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空间向量与垂直关系二十二


空间向量与空间角 2014 年新田一中选修 2-1 课后作业(二十二)
班级___________ 姓名___________学号___________

1.设直线 l 与平面 α 相交,且 l 的方向向量为 a,α 的法向量为 n,若〈a,n〉 2π = 3 ,则 l 与 α 所成的角为 2π A. 3 π B. 3 π C. 6 5π D. 6 ( ).

2.三棱锥 A-BCD 中,平面 ABD 与平面 BCD 的法向量分别为 n1,n2,若〈n1, π n2〉= 3 ,则二面角 A -BD -C 的大小为 π A. 3 2π B. 3 π 2π C. 3 或 3 ( π π D. 6 或 3 ).

3.如图所示,已知点 P 为菱形 ABCD 外一点,且 PA⊥面 ABCD,PA=AD=AC, 点 F 为 PC 中点,则二面角 CBFD 的正切值为 ( 3 A. 6 3 C. 3 3 B. 4 2 D.3 3 ).

4.已知点 A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)则平面 ABC 与平面 xOy 所成锐 二面角的余弦值为________. 5.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值是 ______. 6. 正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直, 则二面角 ABDC 的正弦值为________.

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7.所示,三棱柱 OAB-O1A1B1 中,平面 OBB1O1⊥平面 OAB,∠O1OB=60°, ∠AOB=90°,且 OB=OO1=2,OA= 3,求异面直线 A1B 与 AO1 所成角的 余弦值的大小.

8.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°, PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=AB=2BC,M、N 分别为 PC、PB 的中点.求 BD 与平面 ADMN 所成的角 θ.

9. 如图, 矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直, BE∥CF, ∠BCF=∠CEF =90°,AD= 3,EF=2. (1)求证:AE∥平面 DCF; (2)当 AB 的长为何值时,二面角 AEFC 的大小为 60°?

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1.若平面 α 的法向量为 μ,直线 l 的方向向量为 v,直线 l 与平面 α 的夹角为 θ,则下列关 系式成立的是 μ ·v A.cos θ = |μ ||v| μ ·v C.sin θ = |μ ||v| |μ ·v| B.cos θ = |μ ||υ | |μ ·v| D.sin θ = |μ ||v| ( ).

解析 若直线与平面所成的角为 θ,直线与该平面的法向量所成的角为 β,则 θ=90°- β. 答案 D 2π 2.设直线 l 与平面 α 相交,且 l 的方向向量为 a,α 的法向量为 n,若〈a,n〉= ,则 l 3 与 α 所成的角为 2π A. 3 π B. 3 π ]. 2 π C. 6 5π D. 6 ( ).

解析 线面角的范围是[0, 答案 C

π 3.三棱锥 A-BCD 中,平面 ABD 与平面 BCD 的法向量分别为 n1,n2,若〈n1,n2〉= , 3 则二面角 A BD C 的大小为 π A. 3 2π B. 3 π 2π C. 或 3 3 π π D. 或 6 3 ( ).

解析 只需搞清二面角的范围是[0,π]. 答案 C 4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 C1C 的中点,O 是 底面 ABCD 的中点,P 是 A1B1 上的任意点,则直线 BM 与 OP 所成的角为________. 解析 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为 2, 则

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O(1,1,0),P(2,x,2),B(2,2,0),M(0,2,1), → → OP=(1,x-1,2),BM=(-2,0,1). π → → 所以OP·BM=0,所以直线 BM 与 OP 所成角为 . 2 答案 π 2

5.已知点 A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3)则平面 ABC 与平面 xOy 所成锐二面角的余 弦值为________. → → 解析 AB=(-1,2,0),AC=(-1,0,3).设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z).由
? ?-x+2y=0, 2 → → n· AB=0,n· AC=0 知? 令 x=2,则 y=1,z= . 3 ? ?-x+3z=0.

2 → ∴平面 ABC 的一个法向量为 n=(2,1, ).平面 xOy 的一个法向量为OC=(0,0,3).由 3 此易求出所求二面角的余弦值. 答案 2 7

6. 如图所示, 三棱柱 OAB-O1A1B1 中, 平面 OBB1O1⊥平面 OAB, ∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且 OB=OO1=2,OA= 3, 求异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值的大小. 解 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 O(0,0,0),O1(0,1, 3), A( 3,0,0),A1( 3,1, 3),B(0,2,0),

→ ∴A1B=(- 3,1,- 3), → O1A=( 3,-1,- 3). → → ∴cos〈A1B,O1A〉 → → A1B·O1A = → → |A1B|· |O1A|
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(- 3,1,- 3)· ( 3,-1,- 3) 1 = =- . 7 7· 7 1 ∴异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值为 . 7

综合提高(限时 25 分钟)
7.在矩形 ABCD 中,AB=1,BC= 2,PA⊥平面 ABCD,PA=1,则 PC 与平面 ABCD 所 成角是 A.30° B.45° C.60° D.90° ( ).

解析 建立如图所示的空间直角坐标系,则 P(0,0,1),C(1, → 2,0),PC=(1, 2,-1),平面 ABCD 的一个法向量为 n =(0,0,1), → PC·n 1 → 所以 cos〈PC,n〉= =- , 2 → |PC|· |n| → 所以〈PC·n〉=120°, 所以斜线 PC 与平面 ABCD 的法向量所在直线所成角为 60°, 所以斜线 PC 与平面 ABCD 所成角为 30°. 答案 A 8.如图所示,已知点 P 为菱形 ABCD 外一点,且 PA⊥面 ABCD, PA=AD=AC,点 F 为 PC 中点,则二面角 CBFD 的正切值为 ( A. C. 3 6 3 3 B. 3 4 ).

2 D. 3 3

解析 如图所示,连接 AC,AC∩BD=O,连接 OF.以 O 为原点,OB、OC、OF 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空 间直角坐标系 O-xyz.设 PA=AD=AC=1,则 BD= 3.所 以 B( 0). 1 → → 结合图形可知,OC=(0, ,0)且OC为面 BOF 的一个法向 2 3 1 3 1 → → 量,由BC=(- , ,0),FB=( ,0,- ), 2 2 2 2 可求得面 BCF 的一个法向量 n=(1, 3, 3). 3 1 1 3 ,0,0),F(0,0, ),C(0, ,0),D(- ,0, 2 2 2 2

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21 2 → → 所以 cos〈n,OC〉= ,sin〈n,OC〉= 7, 7 7 2 → 所以 tan〈n,OC〉= 3. 3 答案 D 9.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值是______. 解析 建立如图所示的空间直角坐标系, 设棱长为 1,则 B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),D(0, → → → 0,0),BC1=(-1,0,1),A1D=(-1,0,-1),BD=(-1, -1,0), 设平面 A1BD 的一个法向量为 n=(1,x,y),设平面 A1BD → → 与 BC1 所成的角为 θ,n⊥A1D,n⊥BD, → → 所以 n· A1D=0,n· BD=0,
?-1-y=0, ?x=-1, ? ? 所以? 解得? ? ? ?-1-x=0, ?y=-1.

→ BC1·n 6 6 → 所以 n=(1,-1,-1),则 cos〈BC1,n〉= =- ,所以 sin θ= , 3 3 → |BC1|·|n| 所以 cos θ= 答案 3 3 1-( 6 2 3 )= . 3 3

10.正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直,则二面角 ABDC 的正弦值为________. 解析 取 BC 中点 O,连接 AO,DO,建立如图所示的坐标 系. 设 BC=1,则 A(0,0, 3 → 所以OA=(0,0, ), 2 1 3 → 3 1 → BA=(0, , ),BD=( , ,0). 2 2 2 2 3 → 由于OA=(0,0, )为平面 BCD 的法向量. 2 设平面 ABD 的法向量 n=(x,y,z),则 → ?2y+ 2 z=0, ? BA=0, ?n· ? 所以? → 3 1 ? n· BD=0, ? x+ y=0, 1 3 3 1 3 ),B(0,- ,0),D( ,0,0). 2 2 2

?2

2

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取 x=1,则 y=- 3,z=1, 所以 n=(1,- 3,1), 5 → 所以 cos〈n,OA〉= , 5 2 → sin〈n,OA〉= 5. 5 答案 2 5 5

11. 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面为直角梯形, AD∥BC, ∠BAD =90°,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=AB=2BC,M、N 分别为 PC、PB 的中点.求 BD 与平面 ADMN 所成的角 θ. 解 如图所示,建立空间直角坐标系,设 BC=1, 则 A(0,0,0),B(2,0,0), D(0,2,0),P(0,0,2) 则 N(1,0,1), → ∴BD=(-2,2,0), → → AD=(0,2,0),AN=(1,0,1), 设平面 ADMN 的一个法向量为 n=(x,y,z), → ? ?y=0, AD=0, ? ?n· 则由? 得? 取 x=1,则 z=-1, ? → ?x+z=0, ? AN=0 ? n· ∴n=(1,0,-1), → -2 BD· n 1 → ∵cos〈BD,n〉= = =- , 2 → 8· 2 |BD||n| 1 → ∴sin θ =|cos〈BD,n〉|= . 2 又 0°≤θ ≤90°,∴θ=30°. 12.(创新拓展)如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直, BE∥CF,∠BCF=∠CEF=90°,AD= 3,EF=2. (1)求证:AE∥平面 DCF; (2)当 AB 的长为何值时, 二面角 AEFC 的大小为 60°? 解 建系如图, 设 AB=a,BE=b,CF=c, 则 C(0,0,0),D(0,0,a),

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F(0,c,0),A( 3,0,a), E( 3,b,0),B( 3,0,0), → (1)证明 AE=( 3,b,0)-( 3,0,a)=(0,b,-a), → → CD=(0,0,a),CF=(0,c,0), → → → 设AE=λCD+μCF,则(0,b,-a)=(0,μc,λa), b → → b→ ∴μ = ,λ=-1,∴AE=-CD+ CF, c c 又 AE?平面 DCF,∴AE∥面 DCF. → → (2)∵EF=(- 3,c-b,0),CE=( 3,b,0) → → → 且EF·CE=0,|EF|=2.

?-3+b(c-b)=0, 所以? ? 3+(c-b)2=2,
解得 b=3,c=4, 所以 E( 3,3,0),F(0,4,0).设 n=(1,y,z)与平面 AEF 垂直, → → 则 n· AE=0,n· EF=0, 解得 n=(1, 3, 3 3 ). a

→ 又因为 BA⊥平面 BEFC,BA=(0,0,a), → |BA·n| 3 3a 1 → 所以 cos〈n,BA〉= = = , 2 2 → |BA|· |n| a 4a +27 9 9 得到 a= ,所以当 AB 为 时,二面角 A EF C 的大小为 60°. 2 2

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