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2016高三上学期第二次月考数学(理)试题


2016 届高三年级第二次月考

数 学 试 卷(理)
命题人:

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.函数 y= A.{x|x≠
1 3x ? 2

的定义域为 B.(
2 ,+∞)

3

2 } 3

C.(-∞,

2 ) 3

D.[

2 ,+∞) 3

2.函数 y ? ? x2 ? 6 x ? 5 的值域为 A、 ? 0, 2? B、 ? 0, 4? C、 ? ??, 4? D、 ? 0, ?? ?

3. 6. 在△ABC 中, AB =2, AC=1, E, F 为 BC 的三等分点, 则 AE ?AF | AB ? AC |?| AB ? AC | , = A、

??? ? ????

??? ? ????

??? ? ??? ?

8 9

B、

10 9

C、

25 9

D、

26 9
)

4. 函数 y=cos2(2x+ A. ? 5·已知 sin( A、

? ? )-sin2(2x+ )的最小正周期是( 3 3
C.4 ? D.

B.2 ?

? 2

?

4 5

3 ? ? ? ) ? ,则 sin( ? 2? ) ? 6 5 6 7 9 B、 C、 25 25

D、

16 25

6.x 为三角形的一个内角,且 sinx+cosx= A.
1 2

2 ,则 sin2x 等于 2

B.-

1 2

C.3

D.-3

7.函数 f(x)= ln x ? A. (1, 2)

2 的零点所在的大致区间是 x

B. (e,3) C. (2,e) D. (e,+∞)

8.已知定义域为 { x | x ? 0} 的函数 f ( x ) 为偶函数,且 f ( x )在区间 (? ?,0) 上是增函数, 若 f (?3) ? 0, 则
f ( x) ? 0 的解集为 x

A. ( ?3,0) ? (0,3)

B. ( ? ?,?3) ? (0,3)

C. ( ? ?,?3) ? ( 3,? ?)

D. ( ?3,0) ? ( 3,? ?)

第1页 共9页

9.下面能得出△ABC 为锐角三角形的条件是 A. sin A ? cos A ?
1 5

B. AB ? BC ? 0 D. tan A ? tanB ? tanC ? 0

C. b ? 3, c ? 3 3 , B ? 30?

10.在三角形 ABC 中,AB=2,AC=4.P 是三角形 ABC 的外心,数量积 AP ? BC 等于 A.6 B.-6 C.3 D.-3 )

11.7.已知 0 ? ? ? ? , sin ? ? cos ? ? ?

A. ?

60 221

B. ?

120 221

7 sin ? cos ? ,则 的值为( ? 13 2 sin(? ? ) 4 60 60 C. ? D. 17 221

12.已知 f ( x ) 是定义在 R 上且以 4 为周期的奇函数,当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? 2 则函数 f ( x ) 在区间 [0,8] 上的所有零点的和为() A.16 B.32 C.48 D.52

| x ?1|

3 ? , 2

二. (第 13 题~第 16 题.每题 5 分共 20 分) 13. 已知 a ? 2 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 45? ,要使 ? b ? a 与 a 垂直,则 ? = .

1 ? 14.已知函数 y ? sin?x(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示,要得到函数 y ? sin( x ? ) 2 12

的图象,则需将函数 y ? sin? x 的图象向_______平移 y 1 -? O

________个单位。

2?

3? x

?

15. 向量 a =(-2,3), b =(1,m),若 a 、 b 夹角为钝角,则实数 m 的范围是_________. 16. 关于 x 的方程 ( ) ?
x

3 2

2 ? 3a 有负数根,则实数 a 的取值范围为___________ 5?a

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

第2页 共9页

17. (本小题满分 10 分) 已知 A、B 是△ABC 的两个内角, a ? 2 cos 位向量,若 | a |?
6 . 求 tan A ? tanB 的值. 2
A? B A? B i ? sin j ,其中 i 、 j 为互相垂直的单 2 2

18. (本小题满分 12 分) 本小题 12 分)在 ?ABC 中,记 ?BAC ? x (角的单位是弧度制) , ?ABC 的面积为 S ,且

AB ? AC ? 8 , 4 ? S ? 4 3 。
(1)求 x 的取值范围; (2)根据(1)中 x 的取值范围,求函数 f ? x ? ? 2 3 sin 2 ? x ? 值和最小值。

? ?

??

2 ? ? 2cos x ? 3 的最大 4?

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c, 过曲线 y ? f ( x)上的点 P(1, f (1))的切线方程为 y ? 3x ? 1
, 求f ( x ) 的表达式; (1)若 y ? f ( x )在x ? ?2时 有 极 值

(2)若函数 y ? f ( x )在 区 间 [?2,1] 上单调递增,求 b 的取值范围

第3页 共9页

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? 1 (1)已知 ? , ? ? (0,

?
2

) ,且 sin ? ?

(2)(2)求函数 y ? f ( x ) ? f (

?
2

1 1 , cos ? ? ,求 f (? ? ? ) 的值; 3 5

? x) 的最大值

21. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ? ax ( a 为常数)
2

(1)若函数在 (1, ??) 内单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)若存在 x ? [1, e] (其中 e 为自然对数的底) ,使得 f ( x) ? 2 x 成立,求实数 a 的取值范 围

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 8 ln x, g( x) ? ? x 2 ? 14x , . (1)求函数 f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切线方程; (2)若函数 f ( x ) 与 g( x ) 在区间 (a , a ? 1) 上均为增函数,求 a 的取值范围; (3)若方程 f ( x ) ? g( x ) ? m 有唯一解,试求实数 m 的值.

第4页 共9页

银川一中 2016 届高三第二次月考数学(理科)试卷答案
题号 答案 13 1 B
? =2

2 A

3 A

4 D

5 C

6 B
2 3 且 m≠3 2

7 C

8 D 16. ?

9 D

10 A

11 A

12 B

2 3 ?a? 3 4 3 A ? B A ? B 3 2 ) 2 ? (sin )2 ? , 17.解:?| a | ? ,? ( 2 cos ………2 分 2 2 2 2 A? B 3 1 ? cos( A ? B) 3 2 A? B ? sin 2 ? , 即 cos( A ? B) ? 1 ? ? ,……6 分 即 2 cos 2 2 2 2 2 1 ? cos( A ? B) ? cos( A ? B) ? 0,? cos A cos B ? 3 sin A sin B, …………8 分 2 sin A sin B 1 ? tan A ? tan B ? ? . …………10 分 cos A cos B 3
14 左, 15. m<
2 18 解: (1)∵ 2an Sn ? an ? 1 ,∴当 n≥2 时, 2( Sn ? Sn?1 ) Sn ? ( Sn ? Sn?1 )2 ? 1 ,
2 2 2 整理得, Sn , (2 分)又 S1 ?1, ? Sn ?1 ? 1 (n≥2) 2 ∴数列 { S n } 为首项和公差都是

? 6

(3 分) (4 分) (5 分)

1 的等差数列.

(2)由(1)

2 Sn

? n ,又 S n ? 0 ,∴ Sn ? n

∴n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? n ? 1 ,又 a1 ? S1 ? 1 适合此式

第5页 共9页

∴数列 {an } 的通项公式为 an ? n ? n ? 1 2 2 1 1 ? ? ? (Ⅱ)∵ bn ? 4 4 S n ? 1 ( 2n ? 1)( 2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 ∴ Tn ?

(7 分) (8 分)

1 1 1 ? ??? 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1)( 2n ? 1)

1 2n 1 1 1 1 1 =1? (10 分) ? ? ? ? ?? ? 2n ? 1 2n ? 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2 1 ∴ Tn ? ,依题意有 ? (m 2 ? 3m ) ,解得 ? 1 ? m ? 4 , 3 3 6 故所求最大正整数 m 的值为 3 (12 分)

? 1?

19 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c f ?( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? b y ? f ( x) P(1, f (1)) : y ? f (1) ? f ?(1)(x ? 1) y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)(x ? 1)
?3 ? 2a ? b ? 3 ? ?a ? b ? c ? 2 ? 1 ? y ? f ( x) x ? ?2 (1)(2)(3)
3

........( 1) ?2a ? b ? 0.......... ? ....(2) ?a ? b ? c ? 3.......... , f ?(?2) ? 0

? ?4a ? b ? ?12.......... .......( 3) a ? 2, b ? ?4, c ? 5 f ( x) ? x ? 2 x 2 ? 4 x ? 5

-------------5 分

[?2,1] 上单调递增 (2) y ? f ( x)在区间 又 f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b,由(1)知2a ? b ? 0 ? f ?( x) ? 3x 2 ? bx ? b 2 依题意 f ?( x)在[?2,1]上恒有f ?( x) ? 0,即3x ? bx ? b ? 0在[?2,1] 上恒成立 b ?b ? 6 ①在 x ? ? 1时, f ?( x) 小 ? f ?(1) ? 3 ? b ? b ? 0 6 b ②在 x ? ? ?2时, f ?( x) 小 ? f ?(?2) ? 12 ? 2b ? b ? 0 ? b ? 6 b 12b ? b 2 ? 0 则0 ? b ? 6. ③在 ? 2 ? ? 1时, f ?( x) 小 ? 6 12
综合上述讨论可知,所求参数 b 取值范围是:b≥0………………………………(12 分)

1 , 2an ?1 ? an ? n, 2 3 3 1 3 ? a2 ? , a2 ? a1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? , 4 4 2 4 又 bn ? an?1 ? an ?1, bn?1 ? an?2 ? an?1 ? 1, an ?1 ? (n ? 1) an ? n an ?1 ? an ? 1 ? b a ? a ?1 1 2 2 ? 2 ? n ?1 ? n ?1 n ? ? . bn an ? 2 ? an ?1 ? 1 an ?1 ? an ? 1 an ?1 ? an ? 1 2 1 3 ?{bn } 是以 ? 为首项,以 为公比的等比数列. 2 4 3 1 n ?1 3 1 (II)由(I)知, bn ? ? ? ( ) ? ? ? n , 4 2 2 2
20.解: (I)由已知得

a1 ?

第6页 共9页

3 1 3 1 ? an ?1 ? an ? 1 ? ? ? n , ? a2 ? a1 ? 1 ? ? ? , 2 2 2 2 3 1 3 1 a3 ? a2 ? 1 ? ? ? 2 , ?????? ? an ? an ?1 ? 1 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2
将以上各式相加得:

3 1 1 1 ? an ? a1 ? (n ? 1) ? ? ( ? 2 ? ??? ? n ?1 ), 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 3 1 3 1 3 2 ? an ? a1 ? n ? 1 ? ? 2 ? ? (n ? 1) ? (1 ? n ?1 ) ? n ? n ? 2. 1 2 2 2 2 2 1? 2 3 ? an ? n ? n ? 2. 2 S ? ?Tn } 是等差数列. (III)解法一:存在 ? ? 2 ,使数列 { n n 1 1 1 ? Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? 3( 1 ? 2 ? ??? ? n ) ? (1 ? 2 ? ??? ? n) ? 2n 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 n 2 ? 3n 3 n 2 ? 3n n(n ? 1) 2 2 ?? n ? ? 3. ? 3? ? ? 2n ? 3(1 ? n ) ? 1 2 2 2 2 2 1? 2 3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 . Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 2 2n 2 2n ?1 1? 2 S n ? ?Tn S ? ?Tn } 是等差数列的充要条件是 n ? An ? B, ( A 、 B 是常数 ) 数列 { n n 即 Sn ? ?Tn ? An2 ? Bn,

3 n2 ? 3n 3 3 n2 ? 3n ? 1 ? ? 3 ? ? ( ? ? ) ? ? 3(1 ? )(1 ? n ) n n ?1 2 2 2 2 2 2 2 S ? ?Tn ? } 为等差数列. ? 当且仅当 1 ? ? 0 ,即 ? ? 2 时,数列 { n 2 n
又 Sn ? ?Tn ? ? 解法二: 存在 ? ? 2 ,使数列 {

S n ? ?Tn } 是等差数列. n

由(I) 、 (II)知, an ? 2bn ? n ? 2 ? S n ? 2T ?

n(n ? 1) ? 2n 2

n(n ? 1) ? 2n ? 2Tn ? ?Tn n?3 ? ?2 2 ? ? Tn 2 n n 3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 又 T ? b ? b ? ??? ? b ? 4 n 1 2 n 1 2 2n 2 2n ?1 1? 2 Sn ? ?Tn ? n

Sn ? ?Tn n ? 3 ? ? 2 3 3 ? ? (? ? n ?1 ) n 2 n 2 2

第7页 共9页

? 当且仅当 ? ? 2 时,数列 {

S n ? ?Tn } 是等差数列 n 8 21 解: (Ⅰ)因为 f ?( x ) ? 2 x ? ,所以切线的斜率 k ? f ?(1) ? ?6 …………………2 分 x 又 f (1) ? 1 ,故所求切线方程为 y ? 1 ? ?6( x ? 1) ,即 y ? ?6 x ? 7 …………………4 分 2( x ? 2)( x ? 2) (Ⅱ)因为 f ?( x) ? , 又 x>0, 所以当 x>2 时 , f ?( x) ? 0 ;当 0<x<2 时 , x f ?( x) ? 0 . 即 f ( x ) 在 (2, ??) 上递增,在(0,2)上递减………………………………5 分
又 g ( x) ? ?( x ? 7)2 ? 49 ,所以 g ( x) 在 (??, 7) 上递增,在 (7, ??) 上递减……………6 分 欲 f ( x ) 与 g ( x) 在区间 ? a, a ? 1? 上均为增函数,则 ? 解得 2 ? a ? 6 …………8 分
2

? a?2 , ?a ? 1 ? 7

(Ⅲ) 原方程等价于 2 x ? 8ln x ? 14 x ? m , 令 h( x) ? 2x2 ? 8ln x ?14x , 则原方程即为

h( x ) ? m . 因为当 x ? 0 时原方程有唯一解,所以函数 y ? h( x) 与 y ? m 的图象在 y 轴右侧有唯一
的交点……………10 分

8 2( x ? 4)(2 x ? 1) ? 14 ? 且 x>0,所以当 x>4 时, h?( x) ? 0 ; x x 当 0<x<4 时, h?( x) ? 0 . 即 h( x) 在 (4, ??) 上递增,在(0,4)上递减.
又, h?( x) ? 4 x ? 故 h(x)在 x=4 处取得最小值 从而当 x ? 0 时原方程有唯一解的充要条件是 m ? h(4) ? ?16ln 2 ? 24 ……………12 分 22.解: (1)? ?CPD ? ?ABC, ?D ? ?D , 又? AB ? AC ,?

? ?DPC ~ ?DBA,?

PC PD ? AB BD
(5 分)

PC PD ? AC BD

(2)? ?ACD ? ?APC, ?CAP ? ?CAP, ? ?APC ~ ?ACD ?

AP AC ? , AC AD

(10 分) 23.解(Ⅰ) 由题意知,直线 l 的直角坐标方程为:2x-y-6=0,………………2 分 ∵曲线 C2 的直角坐标方程为: ( ∴曲线 C2 的参数方程为: ?

? AC 2 ? AP ? AD ? 9

x 2 y ) ? ( )2 ? 1 , 2 3

? ? x ? 3 cos ? (? 为参数) .………………5 分 y ? 2sin ? ? ?

(Ⅱ) 设点 P 的坐标 ( 3 cos? , 2sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为:
0 | 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6 ?? ) ? - 6 | | 4sin(30 -6 | ,………………7 分 ? 5 5 |4?6| 3 0 ? 2 5 .…………10 分 ∴当 sin(60 -θ)=-1 时,点 P(- ,1) ,此时 d max ? 2 5 ? | 2a ? b | ? | 2a ? b |?| 2a ? b ? 2a ? b |? 4 | a | 对于任意非零实数 a 和 b 恒成立, 24.解: (I) 当且仅当 (2a ? b)(2a ? b) ? 0 时取等号,

d?

第8页 共9页

?

| 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值等于 4。 |a|

…………5 分

(II)

?| 2 ? x | ? | 2 ? x |?

| 2a ? b | ? | 2a ? b | 恒成立, |a|
…………7 分

故 | 2 ? x | ? | 2 ? x | 不大于 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值 |a| 由(I)可知 | 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值等于 4。
|a|

实数 x 的取值范围即为不等式 | 2 ? x | ? | 2 ? x |? 4 的解。 解不等式得 ? 2 ? x ? 2. …………10 分

第9页 共9页


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