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公开课:一元二次方程实数根的分布问题教案


一元二次方程实数根的分布问题
教学目标 1.使学生理解并掌握一元二次方程实数根分布问题的处理方法,进一步理解 函数与方程之间的练习. 2.发现二次函数图象与 x 轴交点与对应一元二次方程根的关系 , 并会解决一 元二次方程根的分布问题. 3.通过实例,体会数形结合思想以及函数与方程思想. 教学重点 利用二次函数图象把一元二次方程根的分布问题转化为图形问题,再转化为 代数表达式(不等式组),最后通过计算得到参数的取值范围. 教学难点 图形问题转化为代数表达式(不等式组)并求解. 教学过程 一.问题引入 通过之前的学习,我们知道许多问题可以转化为一元二次方程实数根的问题 4 来处理,如阶段Ⅱ考试最后一题就是转化为一元二次方程在区间 ( ,?? ) 上有且仅 3 有一个实数根的问题.那么,我们这节课一起来探究一下一元二次方程实数根的分 布问题. 二.例题探究 例 1 范围. 解:设方程 x 2 ? (k ? 3) x ? k ? 0 的两实数根为 x1 , x 2 ,则
? ??0 ? ? x1 ? x 2 ? 0 , ?x ? x ? 0 2 ? 1

已知方程 x 2 ? (k ? 3) x ? k ? 0 有两个大于零的实数根,求实数 k 的取值

??k ? 3?2 ? 4k ? 0 ? , ? ? k ?0 ? ? (k ? 3) ? 0 ?
? 0 ? k ? 1.

变式 1 围.

如果 x 2 ? (k ? 3) x ? k ? 0 有两个大于 1 的实数根,求实数 k 的取值范

? ??0 ? 分析: ? x1 ? x 2 ? 1 . ?x ? x ? 1 2 ? 1

反例: x1 ? 3 , x 2 ?

1 . 2

解法一:设方程 x 2 ? (k ? 3) x ? k ? 0 的两实数根为 x1 , x 2 ,则
??0 ? ? ? ( x1 ? 1) ? ( x 2 ? 1) ? 0 , ?( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 0 2 ? 1 ??0 ? ? ? ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0 , ? x1 ? x 2 ? 2 ? 0 ?

??k ? 3?2 ? 4k ? 0 ? ? ? k ? k ? 3 ?1 ? 0 , ? ? (k ? 3) ? 2 ? 0 ?
? k ??.

点评:计算量比较大,容易出错,你能否想到简单一些的解法? 我们知道 , 方程 f ( x) ? 0 的实数根就是函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横 坐标,也就是函数 y ? f ( x) 的零点.那么,能否从函数的角度来考虑这题? 解法二:设 f ( x) ? x 2 ? (k ? 3) x ? k ,则

? ??0 ? b ? 1, ?? ? 2a ? f (1) ? 0
??k ? 3?2 ? 4k ? 0 ? k ?3 ? ? ? ? ?0 2 ? 1? k ? k ? 3 ? 0 ? ?
? k ??

变式 2 围.

如果 x 2 ? (k ? 3) x ? k ? 0 有两个小于 1 的实数根,求实数 k 的取值范

解:设 f ( x) ? x 2 ? (k ? 3) x ? k ,则

? ??0 ? b ?1, ?? ? 2a ? f (1) ? 0
??k ? 3?2 ? 4k ? 0 ? k ?3 ? ? ? ? ?0 2 ? 1? k ? k ? 3 ? 0 ? ?
? k ? 9.

变式 3

如果 x 2 ? (k ? 3) x ? k ? 0 两个实数根,一个比 1 大,一个比 1 小,求实数

k 的取值范围.

解:设 f ( x) ? x 2 ? (k ? 3) x ? k ,则
f (1) ? 0 ,
? k ? 1.

变式 4

如果 x 2 ? (k ? 3) x ? k ? 0 的两

个实数根介于 0 和 2 之间,求实数 k 的取值 范围. 解:设 f ( x) ? x 2 ? (k ? 3) x ? k ,则
? ??0 b ? ?2 ?0 ? ? 2a , ? f ( 0 ) ? 0 ? ? f ( 2) ? 0 ?
? 2 ? k ? 1. 3

变式 5

如果 x 2 ? (k ? 3) x ? k ? 0 的两个实数根分别区间 (?1,0) 和 (1,2) 内,求

实数 k 的取值范围. 解:设 f ( x) ? x 2 ? (k ? 3) x ? k ,则

? f (?1) ? 0 ? f (0) ? 0 ? , ? f ( 1 ) ? 0 ? ? ? f (2) ? 0

? ?k ?3? k ? 0 ? k ?0 ? , ? ? 1 ? k ? 3 ? k ? 0 ? ? ?4 ? 2k ? 6 ? k ? 0 2 ? ? k ? 1. 3 三.总结归纳 结合例题,你能总结出处理一元二次方程实数根分布问题的一般思路吗? 根据一元二次方程实数根的分布情况作出符合条件的二次函数图象,由图像 的直观形象,写出代数表达式(不等式组),最后计算得到参数的去取值范围. 写代数表达式(不等式组)时,需考虑: ①区间端点的函数值的符号;②对称轴的位置;③判别式的符号. 根据所总结的处理一元二次方程实数根分布问题的一般思路,填写下表.
设 x1 , x2 是 一 元 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的 两 个 实 根 , 二 次 函 数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) .
跟 的 分 布 图 象

x1 ? x2 ? k

k ? x1 ? x2

x1 ? k ? x2

k1 ? x1 ? x2 ? k 2

m ? x1 ? n p ? x2 ? q

等 价 条 件

? ? 0, ? f (m) ? 0, ? ? f (n) ? 0, ? f ( k ) ? 0, ? 1 ? ? f (k ) ? 0. ? f (k 2 ) ? 0, ? f ( p) ? 0, ? b ? ? f (q) ? 0. ?k1 ? ? ? k2 . 2a ? 思考:结合表格你能否将这五类进一步总结成两或三类? (1)一元二次方程的两个实数根分布在同一个区间时,需要考虑: ①区间端点的 函数值的符号;②对称轴的位置;③判别式的符号. (2) 一元二次方程的两个实数根分布在不同的两个区间时 ,只需要考虑:区间 端点的函数值的符号. 四.练习巩固
? ? ? ? 0, ? ? f ( k ) ? 0, ? b ? ? k. ? ? 2a ? ? ? ? 0, ? ? f ( k ) ? 0, ? b ? ? k. ? ? 2a

练习 1

已知关于 x 的方程 2kx2 ? 2 x ? 3k ? 2 ? 0 的两实根一个大于 1,一个小

于 1,求实数 k 的取值范围. 练习 2 已知 a 为实数,方程 2ax2 ? x ?1 ? 0在(0,1) 内恰有一解,求 a 的取值范围.

(2010· 广东)已知 a 为实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a 如果函数 y ? f ( x) 在区 间 [ ?1,1] 上有零点,求 a 的取值范围. 五.课堂小结 通过本节课学习,你有什么收获? 函数与方程思想、数形结合思想 一元二次方程实数根的分布 函数与方程思想 符合条件的二次函数的图象 数形结合思想 代数表达式(不等式组)

计算得到参数取值范围


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