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江苏省盐城中学2012-2013学年高二下学期开学反馈练习 数学试题


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江 苏 省 盐 城 中 学 2012-2013 学 年 高 二 下 学 期 开 学 反馈练习
一、填空题: 1.已知复数 z ? 3 ? 4i ,则 | z |? ▲ .
0

数学试题

2.已知向量 a, b 满足 | a |?

1,| b |? 3 , a, b 之间的夹角为 60 ,则 a ? (a ? b) = 3.若命题“ ?x ? R, x2 ? (a ?1) x ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的 取值范围是 ▲ .
输入 a,b 开始

? ?

?

?

? ?

? ? ?



.

4.在等差数列 {an } 中,已知 a 1 =1,前 5 项和 S5 =35, 则 a8 的 值是 ▲ .

a←a×b a>b
N 输出 a Y

5.工厂生产了某种产品 3000 件,它们来自甲、乙、丙三条生产线. 为检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样.若 从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为 a,b,c,且 a,b,c 构成等差数列,则乙生产线生产了 6.执行右图算法框图,若输入 a ? 20 , b ? 为 ▲ ▲ 件产品.

1 ,则输出的值 2

结束 第6题

. y2 7.双曲线 x2- =1 的渐近线被圆 x2+y2-6x-2y+1=0 所截得的 4 弦长为 ▲ . 8.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,则下列四个命题:

① ? // ? ? l ? m ;② ? ? ? ? l // m ;③ l // m ? ? ? ? ;④ l ? m ? ? // ? 其中正确命题的序号是
2



. ▲ .

9.已知函数 f(x)=mx +lnx-2x 在定义域内单调递增,则实数 m 的取值范围是 10.求值: sin 400 (tan100 ? 3) = ▲ .

11.已知函数 f ( x) ? ? 取值范围是 ▲

?log 2 ( x ? 1), x ? 0,
2 ?? x ? 2 x, x ? 0.

若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 3 个零点, 则实数 m 的

.

12.若对满足条件 x ? y ? 3 ? xy( x ? 0, y ? 0) 的任意 x, y ,( x ? y) 2 ? a( x ? y) ? 1 ? 0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 ▲ .

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13.已知椭圆

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x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F1 ,O 为坐标原点,点 P 在椭圆上,点 Q 在 a2 b2 ???? ???? ??? ? ???? ???? F1P F1O ? ? 椭圆的右准线上,若 PQ ? 2FO , F1Q ? ? ( ???? ? ???? )(? >0),则椭圆的离心率为 1 | 1P | 1O F| F|
▲ .

14.对于函数 f ?x ? , 若区间 M ? ?a, b??a ? b ? , 使得 y y ? f ?x?, x ? M ? M , 则称区间 M 为函数 f ?x ? 的一个“稳定区间” 下列 4 个函数:① f ?x ? ? e x ,② f ?x? ? x 3 , , ③ f ? x ? ? cos (填写序号) 四、解答题: 15. 已知 | x |? 2,| y | ? 2 ,点 P 的坐标为 ( x, y ). (1)求当 x, y ?R 时,P 满足 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的概率; (2)求当 x, y ? Z 时,P 满足 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的概率. 16.在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,向量 m ? ( 2 cos

?

?

?
2

x ,④ f ?x ? ? ln x ? 1 ;其中存在“稳定区间”的函数的有



.

C ,? sin C ) , 2

C ,2 sin C ) ,且 m ? n. 2 (1)求角 C 的大小; n ? (cos
2 2 2 (2)若 a ? 2b ? c ,求 tan A 的值.

17.据市场调查,某商场的一种商品在过去的一个月内(以 30 天计)销售价格 f (t ) (元) 与时间 t (天)的函数关系近似满足 f (t ) ? 100(1 ? ) ( k 为正常数) ,日销售量 g (t ) (件) 与时间 t (天)的函数关系近似满足 g (t ) ? 125? | t ? 25 | ,且第 25 天的销售金额为 13000 元. (1)试写出该商品的日销售金额 w(t ) 关于时间 t (1 ? t ? 30, t ? N ) 的函数关系式; (2)该商品的日销售金额 w(t ) 的最小值是多少?

k t

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18.如图,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左顶点,右焦点分别为 A, F ,右准线为 m . a 2 b2

圆 D: x 2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 . (1)若圆 D 过 A, F 两点,求椭圆 C 的方程; (2)若直线 m 上不存在点 Q,使 ?AFQ 为等腰三 角形,求椭圆离心率的取值范围; (3)在(1)的条件下,若直线 m 与 x 轴的交点为

y

K ,将直线 m 绕 K 顺时针旋转

? 得直线 l ,动点 P 4
A

D

在直线 l 上,过 P 作圆 D 的两条切线,切点分别为 M、N,求弦长 MN 的最小值.
F K

x

m

19.已知数列 {an } 中, a2 ? 1 ,前 n 项和为 Sn,且 Sn ? (1)求 a1 ;

n(an ? a1 ) . 2

(2)证明数列 {an } 为等差数列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ?

an?1 ,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1 , bp , bq 成等比数列? 3n

若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.

20. 已 知 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 f n ( x) ? x , n ? N , 其 导 函 数 记 为 f n ( x) , 且 满 足
n * '

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f ( x ) ? f 2 ( x1 ) , a, x1 , x2 为常数, x1 ? x2 . f 2?[ x1 ? a( x2 ? x1 )] ? 2 2 x2 ? x1
(1)试求 a 的值; (2)记函数 F ( x) ? b ? f1 ( x) ? ln f3 ( x) , x ? ? 0, e? ,若 F ( x) 的最小值为 6,求实数 b 的值; (3)对于(2)中的 b ,设函数 g ( x) ? ( ) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )是函数 g ( x)
x

b 3

图象上两点,若 g '( x0 ) ?

y2 ? y1 ,试判断 x0 , x1 , x2 的大小,并加以证明. x2 ? x1

数学试题(2013.02)
一、填空题: 1.已知复数 z ? 3 ? 4i ,则 | z |? ▲ .5
0

2.已知向量 a, b 满足 | a |? 1,| b |? 3 ,a, b 之间的夹角为 60 , a ? (a ? b) = 则 3.若命题“ ?x ? R, x ? (a ?1) x ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的
2

? ?

?

?

? ?

? ? ?


开始

.

5 2

取值范围是



. [-1.3]

输入 a,b

4.在等差数列 {an } 中,已知 a 1 =1,前 5 项和 S5 =35, 则 a8 的 值是 ▲ .22 5.工厂生产了某种产品 3000 件,它们来自甲、乙、丙三条生产线. 为检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样.若 从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为 a,b,c,且 a,b,c 构成等差数列,则乙生产线生产了 ▲ 件产品.1000 6.执行右图算法框图,若输入 a ? 20 , b ? 为 ▲ . a←a×b a>b
N 输出 a Y

1 ,则输出的值 2

结束 第5题

5 16

y2 7 双曲线 x2- =1 的渐近线被圆 x2+y2-6x-2y+1=0 所截得的 4 弦长为 ▲ .4 8.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,则下列四个命题: ① ? // ? ? l ? m ;② ? ? ? ? l // m ;③ l // m ? ? ? ? ;④ l ? m ? ? // ? 其中正确命题的序号是 ▲ .①③ 9.已知函数 f(x)=mx2+lnx-2x 在定义域内单调递增,则实数 m 的取值范围是
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.

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m? 1 2

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10.求值: sin 400 (tan100 ? 3) = 11..已知函数 f ( x) ? ? 取值范围是 ▲



. -1 若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 3 个零点, 则实数 m 的

?log 2 ( x ? 1), x ? 0,
2 ?? x ? 2 x, x ? 0.

. (0,1)

12.若对满足条件 x ? y ? 3 ? xy( x ? 0, y ? 0) 的任意 x, y ,( x ? y) 2 ? a( x ? y) ? 1 ? 0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 ▲ . (??,

37 ] 6

13.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F1 ,O 为坐标原点,点 P 在椭圆上,点 Q 在 a2 b2 ???? ???? ??? ? ???? ???? F1P F1O ? ? 椭圆的右准线上,若 PQ ? 2FO , F1Q ? ? ( ???? ? ???? )(? >0),则椭圆的离心率为 1 | F1P | 1O | F|
▲ .

5 ?1 2

14.对于函数 f ?x ? , 若区间 M ? ?a, b??a ? b ? , 使得 y y ? f ?x?, x ? M ? M , 则称区间 M
x 3 为函数 f ?x ? 的一个“稳定区间” 下列 4 个函数:① f ?x ? ? e ,② f ?x? ? x , ,

?

?

③ f ? x ? ? cos

?
2

x ,④ f ?x ? ? ln x ? 1 ;其中存在“稳定区间”的函数的有



②③

五、解答题: 15. 已知 | x |? 2,| y | ? 2 ,点 P 的坐标为 ( x, y ). (1)求当 x, y ?R 时,P 满足 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的概率;

?

16 6 (2)求当 x, y ? Z 时,P 满足 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的概率. 25
16.在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,向量 m ? ( 2 cos

C ,? sin C ) , 2

n ? (cos

C ,2 sin C ) ,且 m ? n. 2

(3)求角 C 的大小;

? 3

2 2 2 (2)若 a ? 2b ? c ,求 tan A 的值. ? 3 3

17.据市场调查,某商场的一种商品在过去的一个月内(以 30 天计)销售价格 f (t ) (元)

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k t

与时间 t (天)的函数关系近似满足 f (t ) ? 100(1 ? ) ( k 为正常数) ,日销售量 g (t ) (件) 与时间 t (天)的函数关系近似满足 g (t ) ? 125? | t ? 25 | ,且第 25 天的销售金额为 13000 元. (1)试写出该商品的日销售金额 w(t ) 关于时间 t (1 ? t ? 30, t ? N ) 的函数关系式; (2)该商品的日销售金额 w(t ) 的最小值是多少? 解: (1)由题意,得 f (25) ? g (25) ? 13000 ,即 100(1 ?

k ) ?125 ? 13000 ,解得 k ? 1 25

1 w(t ) ? f (t ) ? g (t ) ? 100(1 ? )(125? | t ? 25 |) t

100 ? ?100(t ? t ? 101) (1 ? t ? 25, t ? N ) ? =? ?100(149 ? 150 ? t ) (25 ? t ? 30, t ? N ) ? t ?
(2)①当 1 ? t ? 25 时,因为 t ? ②当 25 ? t ? 30 时,∵

100 ? 20 ,所以当 t ? 10 时, w(t ) 有最小值 12100 t

150 ? t 在 [25,30] 上递减,∴当 t ? 30 时, w(t ) 有最小值 12400 t

∵12100〈12400,∴当 t ? 10 时,该商品的日销售金额 w(t ) 取得最小值为 12100

18.如图,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 a 2 b2

y

左顶点,右焦点分别为 A, F ,右准线为 m .圆 D:

x2 ? y 2 ? x ? 3y ? 2 ? 0 .
(1)若圆 D 过 A, F 两点,求椭圆 C 的方程; (2)若直线 m 上不存在点 Q,使 ?AFQ 为等腰 三角形,求椭圆离心率的取值范围;
A

D

F

K

x

m

(3)在(1)的条件下,若直线 m 与 x 轴的交点为 K ,将直线 m 绕 K 顺时针旋转

? 得直线 4

l ,动点 P 在直线 l 上,过 P 作圆 D 的两条切线,切点分别为 M、N,求弦长 MN 的最小值.
18.解: (1)圆 x ? y ? x ? 3 y ? 2 ? 0 与 x 轴交点坐标为,
2 2

A(?2, 0) , F (0,1) ,故 a ? 2, c ? 1 ,

所以 b ? 3 ,

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椭圆方程是:

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x2 y 2 ? ?1 4 3

(2)设直线 m 与 x 轴的交点是 Q ,依题意 FQ ? FA ,



a c 1 a2 a2 ? c ? a ? c , ? a ? 2c , ? 1 ? 2 , ? 1 ? 2e , 2e2 ? e ? 1 ? 0 c a e c c

0?e?

1 2

(3)直线 l 的方程是 x ? y ? 4 ? 0 ,

圆 D 的圆心是 ( , ) ,半径是

1 3 2 2

3 2 , 2

设 MN 与 PD 相交于 H ,则 H 是 MN 的中点,且 PM⊥MD,

MN ? 2 NH ? 2 ?

MD ? MP MD ? PD2 ? MD2 MD2 ? 2? ? 2MD ? 1 ? PD PD PD2

当且仅当 PD 最小时, MN 有最小值,

PD 最小值即是点 D 到直线 l 的距离是 d ?

3 6 6 ,所以 MN 的最小值是 。 2 2
n(an ? a1 ) . 2

19. 已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn ?

(1)求 a1; (2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; a? (3)设 lg bn ? nn 1 ,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比数列?若 3 存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由. 1(a ? a ) 解:(1)令 n=1,则 a1=S1= 1 1 =0. 2 n(an ? a1 ) na (2)由 Sn ? ,即 Sn ? n , ① 2 2 (n ? 1an?1 ) 得 Sn?1 ? . ② 2 ) ②-①,得 (n ? 1an ?1 ? nan . ③ 于是, nan? 2 ? (n ? 1)an?1 . ④ ③+④,得 nan ? 2 ? nan ? 2nan ?1 ,即 an ? 2 ? an ? 2an ?1 . 又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. an=n-1. (3)假设存在正整数数组(p,q),使 b1,bp,bq 成等比数列,则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数 列, 2p q 2p 于是, p ? 1 ? q . 所以, q ? 3q ( p ? 1 ) (☆). 3 3 3 3 3 易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解.
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当 p≥3,且 p∈N*时, 于是

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2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p 2p ? p ? p ?1 <0,故数列{ p }(p≥3)为递减数列, p ?1 3 3 3 3

2p 1 2?3 1 ? ≤ 3 ? <0,所以此时方程(☆)无正整数解. 3 3 3p 3 综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使 b1,bp,bq 成等比数列. 注 在得到③式后,两边相除并利用累乘法,得通项公式并由此说明其为等差数列的, 亦相应评分.但在做除法过程中未对 n≥2 的情形予以说明的,扣 1 分.
n 20 . 已 知 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 f n ( x) ? x , n N , 其 导 函 数 记 为 f n' ( x) , 且 满 足 ? *

f ( x ) ? f 2( x 1 ) , a, x1 , x2 为常数, x1 ? x2 . f 2?[ x1 ? a( x 2 ? x 1 ? 2 2 )] x2 ? x1
(1)试求 a 的值; (2)记函数 F ( x) ? b ? f1 ( x) ? ln f3 ( x) , x ? ? 0, e? ,若 F ( x) 的最小值为 6,求实数 b 的值; (3)对于(2)中的 b ,设函数 g ( x) ? ( ) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )是函数 g ( x)
x

b 3

图象上两点,若 g '( x0 ) ?

y2 ? y1 ,试判断 x0 , x1 , x2 的大小,并加以证明. x2 ? x1
???1 分

20.解: (1) f 2 ( x) ? x2 , f 2' ( x) ? 2 x , 依题意, 2 ? [ x1 ? a( x2 ? x1 )] ?
2 1 x2 ? x12 ,得, a ? . 2 x2 ? x1

???4 分

(2) F ( x) ? bx ? 3ln x, F '( x) ? b ? ①若 b ?

3 , x ? (0, e] , x

???5 分

3 3 , F '( x) ? a ? ? 0 , F ( x) 在 (0, e] 上单调递减, x e 9 F ( x) 的最小值是 F (e) ,由 F (e) ? 6 得, b ? (舍去) ; e 3 b 3 3 ②若 b ? , F '( x) ? ( x ? ) ,令 F '( x) ? 0 得 x ? , e x b b 3 3 当 x ? (0, ) 时, F '( x) ? 0 , F ( x) 在 (0, ) 上单调递减; b b 3 3 当 x ? ( , e] 时, F '( x) ? 0 , F ( x) 在 ( , e] 上单调递增; b b 3 3 所以 F ( x) 的最小值是 F ( ) ,由 F ( ) ? 6 得, b ? 3e . b b
(3) g ( x) ? e ,结合图象猜测 x1 ? x0 ? x2 .
x

???7 分

???9 分

只 需 证 e1 ?e 0 ?e
x x

x2

, ∵ g '( x0 ) ? e

x0

?

y2 ? y1 e x2 ? e x1 , 故 只 需 证 ? x2 ? x1 x2 ? x1

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e x1 ? e x2 ? e x1 ? e x2 , x2 ? x1
x x x

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即证: e 1 ? e 1 ( x2 ? x1 ) ? e 2 ? 0 ,且 e 2 ? e 2 ( x2 ? x1 ) ? e 1 ? 0 ,
x x x x

???12 分

设 h( x) ? ex ? ex ( x2 ? x) ? e 2 , h '( x) ? ?ex ( x ? x2 ) ,当 x ? x2 时, h '( x) ? 0 , ∴ h( x ) 在

? ??, x2 ?

上 是 增 函 数 , ? x1 ? x2 , ∴ h( x1 ) ? h( x2 ) , 即

1 ex1 ? ex ( x2 ? x1 ) ? ex ?2 0 , ???15 分

?( x) ? ex ? ex ( x ? x1 ) ? ex ,则 ? '( x) ? ?ex ( x ? x1 ) ,当 x ? x1 时, ? '( x) ? 0 ,
1

∴ ? ( x) 在

? x1, ???

上 是 减 函 数 , ? x1 ? x2 , ∴

? ( x1 ) ? ? ( x2 ) , 即

2 ex2 ? ex ( x2 ? x1 ) ? ex ?1 0 .

综上所述, x1 ? x0 ? x2 .

第 9 页 共 9 页

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