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启慧·全国大联考2016届高三12月联考试题 数学(理) Word版含解析


启慧· 全国大联考十二月联考试卷
2016 届高三 数学(理科)试卷
时间:12 月 8 日下午 14 : 30—16 : 30 考生注意: 1、 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。 满分 150 分, 答题时间 120 分钟, 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、作答时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3、考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题(本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合要求的) 1、已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 (1 ? 3i) z ? 1 ? i ,则 | z | =( ) A、 2

B、

1 2

C、

2 2

D、 2 )

2、已知集合 A,B 是非空集合且 A ? B,则下列说法错误的是( A、 ?x0 ? A, x0 ? B C、 A ? B ? A B、 ?x0 ? A, x0 ? B D、 A ? (? U B) ? ? )

3、执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为(

A、 3

B、

3 2

C、0

D、 ? 3

4、已知命题 P:在三角形 ABC 中,若 A>B,则 sinA> sinB;命题 Q:若随机变量 X 服从正 态分布 N(1, ? ),且 X 在((0,1)内取值的概率为 0.4,则 X 在((0,2)内取值的概率为 0. 8,
2

-1-

下列命题中正确的是( A、 P ? Q 5、已知 sin(? ? A、 ?

) C、 P ? ?Q D、 ?P ? ?Q

B、 ?P ? Q

?
4

)?
1 3

1 ? ,则 cos(? ? ) 的值等于( ) 3 4
C、 ?

1 3

B、

2 2 3

D、

2 2 3

6、已知函数 f ( x ) 对定义域内的任意 x 都满足 f (2 ? x) ? f (? x) ,数列{ an }是公比不为 1 的 正项等比数列,且 f (lg a5 ) ? f (lg a15 ) ,则 a10 =( A、10 B、100 C、125 ) D、5 3 )

7、气象台预计未来一周((7 天)内有 3 天下雨,那么连续 3 天下雨的概率为( A、

3 7

B、

1 7

C、

6 35

D、

1 6

8、如图,若 ? 是长方体 ABCD -A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的 点,且 EH//A1D1,则下列结论中错误的是( ) A、EH// FG B、四边形 EFGH 是矩形 C、 ? 是棱柱 D、四边形 EFGH 是梯形 9、三角形 ABC 中,B=45°,c= 2 ,面积 S=1,则 A、1 B、2
2

a?b?c =( ) sin A ?sin B ?sin C

C、2 2

D、2+2 2

10、抛物线 y ? 2 px (p>0)的焦点为 F,准线为 l,A,B 是抛物线上的两个动点,且满足

? AFB=

2? |MN| 。设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N,则 的最大值是( 3 |AB|
B、

)

A、 3

3 2

C、

3 3

D、

3 4

|AC|=1 ,若点 P 是圆 O 所 11、圆 O 的直径为 BC,点 A 是圆周上异于 B,C 的一点,且 |AB|?

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? AB 9 AC ? ? ???? ,则 PB?PC 的最大值为( 在平面内的一点,且 AP ? ??? | AB | | AC |
A、2 3 B、9 C、76 D、81

) 。

12、函数 f ( x ) 是定义在(0, ?? )上的单调函数, ?x ? (0, ??), f [ f ( x) ? ln x] ? e ? 1,则方
-2-

程 f ( x) ? f '( x) ? e (其中 e 为自然对数的底数)的解所在的区间是( A、(0,

)

1 ) 2

B、 (

1 ,1) 2

C、(1,2)

D、 (2,3)

第 II 卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线 上) 13、已知二项式 ( x ?
2

1 n ) 的展开式中所有系数之和为 32,则展开式中含 x 项的系数 x

是 。 14、如图,一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形,且直角边长为 2,则这个几何 体的外接球的表面积为 。

15、在数学发展史上曾经发生过几次危机,由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪,直 到 1872 年,德国数学家戴德金提出了“戴德金分割” ,才结束了长达两千多年的数学史上的 第一次大危机;所谓戴德金分割,是指将有理数集 Q 划分为两个非空的子集 M 与 N,且满足 M ? N=Q,M ? N= ? ,M 中的每一个元素都小于 N 中的每一个元素,则称(M,N)为戴德金 分割;对于任一戴德金分割(M.,N),给出下面几个结论: (1)M 没有最大元素,N 有一个最小元素 (2)M 没有最大元素,N 也没有最小元素 (3)M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 (4)M 没有最小元素,N 没有最大元素 则所有正确的结论的序号是 。 16、已知实数 a,b 满足 2
a ?1

? 2b ?1 ? 4a ? 4b ,则 a+b 的取值范围是



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 17、(满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? 2(an ?1) ,数列{ bn }满足:对任意

n ? N ? 有 a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn ? (n ?1)? 2n?1 ? 2 。
(1)求数列{ an }与数列{ bn }的通项公式; (2)记 cn ?

1 bn ,数列{ cn }的前 n 项和为 Tn,若 | 2 ? Tn |? ,求 n 的取值范围。 n an

-3-

18、(满分 12 分)为调查某社区年轻人的周末生活状况,研究这一社区年轻人在周末的休闲方 式与性别的关系,随机调查了该社区年轻人 80 人,得到下面的数据表: 休闲方式 性别 男 女 合计 逛街 1O 1O 20 上网 5O 1O 6O 合计 6O 2O 8O

(I)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查3名在该社区的年轻男性,设调查的3人在这 一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望; (II)根据以上数据,能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”?

n(ad ? bc)2 参考公式: K ? 其中, n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

参考数据: P( K 2 ? k0 ) 0 .15 2 .072 0 .10 2 .706 0 .05 3 .841 0 .025 5 .024 0 .010 6 .635

k0

19、(满分12分)如图,AC是圆O的直径,B,D是圆O上两点, AC=2BC=2CD=2,PA与圆O所在的平面垂直,M是线段BP上靠近B点的一 个三等分点。 (1)求证:CM平行于平面PAD; (2)若CM与平面PAC所成角的正弦值为时

5 ,求AP的值。 5

20、(满分12分)椭圆C的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0),F1,F2分别是它 a 2 b2

的左、右焦点,已知椭圆C过点(0,1),且离心率 e ?

2 2 。 3

(I)求椭圆C的方程; (II)如图,设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,直线l的方程为x=4,P 是椭圆上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别交直线l于D,E两 点,求 F1D?F2 E 的值; (III)过点Q(1,0)任意作直线m(与x轴不垂直)与椭圆C交于M、N两点,与l交于R点,
-4-

???? ? ???? ?

???? ? ???? ? ??? ? ???? RM ? xMQ, RN ? yNQ 。求证:4x+4y+5=0。

21、(满分12分)已知函数 f ( x) ? ax, g ( x) ? ln x ,其中a ? R.(e ? 2. 718)。 (1)若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 有极值1,求a的值; (2)若函数 G( x) ? f (sin( x ? 1)) ? g ( x) 在区间(0,1)上为减函数,求a的取值范围;

(3)证明:

? sin (k ? 1)
k ?1

n

1

2

? ln 2 。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分,做答时请 写清题号。 22、(满分10分)选修4一1几何证明选讲 自圆O外一点P引圆O的两条割线PAB和PDC, 如图所示, 其中割线PDC过圆 心O,AB= 2 OA,PD= 3 , ? P=15°。 (1)求 ? C的大小; (2)分别求线段BC和PA的长度。

23、(满分10分)选修4一4:极坐标与参数方程 已知圆的极坐标方程为: ? ? 4 2 ? cos(? ?
2

?
4

)?6 ?0。

(1)将极坐标方程化为普通方程; (2)若点P( x , y )在该圆上,求 x ? y 的最大值和最小值。

24、(满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | 。 (I)当a=2时,解不等式 f ( x) ? 4? | x ? 1| ;

-5-

(II)若 f ( x) ? 1 的解集为[0,2],

1 1 ? ? a (m ? 0, n ? 0) ,求证: m ? 2n ? 4 。 m 2n

-6-

-7-

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-9-

- 10 -

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- 12 -

- 13 -

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