当前位置:首页 >> >>

高中数学解题方法谈:构造差函数 强化恒成立


构造差函数 强化恒成立

函数中常会碰到两个函数在某个区间(或整个定义域)内一个函数值恒大于或小于另一个函数值问题, 即对于区间 (a,b) 上的函数 f ( x ) , g ( x ) ,对于任意 x ∈ ( a,b) , f ( x ) ≥ g ( x ) 恒成立.现结合具体例题 为同学们介绍构造差函数的方法. 例 1 设函数 f ( x ) , g (

x ) 在区间 [ a,b] 上可导,且 f ′( x ) > g ′( x ) ,则当 a < x < b 时,有( A. f ( x ) > g ( x ) C. f ( x ) + g ( a ) > g ( x ) + f ( a ) B. f ( x ) < g ( x) D. f ( x ) + g (b) > g ( x) + f (b) ).

解析:因为函数 f ( x ) ,g ( x ) 在区间 [ a,b] 上可导,则函数 F ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) 在区间 [ a,b] 上可导, 且 由 于 f ′( x ) > g ′( x ) , 则 F ′( x) = f ′( x) ? g ′( x ) > 0 在 区 间 [ a,b] 上 恒 成 立 , 即 在 [ a,b] 上 函 数

F ( x) = f ( x) ? g ( x) 是 增 函 数 , 对 于 任 意 a < x < b 有 F (a ) < F ( x) ( 同 时 F ( x) < F (b) ) , 故 f (a ) ? g (a ) < f ( x) ? g ( x) ,所以 f ( x) + g (a ) > g ( x) + f (a ) ,选(C).
同理可得 f ( x ) + g (b) < g ( x ) + f (b) . 点评:本题并没有过多地考虑 f ( x ) , g ( x ) 在某具体点处的函数值的大小问题,而是从构造差函数入 手,研究新函数的单调性,利用差函数的导数,简捷得到相应的结论. 例 2 已知函数 f ( x ) = 象的下方. 解析:构造函数 F ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) ,即 F ( x ) =

1 2 2 x + ln x .求证:在区间 (1 + ∞) 上,函数 f ( x) 的图象在函数 g ( x) = x 3 图 , 2 3 1 2 2 (1?x)(1+x+2x2) x + ln x ? x3 ,则 F′(x) = . 2 3 x

因为 x ∈ (1 + ∞ ) ,所以 F ′( x) < 0 ,故函数 F ( x) 在区间 (1 + ∞) 上是减函数,注意到 F (1) = ? , ,

1 <0 , 6

所以在区间 (1 + ∞) 上 F ( x) < 0 恒成立( f ( x) < g ( x) 恒成立),故函数 f ( x) 的图象总在函数 g ( x) 图象的 , 下方. 请用上述思想,试解下列三道习题: 1.设 α,β 是锐角三角形的两个内角,求证 α + β > sin α ? cos β + 提示:可证 α ? sin α > ?

π . 2

?π ? ?π ? ? β ? ? sin ? ? β ? ,由 f ( x) = x ? sin x 的单调性(求导数),只需证 ?2 ? ?2 ?

α>

π π ? β ,即 α + β > 即可,这由题设三角形为锐角三角形易知. 2 2
第 1 页 共 2 页

2.当 x ∈ ? 0, ? 时,证明: sin x < x <tan x .

? ?

π? 2?

提示:利用导数, f ( x ) = x ? sin x ,则 f ′( x ) = 1 ? cos x , x ∈ ? 0, ? , f ′( x ) > 0 , f ( x ) 是增函数; 同理,构造函数 g ( x ) = tan x ? x , g ′( x) = 1 + tan x ? 1 ,由 g ′( x) > 0 得 g ( x) 是增函数;而 x = 0 时,
2

? ?

π? 2?

? π? f ( x) = g ( x) = 0 ,由单调性知 x ∈ ? 0, ? ,时, sin x < x < tan x . ? 2?
3. 已知函数 f ( x ) = x + 2 x + x ? 4 ,g ( x ) = ax + x ? 8 , 若对任意的 x ∈ [0, ∞) 都有 f ( x ) ≥ g ( x ) , +
3 2 2

求实数 a 的取值范围. 提 示 : 构 造 函 数 F ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) , 即 F ( x ) = x 3 + (2 ? a ) x 2 + 4 , 对 任 意 的 x ∈ [0, ∞) 都 有 +

f ( x) ≥ g ( x) , 则 F ( x) ≥ 0 在 [0, ∞) 上 恒 成 立 , 只 要 F ( x)min ≥ 0 在 [0, ∞) 上 恒 成 立 , + + F ′( x) = 3 x 2 + (4 ? 2a ) x .
由 F ′( x ) = 0 ,解得 x = 0 或 x =

2a ? 4 , 3

若 2 ? a ≥ 0 显然 F ′( x ) ≥ 0 , F ( x ) min = F (0) = 4 . 若 2 ? a < 0 , F ( x ) min 则2 < a ≤5 . 特别地,当 x = 0 时, F ( x ) = 4 也满足题意. 综上,实数 a 的取值范围是 (?∞, . 5]

? 2a ? 4 ? ? 2a ? 4 ? ? 2a ? 4 ? = F? ? ≥ 0 ,即 ? ? ? (a ? 2) ? ? + 4 ≥ 0 ,解得 a ≤ 5 , ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ?
3 2

第 2 页 共 2 页


相关文章:
高中数学必修一函数 解题方法
高中数学必修一函数 解题方法_数学_高中教育_教育专区...f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立,求 f...通分,分子有理化,配方,构造(抽象函数) ( 1, ? ...
高中数学恒成立问题的解题方法研究
高中数学恒成立问题的解题方法研究 云南师大附中 保敏 摘要: 通过多年的高中数学...下面我们来简单地谈一谈恒成立问 题的常见类型及其解题策略。 一、次函数型 ...
高中数学解题方法谈:函数奇偶性的判定方法
高中数学解题方法谈:函数奇偶性的判定方法_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学解题方法谈:函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法较多...
浅谈构造函数法在高中数学中的应用
高中数学中的应用 作者:黄紫敬 来源:《新校园· 上旬刊》2014 年第 07 期 摘要:构造函数法是指运用函数概念和性质,构造辅助函数解题的一种方法,它极具技 ...
高中理科数学解题方法篇(恒成立)
高中理科数学解题方法篇(恒成立)_高二数学_数学_高中...8(m ? 1) ? 0 三、利用函数的最值(或值域) ...构造以该参数为自变量的函数,利用函数图象求另一参数...
高中数学常见的恒成立问题的一般解法
高中数学中的恒成立 问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、 数形结合、 函数与方程等思想方法, 有利于考查学生的综合解题能力, 在...
高一上学期专题5 函数的恒成立问题
高一上学期专题5 函数恒成立问题_数学_高中教育_...函数与方程等思想方法,有利于考查学生的 综合解题...2 化归二次函数法 根据题目要求,构造二次函数。...
高中数学解题方法及解析大全
高中数学解题方法及解析大全_高三数学_数学_高中教育...再介绍高考中常用的数学思想: 函数与方程思想、数形...>0 a a +1 4a 2 2 恒成立,求 a 的取值范围...
高中数学恒成立问题总结
高中数学恒成立问题解题思路在不等式中, 有一类问题是求参数在什么范围内不等式...0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; 练 2:设函数 f ( x ) ? (1) 、...
高中数学思想方法专题
高中数学解题思想方法全... 78页 1下载券 高中数学...究数学问题中的等量关系, 建立或构造函数关系,再...不等式 x +mx+4>2m+4x 恒成立,求 x 的取值...
更多相关标签: