当前位置:首页 >> 数学 >>

1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式(2)


第一章

三角公式及应用

1.1 两角和与差的正弦公式与余弦公式

创设情境 兴趣导入
1 两角和的余弦公式内容是什么?
cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?.

2

两角和的正弦公式内容是什么?

>sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ?.

动脑思考 探索新知
由同角三角函数关系,知
tan(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? , cos(? ? ? ) cos ? cos ? ? sin ? sin ?

当 cos ? cos ? ? 0时,得到
tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

(1.5)

利用诱导公式可以得到
tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

(1.6)

注意 在两角 和与差的正切 公式中, α,β 的取值应使式 子的左右两端 都有意义.

巩固知识 典型例题
例7 求 tan 75?的值. 解 tan 75? ? tan(45? ? 30?)

tan 30? ? tan 45? ? 1 ? tan 30? tan 45?
3 ?1 ? 3 3 1? 3 3? 3 ? 3? 3
? 2 ? 3.

分析 可利用公式将 75°角看作45°角 与30°角之和.

巩固知识 典型例题
例8 求下列各式的值

tan 25? ? tan 35? 1 ? tan15? ; (2) . (1) ? ? ? 1 ? tan 25 tan 35 1 ? tan15
tan 25? ? tan 35? ? ? ? = tan(25 ? 35 ) ? tan 60 ? 3; 解 (1) ? ? 1 ? tan 25 tan 35

1 ? tan15? tan 45? ? tan15? ? (2 ) ? 1 ? tan15 1 ? tan 45? tan15?

? tan(45? ? 15? )
? tan 60?

? 3.

分析 (1)题可以逆用公 式(1.3);(2)题可 ? 以利用 tan 45 ? 1 进行 转换.

运用知识 强化练习

1.求 tan15? 的值.
2 ? 3.

2.求tan105? 的值.
?2 ? 3.

动脑思考 探索新知
在公式(1.3)中,令 ? ? ? ,可以得到二倍角的正弦公式 sin 2? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2sin ? cos ? 即
sin 2? ? 2sin ? cos ?

(1.7)

在公式(1.1)中,令 ? ? ? ,可以得到二倍角的余 同理, 弦公式
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? (1.8)

2 2 因为 sin ? ? cos ? ? 1 ,所以公式(1.8)又可以变形为



cos 2? ? 2cos2 ? ? 1 cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ?.
还可以变形为 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? . sin 2 ? ? 或 cos2 ? ? 2 2

动脑思考 探索新知

在公式(1.5)中,令 ? ? ? ,可以得到二倍角的正切公式
tan 2? ? 2tan ? 1 ? tan 2 ?

(1.9)

公式(1.7)、(1.8)、(1.9)及其变形形式,反映出具 有二倍关系的角的三角函数之间的关系.在三角的计算中有着

广泛的应用.

巩固知识 典型例题
例9
3 sin ? ? 已知 ,且 ? 为第二象限的角,求 sin 2? 、 cos 2? 的值. 5

解 因为?为第二象限的角,所以
3 4 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? , 5 5



sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?

24 , 25

cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ?

7 . 25

巩固知识 典型例题
例10 已知 cos

?

1 ? ? ? ,且? ? (π, 2π) ,求 sin ?、 cos 的值. 2 3 4

分析
?
2

与 ?, 与
2

?

?
4



间都是具有二倍关系 的角.

巩固知识 典型例题
例10 已知 cos

?

解 由 ? ? (π, 2π) 知
sin

1 ? ? ? ,且? ? (π, 2π) ,求 sin ?、 cos 的值. 2 3 4 ? π
? ( , π),所以 2 2

?
2

? 1 ? cos 2
?
2

?
2

? 1?

1 2 2 ? 9 3



sin ? ? 2sin

cos

?
2

? 2?

2 2 1 4 2 ? (? ) ? ? 3 3 9

由于 ? ( , ) ,且 4 4 2
cos 2

?

π π

?
4
?

?

1 ? cos

1 1 ? (? ) 3 ?1 2 ? 2 2 3

?

所以 cos

?
4

3 . 3

巩固知识 典型例题
1 ? cos ? . 例11 求证 tan ? 2 sin ?

?

cos 2
证明 右边=

?
2

2sin

?
2

cos

?
2

?

2 ? tan ? =右边. ? 2 2sin 2

cos

?

运用知识 强化练习
5 cos 2?. 1.已知 sin ? ? , 且 ? 为第一象限的角,求 sin 2?、 13

120 sin 2? ? 169

119 cos2? ? . 169

4 2.已知 cos 2? ? ,且 2? ? [ π, 2π] 求 sin ?. 5

10 . 10

理论升华 整体建构
1 两角和与差的正切公式内容是什么?
tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? ; 1 ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 ? tan ? ? tan ?

2

二倍角公式内容是什么?
二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 二倍角的正切公式 sin 2? ? 2sin ? cos ?; cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ?; 2 tan ? tan 2? ? . 2 1 ? tan ?

自我反思 目标检测

学习效果 学习行为 学习方法

自我反思 目标检测
2 tan 22.5? 求 2 ? 的值. 1 ? tan 22.5

1.

继续探索 活动探究
读书部分:阅读教材相关章节 书面作业:教材习题1.1(必做) 学习指导1.1(选做)

实践调查:用两角和与差的正切
公式印证一组诱导公式


相关文章:
1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式(1)
三角公式及应用(教案) 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教过 *揭示课题 1.1 两角和与差的正弦公式与余弦公式. *创设情境 兴趣导入 cos 问题 我们知道, cos...
1.1两角和与差的正弦公式与余弦公式(2)
【课题】 1.1 两角和与差的正弦公式与余弦公式(二) 【教学目标】知识目标: 理解两角和与差的正切公式, 了解二倍角公式, 能正确运用各个公式进行简单的三角函...
1.1两角和与差的余弦公式与正弦公式(1)
,推出 cos(? ? ? ) . 【教学备品】教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教过 *揭示课题 1.1 两角和与差的余弦公式与正弦公式. ...
1.1两角和与差的余弦公式与正弦公式(2)
注重方法和思想的教育. 【教学备品】教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教过 *揭示课题 1.1 两角和与差的余弦公式与正弦公式. *创设...
两角和与差的正弦余弦公式
三、 教学三维目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究, 让学生探索、 ...2、能力目标 通过利用向量推导两角和与差的正弦余弦公式及公式的具体运用, 使...
1.1两角和与差的余弦公式与正弦公式(1)
两角和与差的余弦公式与正弦公式两角和与差的余弦公式与正弦公式隐藏>> 课题(项目..., (1.1) (1.2) 公式(1.1)反映了 ? ? ? 的余弦函数与 ? , ? 的...
两角和与差的正弦公式与余弦公式
(教案) 涟源市工贸职业中专数学组刘伟生 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教过 *揭示课题 1.1 两角和与差的正弦公式与余弦公式. *创设情境 兴趣导入 1 3 ...
1.1两角和与差的余弦公式与正弦公式(3)
记忆和 正确使用这些公式. 【教学备品】教学课件. 【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】 教过 *揭示课题 1.1 两角和与差的余弦公式与正弦公式. ...
两角和与差的正弦和余弦公式练习
两角和与差的正弦和余弦公式练习_数学_高中教育_教育专区。两角和与差的正弦和...2、 利用和角正弦公式计算下列各式的值 (1) sin 75? ? 4 3 , ? 是第...
更多相关标签:
两角差的余弦公式 | 两角差的余弦公式推导 | 两角差的余弦公式ppt | 两角差的余弦公式教案 | 两角和的余弦公式 | 两角和与差的余弦公式 | 两角和的余弦公式证明 | 两角差的余弦公式视频 |