 <19; k 1 <23. k

C.20<

?
k ?1

120

D.22<

?
k ?1

120

120.设{αn}是正数列,其前 n 项和为 Sn,满足:对一切 n∈Z+,αn 和 2 的等差中项等于 Sn 和 2 的等比中 项,则 lim
x ??

?n =_______。 n

A.0 B.4 C.12 D.100 2 2 121.已知 x1,x2 是方程 x -(α-2)x+(α +3α+5)=0(α 为实数)的两个实根,则 x12+x22 的最大值为_______。 A.18 B.19 C.20 D.不存在 122.条件甲: 1 ? sin ? =α。条件乙: sin A.甲是乙的充分必要条件 C.甲是乙的充分条件

?
2

+ cos

?
2

=α。则下列________是正确的。

B.甲是乙的必要条件 D.甲不是乙的必要条件,也不是充分条件

123.已知函数?(x)的定义域为(0,1) ,则函数 g(x)= ?(x+c)+?(x-c)在 0<c< A.(-c,1+c); B.(1-c,c); C.(1+c,-c); D.(c,1-c);

1 时的定义域为______。 2

124.函数 y=2x+ 1 ? 2 x 的最值为______。

5 5 ,ymax= ; 4 4 5 C.ymin= ? ,无最大值 4
A.ymin= ?

B.无最小值,ymax=

5 ; 4

D.既无最小值也无最大值

125.等差数列{αn}中,α5<0,α6>0 且 α6>|α5|,Sn 是前 n 项之和,则下列______是正确的。 A.S1,S2,S3 均小于 0,而 S4,S5,?均大于 0 B.S1,S2,?,S5 均小于 0,而 S6,S7,?均大于 0 C.S1,S2,?,S9 均小于 0,而 S10,S11,?均大于 0 D.S1,S2,?,S10 均小于 0,而 S11,S12,?均大于 0 126.已知角θ 的顶点在原点,始边为 x 轴正半轴,而终边经过点 Q( ? 3 ,y) , (y≠0) ,则角θ 的终边 所在的象限为______。
46 / 52

A.第一象限或第二象限 B.第二象限或第三象限 C.第三象限或第四象限 D.第四象限或第一象限 127.在平面直角坐标系中,三角形△ABC 的顶点坐标分别为 A(3,4),B(6,0),C(-5,-2),则∠A 的平分线所在直 线的方程为_______。 A.7x-y-17=0; B.2x+y+3=0; C.5x+y-6=0; D.x-6y=0. 128.对所有满足 1≤n≤m≤5 的 m,n,极坐标方程 ? ?

1 表示的不同双曲线条数为_______。 1 ? C cos ?
n m

A.6 B.9 C.12 D.15 129.设有三个函数,第一个是 y=?(x),它的反函数就是第二个函数,而第三个函数的图像与第二个函数 的图像关于直线 x+y=0 对称,则第三个函数是_______。 A.y=-?(x); B.y=-?(-x); -1 -1 C.y=-? (x); D.y=-? (-x); 130.设?(x)是定义在实数集上的周期为 2 的周期函数,且是偶函数。已知当 x∈[2,3]时,?(x)=x,则当 x∈[-2,0]时,?(x)的解析式为______。 A.x+4; B.2-x; C.3-|x+1|; D.2+|x+1|. 59 60 59 60 59 131.已知 α,b 为实数,满足(α+b) =-1,( α-b) =1,则 α +α +b +b60=_______。 A.-2 B.-1 C .0 D.1
n 132. 设 αn 是 (2- x ) 的展开式中 x 项的系数 (n=2,3,4,?) , 则极限 lim(
x ??

2 2 23 2n ? ? … ? ) =_________。 ? 2 ?3 ?n

A.15 133.设 x1,x2∈(0,

B.6

C.17

D.8

? ) ,且 x1≠x2,不等式 2 x ? x2 1 (1) (tanx1+tanx2)>tan 1 ; (2) 2 2 x ? x2 1 (3) (sinx1+sinx2)>sin 1 ; (4) 2 2
B.(1),(4)

x ? x2 1 (tanx1+tanx2)<tan 1 ; 2 2 x ? x2 1 (sinx1+sinx2)>sin 1 2 2
D.(2),(4)

A.(1),(3)

C.(2),(3)

x?2
134.方程?(x)= 2 x ? 2

x ?1

x?3

2 x ? 1 2 x ? 3 =0 的实根的个数为________。
D.无实根 和 AC 为直径作 分面积,则这两

3x ? 3 3x ? 2 3x ? 5
A.1 个 B.2 个 C.3 个 135.如图所示,半径为 r 的四分之一的圆 ABC 上,分别以 AB 两个半圆,分别标有 α 的阴影部分面积和标有 b 的阴影部 部分面积 α 和 b 有_______。 A.α>b B.α<b C.α=b D.无法确定 136 . 设 a , b 是 不 共 线 的 两 个 向 量 。 已 知 PQ =2 a +k b ,

? ?

??? ?

?

?

??? ? ? ? QR = a + b ,

??? ? ? ? RS =2 a -3 b .若 P,Q,S 三点共线,则 k 的值为_______。
A.-1; B.-3; C. ?

4 ; 3
47 / 52

D. ?

3 ; 5

清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
数学笔试试题(2006 年 12 月 30 日)
1.求 f ( x) ?

ex 的单调区间及极值. x

2.设正三角形 T1 边长为 a , Tn ?1 是 Tn 的中点三角形, An 为 Tn 除去 Tn ?1 后剩下三个三角形内切圆面积 之和.求 lim

n ??

?A
k ?1

n

k

.

3.已知某音响设备由五个部件组成,A 电视机,B 影碟机,C 线路,D 左声道和 E 右声道,其中每个 部件工作的概率如下图所示.能听到声音,当且仅当 A 与 B 中有一工作,C 工作,D 与 E 中有一工作;且 若 D 和 E 同时工作则有立体声效果. A 0.90 C B 0.95 求: (1)能听到立体声效果的概率; (2)听不到声音的概率. 4.(1)求三直线 x ? y ? 60 , y ? 0.95 E 0.94 D 0.94

1 x , y ? 0 所围成三角形上的整点个数; 2

? y ? 2x ? 1 ? (2)求方程组 ? y ? x 的整数解个数. 2 ? x ? y ? 60 ? ?
5.已知 A(?1, ?1) ,△ABC 是正三角形,且 B、C 在双曲线 xy ? 1( x ? 0) 一支上. (1)求证 B、C 关于直线 y ? x 对称; (2)求△ABC 的周长. 6.对于集合 M ? R ,称 M 为开集,当且仅当 ?P 0 ? M , ?r ? 0 ,使得
2

{P ? R 2 PP0 ? r} ? M .判断集合 {( x, y ) 4 x ? 2 y ? 5 ? 0} 与 {( x, y) x ? 0, y ? 0} 是否
为开集,并证明你的结论.

48 / 52

2008 北京大学自主招生数学试题
1 求证:边长为 1 的正五边形对角线长为

5 ?1 2

B 1 x

1 2 x D 1-x 5 E 3

A

x

x

4 C

略解: 三角形 ABE∽三角形 DAE

x 1? x ? 1 x
则: x ?

5 ?1 2 5 ?1 2

对角线AC=1+x=

2

已知六边形 AC1BA1CB1 中 AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1 求证△ ABC 面积是六边形 AC1BA1CB1 的一半

49 / 52

B1

C A

P

C1 B

A1

略解:如图得证 3 已知

a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 a1a2 ? a2 a3 ? a3a1 ? b1b2 ? b2b3 ? b3b1 min(a1 , a2 , a3 ) ? min(b1 , b2 , b3 ) 求证: max(a1 , a2 , a3 ) ? max(b1 , b2 , b3 )
4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多 9 支 南方球队总得分是北方球队的 9 倍 求证 冠军是一支南方 球队(胜得 1 分 败得 0 分) 解:设北方球队共有 x 支,则南方球队有 x+9 支
2 所有球队总得分为 C2 x ?9 ?

(2 x ? 9)(2 x ? 8) ? (2 x ? 9)( x ? 4) 2

南方球队总得分为

9 (2 x ? 9)(2 x ? 8) 9( x ? 9)( x ? 4) ? 10 2 10 (2 x ? 9)( x ? 4) 10
2

北方球队总得分为

南方球队内部比赛总得分 C x ? 9

北方球队内部比赛总得分 C x

2

(2 x ? 9)( x ? 4) x( x ? 1) ? ?0 10 2
50 / 52

解得:

11 ? 229 11 ? 229 11 ? 16 ?x? ? ?9 3 3 3

因为

(2 x ? 9)( x ? 4) 为整数 10

x=6 或 x=8 当 x=6 时
2 所有球队总得分为 C2 x ?9 ?

(2 x ? 9)(2 x ? 8) ? (2 x ? 9)( x ? 4) =210 2

南方球队总得分为

9 (2 x ? 9)(2 x ? 8) 9( x ? 9)( x ? 4) =189 ? 10 2 10 (2 x ? 9)( x ? 4) =21 10
2

北方球队总得分为

南方球队内部比赛总得分 C x ? 9 =105

北方球队内部比赛总得分 C x =15 北方胜南方得分=21-15=6 北方球队最高得分=5+6=11 因为 11×15=165<189 所以南方球队中至少有一支得分超过 11 分. 冠军在南方球队中 当 x=8 时
2 所有球队总得分为 C2 x ?9 ?

2

(2 x ? 9)(2 x ? 8) ? (2 x ? 9)( x ? 4) =300 2

南方球队总得分为

9 (2 x ? 9)(2 x ? 8) 9( x ? 9)( x ? 4) =270 ? 10 2 10 (2 x ? 9)( x ? 4) =30 10

北方球队总得分为

51 / 52

南方球队内部比赛总得分 C x ? 9 =136

2

北方球队内部比赛总得分 C x =28 北方胜南方得分=30-28=2 北方球队最高得分=7+2=9 因为 9×17=153<270 所以南方球队中至少有一支得分超过 9 分. 冠军在南方球队中 综上所述,冠军是一支南方球队 5 (理科)O-XYZ 坐标系内 xoy 平面系内 0 ? y ? 2 ? x 绕 y 轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)
2

2

设置一光源 xoy 平面内有一以原点为圆心的圆 C 被光照到的长度为 2π 求 C 上未被照到的长度

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