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山东省临沂市重点中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理 新人教A版


高二数学(理科)质量调研试题
分钟.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页. 注意事项:

2013.11

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.测试时间 120

1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮 擦干净后,再选择其它答案标号.不能答在试题卷上. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.设集合 M ? ?x | ( x ? 3)( x ? 2) ? 0? , N ? ?x |1 ? x ? 3? ,则 M A. [1, 2) B. [1, 2]
0

N?

C. (2,3]

D. [2,3]

2.已知△ABC 中,∠A= 60 ,BC=3,AB= 6 ,则∠B= A. 450 B. 750 C. 1350 D. 450 或 1350 B. a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ,则 ac ? bd D.若 0 ? a ? b , c ? 0 ,则

3.下列命题不正确 的是 ... A.若 a ? b , c ? d ,则 a ? c ? b ? d C.若 a ? b , c ? 0 ,则 d ? ac ? d ? bc

c c ? a b

4.已知数列 ?an ? 为等比数列,且 a5 ? 4 , a9 ? 64 ,则 a7 ? A.±16 B.-16 C. 16 D.32

?2 x ? 3 y ? 8 ? 0 ? 5.已知实数 x、y 满足约束条件 ? 4 x ? y ? 4 ? 0 则 z = x-y 的最大值及最小值的和为 ? x ? y ? 1 ? 0, ?
A.﹣3 B.﹣2 C.1 D.2
2

6.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a2 , a4 是方程 x ? x ? 2 ? 0 的两个根,则 S5 = A.

5 2

B.5

C. ?

5 2

D.﹣5

7.在△ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边,如果 c ? 3a ,B= A.

? ,那么 C 等于 6

2? 3

B.

? 3

C.

? 6

D.

? 2

1

8.设 a>0,b>0, lg 2 是 lg 4a 与 lg 2b 的等差中项,则 A. 2 2 9.若数列 ?an ? 满足 知正项数列 ? A.400 B.3 C.4 D.9

2 1 ? 的最小值为 a b

1 1 ? ? d (n ? N * , d为常数) ,则称数列 ?an ? 为“调和数列”.已 an?1 an

?1? ,且 b1 ? b2 ? b3 ? ? 为“调和数列” ? bn ?
B.200 C.100

b9 ? 90 ,则 b4 ? b6 的最大值是

D.10

10.已知函数 f (? ) ? 4 2 sin(2? ?

?
4

) ? 2 ,在锐角三角形 ABC 中,A、B、C 的对边分别

为 a,b,c, f ( A) ? 6 ,且△ABC 的面积为 3,b+c=2+ 3 2 ,则 a 的值为 A.10 11.设 0 ? m ? A.2 B. 10 C.

? 4

D.

? 3

1 1 2 ? k 恒成立,则 k 的最大值为 ,若 ? 2 m 1 ? 2m
B. 10
2

C.8
2

D.10

12.已知 x,y 为正实数,且满足 2x ? 8 y ? xy ? 2 ,则 x ? 2 y 的最大值是 A.

2 2 3

B.

2 3

C.

4 2 3

D.

4 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 注意事项: 1.用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上,直接答在试题卷上无效. 2.答题前将答题纸密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:本大题共 4 个小题.每小题 4 分;共 16 分.
2

?y ? x ? 13.已知实数 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z =2x+y 的最小值为 ? y ? ?1 ?
14.在△ABC 中, B ?

.

?
3

,三边长 a,b,c 成等差数列,且 ac=6,则 b 的值是

.

15.如果数列 ?an ? 中的项构成新数列 ?an?1 ? kan ? 是公比为 l 的等比数列,则它构成的数 列 ?an?1 ? lan ? 是公比为 k 的等比数列 . 已知数列 ?an ? 满足: a1 ?

3 31 , a2 ? ,且 5 100
.

an ?1 ?

1 1 an ? ( ) n ?1 ,根据所给结论,数列 ?an ? 的通项公式 an ? 10 2
.

16.设函数 f ( x) ? ax ? x 2 ? 1 ,若对于任意的 x ?[?1,1] 都有 f ( x) ? 0 成立,则实数 a 的 值为

三、 解答题: 本大题共 6 个小题. 共 74 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三个角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 A, B, C 成等差数列, 且 a=2c=2. (1)求

sin A ? sin C 的值; a?c

(2)求函数 f ( x) ? 3sin( x ? B) ? cos( x ? B) 在 [0, 18. (本小题满分 12 分)

?
4

] 上的最大值.

已知数列 ?an ? 为等比数列,且 a2 ? 6 , 6a1 ? a3 ? 30 . (1)求 an ; (2) 设 bn ? o g l 的通项公式.
31

a o g l?

3 2

ao g l ?

? 3

若等比数列 ?an ? 的公比 q>2, 求数列 ?bn ? an ,

19.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c cos B 与 b cos C 的等差中项为

2a cos A .
(1)求 cosA 的值; (2)若△ABC 的面积是 15 ,求 AB ? AC 的值. 20.(本小题满分 12 分)
3

已知函数 f ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? a ? 1. (1)若 a=2,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若对于 a ? [?2, 2] , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围. 21.(本小题满分 13 分)

? x ? 2 y ? 2n ? x ? 0 ,( n ? N* )内的点,目标函数 z ? x ? y , z 的最 已知点 ( x, y ) 是区域 ? ? y?0 ?
大值记作 z n .若数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,a1 ? 1 , 且点 ( S n , an ) 在直线 z n ? x ? y 上. (1)证明:数列 {an ? 2} 为等比数列; (2)求数列 {Sn } 的前 n 项和 Tn . 22. (本小题满分 13 分) 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款,旨在帮助高校家庭经济困难的学生支付在 校学习期间所需的学费、 住宿费及生活费, 每一年度申请总额不超过 6000 元.某大学 2013 届毕业生王昌在本科上学期间共申请了 24000 元助学贷款,并承诺在毕业后 3 年内(按 36 个月计)全部还清.工作后,王昌计划前 12 个月每个月还款 500 元,第 13 个月开始, 每月还款比上一个月多 x 元. (1)用 x 和 n 表示王昌第 n 个月的还款额 an ; (2)当 x=40 时,王昌将在第几个月还清贷款?

高二数学(理科)试题参考答案 一、选择题: ABDCB AADCB 二、填空题:13.-3 三、解答题:
0 17.解: (1)∵A,B,C 成等差数列,∴ 2 B ? A ? C ,即 B ? 60 ,??????1 分

CD
15. an ?

14. 6

5 1 n ?1 1 [( ) ? ( ) n ?1 ] 2 2 10

16.0

由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ab cos B ? 3 ,???????????????3 分
2 2

∴△ABC 是直角三角形,且 A ? 90 , C ? 30 ,???????????????5 分
0 0

4



sin A ? sin C sin 900 ? sin 300 1 = = .??????????????????6 分 a?c 2 2 ?1

(2)函数 f ( x) ? 3sin( x ? B) ? cos( x ? B) = 2sin( x ? B ? ∵函数 f ( x) ? 2sin( x ?

?
6

) = 2 sin( x ?

?
6

) ,?8 分

?

) 在 [0, ] 上是增函数,????????????10 分 6 4

?

∴函数 f ( x) ? 3sin( x ? B) ? cos( x ? B) 的最大值为 f ( ) =

?

4

6? 2 .???12 分 2

18.解: (1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q,
5 ? ? a1 ? 3 ? a1 ? 2 ? a1 ? q ? 6 由题意 ? ,解得 或? ?????????????4 分 ? 2 ? q ? 2, ? q ? 3, ? ?6a1 ? a1q ? 30

∴ an ? 3? 2n?1 或 an ? 2 ? 3n?1 .?????????????????????6 分 (2)∵等比数列 ?an ? 的公比 q>2,∴ an ? 2 ? 3n?1 , 故 log3 an ? log3 (2 ? 3n?1 ) ? log3 2 ? (n ?1) ,???????????????8 分

bn ? n log3 2 ? [1 ? 2 ?
∴ bn ? n log 3 2 ?

? (n ?1)] = n log 3 2 ?

n( n ? 1) ,??????????11 分 2

n(n ? 1) .???????????????????????12 分 2

19.解: (1)∵ 2a cos A 是 c cos B 与 b cos C 的等差中项, ∴ 4a cos A ? c cos B ? b cos C ,?????????????????????2 分 由正弦定理得 4sin A cos A ? sin C cos B ? sin B cos C ,???????????4 分 即 4sin A cos A ? sin( B ? C ) ? sin A ,∴ cos A ? (2)∵ cos A ? 由面积公式得 S

1 .?????????????6 分 4

1 15 ,在△ABC 中,∴ sin A ? ,?????????????8 分 4 4
ABC

?

1 bc sin A ? 15 ,?????????????????10 分 2

∴bc=8,故 AB ? AC ? bc ? cos A ? 2 .???????????????????12 分
5

20.解: (1)若 a=2,不等式 f ( x) ? 0 化为 2 x ? 5 x ? 3 ? 0 ,????????1 分
2

∴不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? x | x ?

? ?

3 ? ,或x ? 1? .??????????????4 分 2 ?

(2)∵ ax2 ? (2a ? 1) x ? a ? 1 ? a( x ?1)2 ? ( x ?1) , 令 g (a) ? a( x ?1)2 ? ( x ?1) ,??????????????????????6 分 则 g (a ) 是关于 a 的一次函数,且一次项的系数为 ( x ? 1)2 ? 0 ,???????7 分 ∴当 x-1=0 时, f ( x) ? 0 不合题意;???????????????????8 分 当 x ? 1 时, g (a ) 为 [?2, 2] 上的增函数,?????????????????9 分 ∵ f ( x) ? 0 恒成立,所以只要使 g (a ) 的最大值 g (2) ? 0 即可,???????10 分 即 g (2) ? 2( x ?1)2 ? ( x ?1) ? 0 ,解得 1 ? x ?

3 ,?????????????11 分 2

综上,x 的取值范围是 (1, ) .???????????????????????12 分 21. 解:(1)由已知当直线过点 (2n, 0) 时,目标函数取得最大值,故 z n ? 2n .?2 分 ∴方程为 x ? y ? 2n , ∵( S n , an )在直线 z n ? x ? y 上, ∴ Sn ? an ? 2n ,① ∴ Sn?1 ? an?1 ? 2(n ?1), n ? 2 , ② ????????????????4 分 由①-②得, 2an ? an?1 ? 2, n ? 2 又∵ ∴ an?1 ? 2an ? 2, n ? 2 ,?????6 分

3 2

an ? 2 an ? 2 a ?2 1 ? ? n ? , n ? 2 , a1 ? 2 ? ?1, an?1 ? 2 2an ? 2 ? 2 2(an ? 2) 2

1 为公比的等比数列.??????????8 分 2 1 n ?1 1 n ?1 (2)由(1)得 an ? 2 ? ?( ) ,∴ an ? 2 ? ( ) , 2 2 1 n ?1 ∵ Sn ? an ? 2n , ∴ Sn ? 2n ? an ? 2n ? 2 ? ( ) .????????10 分 2 1 0 1 1 n ?1 ∴ Tn ? [0 ? ( ) ] ? [2 ? ( )] ? ??? ? [2n ? 2 ? ( ) ] 2 2 2 1 1 1 ? [0 ? 2 ? ??? ? (2n ? 2)] ? [( ) 0 ? ( ) ? ??? ? ( ) n ?1 ] 2 2 2
∴数列 {an ? 2} 以 ?1 为首项,
6

1 1 ? ( )n n(2n ? 2) 2 ? n2 ? n ? 2 ? ( 1 )n ?1 .?????????????13 分 ? =? 1 2 2 1? 2
22.解: (1)依题意,王昌前 12 个月每个月的还款额为 500 元, 则 an ? 500(1 ? n ? 12, n ? N* ) ,????????????????????2 分 第 13 个月开始,逐月的还款额构成一个首项为 500+x,公差为 x 的等差数列,则

an ? 500 ? x ? (n ?13) x ? 500 ? (n ?12) x , (13 ? n ? 36, n ? N* ) .
* ? ?500, (1 ? n ? 12, n ? N ), an ? ? * .?????????????6 分 所以 ? ?500 ? (n ? 12) x, (13 ? n ? 36, n ? N )

(2)设王昌第 n 个月还清贷款, ∵ 12 ? 500 ? 24000 ,∴ n ? 13 ,????????????????????7 分 则应有 12 ? 500 ? (500 ? 40) ? (n ? 12) ?
2

(n ? 12)(n ? 12 ? 1) ? 40 ? 24000 ,??10 分 2

整理得 n ? 2n ? 1068 ? 0 ,??????????????????????11 分 解之得 n ? ?1 ? 1069 ,或 n ? ?1 ? 1069 (舍去) 由于 31 ? ?1 ? 1069 ? 32 ,所以 n ? 32 ? 36 . 即王昌将在第 32 个月还清贷款.????????????????????13 分

7


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