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等差数列和等比数列的解题技巧


数列的解题技巧
编稿:林景飞 审稿:张扬 责编:严春梅

【命题趋向】
从 2007 年高考题可见数列题命题有如下趋势: 1.等差 (比) 数列的基本知识是必考内容, 这类问题既有选择题、填空题, 也有解答题; 难度易、中、难三类皆有. 2.数列中 与 之间的互化关系也是高考的一个热点.

3.函数思想、方程思想、分类讨

论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到,解答试 题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意: 1.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前 n 项 和公式等. 2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量 、

(或 ),掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入” 来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面,如等比数列求和要注意 和 两种情况等等. 与 的转化;将一些数列

4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外.如 转化成等差(比)数列来解决等.复习时,要及时总结归纳.

5.深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本 章的关键. 6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳 法、数形结合法,养成良好的学习习惯,定能达到事半功倍的效果. 7.数列应用题将是命题的热点,这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.

【考点透视】
1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法, 并能根据递推公式写出数列的前几项. 2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解 答简单的问题. 3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解

决简单的问题. 4.数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的 地位.高考对本章的考查比较全面, 等差数列, 等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为 中等以上难度的试题,突出考查考生的思维能力,解决问题的能力,试题大多有较好的区分 度.有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识 综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题 是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重 考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等 基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数列模型,将现实 问题转化为数学问题来解决.

【例题解析】 考点一:正确理解和运用数列的概念与通项公式
理解数列的概念,正确应用数列的定义,能够根据数列的前几项写出数列的通项公式. 1.(2006 年广东卷)在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商店橱窗里用 同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一个球;第 2, 3,4,?堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然 垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球, 以 表示第 n 堆的乒乓球总数,则 ____________; ____________(答案

用 n 表示).

?? 思路启迪:从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是 1,3,6,10, ?,推测出第 n 层的 球数。 解答过程:显然 .

第 n 堆最低层(第一层)的乒乓球数, 总数相当于前 n 堆乒乓球的低层数之和,即

,第 n 堆的乒乓球数

所以:

2.(2007 年湖南卷理)将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图所示 的 0-1 三角数表.从上往下数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,?,第 次全行的数都为 1 的是第____________行;第 61 行中 1 的个数是 ____________. 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1

?? ????????????? 思路启迪:计算图形中相应 1 的数量的特征,然后寻找它们之间的规律。 解:第 1 次全行的数都为 1 的是第 第 2 次全行的数都为 1 的是第 第 3 次全行的数都为 1 的是第 ······, 第 次全行的数都为 1 的是第 第 61 行中 1 的个数是 2 =32.
5

=1 行, =3 行, =7 行,

行;

考点二:数列的递推关系式的理解与应用
在解答给出的递推关系式的数列问题时,要对其关系式进行适当的变形 ,转化为常见 的类型进行解题。 如叠加法:若 到数列 的通项. , , ,?, 且 ;我们可把各个关系式列出来进行叠加求和,可得



再看叠乘法:



,可把各个商列出来求积。

另外可以变形转化为等差数列与等比数列,利用等差数列与等比数列的性质解决问题。 3.(2007 年北京卷理)数列 ), 且 成公比不为 的等比数列. (I)求 的值;(II)求 思路启迪:(1)由 的通项公式. 成公比不为 的等比数列列方程求 ; 中, , ( 是常数,

(2)可根据递推公式写出数列的前几项,然后分析每一项与该项的序号之间的关系, 归纳概括出 公式. 解: (I) 因为 当 (II)当 时, 时,由于 , , , , , , , ,解得 . 或 . 与 n 之间的一般规律,从而作出猜想,写出满足前 4 项的该数列的一个通项

成等比数列,所以 ,不符合题意舍去,故

所以 又 当 所以 , ,故

. .

时,上式也成立, .

小结:从特殊的事例,通过分析、归纳、抽象总结出一般规律,再进行科学地证明,这 是创新意识的具体体现,这种探索问题的方法,在解数列的有关问题中经常用到,应引起足 够的重视.

4.数列 则 ( )

满足





?.若



(A)

(B) 3

(C) 4

(D) 5

思路启迪:对递推关系变形,运用叠加法求得,特别注意的是对两边同时运用. 解答过程 1: , .

相叠加得

.

, , 解答过程 2:

. , , .



得:



,因为 解答过程 3:

,所以

.



得:

从而



;?;

.

叠加得:

.



, 从而

.

小结: 数列递推关系是近几年高考数学的热点, 主要是一些能转化为等差等比数列的递 推关系式。 对连续两项递推 对连续三项递推的关系 ,则上递推关系式可化为 ,可转化为 ,如果方程 或 ; 有两个根 .

考点三:数列的通项

与前 n 项和

之间的关系与应用



的关系:

,数列前 n 项和

和通项

是数列中两个重

要的量,在运用它们的关系式 证 是否适合。 解决含 与

时,一定要注意条件 的式子问题时, 通常转化为只含 中,

,求通项时一定要验 或者转化为只 ,若数列 的式子.

5. (2006 年辽宁卷) 在等比数列 也是等比数列,则 (A) 等于( ) (B)

,前 项和为

(C)

(D)

命题目的:本题考查了等比数列的定义和求和公式,着重考查了运算能力。 过程指引:因数列 为等比,则 ,因数列 也是等比数列,则



,所以

,故选择答案 C.

6.已知在正项数列 思路启迪:转化为只含 解答过程 1:由已知 当 时, . 又 ∴数列 故

中, 或者只含

表示前 n 项和,且 的递推关系式. 时, ; ,即

,求

.

,得当 ,代入已知有 , ,故

. ,公差 的等差数列,

是首项为 .

解答过程 2:由已知

,得当 n=1 时,





时,因为 ,

,所以

.

,因为 所以 ,所以 .



考点四:数列中与 n 有关的等式的理解与应用
对数列中的含 n 的式子,注意可以把式子中的 n 换为 得到另外的式子。也可以把

n 取自然数中的具体的数 1,2,3?等,得到一些等式归纳证明. 7.(2006 年福建卷)已知数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ) 若数列 是等差数列; 思路启迪:本小题主要考查数列基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题能 的通项公式; 满足 ( ),证明: 满足 ( )

力。把递推关系式变形转化。 解答过程: (I)解:∵ 是以 ∴ (II)证法一:∵ ∴ ∴ 即 ① ② ②-①,得 ④ ③-④,得 故 是等差数列. , 即 ,即 ③ 即 ,∴ 为首项,2 为公比的等比数列。 ( ) ,

考点五:等差、等比数列的概念与性质的理解与应用
在等差、等比数列中,已知五个元素 或 , 中的任意三个,运用方程的思 和

想,便可求出其余两个,即“知三求二”。本着化多为少的原则,解题时需抓住首项 公差(或公比 )。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如 (1)等差数列 等比数列 (2)等差数列 数列,且公差 为 ; 等比数列 中 ( ) 的前 n 项和为 , 则 中,若 中,若 的前 n 项为 ,则 ,则 ,则 . ;

成等差

成等比数列,且公比 (3)在等差数列 (4)在等差数列

. 中,项数 n 成等差的项 中, ; 也成等差数列. .

在复习时,要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、 整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用. 8. (2006 年江西卷)已知等差数列 且 A、B、C 三点共线(该直线不过原点 O),则 A.100 B. 101 C.200 的前 n 项和为 =( ) D.201 ,若 ,

命题目的:考查向量性质、等差数列的性质与前 n 项和。 过程指引:依题意, ,故选 A

9.(2007 年安徽卷文、理) 某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为 a1,以后每 年交纳的数目均比上一年增加 一个公差为 , 因此, 历年所交纳的储备金数目 , ,? 是

的等差数列. 与此同时,国家给予优惠的计息政府,不仅采用固定利率,而

且计算复利. 这就是说,如果固定年利率 为 ( ),那么, 在第 年末,第一年所交纳的储备金就变为 ,??. 以 与 ( ,第二年所交

纳的储备金就变成 (Ⅰ)写出 (Ⅱ)求证

表示到第 年末所累计的储备金总额.

)的递推关系式; ,其中{ }是一个等比数列,{ }是一个等差数列.

命题目的:本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读 资料、提取信息、建立数字模型的能力,考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力. 解: (I)我们有 (II) ,对 反复使用上述关系式,得

=?= 在①式两端同乘 1+r,得



② ②-①,得







,则

,其中{

}是等比数列,且首项为

,公比为



是等差数列,且首项为

,公比为

.

点评:解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在 后面求解的过程中适时应用.

考点六:等差、等比数列前 n 项和的理解与应用
等差、 等比数列的前 n 项和公式要深刻理解。 等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次

函数;等比数列的前 n 项和公式 是关于 n 的指数函数,当 10.(2007 年广东卷理)已知数列 ,则 k=() A.9 B.8 C.7 时, 的前 n 项和

( .

),因此可以改写为

,第 k 项满足

D.6

思路启迪:本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识,考查逻辑思维能力、分析 问题和解决问题的能力. 解:此数列为等差数列, ,由 5<2k-10<8 得到 k=8.

11.(2007 年湖北卷文)已知数列 足: 且 是以 q 为公比的等比数列. (Ⅰ)证明: (Ⅱ)若 ; 证明数列





是等比数列;

(Ⅲ)求和:

.

命题目的: 本小题主要考查等比数列的定义, 通项公式和求和公式等基本知识及基本的 运算技能,考查分析问题能力和推理能力. 解法 1:

(I)证:由 (II) 证:

,有 ,

, ,

. , .



是首项为 5,以

为公比的等比数列.

(III)由(II)得



,于是



当 当

时, 时,





故 解法 2: (I)同解法 1(I).

(II) 证: 是首项为 5,以 (III)由(II)的类似方法得 为公比的等比数列.

, 又











.下同解法 1.

考点七:数列与函数的迭代问题
由函数迭代的数列问题是近几年高考综合解答题的热点题目, 此类问题将函数与数列知 识综合起来, 考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用, 涉及的知识点由函 数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等,另外函数迭代又有极为深刻的理论背景 和实际背景,它与当前国际数学主流之一的动力系统(拓扑动力系统、微分动力系统)密切 相关,数学家们极为推崇,函数迭代一直出现在各类数学竞赛试题中,近几年又频频出现在 高考数学试题中.

12.(2006 年山东卷)已知数列 上,

中,

,点

在直线 y=x

其中 n=1,2,3?. (Ⅰ)令 ,求证 是等比数列;

(Ⅱ)求数列 (III)设 、

的通项; 分别为数列 、 的前 n 项和,是否存在实数 ,使得数列

为等差数列?若存在,试求出 思路启迪:利用等比的定义证明 求出 与 便可顺利求出第三问.

.若不存在,则说明理由. 可由已知用叠加法求出求。

是等比数列;对

解答过程:

(I)由已知得





是以

为首项,以

为公比的等比数列.

(II)由(I)知,



,?,

将以上各式相加得:

(III)解法一:

存在

,使数列

是等差数列.

数列

是等差数列的充要条件是



、 是常数





.

当且仅当

,即

时,数列

为等差数列.

解法二:存在

,使数列

是等差数列.

由(I)、(II)知, ∴



.

.



.



.

当且仅当

时,数列

是等差数列.

13(2007 年陕西卷理) 已知各项全不为零的数列

的前 k 项和为



且 (Ⅰ)求数列 的通项公式;



),其中

(II) 对任意给定的正整数 . 求 .

, 数列

满足

思路启迪:注意利用 解:

解决问题.

(Ⅰ)当

,由



,得



当 因为

时,由 ,所以 , .从而 .故

,得





(Ⅱ)因为

,所以



所以



考点八:数列综合应用与创新问题
数列与其它数学知识的综合性问题是高考的热点, 全面考察数学知识的掌握和运用的情 况,以及分析问题解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性等,涉及的数学思想方 法又从一般到特殊和从特殊到一般的思想、函数与方程的思想、探索性思想等。 14. (2006 年湖南卷) 在 ( 时 ) 个不同数的排列 与 中, 若

(即前面某数大于后面某数),则称

构成一个逆序. 一个排列的全部逆序 的逆序数为 ,如排列 21 的逆

的总数称为该排列的逆序数. 记排列 序数 则 ,排列 321 的逆序数 =____________, .

=____________,

的表达式为____________;

命题目的:考查排列、数列知识.

过程导引:由已知得





.

15.设

是定义在

上的单调可导函数.已知对于任意正数 ,

都有 (Ⅰ)求 ,并求 的值;

,且

.

(Ⅱ)令 (Ⅲ)设 数列 求证: 是曲线

,证明数列 在点 ,

是等差数列; 处的切线的斜率( ),

的前 项和为 .

思路启迪:根据已知条件求出函数

的关系式,求出

的递推关系式然后可求解题

中要求. 解答过程:

(Ⅰ)取





再取

,则

,即

, ∵ 是定义在 上的单调函数



,解得

,或

(舍去).

(Ⅱ)设

,则



再令 ∵

,则 是定义在 上的单调函数

,即



,即

,解得:







,则







,所以

是等差数列.

(3)由(2)得



,则

所以



又当

时,



则 故 .



16. (2007 年广东卷理)已知函数 个根 ,



是方程

的两

是 (1)求

的导数;设 的值;



(n=1,2,??)

(2)证明:对任意的正整数 n,都有



(3)记

(n=1,2,??),求数列{

}的前 n 项和



思路启迪:(1)注意应用根与系数关系求 (2)注意先求 (3)注意利用 解: (1)∵ , 是方程 ; 的关系.

的值;

的两个根









(2)



,∵



∴由基本不等式可知

(当且仅当

时取等号),∴

同样

,?,

(n=1,2,??).

(3)





,即





同理









.


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