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No.31 全国高中数学联合竞赛模拟试题


No.31 高中数学联赛模拟试卷
1、已知 0 ? a ? b, x ?

a ? b ? b , y ? b ? b ? a , 则x, y 的大小关系是

.

2、设 a ? b ? c , n ? N ,且

1 1 n 恒成立,则 n 的最大值为 ? ? a ?b b?c a ?c



2 3、对于 m ? 1 的一切实数 m ,使不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 都成立的实数 x 的取值范围是

4 、 已 知 f ? x ? ? lo gs i n? x, ? ? ? 0,

? ?? ? ,设 a ? ? 2?

? ? s in? ? c o s ? f? ? ,b? f 2 ? ?

?

sin ? ? cos? ,

?

? sin 2? ? c? f? ? ,那么 a、b、c 的大小关系是 ? sin ? ? cos? ?
5、不等式 4 x ? 2 ? 2 3 ? x ? 6、函数 f ?x ? ?

2000 的解集是 1999

.

x 2 ? 2x ? 2 ?x ? 1? 的最小值为 2x ? 2
?

7、若 a, b, n ? R ,且 a ? b ? n ,则 ?1 ?
2 2 2

? ?

1 ?? 1 ? ??1 ? ? 的最小值是 a ?? b ?
2

.

8、若 3x ? xy ? 3y ? 20 ,则 8x ? 23y 的最大值是



9、设 n ? N ? ,求 | n ? 1949 | ? | n ? 1950 | ? ?? | n ? 2001 | 的最小值.

10、求 s ? 1 ?

1 1 1 ? ??? ,则 s 的整数部分 2 3 106

11、圆周上写着红蓝两色的数。已知,每个红色数等于两侧相邻数之和,每个蓝色数等于两侧 相邻数之和的一半。证明,所有红色数之和等于 0。 (俄罗斯)

a2 b2 c2 a?b?c ? ? ? 12、设 a, b, c ? R ,求证: . b?c c?a a?b 2
?

(第二届“友谊杯”国际数学竞赛题)

乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 2 参考答案
1、解法 1

x ? a?b ? b ?

a a ,y ? b ? b?a ? . a?b ? b b ? b?a

? 0 ? a ? b,? a ? b ? b ? b ? b ? a ,? x ? y .
解法 2

x a?b ? b b ? b?a x ? ? ,? a ? b ? b ? a,? ? 1,? x ? y . y y b ? b?a a?b ? b 1 1 ? ? x y 1 1 ? ? a?b ? b b ? b?a a?b ? b b ? b?a ? a a

解法 3

=

a?b ? b?a 1 1 ? 0,? ? ? 0,? x ? y . a x y
解法 4
2 2 原问题等价于比较 a ? b ? b ? a 与 2 b 的大小.由 x ? y ?

( x ? y)2 ,得 2

( a ? b ? b ? a ) 2 ? 2(a ? b ? b ? a) ? 4b ,? a ? b ? b ? a ? 2 b . ? a ? b ? b ? a ,? a ? b ? b ? a ? 2 b ,? x ? y .
解法 5 如图 1,在函数 y ?

x 的图象上取三个不同的

y C B A

点 A b ? a , b ? a ) B b , b ) C( a ? b , a ? b ) ( 、( 、 . 由图象, 显然有 k BC

a?b ? b b ? b?a ? ? k AB , 即 , ( a ? b) ? b b ? (b ? a)
O

即 a ? b ? b ? b ? b ? a ,亦即 x ? y . 解法 6 令 f (t ) ?

b-a

b 图1

b+a

x

a ? t ? t , f (t ) ? ?

a 单 a?t ? t

调递减,而 b ? b ? a ,? f (b) ? f (b ? a) ,即 a ? b ? b ? b ? b ? a ,? x ? y . 2、解法 1 原式 ?

a?c a?c a?c a?c ?a ?c a ?c? ? ? ? n .? n ? ? ? .而 a ? b ? b ? c a ?b b?c ? a ? b b ? c ? min

?

a ?b ? b ? c b?c ? a ?b b?c a?b b?c a?b ? 2+ ? 且当 , a ? c ? 2b 即 ? 4, ? ? a ?b b?c a?b b?c a?b b?c
?a ?c a ?c? ? ? 4 .?n ? 4 .故选 C . ? a ? b b ? c ? min ?

时取等号.? ?

解法 2 ? a ? b ? c ,? a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0 ,已知不等式化为

?a ? c? ?a ? c? ? ?a ? c? n? .由 ? a ? b ?? b ? c ? ? a ? b ?? b ? c ? ? a ? b ? b ? c ?2
2

2

2

? ?

2

? ?

? ?a ? c ?2 ? ? 4 ,即 ? ? ?4, ? ?a ? b ??b ? c ? ? min

故由已知得 n ? 4 ,选 C . 解 法 3 由

a?b?c





a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0






1 ? ? 1 n ? ?a ? c ?? ? ? ?a ?b b?c?



?a ? c ?? ?
? ?

1 1 ? 1 ? ? 1 2 ? ? ? ? ??a ? b ? ? ?b ? c ??? ? ? ?1 ? 1? ? 4 , ?a ?b b?c? ?a ?b b?c?
1 ?? ? 1 ? ?? ? 4 ,由题意, n ? 4 .故选 C . ? a ? b b ? c ?? min

即 ??a ? c ??

解法 4 ? a ? b ? c ,? a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0 .?已知不等式可变形为

?a ? c? ?a ? c? n? .记 k ? , ? a ? b ?? b ? c ? ? a ? b ?? b ? c ?
2 2

??a ? b ? ? ?b ? c ??2 则k ? ?a ? b ??b ? c ?

?2 ?

?a ? b ??b ? c ?? ?a ? b ??b ? c ?

2

? 4 .由题意, n ? 4 .故选 C .

解法 5 ? a ? b ? c ?

1 1 ? 0, ? 0. 于是 a ?b b?c

1 1 4 4 .比较得 n ? 4 .故选 C . ? ? ? a ? b b ? c ?a ? b ? ? ?b ? c ? a ? c
?x2 ? 1 ? 0 ?x2 ? 1 ? 0 ?x2 ? 1 ? 0 ?x2 ? 1 ? 0 ? ? ? 3、解法 1 题设等价于 ? ,即 ? 2x ? 1 或 ? 2x ? 1 或 ? 2x ? 1 或 ?m ? x 2 ? 1 ?m ? x 2 ? 1 ? 2 x ? 1 ? 0 ?1 ? x 2 ? 1 ? ? ? ?x2 ? 1 ? 0 ?x2 ? 1 ? 0 ? ,所以 1 ? x ? 2 或 3 ? 1 ? x ? 1或 x ? 1 ,即 x ? ( 3 ? 1,2) . ? 2x ? 1 或 ? ?? 1 ? x 2 ? 1 ?2 x ? 1 ? 0 ?
解法 2 已知不等式即 x ? 1 m ? ?2 x ? 1? ? 0 ,令 f ( m) ? x ? 1 m ? ?2 x ? 1? ,则
2 2

?

?

?

?

2 当 x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 时, f (m) 是 m 的一次函数,因为 m ? 1 ,即 ? 1 ? m ? 1 时不

等 式 恒 成 立 , 所 以 f (m) 在 ?? 1,1? 上 的 图 象 恒 在 m 轴 的 下 方 , 故 有

? f ( ?1) ? ? x 2 ? 1 ? 2 x ? 1 ? 0 ?x2 ? 2x ? 2 ? 0 ,即 ? 2 ,解得 3 ? 1 ? x ? 2 ( x ? 1) . ? 2 ? f (1) ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 0 ?x ? 2x ? 0
又当 x ? 1 时, f (m) ? ?1 ,适合题意,当 x ? ?1 时, f (m) ? 3 不合题意. 故 x 的取值范围是 3 ? 1 ? x ? 2 .

4、解法 1 设 sin? ? p , cos? ? q .?

p?q ? 2

pq ,而 f ? x ? 是减函数,

? p?q? ? f? ?? f ? 2 ?

?

pq ,即 a ? b .? pq ?

?

? p ? q ? pq p?q ,? pq ? , 2 2

2 pq ? p?q

? 2 pq ? pq .? f ? ? p?q?? f ? ? ?

?

pq ,即 c ? b .故 a ? b ? c .

?

解法 2 由题意,令 ? ?

?
6

,则 sin ? ?

3 sin ? ? cos? 1 ? 3 1 ? , cos ? ? , , 2 4 2 2

sin ? cos? ?

4

3 sin 2? 2 sin ? cos? 3 ? 3 1 ? ? , ,? sin ? ? ? ?0,1? ,? f ?x ? 2 sin ? ? cos? sin ? ? cos? 2 2

是减函数,又

1? 3 4 3 3 ? 3 ? ? , 4 2 2

? sin ? ? cos? ? ? f? ?? f 2 ? ?

?

? sin 2? ? sin ? cos? ? f ? ? ,即? a ? b ? c .. ? sin ? ? cos? ?

?

解 法 3 、 ? ? ? ? 0,

? ?? ? , ? sin ? ? ?0,1? , ? f ?x ? 是 单 调 减 函 数 , sin? ? 0 , ? 2?

cos? ? 0 .? a ? b ? log sin ?

sin ? ? cos? ? log sin ? sin ? ? cos? ? 2

log sin ?

sin ? ? cos? 2 ? log sin ? 1 ? 0 ,? a ? b .又 b ? c ? log sin ? sin ? ? cos? ? sin ? ? cos?
sin 2? sin ? ? cos? sin ? ? cos? ? log sin ? ? log sin ? ? log sin ? 1 ? 0 ,即 2 sin ? cos? sin ? ? cos? 2 sin ? cos? sin ? ? cos?

log sin ?

b ? c ,? a ? b ? c .

5、解 设 y= 4 x ? 2 ? 2 3 ? x ,由 ?

?4 x ? 2 ? 0 1 ,得定义域为[ ,3]. 2 ?3 ? x ? 0

? y 2 ? 4 x ? 2 ? 4(3 ? x) ? 4 (4 x ? 2)(3 ? x) ? 10 ? 4 ? 4 x 2 ? 14 x ? 6 ? 10,? y ? 10 ?
即原不等式在定义域内恒成立,故所求解集为[ 题目改为“ 4 x ? 2 ? 2 3 ? x ? 6、解法 1 f ? x ? ?

2000 1999

1 ,3]. 2
,结果一样。

9.71623 的解集是 ? ? 5.276

1? ? 1 ?? ?? x ? 1? ? ? x ? 1 ?? .因为两个互为倒数的数,在它们等于 ? 1 时,其 2? ? ??

和可以取到绝对值的最小值.即当 x ? 1 ? ?1 ,即 x ? 2 或 x ? 0 时, f ? x ? 的绝对值最小.又

x ? 1 ,故 x ? 2 时, f ? x ? 的绝对值最小.又 f ?x ? ? 0 ,? f ?x ?min ? f ?2? ? 1 .选 B .
2 解法 2 因为 x ? 1, 联想到 sec? ? 1 , 于是令 x ? sec ? , ? ? 0, ?

? ?? 则 t n ? , x ?1 ? a ? 2?

2

?.

f ?x ? ?

x 2 ? 2 x ? 2 ?x ? 1? ? 1 tan 2 ? ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? ? ? ? tan? ? ?1 ? ? ? 2 tan? ? 2?x ? 1? 2? x ? 1? 2 tan? 2? tan? ? 2 tan?
2

,当且仅当 tan ? ?
2

1 ,即 x ? 2 时, f ? x ?min ? 1 .故选 B . tan 2 ?
2

解法 3 设 ? ?x ? ? x ? 2 x ? 2?x ? 1? , g ?x ? ? 2 x ? 2?x ? 1? .

? ? ?x ? ? g ?x ? ? x 2 ? 2 x ? 2 ? ?2 x ? 2? ? x 2 ? 4 x ? 4 ? ?x ? 2? ? 0 ,?? ?x ? ? g ?x ? ? 0 .
2

?

? ?x ?
g ?x ?

? 1 ,即 f ? x ? ? 1,? f ?x ?min ? 1 .故选 B .
x 2 ? 2 x ? 2 ? x ? 1? ? 1 ?x ? 1? .由此联想到万能公式: ? 2x ? 2 2? x ? 1?
2

解法 4 f ? x ? ?

2 ,故令 x ? 1 ? tan ? ? 0 ,则 f ? x ? ? g ?? ? ? 2 ? 1 ?0, ? ? 2 sin ? 1 ? tan 2 2 tan 2 2 1 ? 1 ,即 f ?x ? ? 1 .? f ?x ?min ? 1 .故选 ? sin? ? 0 .又 ? 1 ? sin? ? 1 , 0 ? sin? ? 1 , sin ? B. 解 法 5 , , ?x ?1 ? x ?1 ? 0 sin ? ?
f ?x ? ?

2 tan

?

1 ? tan 2

?

?x ? 1?2 ? 1 ? x ? 1 ? 1 ? 2 2? x ? 1? 2 2?x ? 1?

x ?1 1 x ?1 1 ? ? 1 当且仅当 ? ,即 2 2?x ? 1? 2 2?x ? 1?

x ? 2 时取等号.? f ?x ?min ? 1 .故选 B .
? 解法 6 ? x ? 1 , f ?x ? ?
时取等号.故选 B . 解法 7 由 y ?
2

x 2 ? 2 x ? 2 ?x ? 2? ? 2 x ? 2 ?x ? 2? ? ? ?1 ? 1, x ? 2 当 2x ? 2 2x ? 2 2x ? 2
2 2

x 2 ? 2x ? 2 2 去分母并整理,得 x ? ?2 ? 2 y ?x ? 2 ? 2 y ? 0 .? x ? R , 2x ? 2

? ? ? ?2 ? 2 y ? ? 4?2 ? 2 y ? ? 0 ,即 y 2 ? 1 ? 0 ,? y ? ?1 或 y ? 1 .? x ? 1 ,

? y ? f ?x ? ?

?x ? 1?2 ? 1 ? 0 2? x ? 1?

, ? y ?1 . 当 y ?1 时 , 由 1 ?

x 2 ? 2x ? 2 , 解 得 2x ? 2

x ? 2 ? ?1,?? ? ,? f ?x ?min ? 1 .故选 B .

7、证明? a, b, n ? R ,? n ? a ? b ? 2 ab ,于是

?

1 4 ? 2 , ab n
2

a ? b ?1 n ?1 4(n ? 1) ? n ? 2 ? n ? 1 ?? 1 ? ? 1? ? 1? ?? ?1 ? ??1 ? ? ? 1 ? ? ,当且仅当 a ? b ? 时取 2 ab ab n 2 ? a ?? b ? ? n ?
等号,? ? 1 ?

? ?

1 ?? 1 ? ?n?2? ? . ? ? 1 ? ? 的最小值是 ? a ?? b ? ? n ?
2

推广 2 若 a1 , a 2 , ?, a n ? R ,且 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 ,则

?

? 1 ?? 1? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? ?? ?1 ? ? a1 ? ? a2 ? ? an

? n ? 的最小值是 (n ? 1) . ?
?

证明 ? a1 , a 2 , ?, a n ? R , a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ,

?1 ?

1 a1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n (n ? 1) n ?1 a1 a1 a 2 ? a n ? ? . a1 a1 a1 1 ( n ? 1) n ?1 a2a1a2 ? an 1 ( n ? 1) n ?1 an a1a2 ? an ? ,? ,1 ? ? .故 a2 a2 an an
? ( n ? 1) n n ?1 ( a1a2 ? an )( a1a2 ? an ) n ? ( n ? 1) n ,当且仅当 ?? a1a2 ? an ?

同理 1 ?

? 1 ?? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ?? ? 1 ? a1 ? ? a2 ? ? an ?

a1 ? a2 ? ? ? an ?

? 1 ?? 1 ? ? 1 1 时取等号. ? ? 1 ? ? ? 1 ? ?? ?1 ? n ? a1 ? ? a2 ? ? an

? n ? 的最小值是 (n ? 1) . ?

推广 3 若 k , m, ai ? R (i ? 1,2,?, n) ,且

?

n ? 1 ai ? m ,则 ? ? 1 ? k ? ai i ?1 ? i ?1

n

? ? 的最小值是 ?

? nk ? 1? k ? . ? ? m ?

n

? n 1 ? n 证明 由均值不等式得 ? ? ? n ? a i ?1 ai ?? i ? i ?1

? ? ? n ?n ? ?? ? , ? ?m? ? ?
kp p

n

n ? n 1? ? nk ? 1 1 p ?1 ? Cnp Cnp (? )kCn ?1 ? Cnp n ? ? ? ? Cnp ? k ? ( p ? 1, 2,?, n) , ? k k k 1?i1 ?i2 ???i p ?n ai1 ai2 ? ai p i ?1 ai ?m ? ? i ?1 ai ?
n n ? 1 ? 1 1 1 1 ??? 从而 ? ? 1 ? k ? ? 1 ? ? k ? ? ??i ?n a k a k ? a k ? ? a k ? k k ai ? i ?1 ? i ?1 ai 1?i1 ?i2 ? n ai1 ai2 1?i1 ?i2 ?? n ?1 i ?1 i1 i2 in ?1 i n
k k ? nk ? 2? n ? n ?1 ? n ? 1 ? C ? k ? ? Cn ? k ? ? ? ? Cn ? k ? ?m ? ?m ? ?m ? 1 n 2 n ?1

? nk ? ? nk ? ? C ? k ? ? ?1 ? k ? , ?m ? ? m ?
n n

n

n

n ? 1 m 当且仅当 ai ? (i ? 1,2, ?, n) 时取等号.故 ? ? 1 ? k ai n i ?1 ?

? ? nk ? 的最小值是 ? 1 ? k ? . ? ? m ? ?

n

8、解法 1 引入参数 t,? xy ? tx ?

y 1 ? 2 2 y2 ? t 2 2 1 2 ? ?t x ? 2 ? ? x ? 2 y , t 2? t ? 2 2t

又? xy ? 3x ? 3y ? 20 ,?
2 2

t2 2 1 2 x ? 2 y ? 3x 2 ? 3y 2 ? 20, 2 2t

? t2 ? 1 ? ? ? ? 3 ? ? x 2 ? ? 3 ? 2 ? y 2 ? 20 . 考 虑 到 待 求 最 值 的 二 元 式 是 8x 2 ? 23y 2 , 故 令 2? 2t ? ? ?

t2 3? 2 ? 8 , 解 得 t 2 ? 4 或 t 2 ? ? 2 ( 舍 去 ), 故 只 需 令 t ? 2 , 即 可 得 1 23 3 ? 2 23 2t

?3 ? 2? x 2 ? ? 3 ? ?
?

1? 2 y 2 2 ? y ? 20 .因此, 8x ? 23y ? 160 ,当且仅当 2x ? ,即 y ? 4x 时取 8? 2
2

等号.? 8x ? 23y
2

?

?

max

? 160 .

? 1 20 cos ?, ?x ? y ? 1 ? 35 2 20 6 3 ? ? y ? 解法 2 已知条件式即 ? x ? y ? ? .令 ? 6 ? 36 3 ? ? 35 y ? 20 sin ?, ? 6 3 ?
2

? 20 2 cos ? ? sin ?, ?x ? ? 3 21 即? 代入待求式,并化简, ? y ? 12 sin ?. ? 21 ?
得 8x 2 ? 23y2 ?

2232 1128 2232 1128 ? sin ? 2? ? ? ? ? ? ? 160 . 故 当 且 仅 当 y ? 4x 时 , 21 21 21 21

8x 2 ? 23y 2 有最大值 160.
解法 3 令 8x ? 23y ? t .从而有 ?
2 2 2

? 8x ? t cos? , ? ? 23y ? t sin? , ?

即x ?

t t cos ?, y ? sin ?. 代 8 23

3t 2 t2 3t 2 2 cos ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? ? 20 , 入已知等式,得 8 23 184

?t2 ?

20 3 1 3 cos 2 ? ? sin 2? ? sin 2 ? 8 23 736

?

20 ? 368 20 ? 368 ? ? 160. 93 ? 47 cos ? 2? ? ? ? 93 ? 47



8x 2 ? 23y 2 ? 160 .
解法 4 ? xy ?

1 16x 2 ? y 2 2 2 ,而 xy ? 3x ? 3y ? 20, ? 4x ? y ? ? 4 8

16x 2 ? y 2 ? 3x ? 3y ? 20 ? , 即 8x 2 ? 23y 2 ? 160 . 8
2 2

解法 5 设 x ? m ? n, y ? m ? n, 代入条件得 5m ? 7n ? 20.
2 2

令 m ? 2 cos ?, n ?

20 2 2 sin ? ,则 8x 2 ? 23y 2 ? 8 ? m ? n ? ? 23 ? m ? n ? 7

? 31m2 ? 30mn ? 31n 2
? 62 cos 2 ? ? 60 5 620 2 1 sin 2? ? sin ? ? ?744 ? 376 cos ? 2? ? ? ? ? ? 7 7 7?

?

1 6 ? 7 4 4? 3 7 6? 1. 0 ? 7

2 2 解法 6 设 8x ? 23y ? s, 则 s 3x ? xy ? 3y
2

?

2

? ? 20 ?8x

2

? 23y 2 ? ,

即 ? 3s ? 160 ? x ? sxy ? ? 3s ? 460 ? y ? 0 ①.由题设 x,y 不同时为 0,故不妨设 y ? 0 ,则将①式
2 2

?x? ?x? 两边同除以 y ,得 ? 3s ? 160 ? ? ? ? s ? ? ? ? 3s ? 460 ? ? 0. 当 3s ?160 ? 0 时, ?y? ?y?
2

2

由 ? = s ? 4 ? 3s ? 160 ?? 3s ? 460 ? ? 0, 解得
2

x 45 368 ? s ? 160 ;当 3s ?160 ? 0 时, ? ? . y 8 7

综上, 解法 7

368 ? s ? 160 .故 ? 8x 2 ? 23y 2 ?max ? 160 . 7

8 x2 ? 2 3 2y?

?8
2

2 3x ?

xy ?
max

y ? 3??
2

2

1? x 6

?? x y ? y ? ? ? 2?0 ? 4 x? y 82 8 .
2

160

故当 4x ? y 时, 9.解 图:

?8x

? 23y 2 ?

? 160 .

可从绝对值的几何意义上去想,以 | n ? 1 | ? | n ? 2 | ? | n ? 3 | ? | n ? 4 | 为例,如 A B

1 2 3 4 所给的式子的几何意义是数轴上坐标为 n 的点 N 与坐标为 1、 3、 的 4 个点的距离的和. 2、 4 显 然,当 N 在线段 AB 之外时,和大于 N 在线段 AB 上时的和;当 N 在线段 AB 上时,N 接近 AB 的中点,和就逐渐变小,N 重合于 AB 的中点时,和达到最小.因为 n ? N ? ,所以当 n 取 2 或 3 时, | n ? 1 | ? | n ? 2 | ? | n ? 3 | ? | n ? 4 | 最小. 对于和式 S= | n ? 1949 | ? | n ? 1950 | ? ?? | n ? 2001 | ,设数轴上的点 A、B 分别表示 1949、2001,则线段 AB 的中点的坐标是

1949 ? 2001 ? 1975 , 2

? S最小 ?|1975 ? 1949 | ? |1975 ? 1950 |

??? |1975 ? 2001|? (26 ? 25 ? ? ? 1) ? (1 ? 2 ? ? ? 26) ? 2 ?
拓展 运用同样的思想方法,可以得到下面的

(26 ? 1) ? 26 ? 702 . 2

定理 1 对于函数 f ( x) ?

?| x ? a
i ?1

n

i

|(a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ,
n ?1 2 t ?1

若 n 是奇数,则当 x ? a n ?1 时, f (x) 取得最小值
2

n?3 j? 2

?a ? ?a
j

n

t



若 n 是偶数,则当 x ? [a n , a n ] 时, f (x) 取得最小值
2 2 ?1

n j ? ?1 2

?a ? ?a
j t ?1

n

n 2

t

10、解

若 {an } 是等差数列, an >0,则

1 a n ? a n ?1

?

a n ? a n ?1 a n ? a n ?1

?

a n ? a n ?1 d

( n ? 2, n ? N ? , d 是公差).由此,得

s ? 1?
2

1 1 1 2 2 2 2 ? ?? ? ? 1? ? ??? ? 1? 2 3 2? 2 3? 3 2 ?1 106 106 ? 106
??? ? 1 ? 1 1 ? ? 1 ? 2? ? 2 ?1 ? 3 ? 2 ??? ? 6 6 10 ? 10 ? 1 10 ? 10 ? 1 ? ? 2
6 6

?

3? 2

? 1? 2 ? ? ?

?

2 ?1 ?
1 2 ?

? ?
1 3

3 ? 2 ???
??? 1

?

?

106 ? 106 ? 1 ? ? 1 ? 2 ?1 ? 106 ? 1999 . ? ?
? 2 2 ?1 ? 2 3? 2 ??? 2 10 6 ? 10 6 ? 1
=

?

?

?

又知 s ? 1 ?

10 6 ? 1

2 ? 1 ? 10 6 ? 1998 .?1998 ? s ? 1999 , ?s? ? 1998 ,
评析

?

?

? 1 ? s 显然是数列 ? ? 的前 10 6 项的和,直接求和,无法可依.能否用裂项相消法将每一 ? n?

项拆成异号的两项之和呢?考虑到

1 n ? n ?1

? n ? n ? 1 ,于是将

1 n

变为

2 n? n



再放大为

2 n ? n ?1

,或缩小为

2 ,便使问题获解. n ?1 ? n

这是一道用“放缩法”求解不等式问题的好题目。但用“放缩法”解题,必须把握好放缩的 “度”.就以此题为例,若将 s ? 1 ?

1 1 1 2 2 2 ? ?? ? ? ? ? 6 2 3 1? 1 2? 2 3? 3 10

?? ?

2 106 ? 106

?

2 2 2 2 ? ? ??? ? 2[ 1 ? 0 ? 1? 0 2? 1 3? 2 106 ? 106 ? 1

?

?

?

2? 1 ?

? ?

3 ? 2 ???

?

? 10

6

? 10 6 ? 1 ] ? 2000 ,就得 1998 ? s ? 2000 ,这样就没

?

法确定 ?s ? 到底是 1998 还是 1999 了.若做到这里,我们便应考虑到题中的 1 不作变形,问题就 会得到解决. 此 题 来 源 于 高 中 代 数 下 册 ( 必 修 ) P132 第 33 题 : 用 数 学 归 纳 法 证 明

1?

1 2 1 2

?

1 3 1 3

???

1 n 1 n

? n , ?n ? 1? .1992 年全国高考“三南”试题:证明不等式:

1?

?

???

? 2 n , ?n ? N ? ? .这两个结论合起来就有

n ? 1?

1 1 1 ? ??? ? 2 n ? n ? N ? ? .此结论就是 n ? s ? 2 n . 2 3 n

11、解:将所有红数的和记为 S H ,所有蓝数的和记为 S L ,对任意两个 a,b,c 都有 a+c=b 或 2b(视 b 为红数还是蓝数而定) 。将所有这些等式全部求和,从等式的左边看:每个数都被加 了两次,所以总和为 2( S H + S L ) ;从等式的右边看:每个红数都被加了一次,每个蓝数都 被加了两次,所以总和为 S H +2 S L ,因此 S H +2 S L =2( S H + S L ) ,故 S H =0。 12、证明 设 b ? c ? x, c ? a ? y, a ? b ? z, 则 a ? b ? c ?

1 ?x ? y ? z ??x, y, z ? 0? . 2
2

2 ?ay ? bx?2 ? 0 ,? a 2 ? b 2 ? ? a ? b ? a 2 b 2 ?a ? b ? ? ? ? ? x y x? y x y x? y xy?x ? y ?
2 2 2

①,

?a ? b ? c? ? a ? b ? c a 2 b2 c2 ? a ? b ? c2 ? a ? b ? c ? ? ? ? ? ? ? ? ,即 x y z x? y z x? y?z 2?a ? b ? c? 2
a2 b2 c2 a ? b ? c a2 b2 c2 a?b?c ? ? ? ? ? ? ,? . x y z 2 b?c c?a a?b 2


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