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珠海市2015届第一学期期末高中学生学业质量监测(理数)


珠海市 2015 届第一学期期末高中学生学业质量监测 数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.设集合 A ? x y ? lg( x ? 1) , B ? y y ? 2 , x ? R ,则 A ? B =
x

?

?

?

?

A. ?

B. R

C. (1, ??)

D. (0, ??) 开始 输入 k

2.若复数 z 与 2 ? 3i 互为共轭复数,则复数 z 的模 | z | = A. 13 B. 5 C. 7 D. 13

3.下列函数为偶函数的是 A. f ( x ) ? x ?
2

1 x

B. f ( x) ? log2 x D. f ( x) ? x ? 2 ? x ? 2

n ? 1, S ? 1

C. f ( x) ? 4x ? 4? x

y? x 2? nlog ?k


是 输出 S 结束

?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? 2 2 4.若 x、 y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 x ? y 的最小值是 ?3 x ? y ? 6 ? 0 ?
A.

n ? n?3 S ? 2S ? n
(第 5 题图)

2 3 5
4 5
B. 6 C. 8

B.

2 5 5

C.

D. 1

5.执行如右图的程序框图,若输出的 S ? 48 ,则输入 k 的值可以为 A. 4 D. 10
2

1 6 6. 二项式 (2 x ? 2 ) 的展开式中,常数项是 x
A. 240 B. 60 C. 192 D.120
2

7.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据可得该几何 体的体积是 A.

2 3

B.

4 3

C. 2 D. 4

正 (主 )视图

侧 (左 )视图

1

俯视图 (第 7题图 )

1

8.已知集合 S ? {P | P ? ( x1 , x2 , x3 ), xi ?{0,1}, i ? 1, 2,3} 对于 A ? (a1 , a2 , a3 ) , 定义 A B ? (b1, b2 , b3 ) ? S , 与 B 的差为 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,| a3 ? b3 |) , 定义 A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ?

?| a ? b | .对于
i ?1 i i

3

?A, B, C ? S ,则下列结论中一定成立的是(
A. d ( A, C ) ? d ( B, C ) ? d ( A, B) C. d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B)

) B. d ( A, C ) ? d ( B, C ) ? d ( A, B) D. d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做 一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9.不等式 2x ?1 ? x 的解集为 . . .

10.三个学生、两位老师、三位家长站成一排,则老师站正中间的概率是 11.已知等差数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn ,且 a3 ? 5 , S3 ? 6 ,则 a7 ?

12.已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,且满足 f ( x)=x3 ? x ? f ?(2) ,则函数 f ( x ) 在点(2, f (2) ) 处的切线方程为 . .

13.已知平面向量 a、 b 满足 2a ? 3b ? 1 ,则 a ? b 的最大值为 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,曲线 C1 : ? ? 2 与曲线 C2 : ? ? 4sin ? ( 15. (几何证明选讲选做题)

?
2

? ? ? ? ) 交点的极坐标是



如图,四边形 ABCD 内接于圆 O , DE 与圆 O 相切于点 D , AC ? BD ? F , F 为 AC 的中点,

O ? BD , CD ? 10 , BC ? 5 ,则 AE ?



E A F

D C O

B
(第 15 题图)

2

三、解答题:本题共有 6 个小题,共 80 分.请写出解答的步骤与详细过程。 16.(本小题满分 12 分) 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 象时,列表并填入的部分数据如下表:

?
2

) 在某一个周期内的图

x
?x ??
A sin(? x ? ? ) ? B
(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若

x1
0
1

? 12 ? 2
4

x2

?
1

7? 12 3? 2
?2

x3
2?
1

?
2

?? ?? , f (

?
2

?

?
12

)?

17 ? ,求 f (? ? ) 的值. 5 2

17.(本小题满分 12 分) 某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究,在饲料充足的前提下, 兴趣小组对饲养时间 x(单位:月)与这种鱼类的平均体重 y(单位:千克)得到一组观测值,如下表:

xi (月)

1

2

3
1.7

4

5
2.8

y(千克) 0.5 i

0.9

2.1

(1)在给出的坐标系中,画出两个相关变量的散点图. (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量 y 关
体重 y(千克 ) 3

? ? bx ? a ?. 于变量 x 的线性回归直线方程 y
(3)预测饲养满 12 个月时,这种鱼的平均体重(单位:千 克). (参考公式: b ?

? x y ? nx y ?x
i ?1 i ?1 n i i 2 i

n

2

? ? y ? bx ) ,a
1

? n( x )

2

1

2

3

4

5

饲养时间 x(月 )

3

18.(本小题满分 14 分)已知平行四边形 ABCD , AB ? 4 , AD ? 2 ,?DAB ? 60 , E 为 AB 的
o

中点,把三角形 ADE 沿 DE 折起至 A ? 4 , F 是线段 AC 1 1 的中点. 1DE 位置,使得 AC (1)求证: BF // 面A 1DE ; (2)求证:面 A1DE ? 面 DEBC ; (3)求二面角 A1 ? DC ? E 的正切值.

A1 F
D C

D

C

A

E

B
(18 题图)

E

B

19.(本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ?

1 n ? an ?1 , n ? N ? ,其中 a1 ? 1 2

1 3
an?1

?2

,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ?

1 4

20.(本小题满分 14 分)已知抛物线 C1 : x2 ? y ,圆 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 1 . (1)在抛物线 C1 上取点 M , C2 的圆周上取一点 N ,求 | MN | 的最小值; (2)设 P( x0 ,y0 ) (2 ? x0 ? 4) 为抛物线 C1 上的动点,过 P 作圆 C2 的两条切线,交抛物线 C1 于 A 、

B 点,求 AB 中点 D 的横坐标的取值范围.

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? (1) 求函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 证明: m 、n ? N? 时,

1 2 x ? (1 ? a) x . 2

m(m ? n)[

1 1 1 ? ? ? ln(m ? n) ln(m ? n ? 1) ln(m ? n ? 2)

?

1 ]? n. ln(m ? 1)

4

数学(理科)参考答案
一、选择题:DADBC ABC 二、填空题: 9.不等式 2x ?1 ? x 的解集为 . ? x x ? 1, 或x ? ? . . 17

? ?

1? 3?
1 28

10.三个学生、两位老师、三位家长站成一排,则老师站正中间的概率是 11.已知等差数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn ,且 a3 ? 5 , S3 ? 6 ,则 a7 ?

12.已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,且满足 f ( x)=x3 ? x ? f ?(2) ,则函数 f ( x ) 在点(2, f (2) ) 处的切线方程为: . 6 x ? y ? 16 ? 0 .

13.已知平面向量 a、 b 满足 2a ? 3b ? 1 ,则 a ? b 的最大值为 14. (坐标系与参数方程选做题) 在 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C1 : ? ? 2 与 曲 线 C2 : ? ? 4sin ? ( 是 . (2,

1 24

?
2

?? ??) 交 点 的 极 坐 标

5? ) 6

E A F

D C O

15. (几何证明选讲选做题) 如图,四边形 ABCD 内 接 于 圆 O , DE 与 圆 O 相 切 于 点 D ,

AC ? BD ? F , F 为 AC 的中点, O ? BD , CD ? 10 , BC ? 5 ,则
AE ?
.2

B
三、解答题:本题共有 6 个小题,共 80 分. 16.(本小题满分 12 分) 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 的图象时,列表并填入的部分数据如下表: (第 15 题图)

?
2

) 在某一个周期内

x
?x ??
A sin(? x ? ? ) ? B

x1
0
0 1

? 12 ? 2
4

x2

?
1 0

7? 12 3? 2 ?2

x3
2?
1 0

5

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若

?
2

?? ?? , f (

?
2

?

?
12

)?

17 ? ,求 f (? ? ) 的值. 5 2

? ? ? ? ? ?? ? ?? ? 2 ? ? ? 12 2 解: (1)由题意可得 ? ,即 ? ? ??????????????????2 分 ?? ?? ? 7? ? ? ? 3? ? 3 ? ? ? 12 2
由题意可得 ?

?A ? B ? 4 ?A ? 3 ,即 ? ??????????????????????4 分 ?B ?1 ? ? A ? B ? ?2

∴ 函数 f ( x ) 的解析式为: f ( x) ? 3sin(2 x ? ( 2 ) 由

?
3

) ?1 ??????????????????5 分 3sin[2(

f(

?
2

?

?
12

)?

? 4 sin(? ? ) ? ???????7 分 6 5

17 5





?
2

?

?

? 17 ) ? ] ?1 ? 1 3 2 5









f (? ? ) ? 3sin[2(? ? ) ? ] ? 1 ? 3sin(2? ? ? ? ) ? 1 2 2 3 3 ? ? ?3sin(2? ? ) ? 1 ??????????????????????????9 分 3 ? ? ? ?6sin(? ? ) ? cos(? ? ) ? 1 ?????????????????????10 分 6 6 ? ? 2? 7? ? 3 , ) ,? cos(? ? ) ? ? ????????????11 分 又 ? ? ( , ? ) ,? ? ? ? ( 2 6 3 6 6 5 97 ? ? ? 4 3 f (? ? ) ? ?6 sin(? ? ) cos( ? ? ) ? 1 ? ?6 ? ? (? ) ? 1 ? ??????????12 分 25 6 6 6 5 5
17.(本小题满分 12 分) 某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究,在饲料充足的前提下, 兴趣小组对饲养时间( x 单位:月)与这种鱼类的平均体重 y (单位:千克)得到一组观测值,如下表:

?

?

?

?

xi (月)

1

2

3

4

5

y(千克) 0.5 i

0.9

1.7

2.1

2.8

(1)在给出的坐标系中,画出两个相关变量的散点图.

? ? bx ? a ?. (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量 y 关于变量 x 的线性回归直线方程 y
(3)预测饲养满 12 个月时,这种鱼的平均体重(单位:千克). (参考公式: b ?

? x y ? nx y ?x
i ?1 i ?1 n i i 2 i

n

? ? y ? bx ) ,a

? n( x )

2

解:(1)散点图如图所示

6

?????????????????3 分

(2)由题设 x ? 3 , y ? 1.6 ,????????????????????????????4 分

n( x)2 ? 45 , nx y ? 24 , ? xi yi ? 29.8 , ? xi2 ? 55 ????????????????6 分
i ?1 i ?1

5

5

故b ?

? x y ? nx y ?x
i ?1 i ?1 5 i i 2 i

5

?

? n( x ) 2

29.8 ? 24 ? 0.58 ??????????????????????8 分 55 ? 45

? ? y ? bx ? 1.6 ? 0.58 ? 3 ? ?0.14 ??????????????????????9 分 a

? ? bx ? a ? ? 0.58x ? 0.14 ???????????????10 分 故回归直线方程为 y
? ? 0.58 ?12 ? 0.14 ? 6.82 ??????????????????11 分 (3)当 x ? 12 时, y

?饲养满 12 个月时,这种鱼的平均体重约为 6.82 千克.?????????????12 分
18.(本小题满分 14 分) 已知平行四边形 ABCD , AB ? 4 , AD ? 2 , ?DAB ? 60 , E 为 AB 的中点,把三角形 ADE 沿
o

DE 折起至 A1DE 位置,使得 AC ? 4 , F 是线段 AC 1 1 的中点.
(1)求证: BF // 面A 1DE ; (2)求证:面 A1DE ? 面 DEBC ;

7

(3)求二面角 A1 ? DC ? E 的正切值.

A1 F

D

C D

C

A

E

B
(第 18 题图)

E

B

解:(1)证明:取 DA 1 的中点 G ,连接 FG、GE

A1 G D F C

F 为 AC 1 中点
1 2 E 为平行四边形 ABCD 边 AB 的中点 1 ? EB // DC ,且 EB ? DC 2 EB // GF EB ? GF ,且 ? ?四边形 BFGE 是平行四边形 ? BF // EG

? GF // DC ,且 GF ? DC

E

B

EG ? 平面 A1DE , BF ? 平面 A1DE

? BF // 平面 A1DE ????????????????????4 分
(2)取 DE 的中点 H ,连接 A1H、CH

A1 F D H E B C

AB ? 4 , AD ? 2 , ?DAB ? 60o , E 为 AB 的中点

? ?DAE 为等边三角形,即折叠后 ?DA1E 也为等边三角形 ? A1H ? DE ,且 A1H ? 3
o 在 ?DHC 中, DH ? 1 , DC ? 4 , ?HDC ? 60

根据余弦定理,可得

HC 2 ? DH 2 ? DC 2 ? 2 DH ? DC cos 60o ? 12 ? 42 ? 2 ?1? 4 ?

1 ? 13 在 ?A1 HC 中, A1H ? 3 , , 2

HC ? 13 AC ? 4, 1
2 ? A1H 2 ? HC 2 ,即 A1H ? HC ? AC 1

8



? A1 H ? DE ? A H ? HC 1 ? ? ? DE ? 面DEBC ,所以 A1H ? 面DEBC ? HC ? 面DEBC ? ? ? DE HC ? H



A1H ? 面A1DE

?面 A1DE ? 面 DEBC ????????????????????????????10 分
(3)过 H 作 HO ? DC 于 O ,连接 AO 1 、HO

A1H ? 面DEBC ? A1H ? DC
又A 1H

A1 F D H E B O C

HO ? H

? DC ? 面A1HO ? DC ? AO 1 , DC ? HO
是二面角 A1 ? DC ? E 的平面角 ? ?AOH 1 在 Rt ?A 1HO 中, A 1H ? 3 , HO ? DH ? sin 60 ? 1?
o

3 3 3 ,故 tan ?A1OH ? ? ?2 2 2 3 2

所以二面角 A1 ? DC ? E 的正切值为 2 ??????????????????????14 分 19.(本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ?

1 n ? an ?1 , n ? N ? ,其中 a1 ? 1 . 2

1 3
an?1

?2

,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ?

1 4

1 1 a2 ,即 a1 ? a2 ,由已知 a1 ? 1 ,得 a2 ? 2 ?????????1 分 2 2 1 1 ? 把式子 S n ? n ? an ?1 , n ? N 中的 n 用 n ? 1 替代,得到 Sn ?1 ? (n ? 1) ? an , (n ? 2) 2 2
解: (1)令 n ? 1 ,得 S1 ?

1 ? Sn ? n ? an ?1 (n ? 1) ? 1 1 ? 2 由? 可得 S n ? S n ?1 ? n ? an ?1 ? (n ? 1) ? an 2 2 ? S ? 1 (n ? 1) ? a (n ? 2) n ?1 n ? ? 2

9

即 an ? 即得:

1 1 1 1 n ? an ?1 ? (n ? 1) ? an ,即 (n ? 1) ? an ? n ? an ?1 2 2 2 2

an ?1 n ? 1 ? , (n ? 2) ,???????????????????????????4 分 an n

所以:

an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a3 n n ?1 ? ? ? a2 n ? 1 n ? 2

3 ? ,(n ? 3) 2



an n ? , (n ? 3) ???????????????????????????????6 分 a2 2

又 又

a2 ? 2 ,所以 an ? 3 a1 ? 1 ,? an ? n, n ? N ? ???????????????????????????7 分
1 1 ? n ?1 3 ?2 3 ?2 1 1 1 1 ??????????????????11 分 bn ? n ?1 ? ? ? n n n 3 ? 2 3 ? 3 ? 2 2 ? 3 +3 ? 2 2 ? 3n

(2)

an ? n ,? bn ?

an?1

?Tn ? b1 ? b2 ? b3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ( ? ? ? ? n ) ? (1 ? n ) ? 2 ? 31 2 ? 32 2 ? 33 2 ? 3n 2 31 32 33 3 4 3 4 ???????????????????????????????????????14 分 ? bn ?
20.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C1 : x2 ? y ,圆 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 1 . (1)在抛物线 C1 上取点 M , C2 的圆周上取一点 N ,求 | MN | 的最小值; (2)设 P( x0 ,y0 ) (2 ? x0 ? 4) 为抛物线 C1 上的动点,过 P 作圆 C2 的两条切线,交抛物线 C1 于 A 、

B 点,求 AB 中点 D 的横坐标的取值范围.
2 解:(1).设 M ( x0 ,y0 ) ,则 x0 4) ? y0 , C2 (0 ,

则 | MC2 |?

2 2 2 x0 ? ( y0 ? 4) 2 ? x0 ? ( x0 ? 4)2 ????????????????????1 分

7 15 4 2 2 ? x0 ? 7 x0 ? 16 ? ( x0 ? )2 ? 2 4
号?????????3 分

?

15 2

, 当 且 仅 当

M (?

14 7 ,) 是 取 等 2 2

? | MN | 的最小值为 | MC2 | 的最小值减1 ,为
(2). 由题设知,切线与 x 轴不垂直,

15 ? 1 ?????????????????5 分 2

2 2 P( x0 ,x0 ) (2 ? x0 ? 4) ,?设切线 l1, 2 : y ? k ( x ? x0 ) ? x0

10

2 2 设 A( x1 ,x1 ) ,B( x2 ,x2 ) , AB 中点 D( x ,y) ,则 x ?
2 2 将 l1, 2 与 C1 的方程联立消 y 得 x ? kx ? kx0 ? x0 ? 0

x1 ? x2 2

即 ( x ? x0 )[ x ? (k ? x0 )] ? 0 得 x ? x0 (舍)或 x ? k ? x0 设二切线的斜率为 k1 、k2 ,则 x1 ? k1 ? x0 , x2 ? k2 ? x0

? x1 ? x2 ? k1 ? k2 ? 2x0 ???????????????????????????8 分
又 C2 (0 , 4) 到 l1, 2 的距离为 1,有
2 | kx0 ? x0 ?4|

1? k 2

?1,

2 2 2 两边平方得 ( x0 ?1)k 2 ? 2x0 (4 ? x0 )k ? ( x0 ? 4)2 ?1 ? 0

“ ?” ?????????9 分

2 2 x0 (4 ? x0 ) “?” 则 k1 、k2 是 的二根,则 k1 ? k2 ? ? ???????????????10 分 2 x0 ? 1 2 2 x0 ( x0 ? 4) 6x ? 2 x0 ? ? 2 0 2 x0 ? 1 x0 ? 1

则 x1 ? x2 ? k1 ? k2 ? 2 x0 ?

?x ? ?

3 x0 3 ?? ????????????????????11 分 2 1 x0 ? 1 x0 ? x0

x0 ?

1 在 x0 ?[2 , 4] 上为增函数 x0

? ? x0 ?

3 2

1 15 ? , x0 4
4 5

?

4 1 2 3 4 ? ? ? ?2 ? ? ? ? ???????13 分 1 15 x ? 1 3 5 x0 ? 0 x0 x0

? ] ??????????????14 分 ? x 的范围是 [?2 ,
21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 2 x ? (1 ? a) x . 2

(1) 求函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 证明: m 、n ? N? 时,

m(m ? n)[

1 1 1 ? ? ? ln(m ? n) ln(m ? n ? 1) ln(m ? n ? 2)

?

1 ]? n. ln(m ? 1)

11

解:(1). f ?( x ) ? ① a ? 0 时,

a x 2 ? (1 ? a) x ? a ( x ? 1)( x ? a) ? x ? (1 ? a ) ? ? ( x ? 0) ???????1 分 x x x

当 0 ? x ? 1 时 f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .

1) ,增区间是 (1, ? ?) .???????????????????3 分 故 f ( x) 的减区间是 (0 ,
② 0 ? a ? 1 时, 当 0 ? x ? a 或 x ? 1 时 f ?( x) ? 0 ;当 a ? x ? 1 时 f ?( x) ? 0

1) ,增区间是 (0 , a) 和 (1, ? ?) .?????????????5 分 故 f ( x) 的减区间是 (a,
③ a ? 1 时, f ?( x) ?

( x ? 1) 2 ? 0 ,故 f ( x) 的增区间是 (0,+ ?) ????????????7 分 x

④ a ? 1 时,当 0 ? x ? 1 或 x ? a 时 f ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? a 时 f ?( x) ? 0

a ) ,增区间是 (0 , 1) 和 (a , ? ?) .???????????8 分 故 f ( x) 的减区间是 (1,
1 1 1 2 1 时, f ( x) ? ? ln x ? x ? x ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时取等号, 2 2 2 2

(2)证明:当 a ? ?
2

则 ln x ? x ? x ????????????10 分 当 x ? 1 时,上不等式可变形为

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ??????????12 ln x x ? x ( x ? 1) x x ? 1 x

分别令 x ? m ? 1,m ? 2 ,m ? 3 , ,m ? n



1 1 1 ? ? ? ln(m ? n) ln(m ? n ? 1) ln(m ? n ? 2)

?

1 ln(m ? 1)
?( 1 1 1 1 n ? )? ? ? ??? m m ?1 m m ? n m( m ? n )

?(

1 1 1 1 ? )?( ? )? m ? n ?1 m ? n m ? n ? 2 m ? n ?1

13 分

? m 、n ? N? 时,
m(m ? n)[ 1 1 1 ? ? ? ln(m ? n) ln(m ? n ? 1) ln(m ? n ? 2) ? 1 ] ? n ???14 分 ln(m ? 1)

12


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