专题二：三角函数,三角恒等变换,平面向量,解三角形2015.1.9

专题二：三角函数，三角恒等变换，平面向量，解 三角形

菁优网

www.jyeoo.com

专题二：三角函数，三角恒等变换，平面向量，解 三角形 2015.1.9
一．选择题（共 11 小题） 1． （2014?河南）在函数① y=cos 丨 2x 丨，② y=丨 cosx 丨，③ y=cos（2x+ 小正周期为 π 的所有函数为（ ） ② ③ ③ ④ A．① B．① ④ C． ② ）+cos（2x+ 对称 对称 对称 对称 ）④ y=tan（2x﹣ ③ D．① ） ，则（ ） ）中，最

2． （2014?包头一模）设函数，则 f（x）=sin（2x+ A．y=f（x）在（0， B． y=f（x）在（0， C． y=f（x）在（0， D．y=f（x）在（0，

）单调递增，其图象关于直线 x= ）单调递增，其图象关于直线 x= ）单调递减，其图象关于直线 x= ）单调递减，其图象关于直线 x=

3． （2014?福建）已知函数 f（x）= A．f（x）是偶函数 B．f（x）是增函数

，则下列结论正确的是（ C．f（x）是周期函数

） D．f（x）的值域为[﹣1， +∞）

4． （2014?广西）设 a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a

D．c＞a＞b

5． （2015?重庆一模）函数 y=sin3x 的图象可以由函数 y=cos3x 的图象（ ） A．向右平移 个单位得到 B． 向左平移 个单位得到 C． 向右平移 个单位得到 D．向左平移 个单位得到

6． （2015?惠州模拟）函数 f（x）= ω，φ 的值分别是（ ）

sin（ωx+φ） （x∈R，ω＞0，|φ|＜

）的部分图象如图所示，则

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

A．2，﹣

B．2，﹣

C．4，﹣

D．4，

7． （2014?辽宁） 将函数 y=3sin（2x+ A．在区间[ C． 在区间[﹣ ， ， ]上单调递减 ]上单调递减

） 的图象向右平移

个单位长度，所得图象对应的函数（ ， ， ]上单调递增 ]上单调递增

）

B． 在区间[ D．在区间[﹣

8． （2014?博白县模拟）已知 sinα+cos（α﹣ A． ﹣ B．

）= ，则 cos（α﹣ C． ﹣

）的值等于（ D．

）

9． （2014?江西二模）已知 A． B．

， C． 或

，则 cosα=（ D．

）

10． （2014?重庆）已知向量 =（k，3） ， =（1，4） ， =（2，1）且（2 ﹣3 ）⊥ ，则实数 k=（ A．﹣ B．0 C． 3 D．

）

11． （2014?江西）在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c2=（a﹣b）2+6，C= 则△ ABC 的面积是（ A． ） B． C． D．3

，

二．填空题（共 9 小题） 12． （2014?福建）在△ ABC 中，A=60°，AC=4，BC=2 13． （2014?福建）在△ ABC 中，A=60°，AC=2，BC= 14． （2014?江西）已知单位向量 _________ ． 与

，则△ ABC 的面积等于 ，则 AB 等于

_________ ． ，则| |=

．

_________ ﹣2

的夹角为 α，且 cosα= ，若向量 =3

15． （2014?广安一模） 设向量 则 λ= _________ ． 16． （2014?山东）函数 y=

， 若向量

与向量

共线，

sin2x+cos2x 的最小正周期为

_________

．

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

17． （2012?江苏）设 a 为锐角，若 cos（a+

）= ，则 sin（2a+

）的值为

_________

．

18． （2014?重庆）将函数 f（x）=sin（ωx+φ） （ω＞0，﹣ 原来的一半， 纵坐标不变， 再向右平移

≤φ＜

）图象上每一点的横坐标缩短为 ） = _________ ．

个单位长度得到 y=sinx 的图象，则 f （

19． （2014?安徽）若将函数 f（x）=sin（2x+ 则 φ 的最小正值是 _________ ．

）的图象向右平移 φ 个单位，所得图象关于 y 轴对称，

20． （2014?广西）函数 y=cos2x+2sinx 的最大值为 三．解答题（共 6 小题）

_________

．

21． （2014?山东）△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 a=3，cosA= （Ⅰ ）求 b 的值； （Ⅱ ）求△ ABC 的面积． 22． （2014?天津） 在△ ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a，b， c，已知 a﹣c= （Ⅰ ）求 cosA 的值； （Ⅱ ）求 cos（2A﹣ ）的值．

，B=A+

．

b，sinB=

sinC，

23． （2014?浙江）在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 a≠b，c= 2 cos B= sinAcosA﹣ sinBcosB． （Ⅰ ）求角 C 的大小； （Ⅱ ）若 sinA= ，求△ ABC 的面积．

，cos2A﹣

24． （2014?福建）已知函数 f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣ ． （1）若 0＜α＜ ，且 sinα= ，求 f（α）的值；

（2）求函数 f（x）的最小正周期及单调递增区间． 25． （2015?河南二模）已知向量 =（cosA，﹣sinA） ， =（cosB，sinB） ， ? =cos2C，其中 A、B、 C 为△ ABC 的内角． （Ⅰ ）求角 C 的大小； （Ⅱ ）若 AB=6，且 ，求 AC、BC 的长．

26． （2014?重庆）已知函数 f（x）=

sin（ωx+φ） （ω＞0，﹣

≤φ＜

）的图象关于直线 x=

对称，

且图象上相邻两个最高点的距离为 π．
?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

（Ⅰ ）求 ω 和 φ 的值； （Ⅱ ）若 f（ ）= （ ＜α＜ ） ，求 cos（α+ ）的值．

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

专题二：三角函数，三角恒等变换，平面向量，解 三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共 11 小题） 1． （2014?河南）在函数① y=cos 丨 2x 丨，② y=丨 cosx 丨，③ y=cos（2x+ 的所有函数为（ ② ③ A ．① ） ③ ④ B．① ④ C ．② ③ D．① ）④ y=tan（2x﹣ ）中，最小正周期为 π

考点： 三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论． 解答： 解：∵ 函数① y=cos 丨 2x 丨=cos2x，它的最小正周期为 =π，
菁优网版权所有

② y=丨 cosx 丨的最小正周期为 ③ y=cos（2x+ ④ y=tan（2x﹣ ）的最小正周期为 ）的最小正周期为

=π， =π， ，

故选：A． 点评： 本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．

2． （2014?包头一模）设函数，则 f（x）=sin（2x+ A． y=f（x）在（0， B． C． y=f（x）在（0， y=f（x）在（0，

）+cos（2x+ 对称 对称 对称 对称

） ，则（

）

）单调递增，其图象关于直线 x= ）单调递增，其图象关于直线 x= ）单调递减，其图象关于直线 x= ）单调递减，其图象关于直线 x=

D． y=f（x）在（0，

考点： 正弦函数的对称性；正弦函数的单调性． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数 f（x）=sin（2x+
菁优网版权所有

）+cos（2x+

） ，然后求出对称轴方

程，判断 y=f（x）在（0， 解答： 解：因为 f（x）=sin（2x+

）单调性，即可得到答案． ）+cos（2x+ ）= sin（2x+ ）= cos2x．

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 它的对称轴方程可以是：x= ；所以 A，C 错误；函数 y=f（x）在（0， ）单调递减，所以 B 错误；D

正确． 故选 D 点评： 本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．

3． （2014?福建）已知函数 f（x）= A．f（x）是偶函数 考点： 专题： 分析： 解答： B．f（x）是增函数

，则下列结论正确的是（ C．f（x）是周期函数

） D．f （x） 的值域为[﹣1， +∞）

余弦函数的单调性． 函数的性质及应用． 由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可． 解：由解析式可知当 x≤0 时，f（x）=cosx 为周期函数， 2 当 x＞0 时，f（x）=x +1，为二次函数的一部分， 故 f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性， 故可排除 A、B、C， 对于 D，当 x≤0 时，函数的值域为[﹣1，1]， 当 x＞0 时，函数的值域为值域为（1，+∞） ， 故函数 f（x）的值域为[﹣1，+∞） ，故正确． 故选：D 点评： 本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．
菁优网版权所有

4． （2014?广西）设 a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a 考点： 正切函数的单调性． 专题： 三角函数的求值． 分析： 可得 b=sin35°，易得 b＞a，c=tan35°=
菁优网版权所有

D．c＞a＞b

＞sin35°，综合可得．

解答： 解：由诱导公式可得 b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°， 由正弦函数的单调性可知 b＞a， 而 c=tan35°= ＞sin35°=b，

∴ c＞b＞a 故选：C 点评： 本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题． 5． （2015?重庆一模）函数 y=sin3x 的图象可以由函数 y=cos3x 的图象（ ） A． B． 向右平移 个单位得到 向左平移 个单位得到 C． 向右平移 个单位得到 D． 向左平移 个单位得到

考点： 函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 计算题．

菁优网版权所有

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 分析： 由于函数 y=sin3x=cos3（x﹣ 解答：

） ，故把函数 y=cos3x 的图象向右平移 ）=cos（3x﹣ ）=cos3（x﹣

个单位，即可达到目标． ） ， ）=sin3x 的图象，

解：由于函数 y=sin3x=cos（3x+ 故把函数 y=cos3x 的图象向右平移

个单位，即可得到 y=cos3（x﹣

故选 A． 点评： 本题主要考查函数 y=Asin（ωx+?）的图象平移变换，属于中档题． 6． （2015?惠州模拟）函数 f（x）= 别是（ ） sin（ωx+φ） （x∈R，ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象如图所示，则 ω，φ 的值分

A．

2，﹣

B．

2，﹣

C．

4，﹣

D． 4，

考点： 由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由函数的图象可得 ，代入周期公式求得 ω 的值，再由五点作图的第二点列式求得 φ 的值．
菁优网版权所有

解答：

解：由图知 ∴ T=π，即 =π，解得：ω=2． +φ=

，

由五点作图的第二点可知，2× ∴ ω，φ 的值分别是 2，﹣ ．

，即 φ=﹣

，满足|φ|＜

，

故选：A． 点评： 本题考查由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点列式求解 φ 的 值，是基础题．

7． （2014?辽宁）将函数 y=3sin（2x+ A． C． 在区间[ 在区间[﹣ ， ， ]上单调递减 ]上单调递减

）的图象向右平移 B．

个单位长度，所得图象对应的函数（ 在区间[ ， ， ]上单调递增 ]上单调递增

）

D． 在区间[﹣

考点： 函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函
菁优网版权所有

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 数的增区间，取 k=0 即可得到函数在区间[ 解答： 解：把函数 y=3sin（2x+ ， ]上单调递增，则答案可求． 个单位长度， ）+ ]．

）的图象向右平移

得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣ 即 y=3sin（2x﹣ 由 取 k=0，得 ． ， ]上单调递增． ） ． ，得

．

∴ 所得图象对应的函数在区间[

故选：B． 点评： 本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中 档题．

8． （2014?博白县模拟）已知 sinα+cos（α﹣ A． ﹣ B．

）= ，则 cos（α﹣ C． ﹣

）的值等于（

） D．

考点： 两角和与差的余弦函数． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 首先，根据 sinα+cos（α﹣
菁优网版权所有

）= ，借助于两角差的余弦公式展开，然后，借助于辅助角公式，化简后，

得到结果． 解答： 解：∵ sinα+cos（α﹣ ∴ sinα+cosαcos ∴ sinα+ ∴ （ ）= ， = ，

+sinαsin

cosα= ， sinα+ cosα）= ， ）= ， ，

∴ cos（α﹣ ∴ cos（α﹣

）=

故选：B． 点评： 本题属于中档题，重点考查了三角恒等变换公式，注意公式的应用是解题的关键．

9． （2014?江西二模）已知 A． B．

， C．

，则 cosα=（ 或

） D．

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 考点： 两角和与差的余弦函数． 专题： 计算题；三角函数的求值． 分析： 根据同角三角函数的关系，算出
菁优网版权所有

，再进行配角：α=（

）﹣

，利用两角差的

余弦公式加以计算，即可求出 cosα 的值． 解答： 解：∵ 由此可得 ∴ cosα=cos[（ = 故选：A 点评： 本题给出钝角 α，在已知 的情况下求 cosα 的值，着重考查了任意角的三角函数、同角三 ）﹣ = ]= ． + ，∴ ， ，

角函数的基本关系、两角和与差的余弦公式等知识，属于基础题．

10． （2014?重庆）已知向量 =（k，3） ， =（1，4） ， =（2，1）且（2 ﹣3 ）⊥ ，则实数 k=（ A． ﹣ B．0 C ．3 D．

）

考点： 平面向量的坐标运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的 数量积等于 0，得到关于 k 的方程，解方程即可． 解答： 解：∵ =（k，3） ， =（1，4） ， =（2，1）
菁优网版权所有

∴ 2 ﹣3 =（2k﹣3，﹣6） ， ∵ （2 ﹣3 ）⊥ ， ∴ （2 ﹣3 ）? =0' ∴ 2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0， 解得，k=3． 故选：C． 点评： 本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出 错． 11． （2014?江西）在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c =（a﹣b） +6，C= 积是（ A． ） B． C． D．3
2 2

，则△ ABC 的面

考点： 余弦定理．

菁优网版权所有

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 专题： 解三角形． 2 2 2 2 2 分析： 将“c =（a﹣b） +6”展开，另一方面，由余弦定理得到 c =a +b ﹣2abcosC，比较两式，得到 ab 的值，计算 其面积． 解答： 解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6， 又由余弦定理可知，c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab， ∴ ﹣2ab+6=﹣ab，即 ab=6． ∴ S△ABC= = ．
2 2 2 2 2

故选：C． 点评： 本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一， 高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查． 二．填空题（共 9 小题） 12． （2014?福建）在△ ABC 中，A=60°，AC=4，BC=2 考点： 专题： 分析： 解答：

，则△ ABC 的面积等于 2

．

正弦定理． 解三角形． 利用三角形中的正弦定理求出角 B，再利用三角形的面积公式求出△ ABC 的面积． 解：∵ △ ABC 中，A=60°，AC=4，BC=2 ，
菁优网版权所有

由正弦定理得： ∴ 解得 sinB=1， ∴ B=90°，C=30°， ∴ △ ABC 的面积= ，

，

．

故答案为： ． 点评： 本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形 的面积公式等知识，属于基础题． 13． （2014?福建）在△ ABC 中，A=60°，AC=2，BC= 考点： 专题： 分析： 解答： ，则 AB 等于 1 ．

余弦定理；正弦定理． 三角函数的求值． 利用余弦定理列出关系式，将 AC，BC，以及 cosA 的值代入即可求出 AB 的长． 解：∵ 在△ ABC 中，A=60°，AC=b=2，BC=a= ， 2 2 2 2 ∴ 由余弦定理得：a =b +c ﹣2bccosA，即 3=4+c ﹣2c， 解得：c=1， 则 AB=c=1， 故答案为：1 点评： 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
菁优网版权所有

14． （2014?江西）已知单位向量

与

的夹角为 α，且 cosα= ，若向量 =3

﹣2

，则| |=

3 ．

考点： 向量的模． 专题： 平面向量及应用．
菁优网版权所有

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 分析： 由条件利用两个向量的数量积的定义求出 解答： 解： ∴ | |=3， =9

的值，从而得到| |的值． =9，

故答案为：3． 点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．

15． （2014?广安一模）设向量 2 ．

，若向量

与向量

共线，则 λ=

考点： 平行向量与共线向量． 分析： 用向量共线的充要条件：它们的坐标交叉相乘相等列方程解． 解答： 解：∵ a=（1，2） ，b=（2，3） ， ∴ λa+b=（λ，2λ）+（2，3）=（λ+2，2λ+3） ． ∵ 向量 λa+b 与向量 c=（﹣4，﹣7）共线， ∴ ﹣7（λ+2）+4（2λ+3）=0， ∴ λ=2． 故答案为 2 点评： 考查两向量共线的充要条件．
菁优网版权所有

16． （2014?山东）函数 y=

sin2x+cos x 的最小正周期为 π ．

2

考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为 f（x）=sin（2x+
菁优网版权所有

） ，从而求得函数的最

小正周期 解答： 解：∵ 函数 y= sin2x+cos x=
2

sin2x+ = π，

=sin（2x+

）+ ，

故函数的最小正周期的最小正周期为

故答案为：π． 点评： 本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．

17． （2012?江苏）设 a 为锐角，若 cos（a+

）= ，则 sin（2a+

）的值为

．

考点： 三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 根据 a 为锐角，cos（a+ ）= 为正数，可得 a+ 也是锐角，利用平方关系可得 sin（a+ ）= ．接下来
菁优网版权所有

配角，得到 cosa=

，sina=

，再用二倍角公式可得 sin2a=

，cos2a=

，最后

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 用两角和的正弦公式得到 sin（2a+ 解答： 解：∵ a 为锐角，cos（a+ ∴ a+ ）= ， ）= + sin ﹣ sin = =
2 2

）=sin2acos

+cosasin

=

．

也是锐角，且 sin（a+ ）﹣ ）﹣

=

∴ cosa=cos[（a+ sina=sin[（a+

]= cos ]= cos

由此可得 sin2a=2sinacosa= 又∵ sin =sin（ ）=sin2acos ）= +cosasin

，cos2a=cos a﹣sin a= ，cos = =cos（ ? + ）= ? =

∴ sin（2a+ 故答案为： 点评：

本题要我们在已知锐角 a+

的余弦值的情况下，求 2a+

的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦

公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．

18． （2014?重庆）将函数 f（x）=sin（ωx+φ） （ω＞0，﹣ 纵坐标不变，再向右平移

≤φ＜

）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半， ）= ．

个单位长度得到 y=sinx 的图象，则 f（

考点： 函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 哟条件根据函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得 sin（2ωx+φ﹣
菁优网版权所有

ω）=sinx，可得 2ω=1，且 φ﹣ ）的值．

ω=2kπ，k∈z，由此求得 ω、φ 的值，可得 f（x）的解析式，从而求得 f（ 解答： 解：函数 f（x）=sin（ωx+φ） （ω＞0，﹣ 变，可得函数 y=sin（2ωx+φ）的图象． 再把所得图象再向右平移 =sin（2ωx+φ﹣ ∴ 2ω=1，且 φ﹣ ∴ ω= ，φ= ∴ f（ 个单位长度得到函数 y=sin[2ω（x﹣ ）+φ）] ≤φ＜

）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不

ω）=sinx 的图象， ω=2kπ，k∈z， ） ， ．

，∴ f（x）=sin（ x+ + ）=sin =

）=sin（ ．

故答案为：

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 点评： 本题主要考查函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题． 19． （2014?安徽）若将函数 f（x）=sin（2x+ 正值是 ． ）的图象向右平移 φ 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 φ 的最小

考点： 函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 根据函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为 y=sin（2x+
菁优网版权所有

﹣2φ） ，再根

据所得图象关于 y 轴对称可得 解答： 解：将函数 f（x）=sin（2x+

﹣2φ=kπ+

，k∈z，由此求得 φ 的最小正值．

）的图象向右平移 φ 个单位， ]=sin（2x+ ﹣2φ）关于 y 轴对称， ，

所得图象对应的函数解析式为 y=sin[2（x﹣φ）+ 则 ﹣2φ=kπ+ ． ，k∈z，即 φ=﹣ ﹣

，故 φ 的最小正值为

故答案为：

点评： 本题主要考查函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题． 20． （2014?广西）函数 y=cos2x+2sinx 的最大值为 ．

考点： 正弦函数的定义域和值域；二次函数在闭区间上的最值． 专题： 三角函数的求值． 分析： 利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式为 y=﹣2 的性质求得函数的最大值． 解答： 解：∵ 函数 y=cos2x+2sinx=﹣2sin x+2sinx+1=﹣2 ∴ 当 sinx= 时，函数 y 取得最大值为 ， 故答案为： ．
2

菁优网版权所有

+ ，再根据正弦函数的值域、二次函数

+ ，

点评： 本题主要考查二倍角的余弦公式，二次函数的性质应用，正弦函数的值域，属于基础题． 三．解答题（共 6 小题） 21． （2014?山东）△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 a=3，cosA= （Ⅰ ）求 b 的值； （Ⅱ ）求△ ABC 的面积． 考点： 正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： （Ⅰ ）利用 cosA 求得 sinA，进而利用 A 和 B 的关系求得 sinB，最后利用正弦定理求得 b 的值．
菁优网版权所有

，B=A+

．

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com （Ⅱ ）利用 sinB，求得 cosB 的值，进而根两角和公式求得 sinC 的值，最后利用三角形面积公式求得答案． 解答： 解： （Ⅰ ）∵ cosA= ， ∴ sinA= ∵ B=A+ ． ）=cosA= = × =3 ， ． ， = ，

∴ sinB=sin（A+ 由正弦定理知 ∴ b= ?sinB=

（Ⅱ ）∵ sinB= ∴ cosB=﹣

，B=A+ =﹣ ，

＞

sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB= ∴ S= a?b?sinC= ×3×3 × = ．

×（﹣

）+

×

= ，

点评： 本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重 了基础知识的综合运用．

22． （2014?天津）在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a﹣c= （Ⅰ ）求 cosA 的值； （Ⅱ ）求 cos（2A﹣ ）的值．

b，sinB=

sinC，

考点： 正弦定理；两角和与差的余弦函数． 专题： 三角函数的求值． 分析： （Ⅰ ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出 a，利用余弦定理表示出 cosA，将表示出 的 a，b 代入计算，即可求出 cosA 的值； （Ⅱ ）由 cosA 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公 式求出 sin2A 与 cos2A 的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的 值代入计算即可求出值． 解答： 解： （Ⅰ ）将 sinB= sinC，利用正弦定理化简得：b= c，
菁优网版权所有

代入 a﹣c=

b，得：a﹣c=c，即 a=2c，

∴ cosA=

=

=

；

（Ⅱ ）∵ cosA= ∴ sinA=

，A 为三角形内角， = ，

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com ∴ cos2A=2cos A﹣1=﹣ ，sin2A=2sinAcosA= 则 cos（2A﹣ ）=cos2Acos +sin2Asin
2

， + × = ．

=﹣ ×

点评： 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与 差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 23． （2014?浙江） 在△ ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c． 已知 a≠b， c= ﹣ sinBcosB． （Ⅰ ）求角 C 的大小； （Ⅱ ）若 sinA= ，求△ ABC 的面积． ， cos A﹣cos B=
2 2

sinAcosA

考点： 正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦． 专题： 解三角形． 分析： （Ⅰ ）△ ABC 中，由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2 求得 tan（A+B）的值，可得 A+B 的值，从而求得 C 的值．
菁优网版权所有

?cos（A+B）sin（A﹣B） ．

（Ⅱ ） 由 sinA= 的面积为

求得 cosA 的值． 再由正弦定理求得 a， 再求得 sinB=sin[ （A+B） ﹣A]的值， 从而求得△ ABC 的值． ，cos A﹣cos B= sin2B， ?cos（A+B）sin（A﹣B） ．
2 2

解答： 解： （Ⅰ ）∵ △ ABC 中，a≠b，c= ∴ ﹣ =

sinAcosA﹣

sinBcosB，

sin2A﹣

即 cos2A﹣cos2B= sin2A﹣ sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2 ∵ a≠b，∴ A≠B，sin（A﹣B）≠0， ∴ tan（A+B）=﹣ （Ⅱ ）∵ sinA= ＜ 由正弦定理可得， ，∴ A+B= ，C= = ，∴ C= ． （舍去） ，∴ cosA=

，∴ A＜ ，即

，或 A＞ =

= ．

，∴ a= ．

∴ sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA= ∴ △ ABC 的面积为 = × = ．

﹣（﹣ ）× =

，

点评： 本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．

24． （2014?福建）已知函数 f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣ ． （1）若 0＜α＜ ，且 sinα= ，求 f（α）的值；

（2）求函数 f（x）的最小正周期及单调递增区间． 考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （1）利用同角三角函数关系求得 cosα 的值，分别代入函数解析式即可求得 f（α）的值．
菁优网版权所有

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com （2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函 数最小正周期和单调增区间． 解答： 解： （1）∵ 0＜α＜ ，且 sinα= ， ∴ cosα= ，

∴ f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣ ， = ×（ + ）﹣

= ． （2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣ ． =sinxcosx+cos x﹣ = sin2x+ cos2x = ∴ T= sin（2x+ =π， ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，得 kπ﹣ ，kπ+ ≤x≤kπ+ ]，k∈Z． ，k∈Z， ） ，
2

由 2kπ﹣

∴ f（x）的单调递增区间为[kπ﹣

点评： 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．

25． （2015?河南二模）已知向量 =（cosA，﹣sinA） ， =（cosB，sinB） ， ? =cos2C，其中 A、B、C 为△ ABC 的 内角． （Ⅰ ）求角 C 的大小； （Ⅱ ）若 AB=6，且 ，求 AC、BC 的长．

考点： 数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 2 （I） ? =cos2C，由向量数量积公式，结合二倍角的余弦公式化简得 2cos C+cosC﹣1=0，解出 cosC= ，
菁优网版权所有

结合 C∈（0，π）可得角 C 的大小； （II）由 利用向量的数量积公式算出 ? =36，根据余弦定理 AB =AC +BC ﹣
2 2 2

2AC?BCcosC=36，化简得 AC+BC=12，两式联解即可算出 AC、BC 的长． 解答： 解： （Ⅰ ）∵ =（cosA，﹣sinA） ， =（cosB，sinB） ， ∴ ? =cos2C，即 cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）=﹣cosC=cos2C，…（2 分） 化简得：2cos C+cosC﹣1=0，…（4 分）
?2010-2015 菁优网
2

菁优网

www.jyeoo.com 故 cosC= （cosC=﹣1 舍去） ∵ C∈（0，π） ，∴ C= （Ⅱ ）∵
2

． ，∴
2

…（7 分） ?
2

cos

=36，即

?

=36． ① …（9 分）

由余弦定理得 AB =AC +BC ﹣2AC?BCcos60°=36， 化简得：AC+BC=12 ② …（12 分） 联解① ② ，可得 AC=BC=6． …（14 分） 点评： 本题给出向量含有三角函数的坐标， 在已知数量积的情况下解三角形 ABC． 着重考查了向量的数量积公式、 解三角形等知识，属于中档题．

26． （2014?重庆）已知函数 f（x）= 相邻两个最高点的距离为 π． （Ⅰ ）求 ω 和 φ 的值； （Ⅱ ）若 f（ ）= （ ＜α＜

sin（ωx+φ） （ω＞0，﹣

≤φ＜

）的图象关于直线 x=

对称，且图象上

） ，求 cos（α+

）的值．

考点： 函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换；运用诱导公式化简求值． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （Ⅰ ）由题意可得函数 f（x）的最小正周期为 π 求得 ω=2．再根据图象关于直线 x=
菁优网版权所有

对称，结合﹣

≤φ

＜

可得 φ 的值． ）= ．再根据 α﹣ 的范围求得 cos（α﹣ ）的值，再根据 cos（α+ ）

（Ⅱ ）由条件求得 sin（α﹣ =sinα=sin[（α﹣ 解答： ）+

]，利用两角和的正弦公式计算求得结果． =π，∴ ω=2． ，k∈z．

解： （Ⅰ ）由题意可得函数 f（x）的最小正周期为 π，∴ 再根据图象关于直线 x= 结合﹣ ≤φ＜ ）= ）= ＜ 对称，可得 2× ． ） ， ）= ． +φ=kπ+

可得 φ=﹣ （ ＜α＜

（Ⅱ ）∵ f（

∴ sin（α﹣ 再根据 0＜α﹣ ∴ cos（α﹣ ∴ cos（α+ = +

，∴ sin（α﹣ ，

）= ）=sinα=sin[（α﹣ = ． ）+

=

， ）cos +cos（α﹣ ）sin

]=sin（α﹣

点评： 本题主要考查由函数 y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中
?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 档题．

?2010-2015 菁优网