当前位置:首页 >> 数学 >>

1.3.2球的体积和表面积


导入新课
我们已经学过柱体、椎体、台体的表面积, 它们的表面积是靠将几何体展开,求展开图的 面积得到的。

棱柱

棱锥

棱台

圆柱

圆锥

球体的表面积又怎么求呢?球体的表面积能 不能也通过展开来求呢?

1.3.2球的体积与表面积

教学目标
知识与能力
? 通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导 过程中所用的基本数学思想方法:“分割——求 和——化为准确和”。 ?能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题.

?培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

过程与方法
? 通过球的体积和面积公式的推导,从而得到一 种推导球体积公式 V ? ? R3 和面积公式 S ? 4? R2

的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为
球的体积和面积”的方法,体现了极限思想。

情感态度与价值观
? 对球的体积和面积公式的推导方法有一定的了 解,增强探索问题和解决问题的信心。

教学重难点
重点
? 引导学生了解推导球的体积和面积公式所运 用的基本思想方法。

难点
? 推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

1.球体的体积 探索与发现
球体的体积的求法
把半径OA作n等分,经过这些分点,用一组 平行于底面的平面把半球切割成n层,每一层都 是近似于圆柱形状的“小圆片”,这些小圆片的 体积之和就是半球的体积。

A

A

O

O

C2

B2

r1 ? R ? R,
2

R 2 r2 ? R ? ( ) , n
2

2R 2 r3 ? R ? ( ) , n
2

ri
O

R ( i ? 1) n
O
第i层“小圆片”下底面的 半径:

R

ri ?

R R ? [ (i ? 1)]2 , i ? 1, 2? , n。 n
2

R ri ? R ? [ ( i ? 1)]2 , i ? 1,2, ?, n n R ?R 3 i ?1 2 2 Vi ? ?ri ? ? [1 ? ( ) ], i ? 1,2? , n n n n
2

V半球 ? V1 ? V2 ? ?? Vn
12 ? 2 2 ? ? ? ( n ? 1) 2 ? [n ? ] 2 n n

?R 3

?R 3 1 ( n ? 1) ? n ? ( 2n ? 1) ? [n ? 2 ? ] n n 6
1 ( n ? 1)(2n ? 1) ? ?R [1 ? 2 ? ] n 6
3

V半 球

1 1 (1 ? )(2 ? ) n n ] ? ?R 3 [1 ? 6
1 ? 0. n

当n ? ? 时,

2 ?V半 球 ? ?R 3 3 4 从 而V ? ?R 3 . 3

4 3 半径是R的球的体积: V ? πR 3

设球的半径为R,它的体积只与半径R 有关,是以R为自变量的函数。

4 3 半径是R的球的体积: V ? πR 3

思考
我们还能用哪些方法来求球体的体积呢?

排液法测球的体积

h

h

h

h

h

h

小球的体积等于它排 开液体的体积。
H

h

与排水法测球的体 积与曹冲称象同理。

2.球体的表面积

探索与发现
球体的表面积的求法
球面不能展开成平面图形,所以求球的表面积 无法用展开图求出,如何求球的表面积公式呢?与 球的体积公式的推导方法一样,也可借助于这种极 限思想方法来推导球的表面积公式。
分割 求近似和 化为准确和

第一步:分割
球面被分割成n个网格,表面积 ?S1,?S2,?S3 ,?, ?Sn 分别为: 则球的表面积:
O

S ? ?S1 ? ?S2 ? ?S3 ? ?? ?Sn
设“小锥体”的体积为 ?Vi

则球的体积为:

?S i
O

V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ?? ?Vn

第二步:求近似和
?S i
?hi
O O

?Vi

1 ?V i ? ?S i ?hi 3

由第一步得:

V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ?? ?Vn

1 1 1 1 V ? ?S1?h1 ? ?S 2 ?h2 ? ?S 3 ?h3 ? ? ? ?S n ?hn 3 3 3 3

第三步:化为准确和

?hi

?S i
?Vi

如果网格分的越细,则: “小 锥体”就越接近小棱锥 ?hi 的值就趋向于球的半径 R
1 ? ?Vi ? ?S i R 3 1 1 1 1 V ? ? S i R ? ? S 2 R ? ? S 3 R ? ? ? ?S n R 3 3 3 3
1 1 ? R( ?S i ? ?S 2 ? ?S 3 ? ... ? ?S n ) ? RS 3 3

R
O

?S i
?Vi

4 3 又球的体积为: V ? ?R 3 4 1 ?R 3 ? RS , 从 而S ? 4?R 2
3 3

设球的半径为R,它的表面积只与半径 R有关,也是以R为自变量的函数。

半径是R的球的表面积:S

? 4? R

2

思考
已知两个球体的半径之比,能得到它们的表面 积之比,或所占体积之比吗?

为1:8.同理,表面积之比为1:4。

4 3 半径之比为1:2,由 V ? πR ,可知体积之比 3

例四
如图:圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 2 求证: 1、球的体积等于圆柱体积的 倍。

2、球的表面积等于圆柱的侧面积。

3

R

证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面 半径为R,高为2R。

因为

V球

2 3 V ? π R ? 2R ? 2 ? R 圆柱

4 ? πR 2 3

所以, V球
(2)因为

S 球 ? 4?R

2 ? V圆 柱 3

2
2

S圆柱侧 ? 2? R ? 2R ? 4? R
所以,S


? S圆柱侧

课堂小结
4 半径是R的球的体积:V ? πR 3 3
2 半径是R的球的表面积: S ? 4πR

高考链接
? 1.(2009 全国Ⅱ)设 OA是球O的半径,M是 OA的中点,过M且与OA成45°角的平面截 7? 球O的表面得到圆C,若圆C的面积等于 , 4 8 ? 则球O的表面积等于______

【解析】设球的半径为R,截面圆的圆心为 O1 7 7? 2 2 ,半径为r,则 ? r ? , ? r ? , 4 4 R 7 2 2 2 OM ? OO1 ? R ? r ? R ? 2 4

直线OA与截面所成角为45°

?OMO1为直线OA与截面所成的角,为45°即:
OO1 cos 45 ? ? OM
?

7 R ? 4 ? 2 1 2 R 2
2

解得 R ? 2,故球O的表面积为 4? R ? 8?
2
2

2.(2009 全国) 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各顶点 都在同一球面上,若 AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120?,则此球的表面积等于 20? 。
【解析】本题考查球中截面圆的性质以及球与 多面体的组合问题。在△ABC中,

BC ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? cos120 ? 12
2 2 2 ?

故 BC ? 2 3 .设△ABC的外接圆半径为
BC ? 4 ,r=2。球的半径 R ? 5 r,则 2r ? sin A
2 s ? 4 ? ( 5) ? 20? 所以,

课堂练习

2 倍。 1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___

4 倍. 2.若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的___
1: 2 2 3.若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是______.
3 1 : 4 4.若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是______.

2 5. 一个四面体的所有的棱都为 , 四个顶点在 同一球面上,则此球的表面积( A )

A. 3?

B. 4?

C.

解:设四面体为ABCD,O1 为其外接球 心。 球半径为R,O为A在平面BCD上 的射影,M为CD的中点. 连结B O1

3 ? 3

D. 6?
A●

在R t ?BOO1中, 由O 1B ? BO ? O1O 得
2 2 2
2

2 2 3 6 BO ? BM ? ( BC ) ? . 3 3 2 3 2 2 2 所以AO ? AB ? BO ? , 3

B ●

R ●O1 ●O ● C · M

D ●

2 2 3 2 R ? ?( ? R) , 解得R ? , 所以S球 ? 4? R2 ? 3? . 3 2 3

6.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的_倍 8 . 7.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 3。 这个球的体积为___ 32cm 3?

8.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于 正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这 三个球的体积之比_________ 1: 2 2 : 3 3 。

9.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 9? 。 则它的外接球的表面积为_______

3, , 5 , 15

10.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π , 则两球的直径之差为________4 。 11.将半径为1和2的两个铅球,熔成一个大铅球,那么 这个大铅球的表面积是________ 12 3 3? 。

习题答案
1. 8倍.

3 3 3 2. πa cm 2
3.104 cm3


相关文章:
1.3.2球的体积和表面积
临海白云中学 数学 高二年级导学案 编写者 李海燕 姓名 1.3.2 球的 体积和 表 面积【学习目标】 :能运用球的公式灵活解决实际问题。培养空间想象能力。 【学习...
1.3.2 球的体积和表面积
1.3.2 球的体积和表面积_高一数学_数学_高中教育_教育专区。§1.3.2 一. 教学目标 1. 知识与技能 球的体积和表面积 错误!未找到引用源。通过对球的体积...
1.3.2 球的体积和表面积(课时作业)
遂宁东辰荣兴国际学校 高一下 数学 课时作业 1.3.2 球的体积和表面积班级: 姓名:___ ) 1.把球的表面积扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的 ( A.2...
《1.3.2球的体积和表面积》同步练习3
1.3.2球的体积和表面积》同步练习3_高一数学_数学_高中教育_教育专区。《1.3.2球的体积和表面积》同步练习3 1.若球的大圆周长是C,则这个球的表面积是(...
《1.3.2球的体积和表面积》同步练习1
1.3.2球的体积和表面积》同步练习1_高一数学_数学_高中教育_教育专区。《1.3.2球的体积和表面积》同步练习1 一、选择题 1.半径为R的球内接一个正方体...
第一章1.3-1.3.2球的体积和表面积
第一章1.3-1.3.2球的体积和表面积_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第一章 1.3 空间几何体 空间几体的表面积与体积 球的体积和表面积 A级 基础巩固 1...
1-3-2 球的体积和表面积
9 R3 ) B.1 C.2 D.3 ) A.R B.2R C.3R D.4R [答案] D 4. 一个正方体与一个球表面积相等, 那么它们的体积比是( 6π A. 6 2π C. 2 ...
1. 3.2 球的体积和表面积
1. 3.2 球的体积和表面积_数学_高中教育_教育专区。1. 3.2 球的体积和表面积【教学目标】 (1)能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 (2)培养学生的...
!1.3.2 球的的体积和表面积
第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积体积 1.3.2 球的表面积体积 (时间:60 分钟 看课本,清知识 (共 10 分,每题 2 分) 总分:100 分) 1....
1.3.2 球的体积和表面积
1.3.2 一、知识点回顾与梳理 1、球的体积和表面积公式 球的体积和表面积 4 设球的半径为 R ,它的体积为 V ? ? R3 ,表面积为 S ? 4? R2 3 2、...
更多相关标签: