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数列问题


单元 数列的 概念与 简单表 示 ▲1.数列的概念与简单表示 ①数列的定义 ②数列几种简单表示

知识条目

考试要求

b a b b c b a c c b c b c b a c c c b d

③数列的递推公式及由递推公式求数列的前几项 ▲1.等差数列

等差数 列

①等差数列的概念 ②等差数列的通项公式 ③等差中项 ④等差数列与一次函数的关系 ▲1.等差数列的前 n 项和

等差数 列的前 n 项的和

①等差数列前 n 项和的公式 ②等差数列的基本量运算 ③Sn 与 an 的关系 ④等差数列前 n 项和公式的实际应用 ▲1.等比数列

等比数 列

①等比数列的概念 ②等比数列的通项公式 ③等比中项 ④等比数列与指数函数的关系

等比数 列的前 n 项的和 数列的 综合应 用

▲1.等比数列前 n 项的和 ①等比数列前 n 项和的公式 ②等比数列的基本量运算 ③等比数列前 n 项和公式的实际应用 ▲数列的综合应用 ①一些特殊数列的求和 ②数列的综合应用

(二)等差数列
1.等差数列的定义: a ( n ? 2) ; a d(d为常数) n? n ? 1? 2.等差数列通项公式:
* aand ? ? ( ?? 1 ) d n ? a ?? d ( n N ) , 首项: a 1 ,公差:d,末项: a n 1 1 a ? am 推广: a . 从而 d ? n ; a ? ( n ? m ) d n? m n?m

n

3.等差中项
A? (1) 如果 a , 那么 A叫做 a 与 b的等差中项. 即: b成等差数列, A,

(2)等差中项:数列 ?a n ? 是等差数列 ? 2 a ? a ? a ( n ? 2 ) ? 2 a ? a ? a n n 1 n ? 1 n ? 1 n n ? 2 4.等差数列的前 n 项和公式:

a?b 或2 A ? a ? b 2

Sn ?

n(a1 ? an ) d 2 1 n(n?1 ) ?(a )n ? A n2 ?B n ? na d? n 1? d 1? 2 2 2 2

(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数 2 n ? 1 时, a n ? 1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项

21 n ? aa ? ? ? ? ? 1 21 n ? S ? ? 21 n ? a (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数 ? ? 21 n ? n ? 1 2

乘以中间项) 5.等差数列的判定方法

a d或 a a d(常数 n?N ) ? ?a n ? 是等差数列. (1) 定义法:若 a n? n ? 1? n ? 1? n?
?

2 a ? a ? a ( n ? 2 ) ? 2 a ? a ? a (2) 等差中项:数列 ?a n ? 是等差数列 ? . n n 1 n ? 1 n ? 1 n n ? 2
a ?b(其中 k , b 是常数)。 (3) 数列 ?a n ? 是等差数列 ? n ?kn
2

(4) 数列 ?a n ? 是等差数列 ? S n ?B n,(其中A、B是常数)。 n ?A 6.等差数列的证明方法 定义法:若 a a d或 a a d(常数 n?N ) ? ?a n ? 是等差数列. n? n ? 1? n ? 1? n?
?

7.等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 aa 是关于 n 的一次函 ? ? ( n ? 1 ) d ?? d n ad ? n 1 1 数,且斜率为公差 d ;前 n 和 S ? n a ? n 1

n ( n ? 1 ) d d 2 是关于 n 的二次 d ?n ? ( a ? ) n 1 2 2 2

函数且常数项为 0. (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 , 则为常数列。 ? a a a ( 3 ) 当 mn 时,则有 a ?n ?2p 时 , 则 有 ?? p ? q m n? p? q, 特 别 地 , 当 m

a ap . m ?a n ?2

a ? b , a ? b (4)若 ? a n ? 、 ? b n ? 为等差数列,则 ? 都为等差数列 ? ? ? n 1 n 2 n
,2 ? SS ,3 ? S (5)若{ a n }是等差数列,则 SS n n n n 2 n ,?也成等差数列

?

? ?

(6) 数列 { a n } 为等差数列,每隔 k(k ? N 列

*

)项取出一项( aa )仍为等差数 ,m , a a ? ? ? m ? k mk ? 2, mk ? 3,

(7)设数列 ?a n ? 是等差数列,d 为公差, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是 前 n 项的和 1.当项数为偶数 2n 时,

n a ? a ? ? n ? 1 S ? a ? a ? a ? ? ? ? ? a ?1 2 ? n a 1 3 5 2 n ? 1 n 奇 2 n a ? a ? ? 2 2 n S ? a ? a ? a ? ? ? ? ?? a ? n a 2 4 6 2 n n ? 1 偶 2 S ? Sn ? an ? a ? n aa ? = n d ? ? n ? 1 n n ? 1 n 偶 奇

S奇 nan a ? ? n S偶 nan?1 an?1
2、当项数为奇数 2n?1时,则

? S ??? S S( 21 n ? ) a S ? ( n ? 1 ) a ? n ? 1 ? 2 n ? 1 n + 1 ? n + 1 S 奇偶 奇 奇 ? ? ? ? ? S ?? Sa S ? n a S n + 1 n + 1 ? 奇偶 偶 ? 偶 n ? ?
(其中 a n + 1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项) .

? ? n (8) 等差数列 { a n } 的前 n 项和 S m ? n , 前 m 项和 S n ? m , 则前 m+n 项和 S ?m ? mn ? ?
(9)求 S n 的最值 法一:因等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要 注意数列的特殊性 n ? N 。 法二: (1) “首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和
*

即当 a 由? 0 , d?0 , 1?

?a n ? 0 可得 S n 达到最大值时的 n 值. ? a n ?1 ? 0 ?an ? 0 可得 S n 达到最小值时的 n 值. ? a n ?1 ? 0

(2) “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当a 由? 0 , d?0 , 1? 或求 ?a n ? 中正负分界项

法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数, 故n取离二次函数对称轴最近的整数时, S n 取最大值(或最小值) 。若S p = S q则其对称轴 为n ?

p?q 2

(三)等比数列

1. 等比数列的定义:

a * n ? q q ? 0 n ? 2 , 且 n ? N ? ? ? ?, q 称为公比 a n ? 1

2. 通项公式:
n ? 1 a n 1n , a ? a q ? q ? A ? B a ? q ? 0 , A ? B ? 0 ? ? n 1 1 q

首项: a 1 ;公比: q

推广: a q n ?a m 3. 等比中项

n?m



从而得 q

n?m

?

an 或q ? am
2

n?m

an am

(1) 如果 a , A , b 成等比数列, 那么 A叫做 a 与 b的等差中项. 即: A ? ab 或 A ? ? ab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项 互为相反数) (2)数列 ?a n ? 是等比数列 ? a a n ? n ? 1?a n ? 1
2

4. 等比数列的前 n 项和 S n 公式: (1) 当 q ? 1 时, S n ? na1
n a 1 ? q ? ?a aq 1? 1? n (2) 当q?时 1 ,S n? 1 ? q 1 ? q

5. 等比数列的判定方法
n ? 1 (1) 用定义: 对任意的 n,都有 a ? { a n } 为等比数 ? q a 或 ? q ( q 为 常 数 , a ? 0 ) n ? 1 n n

a a n



a (2)等比中项: a n ?a n? 1 n? 1( a n ? 1 a n ? 1 ? 0) ? { a n } 为等比数列
2

? A ? BA ? 0 (3)通项公式: a ? ?B ?? { a n } 为等比数列 n
n

? A ? A ? B 或 S ? A ' B ? A ', A B , A ' , B ' 为 常 数 (4)前 n 项和公式: S ? {a n} 为 n n
n n

?

?

等比数列 6. 等比数列的证明方法 依据定义:若

a * n ? q q ? 0 n ? 2 , 且 n ? N ? ? ? ?或 an?1 ? qan ? { a n } 为等比数列 a n ? 1

7. 等比数列的性质 (1) 当q?时 1

? a q ?1 q?? A BA ? 0 ①等比数列通项公式 a 是关于 n 的带有系数的类指数 ? ?B ? n 1
n ? 1 n

an q

函数,底数为公比 q

n n a 1 ? q ? ? a ? a q a a 1 n n 1 1 1 1 n ②前 n 项和 S , 系数和 ? ? ? q ? A ? A ? B ? A ' B ? A ' n 1 ? q 1 ? q 1 ? q 1 ? q

常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比 q

(2) 对任何 m,n ? N * ,在等比数列 { a n } 中,有 a qn?m,特别的,当 m=1 时,便得到 n ?a m 等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t ? N
*

), 则 a a n ?a m? s ?a t . 特别的 , 当 n+m=2k 时 , 得

an ?am ?ak2
注: a ? a ?? a ? a a ? ? ? 1 n 2a n ? 1 3 n ? 2 (4) 列 { a n } , { b n } 为等比数列, 则数列 { 常数) 均为等比数列. (5) 数列 { a n } 为等比数列,每隔 k(k ? N * )项取出一项( aa )仍为 ,m , a a ? ? ? m ? k mk ? 2, mk ? 3, 等比数列 (6) 如果 { a n } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a a n } 是等差数列 (7) 若 { a n } 为等比数列,则数列 S n , S 2 n ? S n , S3n ?S2n,??? ,成等比数列
k a
n

} , { k ? a n } , { a n k } , {k ? an ? bn} {

an } (k 为非零 bn

?a ? ? ? ? ?a ? a ? ? ? ? ? ? a (8) 若 { a n } 为等比数列 , 则数列 a 1 ?a 2 ?????a n, a n ? 1 n ? 2 2 n, a 2 n ? 1 2 n ? 2 3 n
成等比数列 (9) ①当 q ? 1 时,
a 0 , 则 { a 为 递 增 数 列 1? n} { , a ? 0 , 则 { a 为 递 减 数 列 1 n}

②当 0< q ? 1 时,
a ? 0 , 则 { a 为 递 减 数 列 1 n} { a ? 0 , 则 { a } 为 递 增 数 列 1 n

③当 q=1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当 q<0 时,该数列为摆动数列. (10) 在等比数列 { a n } 中, 当项数为 2n (n ? N * )时,
S奇 1 ? ,. S偶 q

n S q ?S (11) 若 { a n } 是公比为 q 的等比数列,则 S n ? m? n? m

一些常用方法 1、等差数列、等比数列的最大项、最小项;前 n 项和的最大值、最小值 2、求通向公式的常见方法 (1)观察法;待定系数法(已知是等差数列或等比数列) ;

(2) a a n ) ,累加消元; n? n ? 1?f(

an ? f ( n ), 累乘消元。 a n ?1

(3)

a 1 1 n ; ? a , ( 倒 数 构 造 等 差 :? ? ? k ) n ? 1 a ? k a n n a n ? 1

11 ; aa ? ? a a , ( 两 边 同 除 构 造 等 差 :? ? 1 ) n n ? 1 n n ? 1 aa n n ? 1
(4) a 构造等比 a b ,化为 ( a ? x ) ? k ( a ? x ) n ?k n ? 1? n n ? 1

a ? q a ? p n ? r ( , 构 造 等 比 数 列 : a ? x n ? y ? q a ? x n ? 1 ? y ) ? ? ? ? n n ? 1 n n ? 1
n a q a n? n ? 1 ?p ,化为

an q an ?1 q ? ? 1 ,分 是否等 1 讨论。 n n ?1 p p p p

3、求前 n 项和的常见方法 公式法、倒序相加、错位相减、列项相消、分组求和

一、选择题 1、一个三角形的三个内角 A、B、C 成等差数列,那么 ta n?A?C ?的值是(



A. 3

B.?3

C. ?

3 3

D.不确定 )

2、等差数列 { a n } 的公差为 2,若 a 1 , a 3 , a 4 成等比数列,则 a 2 等于(

A

?4

B ?6

C

?8

D

?10

3、等比数列{an}的前 3 项的和等于首项的 3 倍,则该等比数列的公比(



A.-2

B.1

C.-2 或 1

D.2 或-1 ) .

4、等差数列 {a n } 中,已知前 15 项的和 S ,则 a 8 等于( 15 ? 90

A.

45 2

B.12

C.

45 4

D.6

5、等比数列 ? a n ? 中, a n ? 0 ,a5a6=9,则 l ( ) o g a ? l o g a ? l o g a ? ? ? ? ? l o g a ? 3 1 3 2 3 3 3 1 0
A.12 B.10 C.8 D. 2 ? log3 5

6、等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn , 若 S4=1,S8=4,则 a13+a14+a15+a16=(

) .

A.7

B.16
1 n ? n?1
C
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C.27
,则该数列的前( D

D.64
)项之和等于 9
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7、数列 ?a n ? 的通项公式 a n ? A
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B

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8、在等比数列{an}中,a5a7=6,a2+a10=5,则

a 18 等于( ) a 10
C. ,T

2 3 A. ? 或 ? 3 2

B.

2 3

3 2
n

D. ,若

3 2 或 3 2
n n

9、等差数列 { a n } , { b n } 的前 n 项和分别为 S

n

Sn a 2n ? ,则 Tn 3n ? 1 b
D
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=(



A

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2 3

B

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2n ?1 3n ? 1

C

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2n ? 1 3n ? 1

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2n ?1 3n ? 4
n ? 1

? 1 ? 5 ? 9 ? 13 ? 17 ? 21 ? ? ? ( ? 1 ) ( 4 n ? 3 ) 10、已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S , n
? S ? S 则S 的值是( 15 22 31
) D. 13

A. -76 B. 76 C. 46 二、填空题 8 15 24 1、数列 ?1 的一个通项公式是 , ,? , ,? 5 7 9

1 1 1 1 2、数列 1 的前 n 项和是 ? ,2 ? ,3 ?, … ,n ?n , … 2 4 8 2

3、在数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 ,且对于任意自然数 n,都有 a n? 1 ?a n ?n,则 a 1 0 0 =

4、已知 a1 ? 3 , an?1 ?
2

3 n?1 an (n ?1) , a n =_____________ 3 n?2
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5、已知数列的 S ,则 a =_____________ ? a ? a ? a ? a n? n ? 1 8 9 10 11 12 n? 6、等差数列{an}中,| a 3 | ?| a 9 | , 公差 d ? 0 , 那么使前 n 项和 S 三、解答题 1、已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 Sn ?3?2 ,求 a n
n
n

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最大的 n 值为__________

2、已知数列 ? a n ? 满足 a 1 ?

1 , 2

,求数列 ? a n ? 的通项公式。 a a ? 2 a ? a n n ? 1 n n ? 1

? 2 a ? a 0 3、数列 ?a n ? 中, a 1 ? 8 , a 4 ? 2 ,且满足 a n ? 2 n ? 1 n?
(1)求数列 ?a n ? 的通项公式;

? | a | ? | a | ? ? | a | (2)设 S ,求 S n 1 2 n

n



4、已知 { a n } 是等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a 11 ,S 153 , 3? 9? (1)求数列 { a n } 的通项公式 (2)设 a log n? 2b n,证明 { b n } 是等比数列,并求其前 n 项和 Tn

5、已知数列 { ⑴ 求数列 { 式.

. ? a a 1 2 a n } 是等差数列,且 a 1 ? 2 , a 1 2? 3?

n 3 a n } 的通项公式; ⑵ 令 bn ? an ? ( n ? N * ) ,求数列 { b n } 的前 n 项和的公

会考真题 1.(2014 年 1 月)在数列{ an }中,a1=1,an+1=3an(n∈ N*),则 a4 等于 ( ) A.9 B.10 C.27 D.81 2.(2014 年 1 月)设数列{ an },{ an 2} (n∈ N*)都是等差数列,若 a1=2,则 a22+ a33+ a44+ a55 等于( ) A.60 B.62 C.63 D.66
n ? 1 3.(2013 年)若等比数列 { a n } 的通项公式为 a , n?N* ,则其公比 q ?( ?2 n ?3



(A)-2

(B)2

(C) 3

(D) 6

4.(2013 年)已知数列 { a n } 是等差数列,且 a [0 , 1 ], a [ 1 ,2 ], a3 ? [2 ,3 ],则 a 4 的取 1? 2? 值范围为( (A) [ 3 , 4 ] ) (B) [ ,

8 13 ] 3 3

(C) [

5 9 , ] 2 2

(D) [ 2 , 5 ]

5.(2013 年,解答题) 在等差数列{ a n }中, a1 ? 3 , a4 ? 9 . (Ⅰ)求数列{ a n }的通项公式; (Ⅱ)若数列{ a n }的前 n 项和 Sn ? 80,求 n 的值.

6.(2012 年)等比数列{an}中,a3=16,a4=8,则 a1=( (A)64 (B)32 (C)4

) (D)2

7.(2012 年)若{an}无穷等比数列,则下列数列可能不是 等比数列的是( .... (A){a2n} (B){a2n?1} (C){an?an+1} (D){an+an+1}



8.(2012 年)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=?2,S4=10,则公差 d=



?k, Sk?1 ?k, 9.(2012 年,选做)在数列{an}中,设 S0=0,Sn=a1+a2+a3+?+an,其中 ak ?? 1 ??k,Sk?1 ?k, ≤k≤n,k,n∈N*, 当 n≤14 时,使 Sn=0 的 n 的最大值为 .

10.(2011 年)在等比数列{an}中,a1=2,a2=4,则 a5=( ) (A)8 (B)16 (C)?? (D)64 11.(2011 年)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a11?a8=3,S11?S8=3,则使 an>0 的最小 正整数 n 的值是( (A)8 ) (B)9 (C)10 (D)11

12.(2010 年)已知数列{an}满足 a1=a2=1, (A)0 (B)18

an?2 an?1 ? ?1,则 a6?a5 的值为( an?1 an



(C)96

(D)600

13.(2010 年,解答题) 已知等差数列{an}满足 a4=5,a7=11. (1)求数列{an}的通项; (2)若将{an}的前 21 项中去掉某一项后,剩余 20 项的平均值为 19,试问去掉的是该 数列的第几项?


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