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任意角


1.1

任意角和弧度制 任意角

1.1.1

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感悟提升

【课标要求】

1.了解角概念的推广.
2.掌握正角、负角和零角的概念,理解任意角的意义. 3.熟练掌握象限角、轴线角、终边相同的角的概念,会用集合 表示这些角. 【核心扫描】 1.各种角的概念.(重点、易混点) 2.终边相同的角的表示.(难点)

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新知导学 1.任意角的概念 (1)角的概念 角可以看成平面内 一条射线 绕着端点从一个位置 旋转 到另 一个位置所成的图形. (2)角的表示:如图 ①顶点:射线的端点 O; ②始边:射线的起始位置 OA; ③终边:射线的终止位置 OB.
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(3)角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类: ①正角:按 逆时针 方向旋转形成的角; ②负角:按 顺时针 方向旋转形成的角; ③零角:如果一条射线 没有 作任何旋转,我们称它形成了一 个零角.

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温馨提示:(1)角度的范围不再局限于[0°,360°].

(2)角的概念是通过角的终边的运动来推广的,根据终边的旋转
“方向”可得到正角、负角和零角,因此应当意识到角的终边位 置及旋转方向的重要性. (3)当角的始边相同时,若角相等,则终边相同,但终边相同,角 不一定相等.

2.象限角 角的顶点与原点重合, 角的始边与 x 轴的非负半轴重合, 那么, 角的终边在第几象限, 就说这个角是 第几象限的角 . 如果角 的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
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温馨提示:(1)象限角的前提条件是:角的顶点与坐标原点重合,
角的始边与x轴的非负半轴重合. (2)在学习象限角时,应强调角与平面直角坐标系的关系.在这个 统一前提下,才能对象限角进行定义.终边落在坐标轴上是一种 “边界”状态.因此,规定它不属于任何一个象限.

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3.终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角, 连同角 α 在内,
360° 可构成一个集合 S= {β|β=α+k· ,k∈Z}

即任一与角 α 终边相同的角,都可以表示 成角 α 与整数个周角的和. 如图所示, α1、 角 α2、α3 为终边相同的角.

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温馨提示:一般地,终边相同的角的表达式形式不唯一,可利用

图形来验证,如α=90°+k·180°与β=-90°+k·180°(k∈Z)
都表示终边在y轴上的角. 互动探究 探究点1 如果一个角的终边和始边重合,那么这个角一定是零角 吗? 提示 不一定,若角的终边未作旋转,则这个角是零角;若角的

终边作了旋转,则这个角不是零点.

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探究点2 锐角与第一象限的角有什么区别?

提示 锐角与第一象限角既有区别又有联系.锐角是第一象限
角,而第一象限角不一定是锐角.同样,钝角是第二象限角, 而第二象限角不一定是钝角. 探究点3 终边相同的角是相等的角吗? 提示 不一定,相等的角的终边一定相同;终边相同的角不一 定相等.终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.

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类型一 角的概念问题 【例1】 在下列说法中: ①0°~90°的角是第一象限角; ②第二象限角大于第一象限角;

③钝角都是第二象限角;
④小于90°的角都是锐角. 其中错误说法的序号为________(错误说法的序号都写上). [思路探索] 解答本题可根据任意角、象限角的概念进行判断.

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解析

①0°~90°的角是指[0°,90°),0°角不属于任何象

限,所以①不正确.
② 120° 是 第 二 象 限 角 , 390° 是 第 一 象 限 角 , 显 然 390°>120°,所以②不正确. ③钝角的范围是(90°,180°),显然是第二象限角,所以③正 确. ④锐角的范围是(0°,90°),小于90°的角也可以是零角或负 角,所以④不正确.

答案 ①②④

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[规律方法] 判断说法错误,只需举一个反例即可.解决本题关 键在于正确理解各种角的定义.随着角的概念的推广,对角的认

识不能再停留在初中阶段,否则判断容易错误.
【活学活用1】 A={小于90°的角},B={第一象限角},则A∩B =( ). B.{小于90°的角} D.以上都不对

A.{锐角} C.{第一象限角}

解析

小于90°的角由锐角、零角、负角组成,而第一象限的角

包含有锐角及其他终边在第一象限的角,所以A∩B是由锐角和 终边在第一象限的负角组成的集合,故选D. 答案 D
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类型二 象限角的判定 【例2】 已知角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负 半轴重合,指出下列各角是第几象限角,以及0°~360°范 围内与其终边相同的角. ①485°;②-35°;③770°;④-500°.

[思路探索] 解决本题的关键是将所给角α写成α=k·360°+
β(k∈Z)的形式,其中β是0°~360°范围内的角. 解 ①485°=125°+360°,所以在0°~360°范围内,与

485°终边相同的角是125°,所以485°是第二象限角.

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②-35°=325°-360°,所以在0°~360°范围内,与-35° 终边相同的角是325°,所以-35°是第四象限角. ③770°=50°+2×360°,所以在0°~360°范围内,与770° 终边相同的角是50°,所以770°是第一象限角. ④-500°=220°-2×360°,所以在0°~360°范围内,与- 500°终边相同的角是220°,所以-500°是第三象限角.

[规律方法] 本题要求在0°~360°范围内,找出与已知角终边
相同的角,并判断其为第几象限角,这是为以后证明恒等式、化 简及利用诱导公式求三角函数的值打基础.本题虽然简单,但非 常重要,因此要引起重视.
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【活学活用2】 给出下列四个命题:①-75°角是第四象限角;

②225°角是第三象限角;③475°角是第二象限角;④-
315°是第一象限角,其中真命题有( A.1个 B.2个 C.3个 ).

D.4个

解析 对于①:如图1所示,-75°角是第四象限角; 对于②:如图2所示,225°角是第三象限角; 对于③:如图3所示,475°角是第二象限角; 对于④:如图4所示,-315°角是第一象限角.

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答案 D

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类型三 终边相同的角的应用

【例3】 在与角10 030°终边相同的角中,求满足下列条件的
角. (1)最大的负角;(2)最小的正角;(3)360°~720°的角. [思路探索] 先写出终边相同的角的一般形式,再求满足条件的 整数k即可,其中最大的负角在-360°~0°之间,最小的正 角在0°~360°之间.

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(1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β=k·360°+10

030°(k∈Z) , 由 - 360°<k·360° + 10 030°<0° , 得 - 10

390°<k·360°<-10 030°,解得k=-28,故所求的最大负角
为β=-50°. (2)由0°<k·360°+10 030°<360°,得-10 030°<k·360°<- 9 670°,解得k=-27,故所求的最小正角为β=310°. (3)由360°<k·360°+10 030°<720°,得-9 670°<k·360°<

-9 310°,解得k=-26,故所求的角为β=670°.
[规律方法] 求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法

是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等 式求出k的值.
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【活学活用3】 写出与α=-1 910°终边相同的角的集合,并把
集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来.
解 由终边相同的角的表示知与角 α=-1 910° 终边相同的角

的集合为:{β|β=k· -1 910° 360° ,k∈Z}. ∵-720° ≤β<360° , 即-720° 360° 910° ≤k· -1 <360° (k∈Z), 11 11 ∴336≤k<636(k∈Z).故取 k=4,5,6. k=4 时,β=4×360° 910° -1 =-470° ; k=5 时,β=5×360° 910° -1 =-110° ; k=6 时,β=6×360° 910° -1 =250° .
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类型四

区域角的表示

【例 4】 写出终边落在阴影部分的角的集合.

[思路探索] 写出 0° 360° 到 范围内终边落在阴影部分的角, 然后 根据终边相同的角的表示方法写出满足条件的角.

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解 设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成. ①{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z}. ②{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°,k∈Z}. ∴角α的集合应当是集合①与②的并集: {α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z} ∪{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°,k∈Z}

={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°,k∈Z}
∪{α|(2k+1)180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z} = {α|2k·180° + 30°≤α<2k·180° + 105° 或 (2k + 1)·180° + 30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z} ={α|k·180°+30°≤α<k·180°+105°,k∈Z}.
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[规律方法]

解答此类题目应先在 0° ~360° 上写出角的集合,

再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合,如果集合 能化简的还要化成最简.本题还要注意实线边界与虚线边界的 差异.

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【活学活用 4】 如图,若角 α 的终边落在函数 y=x(x≥0)与 y= -x(x≤0)的图象所夹的区域(即图中阴影部分,不包括边界)内, 求角 α 的集合.

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终边落在函数y=x(x≥0)的图象上的角的集合是{α|α=45°

+k·360°,k∈Z},
终边落在函数y=-x(x≤0)的图象上的角的集合是{α|α=135°+ k·360°,k∈Z}. 所 以 所 求 角 的 集 合 是 {α|45° + k·360°<α<135° + k·360° , k∈Z}.

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易错辨析 因未能正确理解象限角而出错

α 【示例】 已知 α 是第三象限角,则3是第几象限角?
α [错解] 由 α 是第三象限角,得 180° <α<270° ,∴60° 3<90° < ,∴ α 3是第一象限角.

[错因分析] 仅以 180° <α<270° 表示第三象限角是出错的主要原 因.

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[正解] ∵α 是第三象限角,∴180° 360° +k· <α<270° 360° +k· (k α ∈Z), ∴60° 120° 3<90° 120° +k· < +k· (k∈Z). k=3n(n∈Z)时, 当 α α 60° 360° 3<90° 360° +n· < +n· (n∈Z),∴3是第一象限的角;当 k α α =3n+1(n∈Z)时, 180° 360° 3<210° 360° +n· < +n· (n∈Z), 3是 ∴ α 第三象限的角;当 k=3n+2(n∈Z )时,300° 360° 3<330° +n· < α α +n· (n∈Z),∴ 3 是第四象限的角.∴ 3 是第一、三、四象 360° 限的角.
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α [防范措施] 已知角 α 所在的象限,要求n(n∈N*)所在的象限, 应把角 α 写成 k· +β<α<k· +γ(k∈Z)的形式,再求出 360° 360° 360° β α 360° γ k· n +n<n<k· n +n(k∈Z),分别取 k=0,1,2,?,n-1,即 α 可确定n所在的象限.

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1.下列角中终边与 330° 相同的角是( A.30° C.630° B.-30° D.-630°

).

解析 由题意可知330°=-30°+1×360°. 答案 B

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2.-1 120°角所在象限是(

).

A.第一象限
C.第三象限 解析

B.第二象限
D.第四象限

由题意,得-1 120°=-4×360°+320°,而320°

在第四象限,所以-1 120°角也在第四象限. 答案 D

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3.一角为30°,其终边按逆时针方向旋转三周后得到的角的度

数为________.
解析 按逆时针方向旋转得到的角是正角,旋转三周则得30°+

3×360°=1 110°. 答案 1 110°

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4.与2 013°角的终边相同的最小正角是________,绝对值最小

的角是________.
解析 与2 013°终边相同的角为2 013°+k·360°(k∈Z).当k

=-5时,213°为最小正角;当k=-6时,-147°为绝对值最 小的角. 答案 213° -147°

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5.判断下列各组角中,哪些是终边相同的角.

(1)k·90°与k·180°+90°(k∈Z);
(2)k·180°±60°与k·60°(k∈Z); (3)(2k+1)·180°与(4k±1)·180°(k∈Z); (4)k·180°+30°与k·180°±30°(k∈Z). 解 (1)由于k·90°表示90°的整数倍,而k·180°+90°=

(2k+1)·90°表示90°的奇数倍,故这两个角不是终边相同的 角.

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(2) 由 于 k·180°±60° = (3k±1)·60° 表 示 60° 的 非 3 的 整 数

倍.而k·60°表示60°的整数倍,故这两个角不是终边相同的
角. (3)由于(2k+1)·180°表示180°的奇数倍,(4k±1)·180°也表示 180°的奇数倍,故(2k+1)·180°与(4k±1)·180°(k∈Z)是终边 相同的角. (4)由于k·180°+30°=(6k+1)·30°表示30°的(6k+1)倍,而 k·180°±30°=(6k±1)·30°表示30°的(6k±1)倍,故这两个

角不是终边相同的角.

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课堂小结

1.角的概念推广以后,它包括任意大小的正角、负角和零角.
2.要明确象限角的概念及其内涵,并能依据概念判断一个角是 哪一个象限角或象限界角. 3.会用集合表示终边相同的角,并要深刻理解终边相同角的含 义,会利用概念求得符合某种条件的角.

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