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2016年宁夏自主招生数学模拟试题:n次独立重复试验


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2016 年宁夏自主招生数学模拟试题:n 次独立重复试验
【试题内容来自于相关网站和学校提供】

1:一项“过关游戏”规则规定:在第

关要抛掷一颗骰子

次,如果这

次抛掷所出现的点数的和大于



则算过关,则某人连过前三关的概率是( )

A、

B、

C、

D、

2:假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为 1- p,且各引擎是否有故障是独立的,已知 4 引擎飞机 中至少有 3 个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2 个引擎飞机要 2 个引擎全部正常运行,飞机才可成功飞行。 要使 4 个引擎飞机更安全,则 p 的取值范围是

A、

B、

C、

D、

3:抛一枚均匀硬币,正反每面出现的概率都是

,反复这样投掷,数列

定义如下:

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, 若

, 则事件“

”的概率是 (



A、

B、

C、

D、

4:设随机变量 A、 B、 C、 D、 n=4, p="0.4" n=5, p=0.32 n=8 ,p=0.2 n=7, p=0.45

服从分布 B( n, p),且 E

=1.6, D

=1.28 则(

)

5:乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用 设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同,那么甲以



胜制(即先胜

局者获胜,比赛结束) ,假

比 2 获胜的概率为( )

A、

B、

C、

D、

6:一口袋内装有 5 个黄球,3 个红球,现从袋中往外取球,每次取出一个,取出后记下球的颜色,然后放回,

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直到红球出现 10 次时停止, 停止时取球的次数 是一个随机变量, 则

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=______________。 (填计算式)

7:甲、乙两人各射击 1 次,击中目标的概率分别是



,假设两人射击目标是否击中相互之间没有影响,

每人各次射击是否击中目标也没有影响。则两人各射击 4 次,甲恰好有 2 次击中目标且乙恰好有 3 次击中目标 的概率为________。

8:有 20 个零件,其中 16 个一等品,4 个二等品,若从这 20 个零件中任意取 3 个,那么至少有 1 个一等品的概 率是________。

9:在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件 A 在一次 试验中发生的概率 P 的取值范围是 。

10:一颗正方体骰子,其六个面上的点数分别为 1,2,3,4,5,6,将这颗骰子抛掷三次,观察向上的点数, 则三次点数之和等于 16 的概率为 。

11:假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为 1-P,且各引擎是否出故障是独立的,已知 4 引擎飞机中 至少有 3 个引擎正常运行,飞机就能成功运行;2 引擎飞机中要 2 个引擎全部正常运行,飞机才能成功运行.要 使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全,则 P 的取值范围?

12: (本题满分 13 分)甲、乙两颗卫星同时监测台风,根据长期经验得知,甲、乙预报台风准确的概率分别为 0.8 和 0.75.求:(1) 在同一次预报中,甲、乙两卫星只有一颗预报准确的概率;(2) 若甲独立预报 4 次,至少有 3 次预报准确的概率.

13:某篮球队与其他 6 支篮球队依次进行 6 场比赛,每场均决出胜负,设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的

事件是独立的,并且胜场的概率是

.

(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率; (2)求这支篮球队在 6 场比赛中恰好胜了 3 场的概率; (3)求这支篮球队在 6 场比赛中胜场数的期望和方差。

14:甲、乙、丙 3 人投篮,投进的概率分别是

,

,

。(Ⅰ)现 3 人各投篮 1 次,求 3 人都没有投进的概率;(Ⅱ)

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用 ξ 表示乙投篮 3 次的进球数,求随机变量 ξ 的概率分布及数学期望 Eξ

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15:某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于 120 分为优秀, 120 分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的 列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部 110 人中随机抽取 1

人为优秀的概率为

.

(1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表的数据,若按 99%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号,先后两次抛 掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到 9 号或 10 号的概率.附:

答案部分

1、A

试题分析: 解: 通过第一关时掷 1 次的点数大于 2, 第一关过关的概率 第二关的基本事件有 种, 不能过关的基本事件为不等式

, 第二关时掷 2 次的点数和大于 4, 的正整数解的个数, 有 1+1,1+2,1+3,

2+1,2+2,3+1 共 6 种,过关的概率

,第三关过关的基本事件有

种,不能过关的基本事件为不等式

的正整数解的个数,可连写 8 个 1,从 8 个空档中选 3 个空档的方法为

,不能

过关的概率

,过关的概率是

,所以连过三关的概率

,故答案为 A.

考点:独立事件的概率.

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2、B 解:每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为 1-p,不出现故障的概率是 p, 且各引擎是否有故障是独立的, 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行,飞机就可成功飞行; 4 引擎飞机可以正常工作的概率是 C43p3(1-p)+p4, 2 引擎飞机要 2 个引擎全部正常运行,飞机也可成功飞行, 2 引擎飞机可以正常工作的概率是 p2 要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全, 依题意得到 C 4 p (1-p)+p >p , 化简得 3p -4p<0, 解得 1 /3 <p<1。 故选 B
2 3 3 4 2

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3、B

试题分析:事件

表示反复抛掷 8 次硬币,其中出现正面的次数是 5 次,

其概率 事件“

。 ”表示前两次全正或全负,则概率为

,故选 B、 考点:独立重复试验事件的概率

4、C

因为 E

=1.6, D

=1.28,所以

,所以 1-p=0.8,p=0.2,n=8.应选 C.

5、C 解:因为利用比赛规则,那么 4:2 获胜表示了甲前 5 局中赢得 3 局,最后一局甲赢,则利用独立重复试验的 概

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率公式可知

6、

[ 解题思路 ] :这是一个 “12 次独立重复试验恰有 10 次发生 ”的概率问题,同学们很容易由二项分布原理得到 ,这就忽视了隐含条件“第 12 次抽取的是红球”,此种解法的结果包含着第 12 次抽取 到黄球。

7、 设事件 A、 B 分别表示 4 次射击中甲恰好 2 次击中目标, 乙恰好三次击中目标, A、 B 是相互独立的, P(AB)=P(A)· P(B)
2 2 2 3 3

=C 4 ·

·

· C4 ·

·



×



.

8、

基本事件总数为

=1140.

方法一:将所求事件分三类: “恰有 1 个一等品 ”“恰有 2 个一等品”“ 恰有 3 个一等品 ”,由分类记数原理有

=1136 种。故所求概率为

.

方法二:考虑其对立事件“3 个都是二等品”,用间接法



=1136 种,故所求的概率为

.

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9、

由题意知

.

10、 略

11、

解:由题意, 4 引擎飞机正常运行的概率为 ,解得 。

,2 引擎飞机正常飞行的概率为

,所以

12、 (Ⅰ)略 (Ⅱ) 0.35 (1)甲、乙两卫星各自预报一次,记“甲预报准确”为事件 A,“乙预报准确”为事件 B.则两卫星只有一颗卫星预报准 确的概率为: = 0.8×(1 - 0.75) + (1 - 08)×0.75 = 0.35 答:甲、乙两卫星中只有一颗卫星预报准确的概率为 0.35 (2)甲独立预报 3 次,至少有 2 次预报准确的概率为 = 答:甲独立预报 3 次,至少有 2 次预报准确的概率为 0.896. =0.896

13、 (1)

(2)

(3)

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解:(1)P=

2

×


4

.

(2)6 场胜 3 场的情况有 C 6 种,

∴P=C 6

3

3

3

=20×

×



.

(3)由于 X 服从二项分布,即 X~B



∴E(X)=6×

=2,D(X)=6×

×



.

14、 (Ⅰ)

(Ⅱ)

【错解分析】判断事件的运算,即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件 【正解】(Ⅰ)记"甲投篮 1 次投进"为事件 A 1, "乙投篮 1 次投进"为事件 A 2, "丙投篮 1 次投进"为事件 A 3,

"3 人都没有投进"为事件 A。则 P( A 1)= ∴ P( A) = P( 。 。 )= P( )·P(

, P( A 2)= )·P( )

, P( A 3)=



= [1- P( A 1)] · [1- P( A 2)] · [1- P( A 3)]=(1-

)(1-

)(1-

)=

∴3 人都没有投进的概率为



(Ⅱ)解法一: 随机变量 ξ 的可能值有 0,1,2,3, ξ~ B(3,

),

P(ξ=k)=C 3 (

k

) (

k

)

3

-k

(k=0,1,2,3) , Eξ="np" = 3×

=



解法二: ξ 的概率分布为:

ξ

0

1

2

3

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P

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Eξ=0×

+1×

+2×

+3×

=



15、 (1)

优秀 甲班 乙班 合计

非优秀

合计

(2)有 99%把我认为成绩与班级有关(3)

试题分析: (1)

优秀 甲班 乙班 合计

非优秀

合计

(2) 有

,故有 99%把我认为成绩与班级有关。 四种情况,和为 10 的情况有

(3) 和为 9 的情况

三种情况,所有的种数有 36 种,所

以概率为 考点:独立性检验与古典概型概率 点评:独立性检验的步骤:写出列联表,依公式计算出 ,比较观测值得出结论;古典概型概率的求解需找到

所有基本事件种数及满足题意的基本事件种数,求其比值即可


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