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2.2.3向量减法运算及其几何意义1


温故知新
1、向量加法的三角形法则

A
a a a a a a a a a a b b b a+b b b

B

b

b

b

b O

首尾相接连端点

2、向量加法的平行四边形法则 D
a a a a a a a a a a b a

C

a+b b

b

b

b

b

A

B

起点相同连对角

r+ r= r+ r 3、向量加法的交换律:a b b a .
r+ r + r= r+ r+ r (a b ) c a (b c ) 4、向量加法的交换律:

AD 1.化简 (1) AB + CD + BC = ________
(2) MA + BN + AC + CB = ________ MN

?

(3) AB + BD + CA + DC = ________ 0

?

??

?

?

2.2 平面向量线性运算
2.2.2 向量减法运算及其几何意义

一、相反向量 定义:与 a 长度相等,方向相反的向量, 叫做 a 的相反向量,记作: ?a

a ?a

? AB = BA, 在计算中常用

结论: (1) ? (?a) =

a 0

(2)零向量的相反向量仍是零向量,

?0 = 0

(3)a + (?a) = (?a) + a =

(4)如果是a,b互为相反的向量,那么

a = ? b , b = ? a, a + b = 0

探 究

向量是否有减法? 如何理解向量的减法? 我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反 数,如:5-1=5+(-1)

向量的减法是否也有类似的法则:

减去一个向量等于加上这个向量的相反向量?

二、向量减法: 定义: a ? b = a + ( ?b) 即:减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量。 把 a ? b 也叫做 也是一个向量。

a 与 b 的差。a 与 b

的差

三、向量减法的作图方法:
b a

已知a, b,根据减法的定义, 如何作出 a ? b呢?

已知a, b,根据减法的定义, 如何作出a ? b呢?

r r r r a ? b = a + (?b )
b a

B

b
O

a + ( ?b )

a
C

?b

a + ( ?b )
D

A

四、向量减法的几何意义:

a ? b的作图方法:
b a
B

b
O

a ?b

a

A

①将两向量平移,使它 们有相同的起点. ②连接两向量的终点. ③箭头的方向是指向 “被减数”的终点.

“共起点,连终点,指向被减向量”

a ? b表示从减向量b的终点指向被减向量a的终点 的向量,这就是向量减法的几何意义.

也可理解为: a ? b表示与b的和等于a的向量.

思 考

(1)如图,如果从a的终点到b的终点作向量,那么
所得向量是什么?

a
r b
a
b
O ( 1) A B

r r ? b ?a
a
b
( 2) B

思考:若向量a、 b共线,则应怎样作出 a ? b 呢?
同向 反向

a ?b

a ?b

O

A

思考:若向量a、 b共线,则应怎样作出 a ? b 呢?
a
b
( 1)
O A B B

a
b
( 2) A

a ?b

a ?b

O

若a,方向相反, b | a ? b |=| a | + | b | 若a,方向相同, b | a ? b |=| a | ? | b (或 | | b | ? | a |)

若a , b不共线,则 | a ? b |?| a | + | b |

任意向量a, b,有|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | + | b |

任意向量a, b,有|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | + | b |

任意向量a, b,有|| a | ? | b ||?| a + b |?| a | + | b |

任意向量a, b, 有|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | + | b |

练习1
填空:

重要提示

AB = ? BA

DB AB ? AD = _____; 你能将减法运 CA 算转化为加法 BA ? BC = ______; 运算吗? AC BC ? BA = ______;

AD OD ? OA = ______;
BA OA ? OB = ______ .

例 1.已知向量a, b, c, d , 求作向量a ? b, c ? d.
A B D

C

b a
作法 :

d

c a

b
O?

d c

1.在平面上任取点O , 作OA = a , OB = b, OC = c , OD = d . 2.作 BA, DC , 则BA = a ? b, DC = c ? d为所求.

练习 如图,已知a, b, 求作a ? b.
? BA = OA ? OB = a ? b
(2) (1)

a

a
b b

o a
A
(3)

o
B A

b

a ?b

a ?b
(4)

B

a

a
b
B

B

o
a ?b

b
A

o

a ?bA

例2.已知平行四边形 ABCD, AB = a, AD = b, 用 a, b 表示向量AC, DB
解:有向量加法的平行四边形法则, A 得
D

C

b a
B

AC = a + b;

由向量的减法可得,

DB = AB ? AD = a ? b.

例3:化简 (1) AB ? CB;

(2) AB + BC + DA ? DC ; (3) MN ? MP ? PQ.
解(1)AB-CB=AB+(-CB)=AB+BC=AC; (2)AB+BC+DA-DC= AB+BC+DA+CD= AB+BC+CD+DA= 0 . (3)MN-MP-PQ=MN-(MP+PQ) =MN-MQ =MN+QM =QM+MN =QN.

练习:2
(1)化简AB ? AC + BD ? CD 解 : 原式 = CB + BD ? CD = CD ? CD = 0
(2)化简OA + OC + BO + CO
解 : 原式 = (OA + BO) + (OC + CO) = (OA ? OB) + 0 = BA

D

b
A

a ?b

C

a+b
B

变式训练一:当a ,b满足什么条件时,

a

| a |=| b | a +b与a ?b垂直?_____________
变式训练二:当a ,b满足什么条件时,

a和b互相垂直 |a +b|=|a ?b|?_____________________
变式训练三:a +b与a ?b可能是相等向量吗? 不可能.因为平行四边形的两条对角线方向不同. ___________________________________________

练习
若 AB = 8, AC = 5, 则 BC的取值范围是_____.

解: ? BC = AC ? AB , ? AC ? AB ? AC ? AB ? AC + AB ? 3 ? BC ? 13

练习3:如图,已知向量 AB = a , AD = b,?DAB = 120 ,
o

且 | a |=| b |= 3,求 | a + b | 和 | a ? b |
解:以AB 、AD 为邻边作平行四边形 ABCD ,r 由于 | AD |=| AB |= 3,故此四边形为菱形 由向量的加减法知 r r r r AC = a + b, DB = a ? b r r r r 故 | AC |=| a + b | , | DB |=| a ? b | 因为?DAB = 120 O ,所以?DAC = 60 O

C
`

O

D

b

120o A

r a

B

所以?ADC 是正三角形,则 | AC |= 3 由于菱形对角线互相垂直平分,所以?AOD是直角三角形,
3 3 3 | OD |=| AD | sin 60 = 3 ? = 2 r r r r2
o

所以 | a + b |= 3, | a ? b |= 3 3

小结:
(一)知识 1.理解相反向量的概念 2. 理解向量减法的定义, 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则
(二)重点 重点:向量减法的定义、向量减法的三角形法则


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