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高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案


高中数学选修2-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算

一、学习任务 1. 了解空间向量与平面向量的联系与区别;了解向量及其运算由平面向空间推广的过程. 2. 了解空间向量、共线向量、共面向量等概念;理解空间向量共线、共面的充要条件;了解空间向 量的基本定理及其意义;理解空间向量的正交分解及其坐标表示. 3. 理解空间向量的线性运算及其性质;理解空间向量的坐标运算. 4. 理解空间向量的夹角的概念;理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律;掌握空间向量的数 量积的坐标形式;能用向量的数量积判断两非零向量是否垂直.

二、知识清单
空间向量的概念与表示 空间向量的坐标运算 空间线段的长度

三、知识讲解
1.空间向量的概念与表示 描述: 空间向量的概念及表示方法 与平面向量一样,在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量(space vector),向量的大小叫 做向量的长度或模(modulus).

?→ ? AB .

向量可以用有向线段来表示,也可用 a , b 等表示,还可以用有向线段的起点与终点字母表示,如 长度为 0 的向量叫做零向量(zero vector),记为 0 .模为 1 的向量称为单位向量(unit vector).与向量 a 长度相等而方向相反的向量,称为 a 的相反向量,记为 ? a .方向相同且模 相等的向量称为相等向量(equal vector). 空间向量的加减运算 ①空间向量的加减运算满足三角形法则和平行四边形法则; ②空间向量的加













→ → → → → → ( a + b ) + c = a + ( b + c ).
空间向量的数乘运算

减运算满足交换律及结合律: a + b = b + a ,









与平面向量一样,实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λ a 仍然是一个向量,称为向量的数乘 (multiplication of vector by scalar).当 λ > 0 时,λ a 与向量 a 方向相同;当 λ < 0 时,λ a 与向量 a 方向相反;λ a 的长度是 a 的长度的 |λ|倍. 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律: 分配律:λ( a + b ) = λ a + λ b ,结合律:λ(μ a ) = (λμ) a . 空间向量基本定理





























(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(colliner vectors)或平行向量(parallel vectors). 共线向量定理 空间任意两个向量 a , b ( b ≠ 0 ), a || b 的充要条件是存在实数 λ,使



→ →



→ →

→ → a =λb .

→ l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,对空间任意一点 O ,点 P 在直线 l 上的充 ?→ ? ?→ ? → → 要条件是存在实数 t ,使 OP = OA + t a ,其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量(direction
vector).

(2)平行于同一平面的向量叫做共面向量(coplanar vectors).

共面向量定理 如果两个向量 a 、 b 不共线,则向量 c 与向量 a , b 共面的充要条件是,存在唯一的 一对实数x ,y ,使 c = x x + y b . (3)空间向量分解定理

→ → →











的有序实数组x ,y ,z 使 p = x a + y b + z c .



如果三个向量 a , b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一

→ → →









如果三个向量 a , b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在唯一一个有序实数组 {x, y, z}, 使得 p = x a + y b + z c .如果三个向量 a , b , c 不共面,那么所有空间向量组成的集合就是



→ →











→ →



→ →→ → → → → → { p | p = x a + y b + z c , x, y, z ∈ R} .这个集合可看作是由向量 a , b , c 生成的,我们把 →→→ → → → { a , b , c } 叫做空间的一个基底(base), a , b , c 都叫做基向量(base vectors).空间任何
三个不共面向量都可构成空间的一个基底. 空间向量的数量积运算

已知两个非零向量 a , b ,在空间任取一点 O ,作 OA = a ,OB = b ,则 ∠AOB 叫做向量

→ →

?→ ?

? → ?→



→ → → → →→ π → → → → a , b 的夹角,记作 ? a , b ?.如果 ? a , b ? = ,那么向量 a , b 互相垂直,记作 a ⊥ b . 2 → → → → → → → → 已知两个非零向量 a , b ,则 | a || b | cos? a , b ? 叫做 a , b 的数量积(inner product),记作 → → → → → → → → a ? b .即 a ? b = | a || b | cos? a , b ? .零向量与任何向量的数量积为 0 .特别地, → → → → → → → a ? a = | a || a | cos? a , a ? = | a | 2 .
空间向量的数量积满足如下的运算律:

→ → → → (λ a ) ? b = λ( a ? b ) ; → → → → a ? b = b ? a (交换律); → → → → → → → a ? ( b + c ) = a ? b + a ? c (分配律).
例题: 给出下列命题: ①两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同; ②若空间向量 a , b 满足 ∣ a ∣ = ∣ b ∣,则 a = b ; ③在正方体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1





∣→∣ ∣ ∣ →

∣→∣ ∣ ∣





④若 a = b , b = c ,则 a = c ; ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中正确命题的个数是( )



→ →





中,必有 AC = A 1 C1 ;

?→ ?

? ? ?→

A.4 B.3 C.2 D.1 解:C. 当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,由于向量可以平移,故两个向量相 等,不一定有起点相同、终点相同,故命题①错误;两个向量的模长相等,两个向量不一定相等,还要 考虑方向因素,故命题②错误;命题③④正确;对于命题⑤,空间中任意两个单位向量的模均为 1 , 但是方向不一定相同,故不一定相等,故⑤错. 在长方体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 中,下列各式运算结果为 BD 1 的是(

? ? ? ? → ? ? ? → ?→ ? (1)A 1 D 1 ? A 1 A ? AB ; ?→ ? ? ? ? → ? ? ? → ? (2)BC + BB 1 ? D 1 C1 ; ?→ ? ?→ ? ? ? ? → (3)AD ? AB ? DD 1 ; ? ? → ? ? ? ? ? → ? ? ? → (4)B 1 D 1 ? A 1 A + DD 1 .

? ? ? →



A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) 解:A. 利用空间两个向量的加减运算法则和运算律进行运算,逐一验证. (1)A 1 D 1 ? A 1 A ? AB = AD 1 ? AB = BD 1 ;

D.(1)(4)

? ? ? → ? ? ? → ? ? ? ? → ? ? ? ? → ? ? ? → ?→ ? ?→ ? ? ? ? → ?→ ? ? ? ? → ?→ ? ? ? ? → ? ? ? → ? ? ? → (3)AD ? AB ? DD 1 = BD ? DD 1 = BD ? BB 1 = B 1 D ≠ BD 1 ; ? ? → ? ? ? ? → ? ? ? → ? ? ? ? ? → ? ? ? → ?→ ? ? ? → ? ? ? → ? ? ? → (4)B 1 D 1 ? A 1 A + DD 1 = BD + AA 1 + DD 1 = BD 1 + AA 1 ≠ BD 1 .
(2)BC + BB 1 ? D 1 C1 = BC1 + C1 D 1 = BD 1 ; 已知 A 、B 、M 三点不共线,对于平面 ABM 外的任一点 O ,确定在下列各条件下,点 P 是否与 A 、B 、M 一定共面. (1)OB + OM = 3OP ? OA ;(2)OP = 4OA ? OB ? OM .

? ? ? ? → ?→ ?

? ? ? →

?→ ?

? ? ? →

?→ ?

? ? ? →

?→ ?

? ? →

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

? ? →

解:(1)原式可变为 OB = OP + (OP ? OA) + (OP ? OM ) = OP ? P A ? P M . 由向量共面的充要条件,知点 P 与 A 、B 、M 共面. (2)原式可变形为 OP = 2OA + (OA ? OB) + (OA ? OM ) = 2OA + BA + MA . 由向量共面的充要条件,得点 P 位于平面 ABM 内的充要条件是OB 可写成

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

? ? →

?→ ?

?→ ?

? ? →

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

? ? →

?→ ?

?→ ?

? ? →

?→ ? ?→ ? ? ? → ?→ ? OP = OA + xBA + yMA,所以点 P 与 A 、B 、M 不共面. ? ? ? →

?→ ?

如图,在平行六面体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 中,设 AA 1 = a ,AB = b ,AD = c ,点 M ,

? → ?→

→ ?→ ?



→ → → N ,P 分别是 AA 1 ,BC ,C1 D 1 的中点,试用 a , b , c 表示以下向量: ?→ ? ? ? ? → ? ? → ? ? → ? (1)AP ;(2)A 1 N ;(3)MP + NC1 .

解:(1)因为 P 是 C1 D 1 的中点,所以

?→ ? ? ? ? → ? ? ? ? → ? ? ? → AP = AA 1 + A 1 D 1 + D 1 P ? ? ? ? → → → 1 ?→ ? → ?→ 1? = a + AD + D 1 C1 = a + c + AB 2 2 → → 1→ = a + c + b. 2

(2)因为 N 是 BC 的中点,所以

? ? ? → ? ? ? → ?→ ? ?→ ? A 1 N = A 1 A + AB + BN ? → → 1 ?→ = ? a + b + BC 2 ? → → 1 ?→ = ? a + b + AD 2 → → 1→ = ?a + b + c. 2
(3)因为 M 是 AA 1 的中点,所以

? → ?→ ? ? ? → ? MP = MA + AP ? ? → ?→ ? 1? = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = ? a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 ? ? ? → ?→ ? ? ? ? → 1 ?→ ? ? ? ? → 1 ?→ ? ? ? ? → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2
因此可得 MP + NC1 = (

? ? →

? ? ? →

1→ 1→ → → 1→ 3→ 1→ 3→ a + b + c )+ (a + c)= a + b + c . 2 2 2 2 2 2

已知正四面体 OABC 的棱长为 1 .求: (1)3OA ? OB ;

?→ ? ?→ ? ?→ ?

(2)(OA + OB) ? CA;

?→ ?

?→ ?

∣ (3)∣ ∣OA + OB + OC ∣ .
解:(1)

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ? ?→ ?→ ? ?→ ? ? 3OA ? OB = 3 (OA ? OB)

?→ ? ∣ ∣?→ ?→ ? ?→ ? ∣ ? = 3∣ ∣OA∣ ∣OB∣ cos?OA, OB? = 3 × 1 × 1 × cos 60? 3 = . 2 ?→ ? ?→ ?

(2) 原式 = (OA + OB) ? (OA ? OC )

?→ ?

?→ ?

? ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? 2 ?→ ? ?→ ?→ ? ?→ = OA + OB ? OA ? OB ? OC ? OA ? OC 1 1 1 = 12 + ? ? 2 2 2 1 = . 2

(3)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?→ ? ?→ ? 2 ?→ ? √ 原式 = (OA + OB + OC )

? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 2 2 ?→ ?? ?→ ?? ?→ ? ?→ ? ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? 2 ?→ = √OA + OB + OC + 2 ? OA ? OB + 2 ? OA ? OC + 2 ? OB ? OC ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? = √1 2 + 1 2 + 1 2 + (2 × 1 × 1 cos 60? ) × 3 = √6

如图,平行六面体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 中,AB = 1,AD = 2,AA 1 = 3 ,∠BAD = 90?, ) ∠BAA 1 = ∠DAA 1 = 60? ,则 AC1 的长为(

? A.√? 13 解:B.

? B.√? 23 ?→ ? ?→ ? ? ? ? →

? C.√? 33

? D.√? 43

因为 AC1 = AB + AD + AA 1 ,所以

? ? ? →

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? →∣ ?→ ? ?→ ? ?→ ? ? ? ? → ?→ ? ? ? ? → ?→ ? ?→ ? ? ? ? → 2 ?→ ? 2 ? ? ? →2 ?→ ? 2 ∣? ∣AC1 ∣ = √(AB + AD + AA 1 ) = √AB + AA 1 + AD + 2 (AB ? AD + AB ? AA 1 + AD ? AA 1 ) .
又因为 ∠BAD = 90?,∠BAA 1 = ∠DAA 1 = 60? ,所以

?→ ? ?→ ? ?→ ? ? ? ? → ?→ ? ? ? ? → ?AB, AD? = 90? , ?AB, AA 1 ? = ?AD, AA 1 ? = 60? .
又因为 AB = 1,AD = 2,AA 1 = 3 ,所以

? ? →∣ ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ∣? ? ? ∣AC1 ∣ = √1 + 4 + 9 + 2(0 + 1 × 3 × cos 60 + 2 × 3 × cos 60 ) = √23 .

2.空间向量的坐标运算 描述: 空间向量的基本定理

→ → → e1 ,e2 ,e3 为有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底),分别以 → → → e1 ,e2 ,e3 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz.对于空间任意一个向 ?→ ? → → 量 p ,一定可以把它平移,使它的起点与原点重合,得到 OP = p .由空间向量的基本定理可知, → → → → → 存在有序实数组 {x, y, z},使得 p = xe1 + ye2 + ze3 ,我们把 x,y ,z 称作向量 p 在单位正交 → → → → 基底 e1 ,e2 ,e3 下的坐标,记作 p = (x, y, z) .
空间向量的坐标运算

空间向量的坐标运算

设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b 1 , b 2 , b 3 ) ,则





→ → a + b = ( a1 + b 1 , a2 + b 2 , a3 + b 3 ) , → → a ? b = ( a1 ? b 1 , a2 ? b 2 , a3 ? b 3 ) , → λ a = (λa1 , λa2 , λa3 ) , → → a ? b = a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3 . → → → → a || b ? a = λ b ? a1 = λb 1 , a2 = λb 2 , a3 = λb 3 (λ ∈ R ); → → → → a ⊥ b ? a ? b = 0 ? a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3 = 0 ; ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? → → → 2 + a2 ; | a | = √ a ? a = √a2 + a 1 2 3 →→ a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3 cos? a , b ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 √a1 + a2 + a3 √b 1 + b 2 + b 2 3 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?→ ? dAB = |AB| = √(a2 ? a1 )2 + (b 2 ? b 1 )2 + (c 2 ? c 1 )2 .
例题: 设向量 a = (3, 5, ?4) , b = (2, 1, 8),计算

在空间直角坐标系中,已知点 A(a1 , b 1 , c 1 ) ,B(a2 , b 2 , c 2 ) ,则 A ,B 两点间的距离





(1) a + b ;(2) a ? b ;(3)2 a + 3 b ;(4)3 a ? 2 b . 解:(1) a + b = (3 + 2, 5 + 1, ?4 + 8) = (5, 6, 4); (2) a ? b = (3 ? 2, 5 ? 1, ?4 ? 8) = (1, 4, ?12); (3)2 a + 3 b = 2(3, 5, ?4) + 3(2, 1, 8) = (6, 10, ?8) + (6, 3, 24) = (12, 13, 16); (4)3 a ? 2 b = 3(3, 5, ?4) ? 2(2, 1, 8) = (9, 15, ?12) ? (4, 2, 16) = (5, 13, ?28). 已知空间三点 A(?2, 0, 2),B(?1, 1, 2),C (?3, 0, 4),设 a = AB , b = AC . (1)若 | c | = 3 ,且 c ∥ BC ,求 c ; (2)求 a 和 b 夹角的余弦值; (3)若 k a + b 与 k a ? 2 b 互相垂直,求 k 的值; (4)若 λ( a + b ) + μ( a ? b ) 与 z 轴垂直,求 λ,μ 应满足的关系式.

→ →

→ →

















→ →

→ →





?→ ?



?→ ? →

?→ ?















? ?→ ? → ?→ → ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? → | c | = √(?2m)2 + (?m)2 + (2m)2 = 3|m| = 3 ,所以 m = ±1. → → 故 c = (?2, ?1, 2) 或 c = (2, 1, ?2) . → → (2)因为 a = (1, 1, 0), b = (?1, 0, 2) ,所以 → → a ? b = (1, 1, 0) ? (?1, 0, 2) = 1 × (?1) + 1 × 0 + 0 × 2 = ?1. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? → → ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 又 | a | = √1 2 + 1 2 + 0 2 = √2 ,| b | = √(?1)2 + 0 2 + 2 2 = √5 ,所以 → → ? →→ ?1 a ? b √? 10 . cos? a , b ? = = ? = ? ? 10 → → √10 | a || b | ? ? → → √10 故 a 和 b 的夹角的余弦值为 ? . 10 → → → → (3)因为 k a + b = (k ? 1, k, 2),k a ? 2 b = (k + 2, k, ?4),所以









解:(1)因为 c ∥ BC ,所以 c = mBC = m(?2, ?1, 2) = (?2m, ?m, 2m),所以

(k ? 1, k, 2) ? (k + 2, k, ?4) = (k ? 1)(k + 2) + k2 ? 8 = 0,解得 k = 2 或 k = ?

5 . 2

2 → → → → 5 即当 k a + b 与 k a ? 2 b 互相垂直时,k = 2 或 k = ? . 2 → → → → (4)因为 a + b = (0, 1, 2) , a ? b = (2, 1, ?2) ,所以 → → → → λ( a + b ) + μ( a ? b ) = (2μ, λ + μ, 2λ ? 2μ). → → → → 又因为 λ( a + b ) + μ( a ? b ) 与 z 轴垂直,所以 (2μ, λ + μ, 2λ ? 2μ) ? (0, 0, 1) = 2λ ? 2μ = 0. → → → → 即当 λ,μ 满足关系式 λ ? μ = 0 时,可使 λ( a + b ) + μ( a ? b ) 与 z 轴垂直.

3.空间线段的长度 描述: 空间线段 AB 的两个端点 A 、 B 之间的距离称为空间线段的长度. 例题: 在四棱锥 P ? ABCD 中,P A ⊥ 面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,点 O 是对角线 AC 与 BD 的交点.M 是 P D 的中点,AB = 2,∠BAD = 60?. (1)求证:OM ∥ 平面 P AB; (2)求证:平面 P BD ⊥ 平面 P AC; (3)当四棱锥 P ? ABCD 的体积等于 √3 时,求 P B 的长.

解:(1)因为在 △P BD 中, O 、M 分别是 BD 、P D 的中点,所以 OM 是 △P BD 的中位 线,所以 OM ∥ P B,又 OM ?? 平面 P AB,P B ? 平面 P AB,所以 OM ∥ 平面 P AB. (2)因为底面 ABCD 是菱形,所以 BD ⊥ AC.又因为 P A ⊥ 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD,所以 P A ⊥ BD.又 AC ∩ P A = A,所以 BD ⊥ 平面 P AC,又因为 BD ? 平面 P BD,所以 平面 P BD ⊥ 平面 P AC. (3)因为底面 ABCD 为菱形,AB = 2,∠BAD = 60?,所以

1 1 √3 × AB × AD × sin 60? = 2 × × 2 × 2 × = 2√3,因为四棱锥 P ? ABCD 2 2 2 1 3 的高为 P A ,所以 × 2√3 × P A = √3 ,得 P A = ,在 Rt△P AB 中, 3 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 3 P B = √P A 2 + A B 2 = √( ) + 2 2 = . 2 2 S ABCD = 2 ×

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 在平行六面体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 中,下列四对向量:① AB 与 C1 D 1 ;② AC1 与 BD 1 ;③

?→ ?

? ? ? ? →

? ? ? → )

? ? ? →

? ? ? → ? ? ? → ? ? ? → ? ? ? → AD 1 与 C1 B ;④ A 1 D 与 B 1 C .其中互为相反向量的有 n 对,则 n = (
A.1 B.2 C.3

D.4

答案: B 解析: ①③是互为相反向量.

2. 若 A (1, ?2, 1), B (4, 2, 3) ,C (6, ?1, 4) ,则 △ABC 的形状是 ( A.不等边锐角三角形 C.钝角三角形
答案: A 解析: 因为

)

B.直角三角形 D.等边三角形

?→ ? ?→ ? ?→ ? AB = (3, 4, 2) , AC = (5, 1, 3) , BC = (2, ?3, 1) ,
所以 AB ? AC > 0 ,得 A 为锐角; CA ? CB > 0 ,得 C 为锐角; BA ? BC > 0 ,得 B 为锐角;

?→ ? ∣ ? ∣ ∣?→ 又∣ ∣AC ∣ ≠ ∣BC ∣ ,所以△ABC 为不等边锐角三角形. → → →

答案: 解析:

?→ ? ?→ ?

?→ ? ?→ ?

?→ ? ?→ ?

3. 已知 a , b , c 是空间中两两垂直的单位向量, m = a + b , n = b ? c ,则 m 与 n 的夹角为

















60?

? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? → → → ? → → → → → → → |m | = ?( a + b ) ? ( a + b ) = √2 , | n | = ?( b ? c ) ? ( b ? c ) = √2 , ? ? → → → → → → → → m ? n = (a + b )? ( b ? c ) = b ? b =1 ,
∴ cos?m , n ? =

→→

→ → 1 →→ m?n = ,故 ?m , n ? = 60? . → → 2 |m | ? | n |


? = (2, y, 2) ,若 ∣a?? 4. 已知向量 a??= (2, 4, x), b ? ∣ = 6 ,a??⊥ b ??,则 x + y 的值是
答案: 解析:

1 或 ?3 { x = 4, 或 { x = ?4, y = ?3, y = 1.

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