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2014·全国新课标卷2(文科数学)


2014·新课标全国卷Ⅱ(文科数学) 1.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知集合 A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则 A∩B =( )

A.? B.{2} C.{0} D.{-2} 1.B [解析] 因为 B={-1,2},所以 A∩B={2}. 2.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-

2i 2.B [解析] 1+3i (1+3i)(1+i) 1+4i+3i2 = = =-1+2i. 2 1-i (1-i)(1+i) 1+3i =( 1-i )

3.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 函数 f(x)在 x=x0 处导数存在.若 p:f′(x0)=0,q:x=x0 是 f(x)的极值点,则( ) A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 3.C [解析] 函数在 x=x0 处有导数且导数为 0,x=x0 未必是函数的极值点,还要看 函数在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则不是极值点;反之,若 x=x0 为函数 的极值点,则函数在 x=x0 处的导数一定为 0 ,所以 p 是 q 的必要不充分条件. 4.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 4.A [解析] 由已知得|a+b|=10,|a-b|2=b,两式相减,得 a· b=1. 5. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的公差为 2, 若 a2, a4, a8 成等比数列, 则{an} 的前 n 项和 Sn=( ) A.n(n+1) B.n(n-1) n(n+1) n(n-1) C. D. 2 2 5.A [解析] 由题意,得 a2,a2+4,a2+12 成等比数列,即(a2+4)2=a2(a2+12),解 n(n-1) 得 a2=4,即 a1=2,所以 Sn=2n+ ×2=n(n+1). 2 6.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 如图 11,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图 中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯 切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )

图 11 17 A. 27 10 C. 27 5 B. 9 1 D. 3

6.C [解析] 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体,其体积 V=π ×32×2+π ×22 ×4=34π (cm3),原毛坯的体积 V 毛坯=π ×32×6=54π (cm3),被切部分的体积 V 切=V 毛坯 V切 20π 10 -V=54π -34π =20π (cm3),所以 = = . V毛坯 54π 27 7.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 正三棱柱 ABC A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3,D 为 BC 中点,则三棱锥 A B1DC1 的体积为( ) 3 A.3 B. 2 7. C C.1 D. 3 2

[解析] 因为 D 为 BC 的中点, 所以 AD⊥BC, 故 AD⊥平面 BCC1B1, 且 AD= 3,

1 1 1 1 1 所以 V 三棱锥 AB1DC1= S△B1DC1×AD= × B1C1×BB1×AD= × ×2× 3× 3=1. 3 3 2 3 2 8.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 执行如图 12 所示的程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则 输出的 S=( ) A.4 B.5 C.6 D.7

图 12 8.D [解析] 当 x=2,t=2 时,依次可得:M=1,S=3,k=1≤2;M=2,S=5,k =2≤2;M=2,S=7,k=3>2,输出 S=7. x+y-1≥0, ? ? 9.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 x,y 满足约束条件?x-y-1≤0, 则 z=x+2y 的最大值 ? ?x-3y+3≥0, 为( ) A.8 B.7 C.2 D.1 9.B [解析] 作出约束条件表示的可行域(略),可知该可行域为一三角形区域,当目标 函数通过可行域的一个顶点(3,2)时,目标函数取得最大值,zmax=3+2×2=7. 10.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的

直线交 C 于 A,B 两点,则|AB|=( A. 30 3 B.6

)

C.12 D.7 3 10.C 3 ? 3 ,0 ,直线 AB 的斜率 k=tan 30°= ,所以 [解析] 抛物线的焦点坐标为 F? 4 ? ? 3

3 3 ? 3 3 ?y= 3 x- 4 , 1 2 7 3 21 9 直线 AB 的方程为 y= x- .由? 得 x - x+ =0, 故 x1+x2= , x1x2= . 3 4 3 2 16 2 16 ? ?y2=3x 所以|AB|= 1+k2·|x1-x2|= 1 1+ · 3

?21? -4× 9 =12. ?2? 16

2

11.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的取 值范围是( ) A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] C.[2,+∞) D.[1,+∞) 1 kx-1 1 11.D [解析] f′(x)=k- = ,且 x>0,由题可知 f′(x)≥0,即得 kx-1≥0,得 x≥ x x k 1 (k<0 时不满足),因为函数 f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以 ≤1,解得 k≥1. k 12. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设点 M(x0, 1), 若在圆 O: x2+y2=1 上存在点 N, 使得∠OMN =45°,则 x0 的取值范围是( ) 1 1? A. [-1,1] B. ? ?-2,2? 2 2 C. [- 2, 2] D. ?- , ? 2? ? 2 12.A [解析] 点 M(x0,1)在直线 y=1 上,而直线 y=1 与圆 x2+y2=1 相切.据题意 |ON| 可设点 N(0,1),如图,则只需∠OMN≥45°即可,此时有 tan ∠OMN= ≥tan 45°, |MN| 得 0<|MN|≤|ON|=1,即 0<|x0|≤1,当 M 位于点(0,1)时,显然在圆上存在点 N 满足要求, 综上可知-1≤x0≤1.

13.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的 运动服中选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的概率为________. 1 13. 3 [解析] 甲有 3 种选法,乙也有 3 种选法,所以他们共有 9 种不同的选法.若他

3 1 们选择同一种颜色,则有 3 种选法,所以其对应的概率 P= = . 9 3 14. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 函数 f(x)=sin(x+φ)-2sin φ cos x 的最大值为________.

14.1 [解析] f(x)=sin(x+φ)-2sin φ cos x=sin xcos φ +cos xsin φ -2sin φ cos x =sin xcos φ -cos xsin φ =sin(x-φ),其最大值为 1. 15.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 偶函数 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称,f(3)=3,则 f(- 1)=________. 15.3 [解析] 因为函数图像关于直线 x=2 对称,所以 f(3)=f(1),又函数为偶函数, 所以 f(-1)=f(1),故 f(-1)=3. 16.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 数列{an}满足 an+1= 1 16. 2 1 ,a =2,则 a1=________. 1-an 8

1 1 1 1 1 [解析] 由题易知 a8= =2,得 a7= ;a7= = ,得 a6=-1;a6= 2 1-a7 1-a6 2 1-a5

1 =-1,得 a5=2,于是可知数列{an}具有周期性,且周期为 3,所以 a1=a7= . 2 17.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3,CD= DA=2. (1)求 C 和 BD; (2)求四边形 ABCD 的面积. 17.解:(1)由题设及余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BC· CDcos C =13-12cos C,① BD2=AB2+DA2-2AB· DAcos A =5+4cos C.② 1 由①②得 cos C= ,故 C=60°,BD= 7. 2 (2)四边形 ABCD 的面积 1 1 S= AB·DAsin A+ BC·CDsin C 2 2 1 1 ? =? ?2×1×2+2×3×2?sin 60°=2 3. 18. 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 如图 13,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA ⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设 AP=1,AD= 3,三棱锥 P ABD 的体积 V= 3 ,求 A 到平面 PBC 的距离. 4

图 13 18.解:(1)证明:设 BD 与 AC 的交点为 O,连接 EO.

因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点. 又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB. EO?平面 AEC,PB?平面 AEC, 所以 PB∥平面 AEC. 1 1 3 (2)V= × ×PA×AB×AD= AB, 3 2 6 由 V= 3 3 ,可得 AB= . 4 2

作 AH⊥PB 交 PB 于点 H. 由题设知 BC⊥平面 PAB,所以 BC⊥AH, 因为 PB∩BC=B,所以 AH⊥平面 PBC. PA·AB 3 13 又 AH= = , PB 13 3 13 所以点 A 到平面 PBC 的距离为 . 13 19.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位 市民.根据这 50 位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如 下: 甲部门 3 4 97 97665332110 98877766555554443332100 6655200 632220 4 5 6 7 8 9 10 乙部门 59 0448 122456677789 011234688 00113449 123345 011456 000

图 14 (1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率; (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价. 19.解:(1)由所给茎叶图知,将 50 位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第 25, 26 位的是 75,75,故样本的中位数为 75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值 是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位的是 66,68,故样本中位数 66+68 为 =67,所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是 67. 2

5 8 (2)由所给茎叶图知,50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的比率分别为 =0.1, = 50 50 0.16,故该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1,0.16. (3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而 且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差, 说明该 市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大.(注: 考生利用其他统计量进行分析,结论合理的同样给分.) x2 y2 20. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦 a b 点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直.直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. b2 c, ?,2b2=3ac. 20.解:(1)根据 c= a2-b2及题设知 M? ? a? 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac, c 1 c 解得 = , =-2(舍去). a 2 a 1 故 C 的离心率为 . 2 (2)由题意知,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0, b2 2)是线段 MF1 的中点,故 =4,即 b2=4a.① a 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则 3 ? ? ?2(-c-x1)=c, ?x1=-2c, ? 即? ?-2y1=2, ? ? ?y1=-1. 代入 C 的方程,得
2 2

9c2 1 + =1.② 4a2 b2

9(a2-4a) 1 将①及 c= a -b 代入②得 + =1, 4a2 4a 解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b=2 7. 21.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知函数 f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线 y=f(x)在点(0,2)处 的切线与 x 轴交点的横坐标为-2. (1)求 a; (2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点. 21.解:(1)f′(x)=3x2-6x+a,f′(0)=a. 曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为 y=ax+2. 2 由题设得- =-2,所以 a=1. a (2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2. 设 g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4, 由题设知 1-k>0.

当 x≤0 时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0, g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4, 所以 g(x)=0 在(-∞,0]上有唯一实根. 当 x>0 时,令 h(x)=x3-3x2+4, 则 g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x). h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 所以 g(x)>h(x)≥h(2)=0, 所以 g(x)=0 在(0,+∞)上没有实根. 综上,g(x)=0 在 R 有唯一实根, 即曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点. 22.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 41:几何证明选讲 如图 15,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C, PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E.证明: (1)BE=EC; (2)AD· DE=2PB2.

图 15 22.证明:(1)连接 AB,AC.由题设知 PA=PD, 故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA, ∠PAD=∠BAD+∠PAB, ∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD,从而 BE=EC. 因此 BE=EC.

(2)由切割线定理得 PA2=PB· PC. 因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理得 AD· DE=BD· DC, 2 所以 AD· DE=2PB . 23.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的 π 极坐标方程为ρ =2cos θ ,θ∈?0, ?. 2? ?

(1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参 数方程,确定 D 的坐标. 23.解:(1)C 的普通方程为 (x-1)2+y2=1(0≤y≤1). 可得 C 的参数方程为
? ?x=1+cos t, ? (t 为参数,0≤t≤π ). ?y=sin t, ?

(2)设 D(1+cos t,sin t).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在 π 点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t= 3,t= . 3 π π 3 3 故 D 的直角坐标为?1+cos ,sin ?,即? , ?. 3 3? ? ?2 2 ? 24.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 45:不等式选讲 1? 设函数 f(x)=? ?x+a?+|x-a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2; (2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. 1? ? 1 ? 1 24.解:(1)证明:由 a>0 ,有 f(x)=? ?x+a?+|x-a|≥?x+a-(x-a)?=a+a≥2, 所以 f(x)≥2. 1 3+ ?+|3-a|. (2)f(3)=? ? a? 5+ 21 1 当 a>3 时,f(3)=a+ ,由 f(3)<5 得 3<a< . a 2 1+ 5 1 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+ ,由 f(3)<5 得 <a≤3. a 2 综上,a 的取值范围是?

?1+ 5 5+ 21?. ? ? 2 , 2 ?


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