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高中数学 2.2.2对数函数及其性质(3)精讲精析 新人教A版必修1


课题:2.2.2 对数函数及其性质(3) 精讲部分
学习目标展示 (1)熟练掌握对数函数概念、图象、性质(2)掌握对数型复合函数的单调性; (3)会解决有关对数函数的综合问题 衔接性知识 1. 判断函数 f ( x) ? log 与 g ( x) ? log2 (?2 x ? 1) 的单调性并用定义加以证明 x ? 1) 2 (2 2. 判断函数 f ( x) ? lo

g1 (2 与 g ( x) ? log 1 (?2 x ? 1) 的单调性并用定义加以证明 x ? 1)
2 2

3. 由来 1 与 2 的结论,你可以猜到到更一般的结论吗? 基础知识工具箱 函数 y ? log a f ( x) (a ? 0 ,且 a ? 1) 的单调性结论 当 a ? 1时 当 0 ? a ? 1时 典例精讲剖析 例 1. 已知函数 f ( x) ? log a (2x ?1) ( x ?[2 ,14]) 的图象经过点 (5 , ? 2) ,其中 a ? 0 且

y ? log a f ( x) (a ? 0 ,且 a ? 1) 的单调性与 y ? f ( x) 相同 y ? log a f ( x) (a ? 0 ,且 a ? 1) 的单调性与 y ? f ( x) 相反

a ? 1.
(1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x) ? log a (2x ?1) ( x ?[2 ,14]) 的值域. [分析]由函数 f ( x) 的图象经过点 (5 , ? 2) 知, f (5) ? ?2 可求得 a 的值,由 f ( x) 的单调 性可求 f ( x) 的值域. [解析](1)∵函数图象过点 (5 , ? 2) ,∴ f (5) ? ?2 ,?log a 9 ? ?2 ,即 a
?2

?9,

? a ? 0 且 a ? 1 ,? a ?

1 3

(2) f ( x) ? log 1 (2 x ? 1) ( x ?[2 ,14]) ,
3

设 u ? 2 x ? 1 ,则由 x ? [2 , 14] ,得 3 ? u ? 27 ∵ f ( x) ? log 1 u 在 u ?[3 , 7] 是减函数,所以 log 1 27 ? log 1 u ? log 1 3 ,即 ?3 ? y ? ?1
3 3 3 3

所以函数 f ( x) ? log a (2x ?1) ( x ?[2 ,14]) 的值域为 [?3 , ? 1] .

例 2. ( 1 )求函数 y ? log2 ( x2 ? 2x ? 3) 的单调区间 (2 )求函数 y ? log 1 ( x2 ? 2 x ? 3) 的单调区间
2

( 3 )已知 a ? 0 ,且 a ? 1 ,讨论函数 y ? loga ( x2 ? 2x ? 3) 的单调性 [解析](1)? x2 ? 2x ? 3 ? ( x ?1)2 ? 2 ? 0 ,所以函数的定义域为 R

? 2 ? 1 , y ? log2 ( x2 ? 2x ? 3) 的单调性与 y ? x2 ? 2x ? 3 相同
而 y ? x2 ? 2x ? 3 ? ( x ?1)2 ? 2 ,

? y ? x2 ? 2x ? 3 在 [1, ? ?) 单调递增,在 (?? , 1] 单调递减
所以 y ? log2 ( x2 ? 2x ? 3) 在 [1, ? ?) 单调递增,在 (?? , 1] 单调递减 故 y ? log2 ( x2 ? 2x ? 3) 的递增区间为 [1, ? ?) ,递增区间为 (?? , 1] (2)? x2 ? 2x ? 3 ? ( x ?1)2 ? 2 ? 0 ,所以函数的定义域为 R

?0 ?

1 ? 1,? y ? log 1 ( x2 ? 2 x ? 3) 的单调性与 x 2 ? 2 x ? 3 相反 2 2
2 2

而 y ? x ? 2x ? 3 ? ( x ?1) ? 2 ,

? y ? x2 ? 2x ? 3 在 [1, ? ?) 单调递增,在 (?? , 1] 单调递减
所以 y ? x ? 2x ? 3 在 [1, ? ?) 单调递减,在 (?? , 1] 单调递增
2

故 y ? x ? 2x ? 3 的递增区间为 (?? , 1] ,递增区间为 [1, ? ?)
2

( 3) )? x2 ? 2x ? 3 ? ( x ?1)2 ? 2 ? 0 ,所以函数的定义域为 R

? y ? x2 ? 2x ? 3 ? ( x ?1)2 ? 2 , ? y ? x2 ? 2x ? 3 在 [1, ? ?) 单调递增,在 (?? , 1] 单调递减
2 当 a ? 1 时, y ? loga ( x ? 2x ? 3) 在 [1, ? ?) 单调递增,在 (?? , 1] 单调递减;

当 0 ? a ? 1 时, y ? loga ( x ? 2x ? 3) 在 [1, ? ?) 单调递减,在 (?? , 1] 单调递增;
2

例 3. 若函数 f ( x) ? ? 范围

?(6 ? a) x ? 4a x ? 1 是 (?? , ? ?) 上的增函数,试求实数 a 的取值 log x x ? 1 a ?

[ 分 析 ] f ( x ) 在 (?? , ? ?) 上 是 增 函 数 , 故 在 (?? ,1) 上 和 [1 ,? ? )上 都 单 调 增 , 即

y ? (6 ? a) x ? 4a ( x ? 1) 和 y ? log a x ( x ? 1) 都是增函数,且在 [1, ? ?) 上的最小值不 小 . .
于 在 (?? ,1) 上的最大值. .

[ 解析 ] 因为 f ( x ) 在 (?? , ? ?) 上是增函数,故在 (?? , 1) 上和 [1 , ? ? ) 上都单调增,即 小 y ? (6 ? a ) x ? 4a ( x ? 1)和 y ? log a x ( x ? 1) 都是增函数,且在 [1, ? ?) 上的最小值不 . . 于 在 (?? ,1) 上的最大值.故结合图象知 .

? ?a ? 1 ?a ? 1 ? 6 6 ? ? ?a ? 6 ,解得 ? a ? 6 ,故实数 a 的取值范围 [ , 6 ) ?6 ? a ? 0 5 5 ?(6 ? a) ?1 ? 4a ? log 1 ? 6 a ? ?a ? 5 ?
例 4. 已知函数 f ( x) ? log a (a x ?1) (a ? 0 且 a ? 1) (1)求 f ( x ) 的定义域;(2)讨论 f ( x ) 的单调性;(3) x 为何值时,函数值大于 1. [解析] (1) 使 f ( x) ? log a(a x ?1) 有意义,则 a ? 1 ? 0 即 a ? 1
x x

当 a ? 1 时, x ? 0 ;当 0 ? a ? 1 时, x ? 0 因此,当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的定义域为 ?x | x ? 0? ;当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) 的定 义域为 ?x | x ? 0? . (2) 当 a ? 1 时 y=a x- 1 为 增 函数 , 因此 y=loga (a x- 1) 为 增 函 数; 当 0 ? a ? 1 时

y=a x- 1为减函数,因此 f ( x) ? log a(a x ?1) 为增函数
综上所述, f ( x) ? log a(a x ?1) 为增函数.
x 1 ? a ,∴ a x ? a+ 1 ∴ x ? loga (a+ (3)当 a ? 1 时 f ? x ? ? 1 即 a - 1)

1 ? a ∴ 1 ? a ? a+1 ,∴ loga (a+ 当 0 ? a ? 1 时, f ? x ? ? 1 即 0 ? a - 1) ? x ? 0 .
x x

例 5. 已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? ax ? a)
2

(1)若函数 f ( x ) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围 (2)若函数 f ( x ) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围 [解析](1)因为函数 f ( x ) 的定义域为 R ,所以 x ? ax ? a ? 0 对一切实数 x 都成立,所以
2

y ? x2 ? ax ? a 的图象开口向上且与 x 轴无交点,从面有 ? ? a2 ? 4a ? a(a ? 4) ? 0 ,
∴?

?a ? 0 ?a ? 0 ?a ? 0 ?a ? 0 ? ?4 ? a ? 0 或? 或? ?? a ? 4 ? 0 a ? 4 ? 0 a ? ? 4 a ? ? 4 ? ? ? ?

∴所求 a 的取值范围为 (?4 , 0) ( 2 ) 因 为 函 数 f ( x ) 的 值 域 为 R , 所 以 y ? x2 ? a x? a 必须取遍一切正数,所以

y ? x2 ? ax ? a 的图象开口向上且与 x 轴有交点,从面有 ? ? a2 ? 4a ? a(a ? 4) ? 0 ,
∴?

?a ? 0 ?a ? 0 ?a ? 0 ?a ? 0 ? a ? 0 或 a ? ?4 或? 或? ?? a ? 4 ? 0 a ? 4 ? 0 a ? ? 4 a ? ? 4 ? ? ? ?

∴所求 a 的取值范围为 (?? , ? 4] ? [0 , ? ?)

精练部分 A 类试题(普通班用) 1.下列不等式成立的是 A. log 3 2 ? log 2 3 ? log 2 5 C. log 2 3 ? log 3 2 ? log 2 5 [答案] A [ 解 析 ] ∵ y ? log 2 x , 2 ? 3 ? 5 , ∴ 1 ? log2 2<log2 3<log2 5 , log 3 2= ( ) B. log 3 2 ? log 2 5 ? log 2 3 D. log 2 3 ? log 3 5 ? log 2 2

1 <1 , log 2 3

?log 3 2 ? log 2 3 ? log 2 5 ,故选 A

?21? x ? 1 ( x ? 1) 2. 设函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是( ) ( x ? 1) ?lg x A. (?? , 0) ? (10 , ? ?) B. (?1, ? ?) C. (?? , ? 2) ? (?1,10) D. (0 , 10)
[答案] A [解析] 由条件知,得 ?

? x0 ? 1 ?2
1? x0

?1 ? 1

或?

? x0 ? 1 ?lg x0 ? 1

? x0 ? 1 ? x0 ? 1 或? ,∴ x0 ? 0 或 x0 ? 10 ,从而选 A ?? ?1 ? x0 ? 1 ? x0 ? 10
3. 若函数 y ? log a ( x ? 1) (a ? 0 ,且 a ? 1) 的定义域和值域都是 ? 0 , 1? ,则 a 等于 [答案] 2 [解析] ∵ 0 ? x ? 1 ,∴ 1 ? x ? 1 ? 2 , 又∵ 0 ? log a ( x ? 1) ? 1 ,故 a ? 1 ,且 log a 2 ? 1 ,∴ a ? 2 .

4. 已知函数 f ( x) ? log x m 的图象过点 P (4 , ( 1 )求实数 m 的值;

1 ), 2

( 2 )若 f ( a) ? f ( b) ? 0,试比较 a , b 与 f (2) 的大小

) [解析] (1)? 函数 f ( x) ? log x m 的图象过点 P (4 ,

1 2

? f (4) ?

1 1 1 ,即 log 4 m ? ,? m ? 4 2 ? 2 2 2

(2)? f (a) ? f (b) ? 0 , ?loga 2 ? logb 2 ? 0 , ? 即 log2 b ? log2 a ? log2 1 , ? 0 ? b ? a ? 1 而 f (2) ? log2 2 ? 1 ,所以 f (2) ? a ? b

1 1 ? ?0, logb 2 log a 2

5. 已知函数 f ( x) ? log 1 (2 ? x) 在其定义域内单调递增, g ( x) ? loga (1 ? 2x )
a

(1)求 f ( x ) 的定义域与 g ( x) 的定义域 (2)判断函数 g ( x) 的单调性. [解析] (1)由 2 ? x ? 0 ,得 x ? 2 ,所以 f ( x ) 的定义域为 (?? , 2)
x 由 1 ? 2 ? 0 ,得 2 ? 1 ,? 2 ? 2 ,即 x ? 0 ,所以 g ( x) 的定义域为 (?? , 0)
x x 0

(2)由于 f ( x) ? log 1 (2 ? x) 在 (?? , 2) 内递增,且 y ? 2 ? x 在 (?? , 2) 内的减函数
a

所以 0 ?

1 ? 1 ,即 a ? 1 , a

? g ( x) ? loga (1 ? 2x ) 的单调性与 y ? 1 ? 2x 在 (?? , 0) 的单调性相同
而 y ? 1 ? 2 在 (?? , 0) 上是减函数
x

因此 g ( x) ? loga (1 ? 2x ) 在 (?? , 0) 上是减函数. B 类试题(3+3+4) (尖子班用) 1. 下列不等式成立的是 A. log 3 2 ? log 2 3 ? log 2 5 C. log 2 3 ? log 3 2 ? log 2 5 [答案] A [ 解 析 ] ∵ y ? log 2 x , 2 ? 3 ? 5 , ∴ 1 ? log2 2<log2 3<log2 5 , log 3 2= ( ) B. log 3 2 ? log 2 5 ? log 2 3 D. log 2 3 ? log 3 5 ? log 2 2

1 <1 , log 2 3

?log 3 2 ? log 2 3 ? log 2 5 ,故选 A
2.设函数 f ( x) ? ?

?21? x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1)

?lg x A. (?? , 0) ? (10 , ? ?)
[答案] A [解析] 由条件知,得 ?

,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是( C. (?? , ? 2) ? (?1,10)

) D. (0 , 10)

B. (?1, ? ?)

? x0 ? 1

1? x0 ?2 ? 1 ? 1 ? x0 ? 1 ? x0 ? 1 或? ,∴ x0 ? 0 或 x0 ? 10 ,从而选 A ?? ?1 ? x0 ? 1 ? x0 ? 10 3. 若函数 f ( x) ? log a | x ? 1| 在 ( ?1 , 0) 上有 f ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 的单调性是 (

或?

? x0 ? 1 ?lg x0 ? 1

)

A. f ( x ) 在(-∞,0)上是增函数 C. f ( x ) 在(-∞,-1)上是增函数 [答案] C

B. f ( x ) 在(-∞,0)上是减函数 D. f ( x ) 在(-∞,-1)上是减函数

[解析] 当 ?1 ? x ? 0 时, 0 ? x ? 1 ? 1 ,又 log a | x ? 1|? 0 ,∴ 0 ? a ? 1 因 此 函 数 f ( x) ? l o g a 上递减 4.已知 f ( x) ? log 1 (
3

的 x |? 1 | 单 调 性 与 y ?| x ? 1 |相 反 , 由 图 象 可 知 y ?| x ? 1| 在

(?? , ? 1) 递减; 1, ?? ) 在 (?1, ? ?) 上递增. f ( x) ? log a | x ? 1| 在 (?? , ? 1) 递增; 在 (?

1 ? 1) 的定义域为 2x

, f ( x ) 在其定义域内是

函数(填

“增”或“减” ) [答案] (0 , ? ?) ,增 [解析] 使 f ( x ) 有意义,得

1 1 1 ? 1 ? 0 ,即 ( ) x ? ( )0 ,? x ? 0 , x 2 2 2

所以 f ( x ) 的定义域为 (0 , ? ?)

?0 ?

1 1 1 ? 1 , f ( x) 的单调性与 y ? ( ) x ? 1 的单调性相反,而 y ? ( ) x ? 1 是减函数,所 3 2 2

以 f ( x) ? log 1 (
3

1 ? 1) 在 (0 , ? ?) 增函数 2x

5.设 a ? log3 ? ,, b ? log2 3 , c ? log3 2 ,则 a , b c 的大小关系为 [答案] a ? b ? c

[解析]

a=log3? ? log3 3= 1 , b ? log 2

1 lg 3 lg 3 2 1 1 1 3? ? ? log 2 3> log 2 2= , lg 2 lg 2 2 2 2

1 lg 2 lg 2 2 1 1 1 1 1 ? ? ?log 3 2< log 3 3= log 2 3< log 2 4=1 , c=log 3 2 ? 又 , ∴ lg 3 lg 3 2 2 2 2 2
a?b?c
6.若函数 y ? log a ( x ? 1) (a ? 0 ,且 a ? 1) 的定义域和值域都是 ? 0 , 1? ,则 a 等于 [答案] 2 [解析] ∵ 0 ? x ? 1 ,∴ 1 ? x ? 1 ? 2 , 又∵ 0 ? log a ( x ? 1) ? 1 ,故 a ? 1 ,且 log a 2 ? 1 ,∴ a ? 2 . 7. 已知函数 f ( x) ? log x m 的图象过点 P (4 , ( 1 )求实数 m 的值; ( 2 )若 f ( a) ? f ( b) ? 0,试比较 a , b 与 f (2) 的大小

1 ), 2

) [解析] (1)? 函数 f ( x) ? log x m 的图象过点 P (4 ,

1 2

? f (4) ?

1 1 1 ,即 log 4 m ? ,? m ? 4 2 ? 2 2 2

(2)? f (a) ? f (b) ? 0 , ?loga 2 ? logb 2 ? 0 , ? 即 log2 b ? log2 a ? log2 1 , ? 0 ? b ? a ? 1 而 f (2) ? log2 2 ? 1 ,所以 f (2) ? a ? b

1 1 ? ?0, logb 2 log a 2

8. 已知函数 f ( x) ? log 1 (2 ? x) 在其定义域内单调递增, g ( x) ? loga (1 ? 2x )
a

(1)求 f ( x ) 的定义域与 g ( x) 的定义域 (2)判断函数 g ( x) 的单调性. [解析] (1)由 2 ? x ? 0 ,得 x ? 2 ,所以 f ( x ) 的定义域为 (?? , 2)
x 由 1 ? 2 ? 0 ,得 2 ? 1 ,? 2 ? 2 ,即 x ? 0 ,所以 g ( x) 的定义域为 (?? , 0)
x x 0

(2)由于 f ( x) ? log 1 (2 ? x) 在 (?? , 2) 内递增,且 y ? 2 ? x 在 (?? , 2) 内的减函数
a

所以 0 ?

1 ? 1 ,即 a ? 1 , a

? g ( x) ? loga (1 ? 2x ) 的单调性与 y ? 1 ? 2x 在 (?? , 0) 的单调性相同

而 y ? 1 ? 2x 在 (?? , 0) 上是减函数 因此 g ( x) ? loga (1 ? 2x ) 在 (?? , 0) 上是减函数. 9. 已知函数 f ( x) ? lg(ax2 ? 2x ? 1) . (1)若函数 f ( x ) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x ) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)若 f ( x) ? lg(ax2 ? 2x ? 1) 定义域为 R , 显然 a ? 0 ,必须 ?

?a ? 0 ,解得 a ? 1 ?? ? 4 ? 4a ? 0

从而,实数 a 的取值范围为 (1, ? ?) (2)若 f ( x) ? lg(ax2 ? 2x ? 1) 值域为 R , ⅰ)当 a ? 0 时,符合题意. ⅱ)当 a ? 0 时,必须 ?

?a ? 0 解得 0 ? a ? 1 ?? ? 4 ? 4a ? 0

综上所述, 0 ? a ? 1 ,即实数 a 的取值范围为 [0 , 1] 10. 已知函数 f ( x) ? log 1 (3x2 ? ax ? 5) 在区间 [?1, ? ?) 内是减函数,求实数 a 的取值范
2

围. [解析]∵ 0 ?

1 ? 1 ,∴ y ? log 1 t 为 t ? (0 , ? ?) 减函数, 2 2
2

2 因 为 f ( x) ? log 在 区 间 [?1, ? ?) 内 是 减 函 数 , 所 以 t ? 3x ? ax ? 5 在 x ? ax? 5) 1 (3 2

[?1, ? ?) 上为增函数且 t ? x 2 ? ax ? a 在 [?1, ? ?) 上恒大于 0 ,

?a ? ? ?1 因此满足以下条件 ? 6 , 解得 ?8 ? a ? ?6 2 ?3 ? (?1) ? a ? (?1) ? 5 ? 0 ?
故实数 a 的取值范围为 (?8, ? 6 ]


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