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高中数学竞赛专题讲座——解析几何
一、选择题部分 1. (集训试题)过椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 上任一点 P, 作椭圆 C 的右准线的垂线 PH (H 为垂足) , 3 2

延长 PH 到点 Q,使|HQ|=λ |PH|(λ ≥1)。当点 P 在椭圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹的离心 率的取值范围为 ( ) A. (0,

3 ] 3

B. (

3 3 , ] 3 2

C. [

3 ,1) 3

D. (

3 ,1) 2

解:设 P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为 x=3,所以 H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ= λ PH,所以

3(1 ? ? ) ? x ? HP ?1 ? ,所以由定比分点公式,可得: ? x1 ? ,代入椭圆方 ? ? PQ 1 ? ? ? ? y1 ? y

程, Q 点轨迹为 得

3?2 ? 2 2 3 [ x ? 3(1 ? ? )]2 y 2 所以离心率 e= ? 1 ? 2 ? [ ,1) . ? ? 1, 2 2 3? 3 3? 2 3?

故选 C. 2. (2006 年南昌市)抛物线顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x-4y=12 上,则抛物线方 程为(D) A. y ? ?12 x
2

B. y ? 12 x
2 2

C. y ? ?16 x
2

D. y ? 16 x
2

3. (2006 年江苏)已知抛物线 y ? 2 px , O 是坐标原点, F 是焦点, P 是抛物线上的点, 使得△ POF 是直角三角形,则这样的点 P 共有(B) A.0 个 B.2 个 C.4 个

D.6 个

4. (200 6 天津)已知一条直线 l 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( b ? a ? 0 )的两支分别相交于 P 、 a2 b2

Q 两点, O 为原点,当 OP ? OQ 时,双曲线的中心到直线 l 的距离 d 等于(A)

A.

ab b2 ? a2

ab B. 2 b ? a2

b2 ? a2 C. ab

b2 ? a2 D. ab

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5.(2005 全国)方程

x2 sin 2 ? sin 3

?

y2 cos 2 ? cos 3

? 1 表示的曲线是





A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 解:? 2 ? 3 ? ? ,? 0 ?

B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

?
2

? 2 ? 3?

?
2

?

?

,? cos( ? 2 ) ? cos( 3 ? ), 即 2 2 2

?

?

sin 2 ? sin 3.
又0? 2 ?

? ?

, ? 3 ? ? ,? cos 2 ? 0, cos 3 ? 0,? cos 2 ? cos 3 ? 0, 2 2
2? 3 2? 3 ? sin( ? ) ?? (?) 2 2 4
2? 3 ? 2? 3 ? ? ? ? .? sin( ? ) ? 0, 2 4 2 4

方程表示的曲线是椭圆.

? (sin 2 ? sin 3 ) ? (cos 2 ? cos 3 ) ? 2 2 sin
?

?
2

?

2? 3 2? 3 ? ? 0,? sin ? 0, ? 2 2 2

2 ? 3 3? 3? ? ,? ? 2 4 4

? (?)式 ? 0. 即 sin 2 ? sin 3 ? cos 2 ? cos 3. ?曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆,选 C。
6. (2006 年浙江省预赛)已知两点 A (1,2), B (3,1) 到直线 L 的距离分别是 2, 5 ? 2 ,则 满足条件的直线 L 共有 A.1 B.2 解: 由 AB ? 条.(C ) C.3 D.4

5 , 分别以 A,B 为圆心, 2 , 5 为半径作两个圆,则两圆外切,有三
1 , 3

条共切线。正确答案为 C。 7. (2006 年浙江省预赛)设在 xOy 平面上, 0 ? y ? x 2 , 0 ? x ? 1 所围成图形的面积为

2 则集合 M ? {( x, y) y ? x ? 1 N ? {( x, y) y ? x ? 1 的交集 M ? N 所表示的图 }, }

形面积为 (B) A.

4 3 解: M ? N 在 xOy 平面上的图形关于 x 轴与 y 轴均对称,由此 M ? N 的图形面积只
B. C. 1 D. 要算出在第一象限的图形面积乘以 4 即得。 为此, 只要考虑在第一象限的面积就可以了。 由题意可得, M ? N 的图形在第一象限的面积为 A= 面积为

1 3

2 3

1 1 1 ? ? . 因此 M ? N 的图形 2 3 6

2 . 所以选(B) 。 3

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二、填空题部分 1. (200 6 天津)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) ,长轴的两个端点为 A 、 B ,若椭圆 a2 b2

上 存 在 点 Q , 使 ?AQB ? 120? , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 e 的 取 值 范 围 是

6 ? e ?1 3



?y ? 0 ? 2. (2006 年江苏)已知 ?3 x ? y ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最大值是 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?

9



3. (2006 吉林预赛)椭圆 x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右顶点为 A,上顶点为 B,左焦点为 F,若 ∠ ABF 是直角,则这个椭圆的离心率为_________。 4. (2006 陕西赛区预赛)若 a,b,c 成等差数列,则直线 ax+by+c = 0 被椭圆

x2 y 2 ? ? 1截 2 8

得线段的中点的轨迹方程为

1 ( y ? 1) 2 2( x ? ) 2 ? ?1 2 2

5.(2005 年浙江)根据指令,机器人在平面上能完成下列动作: 先从原点 O 沿正东偏北 ? ( 0 ? ? ?

?
2

y

P(x,y) A

)方向行走一段时

间后,再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向不定. 假定机器人行走速度为 10 米/分钟,则机器人行走 2 分钟 时的可能落点区域的面积是 .

?
O x

【解】 :如图,设机器人行走 2 分钟时的位置为 P ( x, y) . 设机器人改 变方向的点为 A, OA ? a , AP ? b 。则由已知条件有 a ? b ? 2 ? 10 ? 20 ,以及

? x 2 ? y 2 ? a 2 ? 2ab sin? ? b 2 ? (a ? b) 2 ? 400 s ?x ? ac o ? .所以有 ? ? ? ?y ? as i n ? b ? x ? y ? a(sin? ? cos ? ) ? b ? a ? b ? 20
即所求平面图形为弓形,其面积为 100? ? 200 平方米.

6. (2006 年浙江省预赛)已知 A ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? 2 x cos ? ? 2(1 ? sin ? )(1 ? y ) ? 0, ? ? R ,

?

?

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B ? ? x, y) y ? kx ? 3, k ? R?。若 A ? B 为单元素集,则 k ? ? 3 . (
解 由

x 2 ? y 2 ? 2 x cos ? ? 2(1 ? sin? )(1 ? y) ? 0 ? ( x ? cos ? ) 2 ? ( y ? 1 ? sin? ) 2 ? 0 ? x ? cos ? , y ? 1 ? sin? ? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1

A ? B 为单元素集,即直线 y ? kx ? 3 与 x 2 ? ( y ?1)2 ? 1相切,则 k ? ? 3 .
7.(2005 全国)若正方形 ABCD 的一条边在直线 y ? 2 x ? 17 上,另外两个顶点在抛物线

y ? x 2 上.则该正方形面积的最小值为

80

.

解:设正方形的边 AB 在直线 y ? 2 x ? 17 上,而位于抛物线上的两个顶点坐标为

C ( x1 , y1 ) 、 D( x 2 , y 2 ) ,则 CD 所在直线 l 的方程 y ? 2 x ? b, 将直线 l 的方程与抛物线方
程 联 立 , 得 x 2 ? 2x ? b ? x1,2 ? 1 ? b ? 1. 令 正 方 形 边 长 为 a, 则

a 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 5( x1 ? x2 ) 2 ? 20(b ? 1). ①
在 y ? 2 x ? 17 上任取一点(6,,5) ,它到直线 y ? 2 x ? b 的距离为 a,? a ?

| 17 ? b | 5

②.

①、②联立解得 b1 ? 3, b2 ? 63. ?a ? 80, 或 a ? 1280 ? amin ? 80. .
2 2 2

8. (2004 全国)在平面直角坐标系 XOY 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4) ,点 P 在 X 轴上移动,当 ?MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为_______________. 解:经过 M、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y=3-x 上,设圆心为 S(a, 3-a) ,则圆 S 的方程为: ( x ? a) ? ( y ? 3 ? a) ? 2(1 ? a ) .对于定长的弦在优弧上所
2 2 2

对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大,所以,当 ?MPN 取最大值时,经过 M, N,P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P,即圆 S 的方程中的 a 值必须满足

2(1 ? a2 ) ? (a ? 3)2 , 解得 a=1 或 a=-7。即对应的切点分别为 P(1,0)和P' (?7,0) ,而
过点 M,N, p ' 的圆的半径大于过点 M,N,P 的圆的半径,所以 ?MPN ? ?MP ' N , 故点 P(1,0)为所求,所以点 P 的横坐标为 1。 三、解答题部分 1.(集训试题)已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙ Q 与⊙P 相外切,⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使

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得∠MAN 为定值。求∠MAN 的度数。 解: l 为 x 轴, P 到 l 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系, Q 的坐标为(x, 0), 以 点 设 点 A(k, λ ),⊙Q 的半径为 r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= x 2 ? 2 2 =1+r。所

以 x=± r 2 ? 2r ? 3 , ∴tan∠MAN=

k AN ? k AM 1 ? k AN ? k AM

o?r o?h ? ? x?r?h x?r?h o?h o?h 1? ? x?r?h x?r?k

?

2rh 2rh 2rh , ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 (x ? k) ? r ? h (? r ? 2r ? 3 ) ? r ? h h ? k ? 3 ? 2r ? 2k r 2 ? 2r ? 3
2

令 2m=h2+k2-3,tan∠MAN=

1 ,所以 m+r ? k r 2 ? 2r ? 3 =nhr, n

∴m+(1-nh)r= ? k r 2 ? 2r ? 3 ,两边平方,得:m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2,

?m 2 ? ?3k 2 (1) ? ? 因为对于任意实数 r≥1,上式恒成立,所以 ?2m(1 ? nh) ? 2k 2 (2) ,由(1) (2)式,得 ? 2 2 ?(1 ? nh) ? k (3) ?
m=0, k=0, (3) 得 n= 由 式,

1 1 .由 2m=h2+k2-3 得 h=± 3 , 所以 tan∠MAN= =h=± 3 。 h n

所以∠MAN=60°或 120°(舍) (当 Q(0, 0), r=1 时∠MAN=60°) ,故∠MAN=60°. 2 2. (2006 吉林预赛)已知抛物线 C:x =2py(p>0),O 是坐标原点,M(0,b)(b>0)为 y 轴上一 动点, M 作直线交 C 于 A、 两点, S△ABC =mtan∠ 过 B 设 AOB, m 的最小值。 -0.5p2 ) 求 (

3. (2006 年南昌市)(高二)给定圆 P: x ? y ? 2 x 及抛物线 S: y ? 4 x ,过圆心 P 作直线 l ,此
2 2 2

直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为 A, B, C , D ,如果线段 AB, BC , CD 的 长按此顺序构成一个等差数列,求直线 l 的方程.
2 解:圆 P 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ,则其直径长 B C ? 2 ,圆心为 P ?1,0 ? ,设 l 的方程为 2

ky ? x ? 1 ,即 x ? ky ? 1 ,代入抛物线方程得: y 2 ? 4ky ? 4 ,设 A? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ?

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有?

? y1 ? y 2 ? 4k ,则 ( y1 ? y2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 y1 y 2 ? ?4 ?
2 2 2 2 2 y12 ? y 2 ) 4

故 | AD | ? ( y1 ? y 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? (

y
A

? ( y1 ? y 2 ) 2 [1 ? (

y1 ? y 2 2 ) ] ? 16(k 2 ? 1) 2 ,因此 | AD |? 4(k 2 ? 1) 4
o
C
D

B
P

据等差, 2 BC ? AB ? CD ? AD ? BC

x

,

所以 AD ? 3 BC ? 6 即 4(k 2 ? 1) ? 6 , k ? ?

2 2 ,

则 l 方程为 x ?

2 2 y ? 1或 x ? ? y ?1 . 2 2
2

4. (2006 年上海)已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) ,其焦点为 F,一条过焦点 F,倾斜角为

? (0 ? ? ? ? ) 的直线交抛物线于 A, 两点, B 连接 AO (O 为坐标原点) 交准线于点 B? , ,
连接 BO,交准线于点 A? ,求四边形 ABB?A? 的面积. 解:当 ? ? 当? ?

?
2

时, S ABB?A? ? 2 p2 .

…………………(4 分)

?
2

时,令 k ? tan ? .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则由 ②
A/

p y ? k ( x ? ) ,① y 2 ? 2 px , 2 2p 2 y ? p 2 ? 0 ,所以 消去 x 得, y ? k 2p y1 ? y2 ? , y1 y2 ? ? p2 . ③ k
又直线 AO 的方程为: y ?

y A

O B/

F B

x

y1 2p x ,即为 y ? x, x1 y1

所以, 与准线的交点的坐标为 B?(? AO

p p2 , ? ), 2 y1

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而由③知, y2 ? ?

p2 ,所以 B 和 B? 的纵坐标相等,从而 BB? ? x 轴.同理 AA? ? x 轴, y1
1 1 ( AA? ? BB? ) ? A?B? ? AB ? A?B? 2 2

故四边形 ABB?A? 是直角梯形.………………(9 分) 所以,它的面积为 S ABB?A? ?

?

1 ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? y2 ? y1 2

1 1 1 1 ? ( y2 ? y1 )2 1 ? 2 ? 1 ? 2 ?( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? ? 2 k 2 k ?
3 1 ?2 ? 2 2 ? 2 p ?1 ? 2 ? ? 2 p (1 ? cot ? ) 2 .………………(14 分) ? k ? 2 3

5. (2005 年浙江)(20 分)设双曲线 x ? y ? 1的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,若 ?PF F2 的 1
2 2

顶点 P 在第一象限的双曲线上移动, 求 ?PF F2 的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边 1

PF2 上的切点轨迹。
【解】 如图,记双曲线在 x 轴上的两顶点为 A(1, 0), B(-1, 0),G 为 ?PF F2 的内切圆 1 在边 F1 F2 上的切点,H 为 ?PF F2 的内切圆在边 PF2 上的切点,K 为 ?PF F2 的内切圆 1 1 在边 PF 上的切点。则有 1

GF1 ? GF2 ? KF1 ? HF2 ? ( KF1 ? KP ) ? ( HF2 ? HP ) ? PF1 ? PF2 ----5 分
由双曲线的定义知,G 必在双曲线上,于是 G 与 A(1, 0)重合,是定点。 而 F2 G ? F2 A ?

2 ? 1 。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等,

所以 ?PF F2 的内切圆在边 PF2 上的切点的轨迹是以 F2 ( 2 , 0) 为圆心, 1

2 ? 1 为半径的圆弧。------- 10 分
2 2 因为 P( x, y) 是在 x ? y ? 1第一象限的曲线上移动,当 PF2 沿双曲线趋于无穷时,与

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x 轴正向的交角 ? 的正切的极限是 lim tan? ? lim
x ???

x2 ?1 x? 2

x ???

?1

即 ? ?

?
4

。 故点 H 的轨迹方程为 (极坐标形式) ?

? x ? 2 ? ( 2 ? 1) cos? ? y ? ( 2 ? 1) sin ?





?
4

? ? ? ? )-- 15 分

也可以用直角坐标形式。由于 G 与 A(1, 0)重合,是定点,故该内切圆圆心的轨迹是直线 段,方程为

x ? 1 ( 0 ? y ? 1) 。

-------------------------------- 20 分
2 2 2 2 2

6. (2006 浙江省) x 轴同侧的两个圆: 在 动圆 C1 和圆 4a x ? 4a y ? 4abx ? 2ay ? b ? 0 外切( a, b ? N , a ? 0 ) ,且动圆 C1 与 x 轴相切,求 (1)动圆 C1 的圆心轨迹方程 L; (2)若直线 4( 7 ? 1)abx ? 4ay ? b 2 ? a 2 ? 6958 ? 0 与曲线 L 有且仅有一个公共点, a 求 a, b 之值。 解:1) 4a 2 x 2 ? 4a 2 y 2 ? 4abx ? 2ay ? b 2 ? 0 可得 ( x ? ( 由

b 2 1 1 ) ? ( y ? )2 ? ( )2 , 2a 4a 4a

由 a, b ?N,以及两圆在 x 轴同侧,可知动圆圆心在 x 轴上方,设动圆圆心坐标为 ( x, y ) , 则有 ( x ?

b 2 1 1 ) ? ( y ? )2 ? y ? , 2a 4a 4a
b2 4a
(x ? b ) .……(5 分) 2a

2 整理得到动圆圆心轨迹方程 y ? ax ? bx ?

另解 由已知可得,动圆圆心的轨迹是以 ( 在(

b 1 1 , ) 为焦点, y ? ? 为准线,且顶点 2a 4a 4a

b ,0) 点(不包含该点)的抛物线,得轨迹方程 2a b 2 1 b2 b ) ? y ,即 y ? ax2 ? bx ? ( x ? ) …………………(5 分) 2a a 4a 2a

(x ?

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(2)联立方程组

y ? ax2 ? bx ?

b2 b (x ? ) 4a 2a




4( 7 ? 1)abx ? 4ay ? b 2 ? a 2 ? 6958 ? 0 a
消去 y 得

4a 2 x 2 ? 4 7abx ? (a 2 ? 6958 ) ? 0 , a

由 ? ? 16 ? 7a 2 b 2 ? 16a 2 (a 2 ? 6958 ) ? 0, 整理得 a

7b 2 ? a 2 ? 6958 a
2 从③可知 7 a ? 7 a 。 故令 a ? 7a1 ,代入③可得



b 2 ? 7a1 ? 6958 1 a
2

? 7 b 2 ? 7 b . 再令 b ? 7b1 ,代入上式得
7b1 ? a1 ? 994a1
2 2

…………………(10 分)

同理可得, 7 a1 ,7 b1 。可令 a ? 49n, b ? 49m, 代入③可得

7m 2 ? n 2 ? 142n
对④进行配方,得



(n ? 71) 2 ? 7m 2 ? 712 ,
2 2 2

对此式进行奇偶分析,可知 m, n 均为偶数,所以 7m ? 71 ? (n ? 71 为 8 的倍数, ) 所以 所以

4 m 。令 m ? 4r ,则 112r 2 ? 712 ? r 2 ? 45. r ? 0,1 2,4,6 ,3,5,
2 2

…………………………………(15 分)

仅当 r ? 0,4 时, 71 ? 112r 为完全平方数。于是解得

a ? 6958 , b ? 0(不合,舍去)

a ? 6272 b ? 784

a?686 . …………………(20 分) b?784

2 10. (2004 全国)设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 k ? pk 也是一个正整数,则

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k=____________.

p ? p 2 ? 4n2 解:设 k ? pk ? n, n ? N , 则 k ? pk ? n ? 0, k ? , 2
2 * 2 2

从而 p 2 ? 4n2 是平方数,设为 m2 , m ? N * , 则 (m ? 2n)(m ? 2n) ? p2

? p2 ? 1 ?m ? 2 ? m ? 2n ? 1 ? ? p是质数,且p ? 3, ? ? , 解得 ? 2 2 ? m ? 2n ? p ?n ? p ? 1 ? ? 4
?k ? p ? m 2 p ? ( p 2 ? 1) ( p ? 1)2 ? ,故k ? . (负值舍去) 2 4 4


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