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湖南省张家界市第一中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试卷


座号

张家界一中 2015-2016 学年上学期高二第一次月考数学试 卷
命题人:高二数学备课组 审题人:高二数学备课组(满分 150 分,时量 120 分钟) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 命题“存在实数 x , 使 x ? 1 ”的否定是 A.对任意

实数 x ,都有 x ? 1 B.不存在实数 x ,使 x ? 1 C.对任意实数 x ,都有 x ? 1 D.存在实数 x ,使 x ? 1 2.已知命题 p : x2 ? x ? 2 ? 0 , q : x ? 1 ,则 p 是 q 的 (

C

)

(

B

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分,又不必要条件 3. 一中生物园有平地和山地共 120 亩,现在估计平均亩产量,先用分层抽样的方法共抽取 10 亩进行调查,如抽出的山地是平地的 2 倍多 1 亩,则生物园的平地与山地的亩数分别是 ( C ) A. 45 , 75 B. 40 , 80 C. 36 , 84 D. 30 , 90

4. 函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ?1) x ? 2 在 ? ??, 4? 上单调递减,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ? 3 B. a ? ?3 C. a ? 5 D. a ? 5

D



5.右程序框图表示的算法的功能是 ( B A.求和 S ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 2
2

)

64 64
65

B.求和 S ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2 C.求和 S ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2 D.以上均不对

ax 6. 当 a ? 0 时, 函数 y ? ax+b 和 y ? b 的图象只可能是下列中的



A )

7. 已知 a ? 0 , b ? 0, a ? b ? 200 ,则 lg a ? lg b 的最大值为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 10



C )

8. 由直线 y ? x ? 1 上的一点向圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1引切线, 则切线长的最小值为 ( A. 2 2 ?1 B. 7 C. 2 2 D. 3 , 则 B ?(

B )

9. 已知 ?ABC 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 A.

? 3 y, 10. 在区间 ? ?2, 则 x ? y ? 0 概率为 1? 任取两个实数 x ,
B. C. A.

? 6
2 9

? 4

a ?b s i nC ? a ?c s i nA s ? i n B 3? D. 4
D.

C )



A )

B.

4 9

C.

1 2

7 9


?a 11.若定义运算 a ? b ? ? ?b
A.

a?b ,则函数 f ? x ? ? log2 x ? log 1 x 的值域是 a?b 2

B )

? 1? ? ??,
2

B.

0? ? ??,

C. ?0, ? ??

D. ?1, ? ?? (

12.方程 ax ? 3x ? 1 ? 0 至少有一个负数根,则实数 a 的取值范围是

C )

9? ? ? ? A. ? ??, 4? ?

9? ? ? ? B. ? ??, 4? ?

? 9 ? ? ?? C. ? ? , ? 4 ?

D. ?0, ? ??

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 右图是某市举行的歌唱比赛上,七位评委为某参赛选手打出的分数的茎叶图,去掉一个

最高分和一个最低分,所剩数据的方差为 14. 132 ? 340
(6)

1.6





15.已知正四面体的棱长为 1,那么它的外接球半径为

6 4



16.已知 P 是 ?ABC 内任一点,且满足 AP ? xAB ? yAC ( x, y ? R) ,则 y ? 2 x 的取值范 围是___ ? ?2, 1? 。

??? ?

??? ?

??? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。第 17 题 10 分,第 18、19、20、21、22 题每题 12 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 17. (10 分)如图是一个几何体的正视图和俯视图. (Ⅰ)试判断该几何体是什么几何体; (Ⅱ)画出其侧视图,并求该平面图形的面积; (Ⅲ)求出该几何体的体积。

2a

正视图 a

俯视图

(Ⅰ) 正六棱锥 (Ⅱ) 图略。 S? ?

1 3 ? 3a ? 3a ? a2 2 2

(Ⅲ) V ? ?? ?6?

1 ? 3 ?

3 2? 3 3 a ? ? ? 3a ? 2 a 4 ?

答案: (Ⅰ)正六棱锥 ?????????????????????????3 分 (Ⅱ)图略。 ?????????????????????????5 分

1 3 S? ? ? 3a ? 3a ? a2 2 2
(Ⅲ) V ? ? ? 6 ? ?

??????????????????7 分 ????????????????10 分

1 ? 3 ?

3 2? 3 a ? ? 3a ? a3 ? 4 2 ?

18.(12 分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相 应的生产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据

(Ⅰ)请画出上表数据的散点图;
^ ^

(Ⅱ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a ; (Ⅲ)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求 出 的 线 性 回 归 方 程 , 预 测 生 产 100 吨 甲 产 品 的 生 产 能 耗 比 技 改 前 降 低 多 少 吨 标 准 煤 ?

( 参考公式: b ?

^

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

?

?

? ( x ? x)
i ?1 i
?

n

?

?

?x y ?nx y ?x
i ?1 i ?1 n i i 2 i

n

? ?

2

? n( x ) 2

?

, a ? y? b x )

^

?

^ ?

答案: (Ⅰ)图略
?

???????????????????????????3 分 ?????????????????????4 分 ??????????????8 分

(Ⅱ) x ? 4.5 , y ? 3.5
^ ^

b ? 0.7 a ? 0.35 y ? 0.7 x ? 0.35

0 (Ⅲ) x ? 100 , y ? 0 . 7? 1 0 ?

0.3 ?5

7 0 ?.y3? 590 ? 70.35 ? 19.65 ?12 分 ,

19.(12 分)高二(3)班参加校数学竞赛学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同 程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:

(Ⅰ)求高二(3)班参加校数学竞赛人数及分数在 ? 80 , 90 ? 之间的频数,并计算频率分 布直方图中 ? 80 , 90 ? 间的矩形的高;

(Ⅱ)若要从分数在 ? 80 , 100 ? 之间的学生中任选两人进行某项研究,求至少有一人分数 在 ? 90 , 100 ? 之间的概率。

答案: (Ⅰ)高二(3)班参加校数学竞赛人数为 25 ,分数在 ? 80 , 90 ? 之间的频数为 4 频率分布直方图中 ? 80 , 90 ? 间的矩形的高为 0.016 (Ⅱ) ???????6 分

9 3 ? 15 5

????????????????????????12 分

20.(12 分)已知 m ? (sin x, ? sin x), n ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; 答案: (Ⅰ) f ( x) ? sin(2 x ? (Ⅱ) x ? ( 0, )

??

?

?

?? ? 3 cos x,sin x , 函数 f ( x) ? m ? n 。

?

(Ⅱ)当 x ? ( 0, ) 时,求 f ( x ) 的取值范围。

?
6

2? 3

)?

2? 3

2x ?

?

? 3? ?( , ) 6 6 2

1 2

∴ T ??

?????????????6 分 ∴ f ( x) ? ( ? , ]

3 1 2 2

????12 分

21.( 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n2 ? n , n ? N * ,数列 ?bn ? 满足

an ? 4log2 bn ? 3, n ? N* 。
(Ⅰ) 求 an , bn ;

(Ⅱ) 求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn 。 ???????????????????6 分

答案: (Ⅰ) an ? 4n ? 1 bn ? 2 n?1
?1 (Ⅱ) an ? bn ? ( 4 n ? 1) ? n2

Tn ? ( 4 n ? 5?) n2 ?

5 ????????12 分

22.(12 分)已知函数 f ( x) ?

x ?1? a ( x ? R且x ? a) a?x

(Ⅰ)证明: f ( x) ? 2 ? f (2a ? x) ? 0 对定义域内的所有 x 都成立; (Ⅱ)当 f ( x ) 的定义域为 ?a ? 0.5 , a ?1? 时,求证: f ( x) 的值域为 ? ?3, ? 2? ; (Ⅲ)设函数 g ( x) ? x ? ( x ? a) f (x)
2

,求 g ( x) 的最小值。

证明: (Ⅰ) f ( x) ? 2 ? f (2a ? x)

x ?1? a 2a ? x ? 1 ? a ?2? a?x a ? 2a ? x x ?1? a a ? x ?1 ? ?2? a?x x?a x ? 1 ? a ? 2a ? 2 x ? a ? x ? 1 ? ?0 a?x ?
??????????????3 分 (Ⅱ) f ( x) ? ∵ a?

1? ( a ? x ) 1 ? ?1 ? a?x a?x

????????????????5 分 ∴ ?1 ? a ? x ? ?

1 1 ? x ? a ? 1 ∴ ?a ? 1 ? ? x ? ?a ? 2 2 1 1 ? ?1 ∴ ?3 ? ?1 ? ? ?2 ∴ ?2 ? a?x a?x

1 2

∴ f ( x ) 值域为 ? ?3, ? 2? ??????????????????????7 分 (Ⅲ)由题意, g ( x) ? x ? x ?1 ? a ( x ? a ) ?????????????8 分
2

当 x ? a ? 1 且 x ? a 时, g ( x) ? x ? x ? 1 ? a ? ( x ? ) ?
2 2

1 2

3 ?a 4

① 如果 a ? 1 ? ? ② 如果 a ? 1 ? ? ③ 如果 a ? ?

1 1 2 即 a ? 时, ? g ( x)?min ? g (a ?1) ? (a ?1) 2 2

1 3 1 1 1 即 a ? 且 a ? ? 时, ? g ( x) ?min ? g (? ) ? ? a 2 4 2 2 2

1 时, g ( x) 无最小值。 ????????????????10 分 2
2

当 x ? a ? 1 时, g ( x) ? x ? x ? 1 ? a ? ( x ? ) ? a ?
2

1 2

5 4

① 如果 a ? 1 ? ② 如果 a ? 1 ?

1 5 1 3 即 a ? 时, ? g ( x) ?min ? g ( ) ? a ? 2 4 2 2
1 3 2 即 a ? 时, ? g ( x)?min ? g (a ?1) ? (a ?1) 2 2

????????????????????????????11 分 当a ?

5 3 2 3 2 时, (a ? 1) ? (a ? ) ? (a ? ) ? 0 , 4 2 2 3 1 2 1 2 时, (a ? 1) ? ( ? a ) ? (a ? ) ? 0 4 2 2

当a ?

综上所述,当 a ? 当

1 1 3 且 a ? ? 时, g ( x) 的最小值是 ? a ; 2 2 4

1 3 ? a ? 时, g ( x) 的最小值是 ( a ?1)2 ; 2 2 3 5 当 a ? 时, g ( x) 的最小值是 a ? ; 2 4 1 当 a ? ? 时, g ( x) 无最小值。 ???????????????????12 分 2


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