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教学设计--等比数列前n项和


教学设计
《等比数列的前 n 项和》第一课时

Xxx 高级中学 2013 年 11 月 15 日
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《等比数列的前 n 项和》
一、教学内容分析
1.在教材中的地位与作用 在《数列》一章中,《等比数列的前 n 项和》是一项重要的基础内容,从 知识体系来看,它不仅是《等差数列的前 n 项和》与《

等比数列》的顺延,也 是前面所学《函数》的延续,实质上是一种特殊的函数,而且还为后继深入学 习提供了知识基础,错位相减法是一种重要的数学思想方法,是求解一类混合 数列前 n 项和的重要方法,因此,本节具有承上启下的作用;从知识结构和人 文价值来看,等比数列与等差数列是平行结构关系,两者之间存在着一定联系, 可以进行类比,拓展学生发现、创新的能力,等比数列的前 n 项和公式的探究 与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想,有助于培养学生的创新思维和探索 精神,是增强学生应用意识和数学能力的良好载体;从知识的应用价值来看,它 是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个模型,前 n 项和公式的推导过程中 蕴涵了基本的数学思想方法,如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常 出现。等比数列的前 n 项和在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期 付款的有关计算等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整 体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 2.教材编排与课时安排 提出问题→问题解决→等比数列前 n 项和公式推导→强化公式运用(例题 与练习) 。 教师教学用书安排“等比数列的前 n 项和”这部分内容授课时间 2 课时, 本节课作为第一课时,重在研究等比数列的前 n 项和公式的推导及简单应用, 教学中注重公式的形成推导过程,并充分揭示公式的结构特征和内在联系。

二、学生学习情况分析
从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的形 成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公 式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是 一个突破,另外,对于 q = 1 这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后 面使用的过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学生,虽然具有一定的分
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析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但由于年龄的原因,思 维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因此片面、不严谨。

三、设计思想
《新课程改革纲要》提出,要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬 背、机械训练的现状,倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手,培养学生搜 集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作 的能力”。对这一目标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独 立性、创造性、发展性。心理学家研究发现,9~22 岁的学生正处于创新思维的 培养期,高中生正好处于这一关键年龄段,作为数学教师应因势利导,培养学 生的创新思维能力。利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。在生生、师 生交流的过程中,体现对弱势学生更多的关心。

四、教学目标
理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上 能初步应用公式解决与之有关的问题。 通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、 分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆 向思维的能力。通过对公式推导方法的探索与发现,优化学生的思维品质,渗 透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。

五、教学重点、难点 教学重点是公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点是公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导所使用的“错
位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一,它蕴含了重要的数 学思想,所以既是重点也是难点。

教学准备:
包括资源的收集、课件的制作、活动的准备等 1.全日制普通高级中学教科书(必修)第一册(上) 2.普通高中课程标准教科书数学(必修)5 及配套光盘

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3.两种教材的主要差异对比

六、教学过程设计:
学生是认知的主体,设计教学过程必须遵循学生的认知规律,尽可能地让 学生去经历知识的形成与发展过程,结合本节课的特点,我设计了如下的教学 过程: (一)创设情境,提出问题 在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大为赞 赏,对他说:我可以满足你的任何要求。西萨说:请给我棋盘的 64 个方格上, 第一格放 1 粒小麦,第二格放 2 粒,第三格放 4 粒,往后每一格都是前一格的 两倍,直至第 64 格。国王令宫廷数学家计算,结果出来后,国王大吃一惊。为 什么呢? 【设计意图】:设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣, 调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。 此时我问:同学们,你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?引导学生写出麦 粒总数 1+ 2 + 22 + 23 + ?????? +263 。带着这样的问题,学生会动手算了起来,他们 想到用计算器依次算出各项的值,然后再求和。这时我对他们的这种思路给予 肯定。 【设计意图】:在实际教学中,由于受课堂时间限制,教师舍不得花时间 让学生去做所谓的“无用功”,急急忙忙地抛出“错位相减法”,这样做有悖 学生的认知规律:求和就想到相加,这是合乎逻辑顺理成章的事,教师为什么 不相加而马上相减呢?在整个教学关键处学生难以转过弯来,因而在教学中应 舍得花时间营造知识形成过程的氛围,突破学生学习的障碍。同时,形成繁难 的情境激起了学生的求知欲,迫使学生急于寻求解决问题的新方法,为后面的 教学埋下伏笔。 (二)师生互动,探究问题
1+ 2 + 22 + 23 + ?????? +263 在肯定他们的思路后,我接着问:

是什么数列?有何

特征? 1+ 2 + 22 + 23 + ?????? +263 应归结为什么数学问题呢?
S64 =1+ 2 + 22 + 23 + ??? + 263 【学情预设】:探讨 1:设

,记为(1)式,注

意观察每一项的特征,有何联系?(学生会发现,后一项都是前一项的 2 倍)
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探讨 2: 如果我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项, (1)式两边同乘以 2 则有 2S64 = 2 + 22 + 23 + ??? + 263 + 264 比较(1)(2)两式,你有什么发现? 【设计意图】:留出时间让学生充分地比较,等比数列前 n 项和的公式推 导关键是变“加”为“减”,在教师看来这是“天经地义”的,但在学生看来 却是“不可思议”的,因此教学中应着力在这儿做文章,从而抓住培养学生的 辩证思维能力的良好契机。经过比较、研究,学生发现:( 1)、(2)两式有 许多相同的项,把两式相减,相同的项就消去了,得到: S ? 264 ? 1。老师指 64 出:这就是错位相减法,并要求学生纵观全过程,反思:为什么(1)式两边要 同乘以 2 呢? 【设计意图】:经过繁难的计算之苦后,突然发现上述解法,不禁惊呼: 真是太简洁了!让学生在探索过程中,充分感受到成功的情感体验,从而增强 学习数学的兴趣和学好数学的信心。 (三)类比联想,解决问题 这时我再顺势引导学生将结论一般化,设等比数列 {an } ,首项为 a1 ,公比为
q ,如何求前 n 项和 Sn ?这里,让学生自主完成,并喊一名学生上黑板,然后

,记为(2)式。

对个别学生进行指导。 【设计意图】:在教师的指导下,让学生从特殊到一般,从已知到未知, 步步深入,让学生自己探究公式,从而体验到学习的愉快和成就感。 【学情预设】:在学生推导完成后,我再问:由 (1- q)sn = a1 - a1qn 得

a1 - a1q n sn = 对不对?这里的 q 能不能等于 1?等比数列中的公比能不能为 1? 1- q
q ? 1 时是什么数列?此时 Sn ? ?(这里引导学生对 q 进行分类讨论,得出公式,

同时为后面的例题教学打下基础。)再次追问:结合等比数列的通项公式

an ? a1qn?1 ,如何把 Sn 用 a1 、 an 、 q 表示出来?(引导学生得出公式的另一形式)
【设计意图】:通过反问精讲,一方面使学生加深对知识的认识,完善知 识结构,另一方面使学生由简单地模仿和接受,变为对知识的主动认识,从而 进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要,尽管时间有时比较
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少,甚至仅仅几句话,然而却有画龙点睛之妙用。 (四)讨论交流,延伸拓展 在此基础上,我提出:探究等比数列前 n 项和公式,还有其它方法吗?我 们知道,

sn = a1 +a1q+a1q2 + +a1qn-1

= a1 +q(a1 +a1q+

+a1qn-2 ) 那么我们能否利用这个关系而求出 Sn
= an =q an-1 , 能否联想到等比定理从而

a2 a3 a4 = = = 呢?根据等比数列的定义又有 a1 a2 a3

求出 Sn 呢? 【设计意图】:以疑导思,激发学生的探索欲望,营造一个让学生主动观 察、思考、讨论的氛围. 以上两种方法都可以化归到 Sn ? a1 ? qSn?1 , 这其实就是 关于 Sn 的一个递推式,递推数列有非常重要的研究价值,是研究性学习和课外 拓展的极佳资源,它源于课本,又高于课本,对学生的思维发展有促进作用 . (五)变式训练,深化认识 例 1:求等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ??? 前 8 项和;

2 4 8 16 63 变式 1、等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ??? 前多少项的和是 ; 64 2 4 8 16 变式 2、等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ??? 求第 5 项到第 10 项的和; 2 4 8 16 变式 3、等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ??? 求前 2n 项中所有偶数项的和。 2 4 8 16

首先,学生独立思考,自主解题,再请学生上台来幻灯演示他们的解答, 其它同学进行评价,然后师生共同进行总结。 【设计意图】:采用变式教学设计题组,深化学生对公式的认识和理解, 通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决,促 进学生新的数学认知结构的形成。通过以上形式,让全体学生都参与教学,以 此培养学生的参与意识和竞争意识。 (六)例题讲解,形成技能 例 2:求和 1+ a + a 2 + a3 +

+ a n-1

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【设计意图】:解题时,以学生分析为主,教师适时给予点拨,该题有意 培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想。 (七)总结归纳,加深理解 以问题的形式出现,引导学生回顾公式、推导方法,鼓励学生积极回 答,然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。 【设计意图】:以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力。 (八)故事结束,首尾呼应 最后我们回到故事中的问题,我们可以计算出国王奖赏的小麦约为 1.84×1019 粒,大约 7000 亿吨,用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道,大约是全世界一年粮食产量的 459 倍,显然国王兑 现不了他的承诺。 【设计意图】:把引入课题时的悬念给予释疑,有助于学生克服疲倦、继 续积极思维。 (九)课后作业,分层练习 必做:P66 练习 1:(1)、(2);2 选作:思考题 (1)求和 x+ 2x2 +3x3 +

+ nxn .

(2)“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几 盏灯?”这首中国古诗的答案是多少? 【设计意图】:出选作题的目的是注意分层教学和因材施教,让学有余力 的学生有思考的空间。

七、板书设计

等比数列前 n 项和
一、引入新课 二、公式的推导

sn =

a1 - a1q n 1- q

例 1: 例 2:

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八、教学反思:
对公式的教学, 要使学生掌握与理解公式的来龙去脉, 掌握公式的推导方法, 理解公式的成立条件,充分体现公式之间的联系。在教学中,我采用“问题―― 探究”的教学模式,把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规 律四个阶段。

九、教学设计说明
问题情境故事化。采用语音动画形式叙述故事来创设问题情景,意在营造 和谐、积极的学习气氛,激发学生的探究欲,让学生感受数学的应用价值,通 过问题的解决,在特殊方法之中蕴涵一般规律,使学生自己去体会其中的思想 方法,为进一步学习奠定基石。 问题情境与公式推导探究活动化。教学中本着以学生发展为本的理念,充 分给学生思考、分析时间、讨论研究和交流展示思维的机会,通过他们自主学 习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法,共享学习成果,体验数学学习成 功的喜悦。通过师生之间不断对话合作交流,发展学生的数学观察能力和语言 表达能力,培养学生思维的发散性和严谨性。通过教师的积极引导和启发,借 助于变式教学的模式,培养学生思维的发散性、深度与广度,加深学生对知识 的理解。 巩固练习结构、层次化。在理解公式的基础上,及时进行必要的思维训练练 习,强化对公式的理解和运用。通过例题的板书和分析,进一步强化了公式的 结构特征,促进学生主动建构,有助于学生形成知识模块,优化知识体系,加 强对数学思想方法的感悟。 板书设计人性化。必要的推理和演算过程板书在黑板上,有助于学生的阅 读和理解,即时在黑板上整理总结归纳知识,作到知识和思想方法的一目了然, 方便学生作笔记。 通过几种推导方法的研究,使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前 n 项和公式.错位相减:变加为减,等价转化;递推思想:纵横联系,揭示本质; 等比定理:回归定义,自然朴实.学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的 数学思想,培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性。同时通过精
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讲例题,发散一点变式教学,使学生既巩固了知识,又形成了技能.在此基础 上,通过民主和谐的课堂氛围,培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯, 也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。

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