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高中数学选修2-1圆锥曲线与方程单元测试


高中数学选修2 高中数学选修2-1圆锥曲线与方程单元测试
一、选择题 1、抛物线顶点是坐标原点,焦点是椭圆 x 2 + 4 y 2 = 1 的一个焦点,则此抛物线的焦点到准线的距 离是( ) (B) 3 (C)

(A) 2 3

3 2

(D)

3 4


2、直线 y = kx + 1( k ∈ R ) 与椭圆 (A)[1,5)∪(5,+∞) (C) [1,+∞ )

x2 y 2 + = 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是( 5 m
(B)(0,5) (D) (1,5)

3、已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 7 ,0),直线 y = x ? 1 与其相交于 M、N 两点, MN 中点的横坐标为 ?
2 2 (A) x ? y = 1 3 4 2 x y2 (C) ? =1 5 2

2 ,则此双曲线的方程是( 3
(B)



x2 y2 ? =1 4 3 x2 y2 (D) ? =1 2 5

4、 若双曲线

x2 y2 ? = 1 的一条准线与抛物线 y2=8x 的准线重合,则双曲线的离心率为( 8 b2
(B) 2 2 (C) 4 (D) 4 2



(A)

2

5、过定点 P(0,2)作直线 l,使 l 与曲线 y2=4(x-1)有且仅有 1 个公共点,这样的直线 l 共有( (A) 1 条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条



6. 已知 F1、F2 为双曲线

x2 y2 ? =1(a>0,b>0)的焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线,它与双曲 a2 b2


线的一个交点为 P,且∠PF1F2=30°,则双曲线的渐近线方程为( (A) y=±

2 x 2 3 x 3

(B) y=± 3 x

(C)

y=±

(D) y=± 2 x

7、已知 A、B、C 三点在曲线 y =

x 上,其横坐标依次为1 m,(1 < m < 4),当?ABC 的面积最 , 4

大时,m 的值为( (A) 3

) (B)

5 2

(C)

9 4

(D)

3 2

8、在椭圆 有( )

x2 y2 + = 1有一点P, F1, F2 是椭圆的左右焦点, ?F1 PF2 为直角三角形,则这样的点 P 45 20

(A) 2 个 9、已知双曲线

(B) 4 个

(C)6 个

( D) 8 个

x2 y2 x2 y2 ? 2 = 1和椭圆 2 + 2 = 1(a > 0, m > b > 0) 的离心率互为倒数,那么以 a2 b m b
) (C)钝角三角形 (D)锐或钝角三角形

a, b, m 为边长的三角形是(
(A)锐角三角形

(B)直角三角形

10、设点 P 为双曲线

x2 ? y 2 = 1 右支上除顶点外的任意一点, F,F2 为其两焦点,则 1 4
) (B)直线 x = 1 上 (D)直线 y = x 上

?F1 PF2的内心M 在(
(A)直线 x = 2 上 (C) 直线 y = 2 x 上 二.填空题 11、已知椭圆 a 2 x 2 ? 12、双曲线 y =

a 2 y = 1的焦距为 4,则a的值为 ____________ 2

1 的焦距为 ________. x
? x = 3 + 2 cos θ ? (0 ≤ θ ≤ 2π ) 恰有一个公共点, ? y = 1 + 4sin θ ?

13.对任意实数 K,直线: y = kx + b 与椭圆: ? 则 b 取值范围是_____________ 14、 F 是椭圆 设

x2 y2 + = 1 的右焦点, 且椭圆上至少有 21 个不同的点 P(i=1、 3、 ,P1 F , 2、 …) i 7 6
.

P2 F , P3 F ,…组成公差为 d 的等差数列,则实数 d 的取值范围是
三、解答题

15、已知椭圆 C 的焦点分别为 F1(-2 2 ,0)和 F2(2 2 ,0),长轴长为 6,设直线 y=x+2 交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。

16、如图,线段 AB 过 x 轴正半轴上一定点 M(m,0),端点 A、B 到 x 轴的距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,求该抛物线的方程。

17、.直线 l : y = kx + 1 与双曲线 C: 2 x 2 ? y 2 = 1 的右支交于不同的两点 A、B。 (Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ) 是否存在实数 k , 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在, 求出 k 的 值。若不存在,说明理由。

18、如图,P 为双曲线

x2 y 2 ? = 1 (a、b 为正常数)上任一点,过 P 点作直线分别与双曲线的 a 2 b2


两渐近线相交于 A、B 两点.若

(1)求证:A、B 两点的横坐标之积为常数; (2)求△AOB 的面积(其中 O 为原点).

19、设 x 、y∈R,i、j 为直角坐标平面内 x 、 y 轴正方向上的单位向量,向量 a=xi+(y+2)j,b =xi+(y-2)j ,且| a |+| b |=8. (1)求点 M (x,y)的轨迹 C 的方程; (2)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 OP = OA + OB ,是否存在这样的直线 l ,使 得四边形 OAPB 是矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由.

20、在△ABC 中,A 点的坐标为(0,3),BC 边的长为 2,且 BC 在 x 轴上的区间[-3,3]上 滑动.? (1)求△ABC 的外心 P 的轨迹方程;? (2)设直线 l:y= 值,并求此时 b 的值.

1 | EF | x+b 与 P 的轨迹交于 E、F 点,原点 O 到直线 l 的距离为 d,求 的最大 3 d

参考答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 A 5 C 6 D 7 C 8 D 9 B 10 A

二、填空题

11.

1? 5 4

12. 4

13. b=1或3

14. [ ?

1 1 , 0] ∪ (0, ] 10 10

三、解答题 15. .解 设椭圆 C 的方程为

x2 y2 + =1, a 2 b2

由题意知 a=3,c=2 2 ,于是 b=1。 ∴椭圆 C 的方程为

x2 + y 2 = 1。 9

?y = x + 2 ? 由 ?x2 2 ? + y =1 ?9

得 10x2+36x+27=0

因为该二次方程的判别式△>0,所以直线与椭圆有两个不同交点。 设 A(x1,y1),B(x2,y2) 则 x1+x2= -

18 , 5 9 1 , )。 5 5
① ②

故线段 AB 的中点坐标为(-

16. 解 设所求抛物线方程为 y2=2px(p>0)。

若 AB 不垂直于 x 轴,设直线 AB 的方程为:y=k(x-m)(k≠0), 由①,②消去 x,得 y2-

2p y-2pm=0 k



a2 b2 设 A、B 的坐标分别为 A( ,a),B( ,b)。 2p 2p
则 a,b 是方程③的两个根。 ∴ab= -2pm, 又|a|·|b|=2m,即 ab=-2m, ∴由-2pm= -2m(m>0)得 p=1,

则所求抛物线方程为 y2=2x。 若 AB 垂直于 x 轴,直线 AB 的方程为 x=m,A、B 两点关于 x 轴对称,
2 故 y A =2pm,2m=2pm,

又 m≠0,∴p=1, 则所求抛物线方程为 y2=2x。 综上,所求抛物线方程为 y2=2x。 17. 解:(Ⅰ)将直线 l 的方程 y = kx + 1 代入双曲线 C 的方程 2 x 2 ? y 2 = 1 后,整理得

(k 2 ? 2) x 2 + 2kx + 2 = 0 。…………①
? k2 ? 2 ≠ 0 ? 2 2 ? ? = (2k ) ? 8(k ? 2) > 0 ? 2k 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,则 ? ? 2 >0 k ?2 ? ? 2 >0 ? 2 k ?2 ?
解得 k 的取值范围为 ? 2 < k < ? 2 。 (Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) ,则由①得

2k ? ? x1 + x2 = 2 ? k 2 ? ? ? x ?x = 2 ? 1 2 k2 ? 2 ?



假设存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0),则由 FA⊥FB 得

( x1 ? c)( x2 ? c) + y1 y 2 = 0 。
既 ( x1 ? c)( x 2 ? c) + (kx1 + 1)(kx2 + 1) = 0 。 整理得 (k 2 + 1) x1 x 2 + ( k ? c)( x1 + x 2 ) + c 2 + 1 = 0 。…… ③ 把②式及 c =

6 代入③式化简得 5k 2 + 2 6k ? 6 = 0 。 2

解得 k = ?

6+ 6 6? 6 或k = ? ( ?2,? 2 ) (舍去)。 5 5

可知 k = ?

6+ 6 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点。 5

18. 解:(1)设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 )、P( x0 , y0 ). 因为

AP x + 2 x2 y + 2 y2 b ?b = 2 ,所以 1 = x0 , 1 = y0 .又 y1 = x1 , y 2 = x2 . PB 3 3 a a b b 所以 y1 + 2 y 2 = ( x1 ? 2 x2 ) .从而 y0 = ( x1 ? 2 x2 ) . a 3a
2 2 x0 y 0 又因为 P 点在双曲线上.所以 2 ? 2 = 1 , a b

( x1 + 2 x2 ) 2 ( x1 ? 2 x2 ) 2 9 ? = 1 ? x1 x2 = a 2 为常数. 2 2 9a 9a 8
(2)又∠ AOX = α ,则 tan α =

b , | OA |= x1 , | OB |= x 2 a cos α cos α

S?AOB =

1 1 x x | OA | ? | OB | ? sin 2α = ? 1 ? 2 ? sin 2α 2 2 cos α cos α
9 2 b 9 a ? = ab 8 a 8

= x1 x2 tan α =

19. 解:(1)∵a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j ,且| a |+| b |=8 = ∴点 M(x,y)到两个定点 F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和为 8 ∴轨迹 C 为以 F1,F2 为焦点的椭圆,方程为
x2 y2 + =1 12 16

(2) l 过 y 轴上的点(0,3),若直线 l 是 y 轴,则 A、B 两点是椭圆的顶点 ∴ OP = OA + OB = 0,∴P 与 O 重合,与四边形 OAPB 是矩形矛盾. ∴直线 l 的斜率存在,设 l 方程为 y=kx+3,A(x1,y1),B (x2,y2)

? y = kx + 3 ? 由 ? x2 得: (4 + 3k 2 ) x 2 + 18kx ? 21 = 0 y2 + =1 ? 12 16 ?
此时, ? = (18k ) 2 ? 4( 4 + 3k 2 )(?21) > 0 恒成立, 且 x1 + x2 = ?

18k 21 , 1x2 = ? x 2 4 + 3k 4 + 3k 2

∵ OP = OA + OB ,∴四边形 OAPB 是平行四边 若存在直线 l ,使得四边形 OAPB 是矩形,则 OA⊥OB,即 OA ? OB = 0

∴ OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 = 0 即 (1 + k 2 ) x1 x2 + 3k ( x1 + x2 ) + 9 = 0 解得: k = ±
5 4 5 x + 3 ,使得四边形 OAPB 是矩形. 4

?

(1 + k 2 )(?

21 18k )+9=0 ) + 3k (? 2 4 + 3k 4 + 3k 2

∴存在直线 l: y = ±

20. 解:(1)设 B,C 的坐标分别为 B(t,0),C(t-2,0)(-1≤t≤3), 则线段 BC 的中垂线方程为 x=t-1, ①

t 3 3 , ),AB 斜率为 (t≠0), 2 2 ?t 3 t t 所以线段 AB 的中垂线方程为 y- = (x- ) ② 2 3 2
AB 中点( 由①②得:x2=6y-8(-2≤x≤2 且 x≠-1) ③ 当 x=-1 时,t=0 时,三角形外心 P 为(-1, 所以 P 点的轨迹为 x2=6y-8(-2≤x≤2)

3 ),适合③; 2

1 ? ?y = x + b (2)由 ? 得 x2-2x-6b+8=0(-2≤x≤2) ④ 3 ?x 2 = 6 y ? 8 ?
x1x2=8-6b,x1+x2=2 所以|EF|= 1 + ( ) 2

1 3

( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 =

2 10 6b ? 7 3

| EF | | EF | 又因为 d= ,所以 = 10 d

2 10 6b ? 7 3 3|b| 10

=

20 ? 7 6 20 + = 9 b2 b 9

1 3 9 ? 7( ? ) 2 + b 7 7

因方程④有两个不相同的实数根,设 f(x)=x2-2x-6b+8

?? > 0 7 4 3 1 6 ? ? f ( 2) ≥ 0 ,∴ <b≤ , ≤ < . 3 4 b 7 ? f ( ?2) ≥ 0 6 ?


| EF | 1 3 5 = 时,( )max= . b 4 d 3

所以

| EF | 5 4 的最大值是 ,此时 b= . d 3 3


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