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2011年广州市高二数学竞赛试题


2011 年广州市高二数学竞赛试题
2011.5.15
考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上; ⒉不准使用计算器; ⒊考试用时 120 分钟,全卷满分 150 分. 一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,满分 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知函数 f ? x ? ? x3 ? sin x ?1 ? x ? R ? ,若 f (a) ? 2 ,则 f (?a) 的值为( A. ? 2 B. ?1 C. 0 D. 1 ).

2. 已知数列 {an } 的通项公式 an ? log 2 立的自然数 n 有( A.最大值 15 ) .

n ? n ? N* ? ,设其前 n 项和为 Sn ,则使 Sn ? ?4 成 n ?1
C.最大值 16 D.最小值 16

B.最小值 15

3.如图所示的程序框图,若输入 n ? 5 ,则输出的 n 值为( 开始 输入 n

) . 结束

n ? n?2

f ? x ? ? xn



( f x) 在 (0, +∞) 上单调递减? C. ? 1



输出 n

A.3

B.1

D. ? 3

4 . 设 a ? sin(sin 2011o ), b ? sin(cos 2011o ), c ? cos(sin 2011o ) , 则 a, b, c 的 大 小 关 系 是 ( ). A. a ? b ? c C. c ? b ? a B. b ? a ? c D. c ? a ? b

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分. 5.若过定点 M ? ?1, 0? 且斜率为 k 的直线与圆 x 2 ? 4x ? y 2 ? 5 ? 0 在第一象限内的部分有交 点,则 k 的取值范围是 * .

6.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 内任取一点 P ,则点 P 到点 A 的距离不大于 1 的概 率为 * .

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7 . 在 ?ABC 中 , M 是 BC 的 中 点 , AM ? 1 , 点 P 在 AM 上 且 满 足 AP ? 2PM , 则

PA? PB ? PC 等于

?

?

*

. * .

? ? 8.在△ABC 中,若 tan A tan B ? 1 ,则 sin ? ?C ? ? ? 12 ? ?

9.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 成 立,则 a 的取值范围是 * . 10.面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai ?i ? 1,2,3,4? ,此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi (i ? 1, 2,3, 4) ,若
4 a1 a2 a3 a4 ? ? ? ? k ,则 ? (ihi ) ? 2S .类比以上性质,体 1 2 3 4 k i ?1

积为 V 三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si (i ? 1, 2,3, 4) , 此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记 为 Hi (i ? 1, 2,3, 4) ,若
4 S1 S 2 S3 S 4 ? ? ? ? K ,则 ? (iH i ) ? 1 2 3 4 i ?1

*



三、解答题:本大题共 5 小题,满分 90 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11 . ( 15 分 ) 已 知 向 量 a ? ?sin x,cos x ? , b ? ? 6sin x ? cos x,7sin x ? 2cos x ? , 设 函 数

f ? x ? ? a ? b ? 2 . (1)求函数 f ? x ? 的最大值,并求取得最大值时 x 的值;
(2)在 A 为锐角的 ?ABC 中, A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 f ? A? ? 4 且 ?ABC 的面 积为 3 , b ? c ? 2 ? 3 2 ,求 a 的值.

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12. (15 分)如图,已知多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F 为 CE 的中点. (1)求证 BF⊥平面 CDE; (2)求多面体 ABCDE 的体积; (3)求平面 BCE 和平面 ACD 所成的锐二面角的大小. C D B A

F

E

13. ( 20 分)已知椭圆 (1)若 e ?

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3,0) ,离心率为 e . a2 b2

3 ,求椭圆的方程; 2

(2)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点, M , N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点. 若坐标原 点 O 在以 MN 为直径的圆上,且 2 ? e ? 3 ,求 k 的取值范围. 2 2

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14. ( 20 分)设无穷等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求所有的无穷等差数列 {an } ,使得对于 一切正整数 k 都有 S k ? ? S k ?3 成立.
3

?b (a, b ? R 且 a ? 0 ) 是奇函数, 15. ( 20 分) 定义在 R 上的函数 f ( x) ? x 2 当 x ? 1 时, f ( x) ax ? 1

取得最大值.

(1)求 a、b 的值;

(2)设曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线 l 与 y 轴的交点为 (0, t ) ,求实数 t 的取值范围.

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参考答案与评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种 解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能 力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未 改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超 过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再 给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:每小题 6 分,满分 24 分. 1.C 2.D 二、填空题:每小题 6 分,满分 36 分. 5. 0,5

3.C

4.B

?

?

6.

? 6

7. ?

4 9

8.

6? 2 4

9. ? ?

? 1 3? ,? ? 2 2?

10.

3V K

简答与提示:

4.因为 2011o ? 5 ? 360o ? 180o ? 31o , 所以 a ? sin(? sin 31o ) ? ? sin(sin 31o ) ? 0 , b ? sin(? cos31o ) ? ? sin(cos31o ) ? 0 ,
c ? cos(? sin 31o ) ? cos(sin 31o ) ? 0 ,

又因为 0 ? sin 31o ? cos31o ? 1 ,所以 b ? a ? c ,选(B) .
三、解答题:满分 90 分. 11.解: (1) f ? x ? ? a ? b ? 2 ? sin x ? 6sin x ? cos x ? ? cos x ? 7sin x ? 2cos x ? ? 2

? 6sin 2 x ? 8sin x cos x ? 2cos2 x ? 2 … 1 ? cos 2 x ?6 ? 4sin 2 x ? ?1 ? cos 2 x ? 2 ? 4sin 2 x ? 4 cos 2 x ?? ? ? 4 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ? ? ? 3? ( k ? Z )时, ? 当 2 x ? ? 2k? ? ,即 x ? k? ? 4 2 8 f ? x ? 有最大值为 4 2 .
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(2)? f ? A? ? 4 ,? 4 2 sin ? 2 A ?

? ?

??

?? 2 ? ? ? 4 .可得: sin ? 2 A ? ? ? 4? 4? 2 ?
? ? ? ? ? ,? 2 A ? 4 ? 4 ,解得 A ? 4 . ?

? ? ? 3? ? ?? ? A ? ? 0, ? ,? 2 A ? ? ? ? , 4 ? 4 4 ? 2?

1 2 ? S?ABC ? bc sin A ? bc ? 3 ,可得 bc ? 6 2 . 2 4

?b ? c ? 2 ? 3 2 , a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 2 ? ? b ? c ? ? 2bc ? 2bc cos A
? 2?3 2

?

?

2

? 2 ? 6 2 ? 2 ? 6 2 ? cos

?
4

? 10 ,

? a ? 10 .
12. (1)证明:取 CD 的中点 G,连 AG,FG,
∥ AB ∥ DE .∴AG ∥ BF. 则有 FG = =

P

1 2



又△ACD 为正三形,∴AG⊥CD. 又 DE⊥平面 ACD, ∴FG⊥平面 ACD, ∴FG⊥AG. ∴AG⊥平面 CDE. ∴BF⊥平面 CED. (2)解: VABCDE ? VB? ACD ? VB?CDE

B A

C G D

F

E

1 ? ? 3 1 ? ? 3

3 1 1 ? CD2 ? AB ? ? ? DE ? CD ? BF 4 3 2 3 1 1 2 ? ? 2a ? ? a ? ? ? ? 2a ? ? ? 2a ? ? 3a 4 3 2

?

3 3 2 3 3 a ? a ? 3a3 . 3 3

∥ DE , (3)解:由(1)知 AB =

1 2

延长 DA,EB 交于点 P,连 PC, 则可证得 A,B 分别为 PD,PE 的中点, ∴PC∥BF∥AG, ∴PC⊥平面 CDE. ∴∠DCE 为平面 BCE 和平面 ACD 所成二面角的平面角. 又∠DCE=45°, 所以平面 BCE 和平面 ACD 所成的锐二面角为 45°.

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?c ? 3 ? 13.解: (1)由题意得 ? c 3 ,得 a ? 2 3 . ? ? 2 ?a
结合 a ? b ? c ,解得 a ? 12 , b ? 3 .
2 2 2 2

2

所以,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 12 3

? x2 y 2 ? 1, ? ? (2)由 ? a 2 b 2 得 (b2 ? a2 k 2 ) x2 ? a2b2 ? 0 . ? y ? kx, ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

a 2b 2 所以 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? ? 2 , b ? a2k 2
进而 y1 y2 ? k x1 x2 ? ?
2

k 2 a 2b 2 . b2 ? a 2 k 2

因为点 M 、 N 的坐标分别为 M ? 依题意 OM ? ON , 所以 kOM ? kON ? ?1 ,即

? 3 ? x1 y1 ? ? 3 ? x2 y2 ? , ?、N? , ?, 2? 2? ? 2 ? 2

y1 y ? 2 ? ?1 . 3 ? x1 3 ? x2
a 2b 2 (1 ? k 2 ) ?9 ? 0, a 2 k 2 ? b2

即 y1 y2 ? x1 x2 ? 9 ? 0 ,即 ?

因为 b ? a ? c ? a ? 9 ,所以 ?
2 2 2 2

a 2 (a 2 ? 9)(1 ? k 2 ) ?9 ? 0. a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)

a 4 ? 18a 2 ? 81 81 81 ? ?1 ? 4 ? ?1 ? 将其整理为 k ? . 2 4 2 2 2 ?a ? 18a a ? 18a ? a ? 9? ? 81
2

因为

2 3 2 ?e? ,所以 2 3 ? a ? 3 2 , 12 ? a ? 18 . 2 2
2

所以 k ?

? ? 1 2? ? 2 ? , ?? ,即 k ? ? ??, ? ? ? ? ? ?. 8 4 ? ? 4 ? ?

14.解:设无穷等差数列 {an } 的公差为 d ,
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则 Sk ? ka1 ?

k (k ? 1) ?d d ?? ? d ? k ? k ? ? a1 ? ? ? , 2 2 ?? ? ?2 ?d 3 ? d ?? k ? ? a1 ? ? ? , 2 ?? ? ?2
d ?? ? 2 ?? ?
3

所以 Sk 3 ? k 3 ?

且 ? Sk ? ? k 3 ? k ? ? ? a1 ?
3

?d ?2

?

2 3 ?d3 3 d2 ? d? 2 d? d? d? ? ? ? k ? k ? 3 ? ? a1 ? ? k ? 3 ? ? a1 ? ? k ? ? a1 ? ? ? . 4 ? 2? 2? 2? 2? ? ? ? ?8 ? 3

因为 S k 3 ? ? S k ? 对于一切正整数 k 都成立,
3

?d3 d ? 8 ? 2, ? 2 d ? 3d (a ? ) ? 0, ? ? 4 1 2 所以 ? ? 3d (a ? d ) 2 ? 0, ?2 1 2 ? ?(a1 ? d )3 ? a1 ? d . ? ? 2 2
由①,可得 d ? 0 或 d ? ?2 .

① ② ③ ④

当 d ? 0 时,由④得 a1 ? 0 ,或 a1 ? ?1 ,且同时满足②③.

d ? 1 ,且同时满足③④. 2 d 当 d ? ?2 时,由②得 a1 ? ? ?1 ,且同时满足③④. 2
当 d ? 2 时,由②得 a1 ? 综上所述,共有 5 个满足条件的无穷等差数列: ① {an } : 0, 0, 0, ??? ; ② {an } : 1,1,1, ??? ; ③ {an } : ?1, ?1, ?1, ??? ; ④ {an } : 1,3,5, ??? ; ⑤ {an } : ?1, ?3, ?5, ??? .

15.解: (1)∵函数 y ? f ( x) 是奇函数,

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∴ f ( x ) ? ? f ( ? x) , 即

x?b ?x ? b , ?? 2 ax ? 1 a ( ? x) 2 ? 1

x?b x ?b ? 2 对于任意 x ? R 都成立. 2 ax ? 1 ax ? 1 x ∴ b ? 0 .∴ f ( x ) ? 2 . ax ? 1 x 若 a ? 0 , 则函数 f ( x ) ? 2 的定义域不可能是 R, 故 a ? 0 . ax ? 1
化简得 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ; 当 x ? 0 时, f ? x ? ?

x ax ? 1
2

?

1 1 ax ? x

?

1 1 2 ? ax ?? x

?

1 2 a



当且仅当 ax ?

1 1 1 即x? 时, f ? x ? 取得最大值 . x a 2 a

?

1 ? 1, 即 a ? 1 . a
x ……①, x ?1
2

(2)依题意得 f ( x) ?

1 ? x2 ……② f '( x) ? (1 ? x 2 )2
又∵曲线 f ( x) ?

x 在 ( x0 , f ( x0 )) 处切线方程为 x ?1
2

y ? f ( x0 ) ? f '( x0 )( x ? x0 ) ,
切线与 y 轴交于点 (0, t ) , ∴ t ? f ( x0 ) ? f '( x0 )(0 ? x0 ) ,化简得 t ? ? x0 f '( x0 ) ? f ( x0 ) , ①②代入化简得 t ?
3 2 x0 , x0 ? R . 2 2 (1 ? x0 )

又∵ t ' ?

2 2 2 3 2 2 6 x0 (1 ? x0 ) ? 2 x0 ?2(1 ? x0 )?2 x0 2 x0 ( 3 ? x0 )( 3 ? x0 ) , ? 2 2 2 2 3 [(1 ? x0 ) ] (1 ? x0 )

令 t ' ? 0 ,解得 x0 ? ? 3 ,列表如下

x0
t'

(??, ? 3)


3
0

(? 3, 3)


3
0

( 3, ??)


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t



极小值



极大值 、



3 2 x0 ? 0. 当 x0 ? 0 时, t ? 2 2 (1 ? x0 ) 3 2 x0 , x0 ? R 取得唯一的极大值,也是最大值. 2 2 (1 ? x0 )

∴ x0 ? 3 时,函数 t ?

tmax

? 3? ? ?1 ? 3 ? ? ?? ? ? ?
2?
3 2

2

?

3 3 . 、 8

3 2 x0 ?0 当 x0 ? 0 时, t ? 2 2 (1 ? x0 ) 3 2 x0 , x0 ? R 取得唯一的极小值,也是最小值. 2 2 (1 ? x0 )

∴ x0 ? ? 3 时,函数 t ?

tmin

? ? ? ?1 ? ? 3 ? ? ?? ? ? ?
2? ? 3
3 2

2

??

3 3 . 8

∴ t 的取值范围是 ? ?

? 3 3 3 3? , ?. 8 ? ? 8

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