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2017年高考(全国1卷)模拟数学(理)试题带答案


2017 届高三年级全真模拟考试(一) 数学(理科)试题
★ 祝考试顺利 ★ 时间:120 分钟 分值 150 分

第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A ? ?0,1, 2? , B ? ?1, m? ,若 A ? B ? B ,则实数 m 的值是( A.0 B.0 或 2 C.2 D.0 或 1 或 2
x0



2.已知命题 p :“存在 x0 ? ?1, ?? ? ,使得 (log 2 3)

? 1 ”,则下列说法正确的是(



A. p 是假命题; ?p : “任意 x ? ?1, ?? ? ,都有 (log 2 3) x ? 1 ” B. p 是真命题; ?p : “不存在 x0 ? ?1, ?? ? ,使得 (log 2 3)
x0

? 1”

C. p 是真命题; ?p : “任意 x ? ?1, ?? ? ,都有 (log 2 3) x ? 1 ” D. p 是假命题; ?p : “任意 x ? ?? ?,1? ,都有 (log 2 3) x ? 1 ” 3.已知直线 a, b ,平面 ? , ? ,且 a ? ? , b ? ? ,则“ a ? b ”是“ ? / / ? ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4 . 已 知 一 元 二 次 方 程 x ? (1 ? a ) x ? a ? b ? 1 ? 0 的 两 个 实 根 为 x1 , x 2 , 且
2



b 0 ? x1 ? 1, x 2 ? 1 ,则 的取值范围是( a 1 1 1 A . ( ?2,? ) B. (?2,? ] C. (?1,? ) 2 2 2

) D. (?1,? ]

1 2

5.如图所示的茎叶图(图一)为高三某班 50 名学生的化学考试成绩,图(二)的算法框图 中输入的 ai 为茎叶图中的学生成绩,则输出的 m, n 分别是( )

A. m ? 38, n ? 12 C. m ? 12, n ? 12

B. m ? 26, n ? 12 D. m ? 24, n ? 10

6.某射击手射击一次击中目标的概率是 0.7,连续两次均击中目标的的概率是 0.4,已知 某次射中,则随后一次射中的概率是( ) A.

7 10

B.

6 7

C.

4 7

D.

2 5

7.函数 f ? x ? ? ? sin ? ? x ? 差为

? ?

??

? ( ? ? 0 )的图象与 x 轴正半轴交点的横坐标构成一个公 6?

?
2

的 )个单位

等差数列,若要得到函数 g ? x ? ? ? sin ? x 的图象,只要将 f ? x ? 的图象( A.向左平移 C.向左平移

?
6

B.向右平移 D.向右平移

?

?

?

6

12 12 ? ? ? ? ? ? ? ? 8.若非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a 与 b 的夹角为(
A. 0? B. 45? C. 90? D. 180?



9. 已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f (? x) , 且当 x ? (??,0) 时,f ( x) ? xf ' ( x) ? 0 成立,



( a ? (20.1 ) ? f (20.1 ), b ? (ln 2) ? f (ln 2) ,c ? (log 2 ) ? f (log 2 ), 则a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. a ? c ? b

1 8

1 8



10.已知数列 {an } 是等差数列, a1 ? tan 225? , a5 ? 13a1 ,设 Sn 为数列 {(?1) n an } 的前 n 项和, 则 S2015 ? ( A. 2015 ) B. ?2015 C. 3024 D. ?3022

x2 y 2 11.如图,焦点在 x 轴上的椭圆 2 ? ? 1( a ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是 a 3
椭圆上位于第一象限内的一点,且直线 F2 P 与 y 轴的正半轴交于 A 点, ?APF1 的内切圆在 边 PF1 上的切点为 Q ,若 | F1Q |? 4 ,则该椭圆的离心率为( )

A.

1 4

B.

1 2

C.

7 4

D.

13 4

2 2 y ? 1 ?OMN ? 300 (x , y ) 12. N 为 圆 x ? y ? 1 上的一个动点,平面内动点 M 0 0 满足 0 且

(O 为坐标原点),则动点 M 运动的区域面积为(



8? ?2 3 A. 3 4? ? 3 D. 3

4? ? 3 B. 3

2? ? 3 C. 3

第 II 卷(非选择题)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分)

13.已知 a ? 2, b ? 2 2, c ? 2 3 ,且 a ? b ? c ? 0 ,则 a ? b ? b ? c ? a ? c ? 14.已知 ? 2 sin( x ? ? )dx ?
0

?

?

?

?

? ?

?

? ?

? ?

? ?

?

7 ,则 sin 2? ? 4



15.已知等差数列 {an } 满足: 值时, n ? 16 . 已 知 数 列 .

a11 ? ?1 ,且它的前 n 项和 S n 有最大值,则当 S n 取到最小正 a10

?an ? 的 通 项 公 式 为 an ? ?n ? p , 数 列 ?bn ? 的 通 项 公 式 为 bn ? 3n?4 , 设
,
在数列

?an Cn ? ? ?bn


an ? bn an ? bn
.

?cn ?

中,

cn ? c4

?n ? N ?
?

,则实数 p 的取值范围

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.共 70 分. 17. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(4 x ? (1)求函数 f ( x) 的最大值; (2)若直线 x ? m 是函数 f ( x) 的对称轴,求实数 m 的值. 18. (本题 12 分)甲、乙两名篮球运动员,各自的投篮命中率分别为 0.5 与 0.8 ,如果每人 投篮两次. (Ⅰ)求甲比乙少投进一次的概率; (Ⅱ)若投进一个球得 2 分,未投进得 0 分,求两人得分之和 ? 的分布列及数学期望 ?? . 19. (本题 12 分) 如图, 在四棱锥 S ? ABCD 中, SD⊥底面 ABCD, AB∥DC, AD⊥DC,AB ? AD ? 1 , DC ? SD ? 2 ,E 为棱 SB 上的一点, 平面 EDC⊥平面 SBC.

?

) ? cos(4 x ? ) . 4 4

?

(Ⅰ)证明: SE ? 2 EB ; (Ⅱ)求二面角 A ? DE ? C 的大小. 20. (本题 12 分)已知 m>1,直线 l: x ? my ?

m2 x2 ? 0 ,椭圆 C: 2 ? y 2 ? 1 ,F1、F2 分别为 2 m

椭圆 C 的左、右焦点. (Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,△AF1F2,△BF1F2 的重心分别为 G,H. 若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围. 21. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ( e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f ( x) ≥ 0 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的值;
? ? ? 2?3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 3n ? (Ⅲ)求证: ln ?1 ? ? ln 1 ? ? ? ? ln 1 ? ?2. ? ? 2 ? 2 2 ? n 2 ? ? (3 ? 1) ? ? (3 ? 1) ? ? (3 ? 1) ?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记 分.答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.
22. (本题 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 和⊙O′相交于 A,B 两点,过 A 作两 圆的切线分别交两圆于 C,D 两点,连结 DB 并延长交⊙O 于点 E,已知 AC ? BD ? 3 .

(Ⅰ)求 AB ? AD 的值; (Ⅱ)求线段 AE 的长. 23. (本题 10 分)选修 4 一 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,圆 C1 : x ? y =经过伸缩变换 ?
2 2

? x ' ? 3x 后得到曲线 C 2 . ?y ' ? 2y

以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为 极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度, 建立极坐标系,直线的极坐标方程为 cos ? ? 2 sin ? ?

10

?

·

(1)求曲线 C 2 的直角坐标方程及直线的直角坐标方程; (2)在 C 2 上求一点 M ,使点 M 到直线的距离最小,并求出最小距离. 24. (本题 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? 0 , b ? 0 ,函数 f ( x ) ?| x ? a | ? | x ? b | 的最小值为 2. (Ⅰ)求 a ? b 的值; (Ⅱ)证明: a 2 ? a ? 2 与 b2 ? b ? 2 不 可能同时成立. 参考答案 1.B 2.C 3.B

4.A 5.B 6.C 7.D 8.D 9.B 10.D 11.D. 12.A 13.-12 【解析】
[来源:学科网]













? ? ? ? a?b?c ?0



? ? ? a ? b ? ?c









? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 b ? c ? a ? c ? (b ? a ) ? c ? ?c ? c ? ? c ? ?12 ,
同理有 a ? b ? b ? c ? b ? ( a ? c) ? ? b ? ?8 , a ? b ? a ? c ? ? a ? ?4 ,三式相加得到:

? ?

? ?

? ?

?

?2

? ?

? ?

?2

? ? ? ? ? ? a ? b ? b ? c ? a ? c ? ?12 ;故答案为:-12.
考点:向量的数量积. 14.
9 16

【解析】 试


?











?

?

2 0

sin( x ? ? )dx ?

? 7 ? ? 2 (sin x cos ? ? cos x sin ? )dx ? ? cos x cos ? ? sin x sin ? ? |02 0 4

? sin ? ? cos ? ?

7 7 9 9 ,所以 1 ? sin 2? ? , sin 2? ? ,故答案为 . 16 4 16 16

考点:1、定积分的应用;2、同角三角函数之间的关系. 15.19 【解析】

a11 ? ?1 { a } S a n n n 10 试题分析:因为等差数列 前 项和 有最大值,所以公差为负,因此由 得
a11 ? 0, a10 ? 0, a11 ? ?a10 ? a11 ? a10 ? 0

? S19 ?

10(a1 ? a19 ) 10(a1 ? a20 ) 10(a10 ? a11 ) ? 10a10 ? 0, S20 ? ? ? 0, 2 2 2
S n 取到最小正值

因此当 n ? 19 时,

考点:等差数列性质 【名师点睛】

求等差数列前 n 项和的最值常用的方法 (1)先求 an, 再利用?

?an≥0 ?an+1≤0

或?

?an≤0 ?an+1≥0

求出其正负转折项, 最后利用单调性确定最值.

(2)①利用性质求出其正负转折项,便可求得前 n 项和的最值.②利用等差数列的前 n 项和 Sn=An2+Bn(A,B 为常数)为二次函数,根据二次函数的性质求最值. 16. (4,7) 【解析】 试题分析:因为

cn ? c4 所以 c4 是最小项,所以 n ? 1, 2,3, 4 时 ?cn ? 递减, n ? 4,5, 6, 7... 时

?cn ? 递增,而数列 ?an ? 是递减数列,数列 ?bn ? 是递增数列,当 c4 ? a4 时,有

?a4 ? b4 ? ?b5 ? a4



0 0 ? ? ?a4 ? b4 ??4 ? p ? 3 ??4 ? p ? 3 ,5 ? p ? 7 ,4 ? p ? 5 ? 1 ? ? 0 a ? b 3 ? ? 4 ? p ? 3 ? p ? 3 c ? b ? ? 4 ? 4 时,必有 ? 3 ,当 4 ,即 ? ,所以

实数 p 的取值范围是 4 ? p ? 7 故答案为 (4,7) . 考点:1、函数的单调性;2、数列的增减性及最值. 【方法点睛】本题主要考查函数的单调性以及数列的增减性及最值,属于难题.解答本题的 关键有两个, 一是注意函数的单调性和数列增减性不完全一致, 因为函数是连续的而数列不

连续,所以数列的最值点根函数的极值点会有偏差;二是要根据

?an Cn ? ? ?bn

an ? bn an ? bn

,
讨论

c4 ? a4 或 c4 ? b4 两种情况分别列不等式组,求出解集后再找并集即可.
17. (1)最大值是 2; (2) m ?

k? ? ? ( k ? Z) . 4 16

【解析】 试题分析: 本题考查三角函数式的化简、 三角函数的最值以及三角函数图像的对称轴等基础 知识,考查运用三角公式进行恒等变换的能力和计算能力,考查数形结合思想.第一问,通 过 观 察 , 4x ?

?
4



?

sin(4 x ?

?

? 4 x 是 互 余 关 系 , 所 以 利 用 诱 导 公 式 将 cos( ? 4 x) 变 成 4 4

?

) ,从而化简了函数解析式,利用 sin(4 x ? ) 的有界性,求出函数 f ( x) 的最大 4 4

?

值;第二问,通过数形结合,利用 y ? sin x 的对称轴,列出关系式,解出 x ,即 m 的值. 试题解析: (1)

f ( x) ? sin(4 x ? ) ? cos( ? 4 x) 4 4 ? sin(4 x ? ) ? sin( ? 4 x) 4 4

?

?

?

?

? 2sin(4 x ? ) , 4
所以

?

3分

f ( x) 的最大值是 2.

5分

(2)令 4 x ?

?
4

? k? ?

?
2

( k ? Z) ,

7分

则x

?

k? ? ? (k ? z ) , 4 16

9分

而直线 x

? m 是函 y ? f ( x) 的对称轴,所以 m ?

k? ? ? ( k ? Z) 4 16

10 分

考点:1.诱导公式;2.三角函数最值;3.三角函数图像的对称轴. 18. (Ⅰ)0.40; (Ⅱ)见解析. 【解析】 试题分析: (1) “每人投篮两次,甲比乙少投进一次”可分为“甲投中 0 次,乙投中 1 次” 和“甲投中 1 次,乙投中 2 次”两个事件,而每个事件都可能独立重复试验的概率公式求得 概率; (2)甲乙两共投 4 球,一球 2 分,因此 ? 的可能值分别为 0,2,4,6,8 五种可能.分 别求得概率可得分布列. 试题解析: (Ⅰ)设“甲比乙少投进一次”为事件 A,依题意可知它包含以下两个基本事件: 甲投进 0 次,乙投进 1 次,记为事件 B,则有:

P( B) ? 0.52 ? C21 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) ? 0.08 ;
甲投进 1 次,乙投进 2 次,记为事件 C,则有:

P(C ) ? C21 ? 0.52 ? 0.82 ? 0.32 ;
? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 0.08 ? 0.32 ? 0.40 .
(Ⅱ)甲乙两人得分的分布列为: 概率分开写步骤

?
P

0 0.01

2 0.10
[来源:Z,xx,k.Com]

4 0.33

6 0.40

8 0.16

? E? ? 0 ? 0.01 ? 2 ? 0.10 ? 4 ? 0.33 ? 6 ? 0.40 ? 8 ? 0.16 ? 5.2 )

考点:独立重复试验恰好发生 k 次的概率公式,随机变量的分布列与数学期望. 19. (Ⅰ)证明见解析; (Ⅱ) 120? . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)以 D 坐标原点,建立如图所示的直角坐标系 D ? xyz ,设 SE ? ? EB ,求 出平面 SBC 的法向量,平面 EDC 的法向量用 ? 表示,两法向量数量积为零可解 ? ? 2 , 可证 SE ? 2 EB ; (Ⅱ)先证 EC ? DE , FA ? DE 可得向量 FA 与 EC 的夹角等于二面角

???

??? ?

??? ?

??? ?

A ? DE ? C 的平面角,最后用空间向量夹角余弦公式可得结果. 试题解析: (Ⅰ) 以 D 为坐标原点, 建立如图所示的直角坐标系 D-xyz, 则 A(1, 0, 0), B(1,1, 0),
C(0,2,0),S(0,0,2),∴ SC =(0,2,-2), ?C =(-1,1,0), DC =(0,2,0).

???

??? ?

??? ?

? ??? ? ? ? ? ??? ? ??? ?m ? SC ? 0 设平面 SBC 的法向量为 m =(a,b,c),由 m ⊥ SC , m ⊥ ?C ,得 ? ? ??? ? ? ?m ? ?C ? 0
∴?

?2b ? 2c ? 0 ??a ? b ? 0

取 m =(1,1,1).

?

又设 S ? =λ ?? (λ >0) ,则 E(

??? ?

??? ?

?

1? ? ??? ? ? ? 2 ∴ D? =( , , ). 1? ? 1? ? 1? ? ? 设平面 EDC 的法向量 n =(x,y,z),



?
1? ?



2 ), 1? ?

? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ?n ? D? ? 0 由 n ⊥ D? , n ⊥ DC ,得 ? ? ??? ? ? ?n ? DC ? 0
λ ).
源:Zxxk.Com]

?y 2z ? ?x ? ? ?0 ? ∴ ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ?2 y ? 0
?

? n =(2,0,-

由平面 EDC⊥平面 SBC,得 m ⊥ n ,∴ m · n =0,∴2-λ =0,即 λ =2.SE=2EB.6 分

?

?

?

[来

(Ⅱ)由(Ⅰ ) ,知 E(
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

??? ? ??? ? 2 2 2 2 2 2 2 4 2 , , ),∴ D? =( , , ), ?C =(- , ,- ), 3 3 3 3 3 3 3 3 3
??? ? 1 1 1 2 1 , , ),∴ F? =( ,- ,- 3 3 3 3 3

∴ ?C · D? =0,∴EC⊥DE.取 DE 的中点 F,则 F(

??? ?

??? ?

1 ), 3 ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ∴ F? · D? =0,∴FA⊥DE.∴向量 F? 与 ?C 的夹角等于二面角 A-DE-C 的平面角. ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? F? ? ?C 1 而 cos< F? , ?C >= ??? ? ??? ? =- ,故二面角 A-DE-C 的大小为 120°. 2 F? ?C

[来源:Zxxk.Com]

考点:1、面面垂直的性质;2、用空间向量夹角余弦公式. 20. (Ⅰ) x ? 2 y ? 1 ? 0 ; (Ⅱ) ?1, 2 ? . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由椭圆方程可得椭圆的右焦点坐标将其代入直线方程即可求得 m 的 值. (Ⅱ)将直线方程与椭圆方程联立,消去 x 可 得关于 y 的一元二次方程,从而可得两 根之积两根之和.根据重心坐标公式分别求得点 G , H 的坐标,由题意可知 ?GOH ? 90? , 即 OG ? OH ? 0 .根据数量积公式可求得 m 范围. 试题解析:解: (Ⅰ)∵直线: x ? my ?

???? ????

m2 ? 0 经过 F2 2

?

m 2 ? 1, 0 ,

?

? m2 ? 1 ?

m2 ,得 m 2 ? 2 . 2

又? m ? 1 ,? m ?

2.

故直线的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (Ⅱ)设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

? m2 x ? my ? ? m2 ? 2 2 ?1 ? 0 , 由? 2 消去 x 得 2 y ? my ? 4 ? x ? y2 ? 1 ? ? m2
∴ y1 ? y2 ? ?

m m2 1 , y1 y2 ? ? . 2 8 2

由 ? ? m ? 8?
2

? m2 ? ? 1? ? ? m 2 ? 8 ? 0 ,得 m 2 ? 8 , 4 ? ?

由于 F1 ? ?c, 0 ? , F2 ? c, 0 ? ,故 O 为 F1 F2 的中点.

由 G , H 分别为 ?AF1 F2 , ?BF1 F2 的重心,可知 G ?

? x1 y1 ? ? x2 y2 ? , ?, H ? , ? , ?3 3? ? 3 3 ?

设 M 是 GH 的中点,则 M ?

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ?, 6 ? ? 6

∵原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 而 x1 x2 ? y1 y2 ? ? my1 ?

? ?

? m2 1 ? m 2 ?? m2 ? 2 my ? ? y y ? m ? 1 ?? 8 ? 2 ? , ?? 2 ? 1 2 ? 2 ?? 2 ? ? ?



m2 1 ? ? 0 ,即 m 2 ? 4 . 8 2

又? m ? 1 且 ? ? 0 ,?1 ? m ? 2 . ? m 的取值范围是 ?1, 2 ? . 考点:直线与椭圆的位置关系问题. 21. (Ⅰ)a ? 0 时, f ( x) 单调递增区间为 R ;a ? 0 时, f ( x) 单调递减区间为 (??, ln a ) , 单调递增区间为 (ln a, ??) ;(Ⅱ) a ? 1 ; (Ⅲ)证明见解析 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用导数分析函数的单调性,根据 a ? 0 和 a ? 0 分类讨论得出函数的单调 区间; (Ⅱ)先由(Ⅰ)中 a ? 0 时的单调性可知 f ( x) min ? f (ln a ) ,即 a ? a ln a ? 1 ? 0 , 构造函数 g (a ) ? a ? a ln a ? 1 ,由导函数分析可得 g ( a ) 在 (0,1) 上增,在 (1, ??) 上递减, 则 g (a ) ? g (1) ? 0 ,由 f ( x) ≥ 0 对任意的 x ? R 恒成立,故 g (a ) ? 0 ,得 a ? 1 ; (Ⅲ)先由 (Ⅱ) e x ? x ? 1 ,即 ln(1 ? x) ? x ( x ? ?1) ,从而问题等价转化为证 试题解析: (Ⅰ) f ( x) ? e ? a
' x

2 ? 3k ? 2. ? k 2 k ?1 (3 ? 1)
n

1分 2分

? a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上单调递增。 a ? 0 时, x ? (??, ln a) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,

x ? (ln a, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增.
(Ⅱ)由(Ⅰ) , a ? 0 时, f ( x) min ? f (ln a )

4分

? f (ln a) ? 0

5分

即 a ? a ln a ? 1 ? 0 ,记 g (a ) ? a ? a ln a ? 1

(a ? 0)

? g ' (a ) ? 1 ? (ln a ? 1) ? ? ln a
? g (a ) 在 (0,1) 上增,在 (1, ??) 上递减 ? g (a ) ? g (1) ? 0
故 g (a ) ? 0 ,得 a ? 1 8分

(Ⅲ)由(Ⅱ) e x ? x ? 1 ,即 ln(1 ? x) ? x ( x ? ?1) ,则 x ? 0 时, ln(1 ? x) ? x
n 2 ? 3k 3k ? 2 ?1 ,即证: ? ? k 2 k 2 k ?1 (3 ? 1) k ?1 (3 ? 1) n

要证原不等式成立,只需证:

3k 2 2 ? k ? k ?1 下证 k 2 (3 ? 1) 3 ?1 3 ?1
3k 4 ? 3k ? 2k ? 3 ? 2 ? 3k ? 1 3 ? 32 k ? 4 ? 3k ? 1



9分

? 4(32 k ? 2 ? 3k ? 1) ? 3 ? 32 k ? 4 ? 3k ? 1
? 32 k ? 4 ? 3k ? 3 ? 0 ? (3k ? 1)(3k ? 3) ? 0
①中令 k ? 1, 2,? , n ,各式相加,得

3k 2 2 2 2 2 2 ?( 1 ? 2 ) ?( 2 ? 3 ) ?? ? ( n ? n ?1 ) ? k 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 k ?1 (3 ? 1)
n

?

2 2 ? 1 成立, ? n ?1 3 ?1 3 ?1
1

故原不等式成立. 方法二: n ? 1 时,

14 分

2 ? 3n 3 ? n 2 (3 ? 1) 2

2 ? 3n 2 ? 3n 2 ? 3n ?1 ? ? n ? 2 时, n (3 ? 1) 2 (3n ? 1)(3n ? 3) (3n ? 1)(3n ?1 ? 1)
? 1 3
n ?1

1 ?1 3 ?1 ?
n

n ? 2 时, ?

3k 3 1 1 ?2 ? ? ? n k 2 2 2 3 ?1 k ?1 (3 ? 1)
n

考点:1.利用导数数求函数的单调性;2.利用导数处理不等式的恒成立问题;3.等价转化的 数学思想方法 22. (Ⅰ) 9 (Ⅱ) 3 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 由 AC 与设圆⊙ O' 相交于 A , 得 ?CAB ? ?ADB , 同理 ?ACB ? ?DAB ,

AC AB ,即 AC ? BD ? AD ? AB ? 9 ; (Ⅱ)由 AD 与设圆 ? AD BD ⊙ O 相交于 A ,得 ?AED ? ?BAD ,又 ?ADE ? ?BDA ,得 ?EAD ∽ ?ABD ,从而 AE AD ,即 AE ? BD ? AD ? AB ,结合(Ⅰ)的结论, AC ? AE ? 3 . ? AB BD 试题解析: (Ⅰ)∵ AC 切⊙ O' 于 A ,∴ ?CAB ? ?ADB , AC AB 同理 ?ACB ? ?DAB ,∴ ?ACB ∽ ?DAB ,∴ ,即 AC ? BD ? AB ? AD . ? AD BD ∵ ?C ? ?D ? 3 ,∴ ?? ? ?D ? 9 . (Ⅱ) ∵ AD 切⊙ O 于 A , ∴ ?AED ? ?BAD , 又 ?ADE ? ?BDA , ∴ ?EAD ∽ ?ABD , AE AD ∴ , 即 AE ? BD ? AB ? AD . 由 ( Ⅰ ) 可 知 , AC ? BD ? AB ? AD , ∴ ? AB BD AE ? AC ? 3 .
所以 ?ACB ∽ ?DAB ,从而 考点:1、弦切角定理;2、相识三角形. 23. (1) C2 : 【解析】 试题分析: (1)由题意可得 C 2 的方程为 ?

x2 y 2 ? =1 , l : x ? 2 y ? 10 ? 0 (2) M ? 9 , 8 ? , d min ? 5 ? ? 9 4 ?5 5?
? x? ? ? y ? ? ? ? ? ? =1 ,化简可得所要求的结果;将极 ?3? ?2?
2 2

坐标方程两边同乘 ? , 进而根据 x ? ? cos?,y ? ? sin? , 可求出直线的直角坐标方程; (2) 根据椭圆的参数方程为 ?

x=3cos? ,可设点 M ? 3cos? , 2 sin? ? .求得点 M 到直线的距离为 ? ? y=2 sin?

d?

| 3cos? ? 4 sin? ? 10 | | 5cos (? ? ? ) ? 10 | ,根据余弦函数的值域求得 d 的最小值. ? 5 5
2 2

? x ' ? 3x ? x? ? ? y ? ? 试题解 析: 1 )由 x ? y =, ? ,可得曲线 C 2 的方程为: ? ? ? ? ? =1 即 ?3? ?2? ?y ' ? 2y
2 2

x2 y 2 ? =1 9 4
将极坐标方程两边同乘 ? 可的直线的直角坐标方程 x ? 2 y ? 10 ? 0

(2)因为椭圆的参数方程为

? x=3cos? (? 为参数) , ? y = 2 sin ? ?
由点到直线的距离公式,点 M 到直线的距离为

所 以 可 设 点 M ? 3cos? , 2 sin? ? ,

d?

| | 3cos? ? 4 sin? ? 10 | | 5cos (? ? ? 0 ) ? 10 (其中 3 4 cos? 0 ? ,sin ? 0 ? 由三角函数性 ? 5 5 5 5

质 知 , 当

? ?? ? 0

时 ,

d

取 最 小 值 为

d min ? 5

. 此 时

9 8 3cos? ? 3cos? 0 ? , 2 sin? ? 2 sin? 0 ? 5 5
即点 M ? 9 , 8 ?

? ? ?5 5?

考点:参数方程,极坐标方程,直角坐标方程的互化与应用 24. (Ⅰ) a ? b ? 2 ; (Ⅱ)证明见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 由基本不等式得 f ? x ?min ? a ? b , 由题设条件知 f ? x ?min ? 2 , ∴a ?b ? 2 ; (Ⅱ)假设 a 2 ? a ? 2 与 b 2 ? b ? 2 同时成立,则 a ? 1 且 b ? 1 ,与 a ? b ? 2 相矛盾即证得 结论. 试题解析: (Ⅰ)∵a>0,b>0, ∴f(x)=|x-a|+|x+b|≥|(x-a)-(x+b)|=|-a-b|=|a+b|=a+b, ∴f(x)min=a+b.由题设条件知 f(x)min=2,∴a+b=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)及基本不等式,得 2 ab ≤a+b=2,∴ab≤1. 假设 a +a>2 与 b +b>2 同时成立, 则由 a +a>2 及 a>0, 得 a>1. 同理 b>1, ∴ab>1, 2 2 这与 ab≤1 矛盾.故 a +a>2 与 b +b>2 不可能同时成立.10 分 考点:1、基本不等式求最值;2、一元二次不等式的解法及反证法.
2 2 2


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