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高中数学等比数列课件


§5.3 等比数列

§ 5.3 等 比 数 列

双基研习·面对高考

考点探究·挑战高考

考向瞭望·把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理 1.等比数列的相关概念及公式
相关 名词 等比数列{an}的相关概念及公式

如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项的比都等于__________,那么这个 同一个常数 定义 数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数 列的公比.

相关 名词 通项 公式

等比数列{an}的相关概念及公式 a1qn-1 an=_______

如果在a与b中间插入一个数G,使得a,G,b 等比 等比数列 成________,那么称G为a、b的等比中项,且 中项 ± ab 有G=________. 前n 项和 公式
?na1 ?q=1? ? Sn= ?a1?1-qn? a1-anq = ? 1-q ? 1-q

?q≠1? _________________________

思考感悟 1.b2=ac是a,b,c成等比数列的什么条件?
提示:b2=ac是a,b,c成等比数列的必要不充分

条件,因为当b=0,a,c至少有一个为零时,b2
=ac成立,但a,b,c不成等比,反之,若a,b,

c成等比,则必有b2=ac.

2.等比数列的性质 ?a1>0 ?a <0 ? ? 1 ? 或? ?q>1 ?0<q<1 ? ? (1)等比数列{an}满足________________时,{an}是
?a >0 ?a <0 ? 1 ? 1 ? 或? ?0<q<1 ?q>1 ? ? 递增数列;满足_________________时,{a

n}是递

减数列.

(2)有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项 的积____.特别地,若项数为奇数时,还等于 相等 ______的平方. 中间项 (3)对任意正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,

am·n=ap·q a a 则___________. a=am·n a 特别地,若m+n=2p,则________.

思考感悟
2.数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=aqn+b(a, b∈R),{an}是等比数列,则a,b满足的条件是什 么?
a1?1-qn? 提示:a+b=0.当公比 q≠1 时,Sn= 1-q a1 n a1 a1 可变形为 Sn=- q+ ,令 =m, 1-q 1-q 1-q 上式可写成 Sn=-mqn+m.

课前热身 1.在等比数列{an}中,a5=3,则a3·7等于( a ) A.3 B.6 C.9 D.18 答案:C 2.(2011年南阳调研)设a1=2,数列{an+1}是以3 为公比的等比数列,则a4的值为( ) A.80 B.81 C.54 D.53 答案:A

3.(2010年高考重庆卷)在等比数列{an}中,a2010= 8a2007,则公比q的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 答案:A 4.(教材习题改编)设{an}是等比数列,a1=2,a8 =256,则a2+a3=________. 答案:12 5.若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n∈N+), 则Sn=________. 答案:2n-1

考点探究?挑战高考

考点突破 等比数列的判定及证明 证明一个数列是等比数列的方法主要有两种:一是 利用等比数列的定义,即证明=q(q≠0,n∈N+);二 是利用等比中项法,即证明a=anan+2≠0(n∈N+).在 解题中,要注意根据欲证明的问题,对给出的条件 式进行合理地变形整理,构造出符合等比数列定义 式的形式,从而证明结论.判断一个数列不是等比 数列只需举出一个反例即可.

例1 (2009年高考全国卷Ⅱ)设数列{a }的前n项和 n

为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 【思路点拨】 本题第(1)问将an+2=Sn+2-Sn+1代 入可以得到an的递推式,再由bn=an+1-2an代入即 证;第(2)问将bn的通项公式代入bn=an+1-2an, 可得an的递推式,再依照题型模式求解即可.

【解】

(1)证明:由已知有a1+a2=4a1+2,

解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3, 又an+2=Sn+2-Sn+1 =4an+1+2-(4an+2) =4an+1-4an, 于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn.

因此数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.

(2)由(1)知等比数列{bn}中 b1=3,公比 q=2, n-1 所以 an+1-2an=3× , 2 an+1 an 3 于是 n+1- n= , 2 4 2 an 1 3 因此数列{ n}是首项为 ,公差为 的等差数列, 2 2 4 an 1 3 3 1 所以 n= +(n-1)× = n- , 2 2 4 4 4 n- 2 所以 an=(3n-1)· (n∈N+). 2

【误区警示】 本题的求解过程有两个常见的思 维错误: (1)没有注意到题目形式特点,将 an=Sn-Sn-1 直 接代入,从而出现下标的混乱. n-1 (2)得到递推式 an+1-2an=3× 2 后,不会转化成 an+1 an 3 等差数列 n+1- n= 求解,只是看到等式右边是 2 4 2 一个等比数列的形式,可以求和,于是结合平时 的做题经验,企图利用叠加法求和,使计算繁琐 且不能成功.

等比数列中基本量的计算

等比数列基本量的计算是等比数列中的一类基本
问题,解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列

的有关公式,并灵活运用,在运算过程中,还应
善于运用整体代换思想简化运算的过程.尤其要

注意的是,在使用等比数列的前n项和公式时,
应根据公比q的情况进行分类讨论.

|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则an=( ) A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1 C.(-2)n D.-(-2)n (2)(2010年高考辽宁卷)设Sn为等比数列{an}的前 n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q =( ) A.3 B.4 C.5 D.6

例2 (1)(2010年高考江西卷)等比数列{a }中, n

(3)(2010 年高考辽宁卷)设{an}是由正数组成的等 比数列, n 为其前 n 项和. S 已知 a2a4=1, 3=7, S 则 S5=( ) 15 31 A. B. 2 4 33 17 C. D. 4 2
【思路点拨】 根据题意,建立关于首项a1和 公比q的方程组求解.

【解析】 (1)记数列{an}的公比为 q, a5=-8a2, 由 4 得 a1q =-8a1q,即 q=-2.由|a1|=1,得 a1=± 1, 当 a1=-1 时,a5=-16<a2=2,与题意不符,舍 去; 当 a1=1 时,a5=16>a2=-2,符合题意, n-1 n-1 故 an=a1q =(-2) . ?3S3=a4-2 ① (2)? , ② ?3S2=a3-2 a4 ①-②得:3a3=a4-a3,4a3=a4,q= =4. a3

?a1q·1q3=1 a ? (3)显然公比 q≠1,由题意得,?a1?1-q3? =7 ? 1-q ? ?a1=4 ? 解得? 1 ?q=2 ?





1 a1?1-q5? 4?1-25? 31 ∴S5= = = . 1 4 1-q 1- 2

【答案】

(1)A

(2)B

(3)B

【名师点评】

等比数列中有五个量a1、n、q、

an、Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组) 求解.

变式训练1

数列{an}中,a1=1,a2=2,数列

{an·n+1}是公比为q(q>0)的等比数列. a (1)求使anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N+)成立 的q的取值范围; (2)若bn=a2n-1+a2n(n∈N+),求{bn}的通项公 式.

解:(1)∵数列{an·n+1}是公比为 q(q>0)的等 a 比数列, a1·2=1· 且 a 2=2, n·n+1=2qn 1, ∴a a 由 an·n+1+an+1 ·n+2>an+2·n+3(n∈N+) a a a 有 2qn-1+2qn>2qn+1(q>0), 1+ 5 ∴q -q-1<0,解得 0<q< . 2
2


an+1an+2 an+2 (2)∵ =q, a =q, 2n+1=qa2n-1, ∴ ∴a anan+1 n a2n+2=qa2n. ∵bn=a2n-1+a2n,∴b1=a1+a2=3, bn+1 a2n+1+a2n+2 qa2n-1+qa2n 又 = = =q, bn a2n-1+a2n a2n-1+a2n ∴{bn}是首项为 b1=3,公比为 q 的等比数列, ∴bn=3qn 1.


等比数列的前n项和及其性质
等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的

变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式
的变形,根据题目条件,认真分析,发现具体的

变化特征即可找出解决问题的突破口.

例3 (2011年南阳调研)在等比数列{an}中,a1最

小,且a1+an=66,a2·n-1=128,前n项和Sn= a

126,
(1)求公比q;

(2)求n.
【思路点拨】 根据等比数列的性质,a2·n-1= a

a1·n,由此可得关于a1、an的方程,结合Sn=126 a
可求得q和n.

【解】 ∵{an}是等比数列,a1+an=66, ∴a2·n-1=a1an=128, a ∴a1 ,an 是方程 x2-66x+128=0 的两根, ?a1=2 ?a1=64 解得? 或? , ?an=64 ?an=2 又∵a1 最小, ∴a1=2,an=64,
?64=2·n-1 q ? ?2?1-qn? 由 =126 ? ? 1-q ?q=2 ,得? . ?n=6

【规律小结】
?a >0 ? 1 (1)? ?q>1 ?

1.等比数列的单调性. ?{an}为递增数列; ?{an}为递减数列;

?a <0 ? 1 或? ?0<q<1 ? ?a <0 ? 1 或? ?q>1 ?

?a >0 ? 1 (2)? ?0<q<1 ?

(3)q=1?{an}为非零常数列; (4)q<0?{an}为摆动数列.

2.等比数列其他性质. 2 (1)若数列{an}是等比数列, 则{can}(c≠0), n|}, n}, {|a {a 1 {a }也是等比数列,若{bn}是等比数列,则{an·n}也 b n 是等比数列. (2)数列 am,am+k,am+2k,am+3k,…仍成等比数列. S偶 (3)若等比数列{an}的项数为 2n, 则 =q, 其中 S 偶, S奇 S 奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和. an (4)a =qn-m(m,n∈N+). m

等比数列的综合问题 在解决等差、等比数列的综合题时,重点在
于读懂题意,而正确利用等差、等比数列的

定义、通项公式及前n项和公式是解决问题的
关键.

例4 已知等比数列{a }的前 n 项和为 S =2×3 n n

n+k(k∈R,n∈N+). (1)求{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足 an=4(5+k)anbn, n 为数列{bn} T 3 的前 n 项和,求证:0≤Tn< . 16

【思路点拨】

对于(1),根据an与Sn的关系可

求得k的值,从而得到{an}的通项公式;对于(2),
可先求出{bn}的通项公式,然后用错位相减法求

出Tn,再结合Tn的单调性证明不等式.

【解】

(1)当 n=1 时,a1=S1=6+k,当 n≥2 时,an=Sn a2 a3 an n- 1 -Sn-1=4· , 3 由于{an}是等比数列, 所以 = =…= , a1 a2 an - 1 12 因此有 =3,解得 k=-2,这时 an=4·n-1. 3 6+k (2)证明:由于 an=4(5+k)anbn,所以 4· nbn=4·n-1, 3a 3 n-1 故 anbn=n-1,从而 bn= n-1. 4· 3 所以 Tn=b1+b2+b3+b4+…+bn n-1 1 2 3 = + 2+ 3+…+ n-1,① 4· 4· 4· 3 3 3 4· 3 n-1 1 2 3 3Tn= + + 2+…+ n-2,② 4 4· 4· 3 3 4· 3

n-1 1 1 1 1 ②-①得 2Tn= + + 2+…+ n-2- n-1, 4 4· 4· 3 3 4· 3 4· 3 n-1 1 1 1 1 3 所以 Tn= + + 2 +…+ n-2- n-1 = - 8 8· 8· 3 3 16 8· 3 8· 3 2n+1 n-1, 16· 3 2n+1 令 f(n)= n-1,显然 f(n)随着 n 的增大而减小,故 16· 3 3 3 2n+1 3 3 0<f(n)≤f(1)= ,故 0≤ - < ,即 0≤Tn< . 16 16 16·n-1 16 16 3 【失误点评】 本题易弄不清“错位相减”的项数 而致使解答错误.

变式训练 2 (2009 年高考山东卷)等比数列{an}的 前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N+,点(n,Sn) 均在函数 y=bx+r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常数)的 图像上. (1)求 r 的值; n+1 (2)当 b=2 时,记 bn= (n∈N+),求数列{bn}的 4an 前 n 项和 Tn.

解:(1)因为对任意的n∈N+,点(n,Sn)均在函数y =bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)的图像上.所以 得Sn=bn+r, 当n=1时,a1=S1=b+r, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)=bn- bn-1=(b-1)bn-1, 又因为{an}为等比数列,所以r=-1,公比为b,所 以an=(b-1)bn-1, n+1 n-1 n-1 (2)当 b=2 时,an=(b-1)b =2 ,bn= = 4an n+1 n+1 n+1 2 3 4 n-1= n+1 ,则 Tn= 2+ 3+ 4+…+ n+1 , 2 2 2 4× 2 2 2

n+1 1 2 3 4 n Tn= 3+ 4+ 5+…+ n+1+ n+2 , 2 2 2 2 2 2 n+1 1 2 1 1 1 1 两式相减,得 Tn= 2+ 3+ 4+ 5+…+ n+1- n+2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3×?1- n- 1? 2 n+1 3 n+1 1 2 1 = + - n+2 = - n+1- n+2 , 2 1 4 2 2 2 1- 2 3 1 n+1 3 n+3 所以 Tn= - n- n+1 = - n+1 , 2 2 2 2 2

方法感悟 方法技巧 1.等比数列的判定方法有以下几种: an+1 (1)定义: =q(q 是不为零的常数, n∈N+)?{an} an 是等比数列. (2)通项公式: n=cqn(c、 均是不为零的常数, a q n∈N +)?{an}是等比数列.
2 (3)等比中项公式:a n+1 =an·n + 2(an·n + 1·n + 2≠0, a a a

n∈N+)?{an}是等比数列.(如例 1)

2.方程观点以及基本量(首项和公比a1,q)思想仍

然是求解等比数列问题的基本方法:在a1,q,n,
an,Sn五个量中,知三求二.(如例2)

3.等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式
以及前n项和公式等基础知识的推广与变形,熟练

掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地
解决许多等比数列问题.(如例3)

4.解决等比数列的综合问题时,首先要深刻理 解等比数列的定义,能够用定义法或等比中项法 判断或证明一个数列是等比数列;其次要熟练掌

握等比数列的通项公式与前n项和公式,能够用
基本量方法和等比数列的性质解决有关问题.(如

例4)
5.Sn+m=Sn+qnSm.

失误防范 1.把等比数列与等差数列的概念和性质进行类比, 可以加深理解,提高记忆效率.注意三点: (1)等比数列的任何一项都不能为0,公比也不为0; (2)等比数列前n项和公式在q=1和q≠1的情况下是不 同的; (3)等比数列可看作是比等差数列高一级的运算, 一般等差数列中的“和”、“差”、“积”形式类比到等 比数列中就变成“积”、“商”、“幂”的形式. 2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比 数列,还要验证a1≠0.

考向瞭望?把脉高考

考情分析 等比数列是每年高考必考的知识点之一,考查重点 是等比数列的定义、通项公式、性质、前n项和公 式,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难度

中等偏高.客观题主要考查对基本运算,基本概念

的掌握程度;主观题考查较为全面,在考查基本运

算,基本概念的基础上,又注重考查函数与方程、
等价转化等思想方法. 预测2012年高考,等比数列的定义、性质、通项公 式、前n项和公式仍是考查重点,应特别重视等比 数列性质的应用.

规范解答


(本题满分12分)(2010年高考四川卷)已知等

差数列{an}的前3项和为6,前8项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N+),求数列{bn} 的前n项和Sn.

【解】

(1)设数列{an}的公差为 d, ?3a1+3d=6, 由已知,得? ?8a1+28d=-4.
?a1=3, 解得? ?d=-1.

故 an=3-(n-1)=4-n. ………4 分 n- 1 (2)由(1)可得 bn=n· ,于是 q 0 1 2 n- 1 Sn=1· +2· +3· +…+n· . ……6 分 q q q q 若 q≠1,将上式两边同乘以 q,得 qSn=1· +2· +…+(n-1)· q q q
1 2 n- 1

+n·n. q

两式相减,得 - (q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-…-qn 1 qn-1 nqn+1-?n+1?qn+1 =nqn- = . q-1 q-1 nqn+1-?n+1?qn+1 于是,Sn= . ………9 分 2 ?q-1? n?n+1? 若 q=1,则 Sn=1+2+3+…+n= . 2
?n?n+1? ? ?q=1?, ? 2 所以,Sn=? n+1 nq -?n+1?qn+1 ? ?q≠1?. 2 ? ?q-1? ?

......12 分

【名师点评】

(1)本题易失误的是:①解题时忽

视公比q=1的情形;②用“错位相减法”求和时, “错位”出错;③对“错位相减”后出现等比数列的 项数判断出错.

(2)如果数列{an}是一个由等差数列{bn}及等比数列 {cn}对应项之积组成的数列,即an=bn×cn,则其

前n项和的求解常用乘公比错位相减法,把问题转
化为以求一个等比数列的前n项和或前n-1项和为

主的求和问题.要注意错位相减后对剩余项可分
为两部分,一是第一项与最后一项;二是中间项 (等比数列).在用错位相减法求和时,一定要处理 好这三部分,否则就会出错.

名师预测

已知定义域为 R 的二次函数 f(x)的最小值为 0 且有 f(1+x)=f(1-x),直线 g(x)=4(x-1)被函数 f(x)的 图像截得的弦长为 4 17,数列{an}满足 a1=2,(an +1-an)g(an)+f(an)=0(n∈N+). (1)求函数 f(x); (2)求数列{an}的通项公式; (3)设 bn=3f(an)-g(an+1),求数列{bn}的最值及相应 的 n.

解:(1)依题意,设 f(x)=a(x-1)2(a>0),则直线 g(x) 4 =4(x-1)与函数 y=f(x)图像的两个交点为(1,0),(a+ 16 1, a ), 4 2 16 2 ∵ ? ? +? ? =4 17,∴a=1,f(x)=(x-1)2. a a (2)f(an)=(an-1)2,g(an)=4(an-1), ∵(an+1-an)· n-1)+(an-1)2=0, 4(a ∴(an-1)(4an+1-3an-1)=0, ∵a1=2,∴an-1≠0,∴4an+1-3an-1=0, 3 ∴an+1-1= (an-1),又 a1-1=1, 4

3 ∴数列{an-1}是首项为 1,公比为 的等比数列, 4 3 n-1 3 n-1 ∴an-1=( ) ,an=( ) +1. 4 4 3 n-1 2 3n 2 (3)bn=3(an-1) -4(an+1-1)=3[( ) ] -4( ) , 4 4 3 n-1 设 bn=y,u=( ) , 4 12 1 12 3 则 y=3[(u- ) - ]=3(u- ) - . 2 4 2 4

3 9 27 ∵n∈N+,u 的值分别为 1, , , ,…,经比较 4 16 64 9 1 距 最近, 16 2 189 ∴当 n=3 时,bn 有最小值- ,当 n=1 时,bn 256 有最大值 0.

本部分内容讲解结束
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