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2014高三数学一轮复习:3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数


[备考方向要明了]
考 什 么 1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进 怎 么 考 1.三角函数的定义与三 角恒等变换等相结

行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正 弦、余弦、正切)的定义.

合,考查三角函数求
值问 题,如2008年 高考T15等.

[归纳

知识整合]

1.角的有关概念 角的特点
从运动的角度看 从终边位置来看 α与β角的终边相同

角的分类
正角 角可分为 负角 、 零角 和 象限角 _____ 360° 可分为α+k· (k∈Z) 和轴线角 β= _________________

[探究]

1.终边相同的角相等吗?它们的大小有什么关系? (或β=α+k·2π,k∈Z)

提示:终边相同的角不一定相等,它们相差360°的整数倍, 相等的角终边一定相同.

2.弧度的概念与公式

在半径为r的圆中
分类 1弧度的角 定义(公式) 把长度等于 半径 长的弧所对的圆心 角叫做1弧度的角,用符号rad表示 ?180? π ? ?° ①1° 180 rad ②1 rad=_____ = ? π ? |α|r 弧长l=____ 1 1 lr |α|·2 r S= 2 =_______ 2

角度与弧度的换算
弧长公式 扇形的面积公式

[探究]

2.锐角是第一象限角,第一象限角是锐角吗?

小于90°的角是锐角吗? 提示:锐角是大于0°且小于90°的角,第一象限角 不一定是锐角,如390°,-300°都是第一象限角.小于

90°的角不一定是锐角,如0°,-30°都不是锐角.

3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切

设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 定义
y x

y 叫做α
的正弦, 记作sin α 正 ___ 正 ___

x 叫做α的余弦, 记作cos α 正 ___ 负 ___

叫做α的正

切,记作tan α 正 ___ 负 ___

各象限 Ⅰ 符号 Ⅱ

三角函数

正弦 负 ___ 负 ___

余弦 负 ___ 正 ___

正切 正 ___ 负 ___

各象
限符 号


Ⅳ 口诀

一全正,二正弦,三正切,四余弦

三角函数线
OM AT 有向线段 MP 有向线段____ 有向线段____ ____为正弦线 为余弦线 为正切线

[探究] 3.三角函数线的长度及方向各有什么
意义? 提示:三角函数线的长度表示三角函数值的绝 对值,方向表示三角函数值的正负.

[自测 牛刀小试]
9π 1. (教材习题改编)下列与 的终边相同的角 α 的集合为___. 4 9 9 解析:∵ π= ×180° =360° +45° 4 4

9 ∴与 π 终边相同的角可表示为 k· +45° 360° (k∈Z) 4

答案:{α|α=k· 360°+45°(k∈Z)}

2.(教材习题改编)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0, 则角θ的终边一定落在第________象限. 解析:由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象 限,也可能与y轴的非正半轴重合.由tan θ<0,可知θ

的终边可能位于第二象限或第四象限,可知θ的终边只
能位于第四象限. 答案:四

3.已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则扇形的圆
心角的弧度数是________.

?2r+l=6, ? 解析:设扇形的弧长为 l,半径为 r,则?1 r=2, ?2l· ? 解之得 l=r=2 或 r=1,l=4, 故圆心角 θ=1 或 4.
答案:1或4

4.(教材习题改编)已知角 α 的终边经过点 P(-x,-6),且 5 cos α=- ,则 x=________. 13 -x -x 5 解析:∵cos α= =- , 2 2= 2 13 ?-x? +?-6? x +36

?x>0, ? 2 25 ∴? x ?x2+36=169, ? 5 答案: 2

5 解之得 x= . 2

2π 5.若点 P 在角 的终边上,且 OP=2,则点 P 的坐标是 3 ________. 2 解析:∵角 π 的终边落在第二象限, 3
∴可设 P(x,y),其中 x<0,y>0, ?x ?2=cos 由题意得? ?y=sin ?2 ∴P(-1, 3). 2 π, 3 2 π, 3
?x=-1, ? 即? ?y= 3, ?

答案:(-1, 3)

象限角及终边相同的角
[例 1] (1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合;

6π (2)若角 θ 的终边与 角的终边相同, 求在[0,2π)内终边 7 θ 与 角的终边相同的角; 3 (3)已知角 α 为第三象限角,试确定 2α 的终边所在的 象限.

[自主解答]

(1)∵在(0, π)内终边在直线 y= 3x 上的角

π 是 ,∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为 3
? ? π ? ? ?α|α= +kπ,k∈Z?. 3 ? ? ? ?

6π (2)∵θ= +2kπ(k∈Z), 7 θ 2π 2kπ ∴ = + (k∈Z). 3 7 3 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ + <2π?- ≤k< ,k∈Z. 7 3 7 7

θ 2π ∴k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与 相同的角为 , 3 7 20π 34π , . 21 21 3π (3)由 α 是第三象限角,得 π+2kπ<α< +2kπ(k 2 ∈Z), ∴2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z). ∴角 2α 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴.

α 在(3)的条件下,判断 为第几象限角? 2 3π 解:∵π+2kπ<α< +2kπ(k∈Z), 2 π α 3π ∴ +kπ< < +kπ(k∈Z). 2 2 4 π α 3 当 k=2n(n∈Z)时, +2nπ< < π+2nπ, 2 2 4 3 α 7 当 k=2n+1(n∈Z)时, π+2nπ< < π+2nπ, 2 2 4 α ∴ 为第二或第四象限角. 2

α 1.由 α 所在的象限,确定 所在象限的方法 n α (1)由角 α 的范围,求出n所在的范围; (2)通过分类讨论把角写成 θ+k· (k∈Z)的形式,然后判断 360° α 所在象限. n 2.已知三角函数式的符号判断角所在的象限

可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号,再判断 角所在的象限.

π 1.(1)已知角 α=2kπ- (k∈Z),若角 θ 与角 α 的终边相同, 5 sin θ |cos θ| tan θ 则 y= + + 的值为________. |sin θ| cos θ |tan θ| (2)已知点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 的终边在 第________象限 π 解析:(1)由 α=2kπ- (k∈Z)及终边相同角的概念知,α 5
的终边在第四象限,又 θ 与 α 的终边相同,所以角 θ 是 第四象限角,所以 sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0. 因此,y=-1+1-1=-1.

(2)∵点 P(tan α,cos α)在第三象限,
?tan α<0, ? ∴? ?cos α<0, ?

∴α 是第二象限角.
(2)二

答案:(1)-1

三角函数的定义
[例 2] 已知角 α 的终边上一点 P(- 3,m)(m≠0),且

2m sin α= ,求 cos α,tan α 的值. 4
[自主解答] ∵由题设知 x=- 3,y=m,

∴r2=|OP|2=(- 3)2+m2(O 为原点), 得 r= 3+m2. m 2m m 从而 sin α= r = = , 4 2 2

∴r= 3+m2=2 2,于是 3+m2=8,解得 m=± 5. 当 m= 5时,r=2 2,x=- 3, 3 6 15 ∴cos α=- =- ,tan α=- ; 4 3 2 2 当 m=- 5时,r=2 2,x=- 3, - 3 6 15 ∴cos α= =- ,tan α= . 4 3 2 2

利用三角函数的定义求三角函数值的方法 利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三 个量: ①角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x; ②纵坐标 y; ③该点到原点的距离 r.若题目中已知角的终边在一条直线 上,此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同).

2.已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sin α,cos α,

tan α的值. 解:∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,
在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t)(t≠0), 则 x=4t,y=-3t, r= x2+y2= ?4t?2+?-3t?2=5|t|.∴ 当 t>0 时,即 x>0 时,r=5t, y -3t 3 sin α=r = =- , 5t 5 x 4t 4 cos α= r = = , 5t 5

y -3t 3 tan α=x= =- ; 4t 4 当 t<0 时,即 x<0 时,r=-5t, y -3t 3 sin α= = = , r -5t 5 x 4t 4 cos α= r = =- , 5 -5t y -3t 3 tan α= = =- . x 4t 4 综上可知,当角 α 的终边在直线 3x+4y=0 的 x>0 部分时, 3 4 3 sin α=- ,cos α= ,tan α=- ; 5 5 4 当角 α 的终边在直线 3x+4y=0 的 x<0 部分时, 3 4 3 sin α= ,cos α=- ,tan α=- . 5 5 4

弧度制下扇形弧长与面积公式的应用 [例 3] 已知扇形的圆心角是 α,半径为 R,弧长为 l.
(1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长 l. (2)若扇形的周长为 20 cm,当扇形的圆心角 α 为多少弧 度时,这个扇形的面积最大? π (3)若 α= ,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积. 3 π [自主解答] (1)∵α=60° ,R=10 cm, = 3
π 10π ∴l=Rα=10× = cm. 3 3

(2)∵扇形的周长 20,∴2R+l=20, 即 2R+Rα=20, 1 2 1 ∴S= R α= R(20-2R)=-R2+10R 2 2 =-(R-5)2+25, 20-10 ∴当 R=5 时,扇形的面积最大,此时 α= =2, 5 即 α=2 弧度时,这个扇形的面积最大.

1 2 1 2 π (3)S 弓形= R α- R sin 2 2 3 1 π 1 3 = ×4× - ×4× 2 3 2 2 2π = - 3, 3 2π 即弓形的面积为 - 3 cm2. 3

若将本例(1)中的“R=10 cm”改为“扇形的弦 AB= 10 2 cm”求扇形的弧长 l.
5 2 解:由题意得 R =sin 30° ,即 R=10 2, π 10 2π 故弧长 l=Rα=10 2× = cm. 3 3

弧度制的应用 (1)在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方 便、简捷.
(2)从扇形面积出发,在弧度制下使问题转化为关于 α 的不 等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值. 1 1 2 记住下列公式:①l=αR;②S= lR;③S= αR .其中 R 是 2 2 扇形的半径,l 是弧长,α(0<α<2π)为圆心角,S 是扇形面积.

3.已知在半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10, (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S.
解: (1)如图所示, O 作 OC⊥AB 于点 C, AC=5, 过 则 在 Rt△ACO 中, AC 5 1 sin∠AOC=AO= = , 10 2 ∴∠AOC=30° ,∴α=2∠AOC=60° .

π 10π (2)∵60° ,∴l=|α|r= = . 3 3 1 1 10π 50π S 扇= lr= × ×10= . 2 2 3 3 1 π 又 S△AOB= ×10×10sin =25 3, 2 3
?π 50π 3? ? ∴S 弓形=S 扇-S△AOB= -25 3=50? - ?. 3 2? ?3 ?

? 1 条规律——三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正 弦、三正切、四余弦.
? 2 个技巧——三角函数的定义及单位圆的应用技巧 (1)在利用三角函数定义时, P 可取终边上异于原点的 点 任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,OP=r 一定是 正值. (2)在解简单的三角不等式时, 利用单位圆及三角函数线 是一个小技巧.

? 4 个注意点——理解角的概念、 弦度制及三角函数线 应注意的问题 (1)第一象限角、锐角、小于 90° 的角是概念不同的三类
角,第一类是象限角,第二类、第三类是区间角.

(2)角度制与弧度制可利用 180° rad 进行互化,在同 =π 一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.

(3)要熟记 0° ~360° 间特殊角的弧度表示.
(4)要注意三角函数线是有向线段.

创新交汇——三角函数的定义与向量的交汇问题 三角函数的概念是考查三角函数的重要工具,在 高考命题中很少单独考查,常结合三角函数的基础知 识、三角恒等变换和向量等知识综合考查,涉及的知

识点较多,但难度不大.

[典例]

(2012· 山东高考)如图,在平面

直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始 位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),
??? ? 圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, 的 OP

坐标为______.
[解析]
PA 因为圆心移动的距离为 2, 所以劣弧 ? =2, 即

π ∠PCA=2,则∠PCB=2- ,所以 PB= 2
? π? sin?2-2 ?=-cos ? ?

2,CB=

? π? cos?2- 2?=sin ? ?

2,所以 xP=2-CB=2-

??? ? sin 2,yP=1+PB=1-cos 2,所以 OP =

(2-sin 2,1-cos 2).

[答案] (2-sin 2,1-cos 2)

[ 名师点评]

1.本题具有以下创新点 (1)本题考查三角函数与向量的知识,表面看似向量问题,其实 质是考查三角函数的概念问题.

(2)通过静止问题解决动态问题,考查了考生处理变与不变 的能力、运算求解能力、应用能力和创新能力.
2.解决本题的关键有以下几点 (1)正确理解圆的滚动过程,确定圆心 C 的坐标; (2)正确作出辅助线,并求得 BP 与 BC 的长度; ??? ? (3)正确应用向量的坐标运算求出 OP 的坐标.

[变式训练] 1.(2012· 安徽高考)在平面直角坐标系中, O(0,0),P(6,8), 点 ??? ? ??? ? 3π 将向量 OP 绕点 O 按逆时针方向旋转 后得向量 OQ ,则 4

点 Q 的坐标是________. ??? ? 解析:设从 x 轴正方向逆时针到向量 OP 的角为 α,则从 x ??? ? 3 轴的正方向逆时针到向量 OQ 的夹角为 α+ π,这里 cos α 4 3 4 = ,sin α= .设 Q 坐标为(x,y),根据三角函数的定义 x 5 5
? ? ?3 4? 3 ? = 10cos ?α+4π? = 10× ?5+5? × ?- ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 10sin?α+4π?=- ? ?

2? ? =-7 2,y= 2? ?
2,- 2)

答案:(-7 2,即 Q(-7 2,- 2).

2.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向转一周,
AP 点 P 所旋转过的弧 ? 的长为 l,弦 AP 的

长为 d,则函数 d=f(l)的图象大致为 ________.

解析:如图取 AP 的中点为 D. 设∠DOA=θ, 则 d=2sin θ,l=2θ, l 故 d=2sin . 2

答案:③

1. (1)把-1 480° 写成 α+2kπ(k∈Z)的形式, 其中 0≤α<2π; 2π (2)在 0° ~720° 的范围内,找出与 终边相同的角. 5 π 74π 解:(1)∵-1 480° =-1 480° × rad=- rad, 180 9

74π 16π 16π 又- =-10π+ =-5×2π+ , 9 9 9 16π 故-1480° = +(-5)×2 π. 9

2π 2 2π (2)∵ = ×180° =72° ,∴终边与 相同的角为 θ=72° 5 5 5 +k· (k∈Z). k=0 时, 360° 当 θ=72° 当 k=1 时, ; θ=432° , 2π ∴在 0° ~720° 的范围内,与 终边相同的角为 72° ,432° . 5

2.(1)如果点 P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,试判断角 θ 所在的象限. sin?cos θ? (2)若 θ 是第二象限角,试判断 的符号是什么? cos?sin 2θ?

解:(1)因为点 P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限, 所以 sin θcos θ<0,2cos 所以 θ 为第二象限角.
?sin θ>0, ? θ<0,即? ?cos θ<0, ?

π (2)∵2kπ+ <θ<2kπ+π(k∈Z), 2 ∴-1<cos θ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π(k∈Z), -1≤sin 2θ<0, ∴sin(cos θ)<0,cos(sin 2θ)>0. sin?cos θ? sin?cos θ? ∴ <0.∴ 的符号是负号. cos?sin 2θ? cos?sin 2θ?

3.已知一扇形的圆心角为 α(α>0),所在圆的半径为 R.若扇形 的周长是一定值 C(C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最 大面积?
C 解:∵扇形周长 C=2R+l=2R+αR,∴R= , 2+α 1 1 ? C ?2 ? ? 2 ∴S 扇= α· = α· R 2 2 ?2+α? ? ? C2 1 C2 1 C2 = α· = · ≤ , 2 4+4α+α2 2 4 16 4+α+α C2 当且仅当 α2=4,即 α=2 时,扇形面积有最大值 . 16

θ θ θ 4.设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2 解:∵θ 是第二象限角,
π ∴ +2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z, 2 π θ π ∴ +kπ< < +kπ,k∈Z, 4 2 2 θ ∴ 是第一或第三象限的角. 2 (如图阴影部分),结合单位圆上的三角函数线可得:

θ ①当 是第一象限角时, 2 θ θ θ sin =AB,cos =OA,tan =CT, 2 2 2 θ θ θ 从而得,cos <sin <tan ; 2 2 2 θ ②当 是第三象限角时, 2 θ θ θ sin =EF,cos =OE,tan =CT, 2 2 2 θ θ θ 得 sin <cos <tan . 2 2 2 θ θ θ θ 综上所得,当 在第一象限时,cos <sin <tan ; 2 2 2 2 θ θ θ θ 当 在第三象限时,sin <cos <tan . 2 2 2 2


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