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四川省成都外国语学校2012届高三8月月考试卷(数学)


成都外国语学校高中 2012 级数学期末试题

命题人:刘世华

审题人:于开选

选择题, 第 I 卷(选择题,共 60 分) 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 选择题 题目要求的。 题目要求的。

1.(理)若 ( A.-7

1 + 2i =a+bi(a,b ∈ R,i 是虚数单位) ,则 a-b 等于 1 - 2i 1
B.-1 C.-

(文)已知集合 S={ x 条件是 A.-1≤a≤1

5 x?2 2 2 <0},T= { x x -(2a+1) x +a +a ≥ 0}(a ∈ R),则 S∪T=R 的充要 ∪ x
B.-1<a≤1 C. 0<a≤1 D. 0≤a≤1

D.-

7 5

2.函数 f( x )= ?

?log 3 x ? 1, ( x ≥ 1) 的反函数是 (x ?2 x ? 4, ≤ 0)
?3 x +1 ( x ≥ 1) ? B. f ( x ) = ? x + 4 ( x ≤ ? 4) ? ? 2
-1

?3 x +1 ( x > ?1) ? A. f ( x ) = ? x + 4 ( x < ?1) ? ? 2
-1

?3 x + 1( x ≥ ?1) ? C. f -1 ( x ) = ? x + 4 ( x ≤ ?4) ? ? 2

?3 x +1 ( x ≥ ?1) ? D. f -1 ( x ) = ? x + 4 ( x ≤ ? 4) ? ? 2

3.设 α、β 为两个不同的平面,m、n 为两条不同的直线,且 m ? α ,n ? β ,有如下的两个 命题:p:若 α // β ,则 m//n;q:若 m ⊥ n,则 α ⊥ β .那么 A. “p 或 q”是假命题 C. “非 p 或 q” 是假命题
2 2

B. “p 且 q”是真命题 D. “非 p 且 q”是真命题

4.直线 l :y=k(x-2)+2 与圆 x +y -2x-2y=0 有两个不同的公共点,则 k 的取值范围是 A.(- ∞ ,-1) B.(-1,1) C.(-1,+ ∞ ) D.(- ∞ ,-1)∪(-1,+ ∞ )

5.设 a、b 是不共线的的两向量,其夹角是θ,若函数 f(x)=(xa+b)(a-xb)(x ∈ R)在 b a b · a b (0, + ∞ )上有最大值,则 A.∣a∣<∣b∣,且θ是钝角 a b C.∣a∣>∣b∣,且θ是钝角 a b B. ∣a∣<∣b∣,且θ是锐角 a b D. ∣a∣>∣b∣,且θ是锐角 a b

6.半径为 1 的球面上的四点 A,B,C,D 是正四面体的顶点,则 A 与 B 两点间的球面距离为

3 ) 3 ? 7.若函数 f(n)= ? ?
A.arccos(-

B. arccos(-

n , n为奇数 ,an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+…+a2012= - n , n为偶数

6 ) 3

C. arccos(-

1 ) 3

D. arccos(-

1 ) 4

A.-1

B. 0

C. 1

D.2

8.不等边△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 lgsinA,lgsinB,lgsinC 成等差 数列,则直线 xsin A+ysinA=a 与直线 xsin B+ysinC=c 的位置关系是 A.平行
2 2 2

B.垂直

C.重合

D.相交但不垂直

9.若 α、β 是方程 x - 10 m x +m=0 的两实根,且 α 、 α ? β 、 β 成等比数列,则实数 m 的值为 A.

1 2

B.0 或

1 2

C.0

D.2

?x ( ? 2 ? 1, x ≤ 0) 1 10.设函数 f(x)= ? ,若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是 ? x 2(x>0) , A.(-1,1) B.(-1,+ ∞ )

C.(- ∞ ,-1)∪(0,+ ∞ )
2 2 2 2

D.(- ∞ ,-1)∪(1,+ ∞ )

11.双曲线

x y x y ? 2 = 1 与椭圆 2 + 2 = 1 (a>0,m>b>0)的离心率互为倒数,那么 2 a b m b
B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

以 a、b、m 为边长的三角形是 A.锐角三角形

12.(理)已知等比数列{an}中,a1=1,公比为 q,且该数列各项的和为 S,前 n 项和为 sn . ( 若 lim ( sn ? as ) = q ,则实数 a 的取值范围是
n →∞

A.[

3 ,3) 4

B.(

3 ,3) 4

C.[

3 ,1)∪(1,3) 4

D. [

3 ,1)∪(1,3] 4

(文)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S17=a,则 a2+a9+a16 等于 A.

a 17

B.

4a 17

C.

3a 17

D.-

3a 17

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 小题, 把答案填在下页题中横线上) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在下页题中横线上)

13.某校数学教研组有 8 名女教师和 12 名男教师,现要组织 5 名教师外出参观,如果按性 别分层抽样产生,则参观团组成方法有 14.若(x +
2

种。 (用数字作答) 。 (用数字作答) .

1 6 5 3 ) 的二项展开式中 x 的系数为 ,则 a= ax 2
2

BC 15.在△ABC 中, ∠BAC=120°, AB=2, AC=1, 是边 BC 上一点, D DC=2BD,则 AD · =
16.设 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 y=2x 上的两点,直线 l 是 AB 的垂直平分线。 (理)当直线 l 的斜率为

1 时,则直线 l 在 y 轴上截距的取值范围是 2 值时,直线 l 过抛物线的焦点 F. (文)当且仅当 x1+x2 取

.

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解答题

17.(本小题满分 12 分)在△ABC 中, AB · AC =1, AB · BC =-3 (I)求△ABC 的边 AB 的长; (II)求

sin( A ? B ) 的值. sin C

18.(本小题满分 12 分) (理)已知甲,乙两名射击运动员各自独立地射击 1 次,命中 10 环的概率分别为 >

1 4 ) ;且乙运动员在 2 次独立射击中恰有 1 次命中 10 环的概率为 . 9 2

1 ,x(x 2

(I)求 x 的值; (II)若甲,乙两名运动员各自独立地射击 1 次,设两人命中 10 环的次数之和为随机变量 ξ,求ξ的分布列及数学期望. (文)已知甲,乙两名射击运动员各自独立地射击 1 次命中 10 环的概率分别为 (I)求乙在第 3 次射击时(每次射击相互独立)才首次命中 10 环的概率; (II)若甲乙两名运动员各自独立地射击 1 次,求两人中恰有一人命中 10 环的概率.

1 2 , . 2 3

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,且 PD ⊥ 平面 ABCD,PD=AB=1,E,F 分别 是 PB,AD 的中点. (I)证明:EF//平面 PCD; (II)求二面角 B-CE-F 的大小.
E D F A B C P

20.(本小题满分 12 分) 已知 F1(-2,0),F2(2,0),点 P 满足∣PF1∣-∣PF2∣=2,记点 P 的轨迹为 E. (I)求轨迹 E 的方程; (II)若直线 l 过点 F2 且与轨迹 E 交于 P,Q 两点.无论直线 l 绕点 F2 怎样转动,在 x 轴上 总存在定点 M(m,0) ,使 MP⊥MQ 恒成立,求实数 m 的值.

21.(本小题满分 12 分) 设数列{an}的首项 a1∈(0,1) an+1= 0,1) ,a , (I)求{an}的通项公式; (II)设 bn=an 3 ? 2a n ,判断数列{bn}的单调性,并证明你的结论.

3 ? an (n∈N+) ∈ 2

22.(本小题满分 14 分) (文)已知函数 f(x)=x
3

-x.

(I)求曲线 y=f(x)在点 M(t,f(t))处的切线方程; (II)设常数 a>0,如果过点 P(a,m)可作曲线 y= f(x)的三条切线,求 m 的取值范围. 三 (理)已知函数 f(x)= sin x + l n (1 + x ) . (I)求证:

1 1 2 <f( )< (n∈N+) ∈ ; n n n

(II)如果对任何 x≥0,都有 f(x)≤ax,求 a 的取值范围。

参考答案
一、DDADD CBCAD BC 二、13.6160 ; 14. 2 ; 三、 17. (Ⅰ)设三边分别为 a、b、c,则由已知得 bc cos A =1 ①,ac cos (π ? B ) = ?3 ② 由余弦定理得 b +c -a =2,a +c -b =6 ? c =4 ? c=2, 即 AB 边的长为 2.
2 2 2 2 2 2 2

15. ?

8 3

; 16.理 ? 理

?3 ? , +∞ ? ,文 0 文 ?4 ?

(Ⅱ) 由①、②得 3b cos A = a cos B



sin ( A ? B ) sin C
1

=

sin ( A + B )

sin ( A ? B )

=

sin A cos B ? cos A sin B 1 = sin A cos B + cos A sin B 2

? sin A cos B = 3cos A sin B

18. (理) (Ⅰ) C2 x (1 ? x ) =

(Ⅱ) ξ 可取 0、1、2.

4 2? 1? ? x = ?Q x > ? . 9 3? 2?

1 1 ? 1 ?? 2 ? 1 P ( ξ =0 ) = ?1- ??1- ? = , p(ξ =1)= , p(ξ =2)= . 2 3 ? 2 ?? 3 ? 6
∴ Eξ =0 ×

z P

1 1 1 7 +1× +2 × = . 6 2 3 6
E D F A x

M

(文) (Ⅰ) p=(1-

2 2 2 2 ) × = 3 3 27

C

y

B

1 2 1 2 1 × (1- )+(1- ) × = . 2 3 2 3 2 uur ? 1 1 ? uuuu r 19. (Ⅰ) 建系如图,取 PC 中点 M,易知: FE = ? 0, , ? = DM ,∴ FE∥DM ? 2 2? 又 EF ? 平面 PCD, DM ? 平面 PCD,∴EF∥平面 PCD. uuu ? r r uuu r 1 1 ? uuu (Ⅱ) ∵ EF = ? 0, ? , ? ? , CB = (1, 0, 0 ) , PB = (1,1, ?1) . 2 uuu ?uuu 2 r uuu uuu r ? r r ∴ EF ·PB = 0 , EF CB = 0 ? EF ⊥PB,EF⊥CB,又 PB∩CB=B,
(Ⅱ) p =

? EF⊥平面 PBC,而 EF ? 平面 EFC,∴平面 EFC⊥平面 PBC.
∴二面角 B-CE-F 为

π

20. (Ⅰ) 易知轨迹 E 为双曲线右支,其方程为 x ?
2

y2 = 1( x ≥ 1) . 3 2 2 (Ⅱ) 设 l : x = ty + 2 ,代入上式整理得 ( 3t ? 1) y + 12ty + 9 = 0 .
设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) .则有:

2

.

? ?3t 2 ? 1 ≠ 0 ? ? 2 2 ? = 36 ( t + 1) > 0 ? 3t < 1 ? 9 12t ? y1 r + uuur ? y1 y2 = 3t 2 ? 1 < 0,uuuu y2 = ? 3t 2 ? 1 ? ∵ MP = ( ty1 + 2 ? m, y1 ) , MQ = ( ty2 + 2 ? m, y2 ) ,且 MP⊥MQ. uuur uuuu r 2 2 ∴ MP·MQ = (1 + t ) y1 y2 + t ( 2 ? m )( y1 + y2 ) + ( 2 ? m ) = 0
任意 t 都成立,故

? 3 ( m 2 ? 1) t 2 ? ( m2 ? 4m ? 5 ) = 0 .由题知此式对适合 3t 2 < 1 的

?m 2 = 1 ? ? m = ?1 . ? 2 ? m ? 4m ? 5 = 0 ?

21. (Ⅰ) 已知 ? an +1 ? 1 = ?

1 ( an ? 1) .Q a1 ∈ ( 0,1) ,∴ a1 ? 1 ≠?10 n 2 ? 1? 故 {an ? 1} 为等比数列,可得 an = 1 + ( a1 ? 1) ? ? ? ? 2?

(Ⅱ) 是递增数列,证明如下:

? 3? Q 0 < a1 < 1,∴ an ∈ ( 0,1) U ?1, ? . ? bn = an 3 ? 2an > 0 ? 2 2? 2 ∴ bn2+1 ? bn2 = an +1 ( 3 ? 2an +1 ) ? an ( 3 ? 2an ) 9 2 ? 3 ? an ? 2 =? ? an ? an ( 3 ? 2an ) = an ( an ? 1) > 0 4 ? 2 ? ∴ bn2+1 > bn2 ? bn +1 > bn .故 {bn } 为递增数列.
2

22. (文)( Ⅰ) f ′ ( x ) = 3 x ? 1. 切线方程为 y ? f ( t ) = f ′ ( t )( x ? t ) 即
2 2 3 ( Ⅱ) 已知 ? 关于 t 的方程 m = 3t ? 1 a ? 2t 即 m = ?2t + 3at ? a ( a > 0 ) 有三 3 2

y = ( 3t 2 ? 1) x ? 2t 3 .

(

)

个不等实根. 今 g ( t ) = ?2t + 3at ? a, 则 g ′ ( t ) = ?6t ( t ? a ) .可知 g ( t ) 在 ( ?∞, 0 ) 递减,
3 2

在 ( 0, a ) 递增,在 ( a, +∞ ) 递减, g ( t ) 的极小值为 g ( 0 ) = ? a ,极大值为 g ( a ) = a ? a .
3

结合图象知 m ∈ ? a, a ? a .
3

(理)( Ⅰ) 令 g ( x ) = 2 x ? f ( x ) , G ( x ) = f ( x ) ? x .利用导数可证 g ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 递 增, G ( x ) 在 0,1] 递增. 从而可得结论. ( Ⅱ) ① 当 a ≥ 2 时,对 x ≥ 0 ,由(Ⅰ) 的证明知 f ( x ) ≤ 2 x ≤ ax . ② 当 a ≤ 0 时, f ?

(

)

(

π ?π ? ? π? ? = 1 + l n ?1 + ? > 0 ≥ a ,不合题意. 2 ?2? ? 2? ③ 当 0 < a < 2 时,今 F ( x ) = f ( x ) ? ax . 1 a? ? 1 a? ? 则 F ′ ( x ) = cos x + ? a = ? cos x ? ? + ? ? ?. 1+ x 2 ? ? 1+ x 2 ? ?
a 2 ? , ? 1? .则 x0 > 0 .易知当 x ∈ ( 0, x0 ) 时, F ′ ( x ) > 0 , 2 a ? ∴ F ( x ) 递增 ? F ( x ) > F ( 0 ) = 0 ,即 f ( x ) > ax ,不合题意. ? ?

取 x0 = min ?arc cos 综上知 a ∈ [ 2, +∞ ) .

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