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高中数学选修2-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.4知识点总结含同步练习及答案


高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词

一、学习任务 通过生活和数学中的丰富实例,了解全称量词与存在量词的意义,能用全称量词与存在量词叙述 简单的数学内容;了解对含有一个量词的命题的否定的意义,能正确地对含有一个量词的命题进 行否定. 二、知识清单
全(特)称命题的概念与真假 判断

全(特)称命题的否定

三、知识讲解
1.全(特)称命题的概念与真假判断 描述: 全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universal quantifier),并用符 号“ ? ”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.通常,将含有变量 x 的语句用 p(x) , q(x) , r(x) , ? 来表示,变量 x 的取值范围用 M 表示,那么,全称命题“对 M 中任意 一个 x ,有 p(x) 成立”可用符号简记为 ?x ∈ M ,p(x) . 特称量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantifier),并 用符号“ ? ”表示.含有特称量词的命题,叫做特称命题.特称命题“存在 M 中元素 x ,使 p(x) 成立”可用符号简记为 ?x ∈ M ,p(x) . 例题: 用量词符号 “? ” 表达下列命题. (1)实数的平方大于或等于 0 ; (2)任意一个无理数的平方仍为无理数; (3)对于任意的正数 a ,都有函数 y = loga x 是增函数; (4)对任意角 α ,都有 sin 2 α + cos2 α = 1 . 解:(1)?x ∈ R, x 2 ? 0; (2)?x ∈ {x|x是无理数},x 2 是无理数; (3)?a > 0 ,函数 y = loga x 是增函数 ; (4)?α ∈ {角}, sin 2 α + cos2 α = 1 . 用量词符号“? ” 表达下列命题. (1)存在实数 x ,使得 x 3 > x 2 ; (2)存在实数对 (x, y),使 2x + 3y < 0 成立; (3)有些实数的绝对值是正数;

∈ {x|x

}

2

(4)至少有一个 x 0 ∈ {x|x是无理数} ,x2 是无理数. 0 3 2 解:(1)?x ∈ R,x > x ; (2)?(x, y),x ∈ R ,y ∈ R,2x + 3y < 0 ; (3)?x ∈ R,|x| > 0 ; (4)?x 0 ∈ {x|x是无理数}, x 2 是无理数. 0 判断下列命题的真假. (1)?x ∈ R,x 2 + 1 > 0; (2)?x 0 ∈ Q,x 2 = 2. 0 解:(1)因为 ?x ∈ R ,都有 x2 ? 0 成立,所以 x2 + 1 ? 1 > 0 ,故命题为真命题; (2)因为使得 x 2 = 2 成立的数只有 ±√2 ,而它们不是有理数.因此没有任何一个有理数的 平方等于 √2 ,故命题为假命题. 已知 f (x) = 3ax 2 + 6x ? 1(a ∈ R) . (1)当 a = ?3 时,求证:对任意的 x ∈ R ,都有 f (x) ? 0 ; (2)如果对任意 x ∈ R ,不等式 f (x) ? 4x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a = ?3 时,

f (x) = ?9x2 + 6x ? 1 = ?(3x ? 1)2 ? 0,
所以对任意的 x ∈ R ,都有 f (x) ? 0 . (2)因为对任意 x ∈ R ,不等式 f (x) ? 4x 恒成立,即 3ax2 + 2x ? 1 ? 0 恒成立,所以

{ 3a < 0 Δ = 4 + 12a ? 0
解得 a ? ?

1 1 ,所以 a 的取值范围是 (?∞, ? ] . 3 3

2.全(特)称命题的否定 描述: 全称命题的否定 一般地,对于含有一个量词的全称命题 p : ?x ∈ M ,p(x) ,其否定为 ?p : ?x0 ∈ M , ?p(x 0 ) .全称命题的否定是特称命题. 特称命题的否定 一般地,对于含有一个量词的特称命题 p : ?x0 ∈ M , p(x0 ) ,其否定为 ?p : ?x ∈ M , ?p(x) .特称命题的否定是全称命题. 例题: 写出下列命题的否定,并判断真假.  (1)p : ?x ∈ R,x 2 + 2x + 2 > 0; (2)q : 所有的正方形都是矩形; (3)r : 至少有一个实数 x 0 ,使得 x3 +1 = 0 . 0 2 解:(1)?p : ?x 0 ∈ R,x 0 + 2x0 + 2 ? 0. 因为 ?x ∈ R,x 2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 ? 1 > 0 恒成立,故不存在 x0 ∈ R, 使得 + 2x0 + 2 ? 0 成立,故 ?p 为假命题; x2 0 (2)?q : 至少存在一个正方形不是矩形.是假命题.

(2)?q : 至少存在一个正方形不是矩形.是假命题. (3)?r : ?x ∈ R,x 3 + 1 ≠ 0. 因为当 x = ?1 时,x 3 + 1 = 0,故 ?r 为假命题.

四、课后作业

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1. 命题"所有能被 2 整除的整数都是偶数"的否定是 ( A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数
答案: D 解析: 否定原题结论的同时要把量词做相应改变.

)

2. 给出下列三个命题: ① ?x ∈ R,x 2 > 0; ② ?x0 ∈ R,使得 x 2 ? x0 成立; 0 其中真命题的个数是 ( A.0
答案: C

③对于集合 M ,N ,若 x ∈ M ∩ N ,则 x ∈ M 且 x ∈ N .

)
B.1 C.2 D.3

3. 命题" ?x0 ∈ R , log2 x 0 ? 0 "的否定为 ( A.?x 0 ∈ R, log2 x 0 > 0 C.?x ∈ R, log2 x ? 0
答案: D

)
B.?x0 ∈ R,log2 x0 ? 0 D.?x ∈ R, log2 x > 0

4. 下列命题中,真命题是 ( A.?x ∈ [0,

)

π ] , sin x + cos x ? 2 2 B.?x ∈ (3, +∞) , x 2 > 2x + 1
C.?x ∈ R , x 2 + x = ?1 D.?x ∈ (
答案: B

π , π) , tan x > sin x 2

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