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【解析】上海市普陀区2013届高三上学期一模考试数学理试题


2012 学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷
考生注意: 2013.1 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚,并在规定的区域贴上条形码. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 不等式 | 2 ? x |? 1 的解为 【答案】 [1,3] 解:由 | 2 ? x |? 1 得 ?1 ? x ? 2 ? 1 ,即 1 ? x ? 3 ,所以不等式的解集为 [1,3] 。 2. 函数 y ? sin 2 x ? cos2 x 的最小正周期 T ? 【答案】 ? 解: y ? sin 2 x ? cos 2 x ? 3. 若集合 A ? {x | 【答案】 {?1, 0} . .

? 2? 2? 2 sin(2 x ? ) ,所以 ? ? 2 ,即函数的最小周期为 T ? ? ?? 。 4 ? 2
.

6 ? 1} ,集合 B ? {?1 , 0 , 1 , 2 , 3} ,则 A ? B ? x?5

解:由

6 ?1 得 x?5

?x ? 5 ? 0 , 即 0 ? x ? 5 ? 6, 所 以 ?5 ? x ? 1 , 即 A ? { x | ? 5 ? x ? 1} 所 以 , ? ?6 ? x ? 5

A ? B ? {?1,0} 。
4. 【理科】 如图, 正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, 直线 BD1 与平面 BCC1 B1 所成的角的大小为 (结

果用反三角函数值表示).

1页

【答案】 arctan

2 2

解:连结 BC1 ,则 BC1 是 BD1 在平面 BCC1 B1 上的射影,所以 ?D1BC1 为直线 BD1 与平面 BCC1 B1 所成的 角 , 所 以 设 正 方 体 的 边 长 为 1 , 则 BC1 ? 2 , 所 以 tan D1BC1 ?

D1C1 1 2 ,所以 ? ? BC1 2 2

2 ?D1BC1 ? a r c t a n 。 2
5. 【理科】若函数 f ( x) ? a ? log3 x 的图像经过点 (1, 1) ,则 f 【答案】 39 解 : 因 为 函 数 f ( x ) 过 点 (1, 1) , 所 以 f (1) a ? l o g ?1 , 即 a ? 1 , 即 f ( x)? 1 l o gx , 由 ? 1 ? 3 3
?1

(?8) ?

.

f ( x)? 1? l o gx ? ?得, log3 x ? 9 ,即 x ? 39 ,所以 f ?1 (?8) ? 39 。 8 3
6. 若等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 ? a4 ? 14 , S7 ? 70 ,则数列 {an } 的通项公式 为 .
*

【答案】 an ? 3n ? 2 ( n ? N ) 解:在等差数列中,设公差为 d ,则由 a2 ? a4 ? 14 , S7 ? 70 得 2a1 ? 4d ? 14 , S7 ? 7 a1 ?
* 即 a1 ? 3d ? 10 ,解得 a1 ? 1, d ? 3 ,所以 an ? 1 ? 3(n ?1) ? 3n ? 2, n ? N 。

7?6 d ? 70 , 2

7. 在一个袋内装有同样大小、质地的五个球,编号分别为1、2、3、4、5,若从袋中任意 取两个,则编号的和是奇数的概率为 【答案】 (结果用最简分数表示).

3 5
2

1 1 解:从袋中任意取两个球,共有 C5 ? 10 种。若编号为奇数,则有 C3C2 ? 6 种,所以编号的和是奇数的概

率为

6 3 ? 。 10 5
2

8. 在 (2 x ?

1 10 ) 的二项展开式中,常数项等于 x
2页

.

【答案】180
k 解:展开式的通项为 Tk ?1 ? C10 (2 x 2 )10?k ( 5k 20? 5k 1 k k ? 0 得 k ? 8 ,所以常数项为 ) ? C10 210?k x 2 。由 20 ? 2 x

8 T9 ? C10 22 ? 180 。

y
2

O
9. 若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ( A ? 0 , ? 图,则 f (0) ? 【答案】 ? 1 解 : 由 图 象 可 知 A ? 2, f ( ) ? 2 , 即 f ( .

?
3

x

?
2

?? ?

?
2

(第 9 题图)

)的部分图像如右

?

?

3 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k? , k ? Z ,所以 ? ? ? ? k? , k ? Z ,因为 ? ? ? ? ,所以当 k ? 0 时, ? ? ? , 3 2 6 2 2 6 ? ? 1 所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ,即 f (0) ? 2sin(? ) ? 2 ? (? ) ? ?1 。 6 6 2 ??? ??? ? ? 10. 在 △ ABC 中,若 AB ? AC ? 2 , AB ? BC ? ?7 ,则 AB ? .
【答案】3 解: 因为 AB ? AC ? 2 ,AB ? BC ? ?7 , 所以 AB ? BC ? AB ? AC ? ?7 ? 2 ? ?9 , A ?B A 即 B ( ? C C 因为 AB ? ( BC ? AC ) ? AB ? BA ? ? AB ,所以 ? AB ? ?9 ,所以 AB ? AB ? 9, AB ? 3 。 11. 【理科】若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 10) ? 2 f ( x ? 9) ,且 f (0) ? 1 ,则 f (?10) ? 【答案】 _.

? 2? )? 2 s i n ( 2? ? ? ), 所 以 s i n ( ? ? ?) , 即 ? 2 1 3 3 3

??? ??? ? ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?
??? ?

)?? 9 ,

??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ? ?

??? 2 ?

??? 2 ?

??? 2 ?

??? 2 ?

1 210
f (t ?1) ? 2 ,即数 f (t )

解:令 x ? 9 ? t ,则 x ? t ? 9 ,所以由 f ( x ? 10) ? 2 f ( x ? 9) 得 f (t ? 1) ? 2 f (t ) ,即

列 { f (t )} 的 公 比 为 2. 不 设 a1 ? f (?10) , 则 有 a11 ? f (0) , 所 以 由 a11 ? a1q , 即 1 ? a1 210 , 所 以
10

a1 ? f ( ?10) ?

1 。 210
3页

12. 【理科】 若 C(? 3,0) 、 D( 3,0) , M 是椭圆 的最小值为 【答案】1 .

1 1 x2 ? y 2 ? 1 上的动点,则 ? 4 MC MD

解:根据椭圆的方程可知 a2 ? 4, b2 ? 1 ,所以 c ? a ? b ? 4 ? 1 ? 3 ,所以 c ? 3, a ? 2 ,即 C , D 是椭
2 2 2

圆的两个焦点。设 MC ? x, a ? c ? x ? a ? c ,即 2 ? 3 ? x ? 2 ? 3 ,所以 MD ? 2a ? x ? 4 ? x ,所 以

1 1 1 1 4? x? x 4 4 ,因为 2 ? 3 ? x ? 2 ? 3 ,所以当 ? ? ? ? ? ? MC MD x 4 ? x x(4 ? x) x(4 ? x) ?( x ? 2) 2 ? 4
4 1 1 4 4 有最小值 ? 1 ,即 的最小值为 1. ? ? 2 4 ?( x ? 2) ? 4 MC MD ?( x ? 2)2 ? 4

x ? 2 时,

13. 三棱锥 S ? ABC 中, E 、 F 、 G 、 H 分别为 SA 、 AC 、 BC 、 SB 的中点,则截面 EFGH 将三棱 锥 S ? ABC 分成两部分的体积之比为 .

【答案】 1 : 1 解:因为 E 、 F 、 G 、 H 分别为 SA 、 AC 、 BC 、 SB 的中点,所以四边形 EFGH 为平行四边形, SC 平行平面 EFGH 且 AB 平行平面 EFGH ,且 SC 和 AB 到平面 EFGH 的距离相同。每一部分都可以可 作是一个三棱锥和一个四棱锥两部分的体积和。如图 1 中连接 DE、DF,VADEFGH=VD﹣EFGH+VD﹣EFA:图 2 中,连接 BF、BG, VBCEFGH=VB﹣EFGH+VG﹣CBFE,F,G 分别是棱 AB,AC,CD 的中点,所以 VD﹣EFGH=VB﹣EFGHVD﹣EFA 的 底面面积是 VG﹣CBF 的一半,高是它的 2 倍,所以二者体积相等. 所以 VADEFGH:VBCEFGH=1:1

? x ? 1, 0 ? x ? 1 ? 14. 已知函数 f ( x) ? ? x 1 ,设 a ? b ? 0 ,若 f (a) ? f (b) ,则 b ? f (a) 的取值范围 ?2 ? 2 , x ? 1 ?
是 .
4页

【答案】 [ , 2 )

3 4

1 3 3 3 1 1 3 ? 。当 y ? 时,由 x ? 1 ? 得 x ? 。所以 ? b ? 1 。而 ? 2 2 2 2 2 2 2 1 3 3 ? b ? f( a ? 2 所 以 b ? f (a) 的 取 值 范 围 是 ) 所 以 ? ? b ? f ( a ) ? 1? 2 , 即 , 2 2 4
解:当 x ? 1 时, f (1) ? 2 ?

f (a) ?2 ,
3 [ ,2) 。 4

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应 编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 已知函数 y ? f (x) ( x ? R ),则“ f (1) ? f (2) ”是“函数 y ? f (x) 在 R 上是增函数” 的???? ???????????( (A)充分非必要条件. (C)充要条件. 【答案】B 解:若函数 y ? f (x) 在 R 上是增函数,则 f (1) ? f (2) 成立。当 f (1) ? f (2) 时,函数 y ? f (x) 在 R 上 不一定是增函数,所以“ f (1) ? f (2) ”是“函数 y ? f (x) 在 R 上是增函数”的必要非充分条件,选 B. ) (B)必要非充分条件. (D)非充分非必要条件.

16. 【理科】双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 ( a 2 ? ? ? b2 )的焦点坐标为? ??( 2 a ?? b ??
(B) (? a 2 ? b 2 ,0) . (D) (0,? a 2 ? b 2 ) .



(A) (? a 2 ? b 2 ,0) . (C) (? a 2 ? b2 ? 2? ,0) . 【答案】B

2 2 解:因为 a ? ? ? b ,所以 a ? ? ? 0 , b ? ? ? 0 ,即

2

2

x2 y2 x2 y2 ? 2 ?1为 2 ? ? 1 ,所 a2 ? ? b ? ? a ? ? ? ? b2
2 2

以 双 曲 线 的 焦 点 在 x 轴 上 , 所 以 c ? a ? ? ? ? ? b ? a ? b , 即 c ? a 2 ? b2 , 所 以 焦 点 坐 标 为
2 2 2

(? a 2 ? b2 ,0) ,选 B.

5页

17. 已知 a ? 0 , b ? 0 ,若 lim

a n ?1 ? b n ?1 ? 5 ,则 a ? b 的值不可能是?? ?( ... n ?? a n ? b n
(C) 9 . (D) 10 .



(A) 7 . 【答案】D 解: a ? b , lim 若 则

(B) 8 .

a n?1 ? bn ?1 a n ?1 ? b n ?1 ? a ? 5 , a ? b , lim n ? b ? 5, 若 则 因为 a ? b , 所以 a ? b ? 10 , n ?? a n ? b n n ?? a ? b n

所以 a ? b 的值不可能是 10,选 D. ... 18. 如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E ,使得 DE ? CD .若动点 P 从点 A 出发,沿正方形的 边按逆时针方向运动一周回到 A 点,其中 AP ? ? AB ? ? AE ,下列判断 正确的是????????? ????????????( .. )

??? ?

??? ?

??? ?

(A)满足 ? ? ? ? 2 的点 P 必为 BC 的中点. (B)满足 ? ? ? ? 1 的点 P 有且只有一个. (C) ? ? ? 的最大值为 3. (D) ? ? ? 的最小值不存在. 【答案】 C 解: ? ? ? ? 1 时, ? ? AB ? ? AE ? AB ? AE ? AD , 当 此时 P 位于 D 处, (A) 所以 错误。 ? ? 0, ? ? 1 当 AP 时 AP ? ? AB ? ? AE ? AE , 此时 P 位于 E 处, 当 ? ? 1, ? ? 0 时 AP ? ? AB ? ? AE ? AB , 此时 P 位于

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

B 处,所以满足满足 ? ? ? ? 1 的点 P 有且只有一个错误。所以(B)错误。将图象放入坐标系设正方形的边
长 为 1 , 则 A( 0 , 0B) ,

(C , 0 )D 1 ,

??? ? ??? ? ??? ? ( 1 ,E1 ) ,, 设 ( P( x,, y) ) , 则( 由1 A 1 ? ? A?B ? 0 1 , , P) 得 ? AE

( x, y) ? (? ? ? , ? ) , x ? ? ? ? , y ? ? 。 即 若点 P 位于 AB 上, 0 ? x ? 1, y ? 0 , 则 此时 ? ? 0 ,0 ? ? ? 1 ,
0 所以 0 ? ? ? ? ? 1。 若点 P 位于 BC 上, 0 ? y ? 1, x ? 1 , 则 此时 0 ? ? ? 1 , ? ? ? 1 , 所以 0 ? ? ? ? ? 2 。
若点 P 位于 CE 上,则 ?1 ? x ? 1, y ? 1 ,此时 ? ? 1 , ?1 ? ? ? ? ? 1 ,即 0 ? ? ? 2 ,所以 1 ? ? ? ? ? 3 。 若点 P 位于 CE 上,则 ?1 ? x ? 1, y ? 1 ,此时 ? ? 1 , ?1 ? ? ? ? ? 1 ,即 0 ? ? ? 2 ,所以 1 ? ? ? ? ? 3 。
6页

若点 P 位于 AE 上,此时 ? ? 0 , 0 ? ? ? 1 ,所以 0 ? ? ? ? ? 1 。综上 0 ? ? ? ? ? 3 ,即 ? ? ? 的最大值是 3,最小值为 0.所以选 C.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图, 某种水箱用的 “浮球” 是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是 6 cm , , 圆柱筒长 2 cm . (1)这种“浮球”的体积是多少 cm (结果精确到 0.1)? (2)要在这样 2500 个“浮球”表面涂一层胶质, 如果每平方米需要涂胶 100 克,共需胶多少?
2cm
3

6cm (第 19 题图)

20. (本题满分 14 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知动点 A( x, y) 到点 F (2,0) 和直线 x ? ?2 的距离相等. 52、求动点 A 的轨迹方程; 53、记点 K (?2,0) ,若 AK ?

y

2 AF ,求△ AFK 的面积.

K ?2

O

F 2

x

(第 20 题图)

21.(本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 已知 a 、 b 、 c 是 △ ABC 中 ? A 、 ? B 、 ?C 的对边, a ? 4 3 , b ? 6 , cos A ? ? . (1)求 c ; (2)求 cos( 2 B ?

1 3

?
4

) 的值.

22. (本题满分 16 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 ,第 3 小题满分 6 分.
7页

【理科】在平面直角坐标系 xOy 中,点 An 满足 OA ? (0,1) ,且 An An ?1 ? (1,1) ;点 Bn 满足 OB ? (3,0) , 1 1 且 Bn Bn ?1 ? (3 ? ( ) ,0) ,其中 n ? N * .
n

(1)求 OA2 的坐标,并证明点 An 在直线 y ? x ? 1 上; .. (2)记四边形 An Bn Bn ?1 An ?1 的面积为 an ,求 an 的表达式; (3)对于(2)中的 an ,是否存在最小的正整数 P ,使得对任意 n ? N * 都有 a n ? P 成立?若存在,求 P 的值;若不存在,请说明理由.

???? ?

2 3

23.(本题满分 18 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 8 分. 【理科】设函数 f (x ) 和 g (x) 都是定义在集合 M 上的函数,对于任意的 x ? M ,都有

f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 成立,称函数 f (x) 与 g (x) 在 M 上互为“ H 函数”.
(1)函数 f ( x) ? 2 x 与 g ( x) ? sin x 在 M 上互为“ H 函数” ,求集合 M ; (2)若函数 f ( x) ? a x ( a ? 0且a ? 1)与 g ( x) ? x ? 1 在集合 M 上互为 “ H 函数”, 求证: a ? 1 ;
* (3)函数 f ( x) ? x ? 2 与 g (x) 在集合 M ? {x | x ? ?1 且 x ? 2k ? 3 , k ? N } 上互为“ H

函数” ,当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? log2 ( x ? 1) ,且 g (x) 在 (?1,1) 上是偶函数,求函数 g (x) 在集合 M 上的解析式.

2012 学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. [1,3] 7. 2. ? 8.180 3. {?1, 0} 9. ? 1 4.【理科】 arctan 10.3

2 2

5. 3

9

6. an ? 3n ? 2 ( n ? N )
*

3 5

11. 【 理 科 】

1 210

12.1

13. 1 : 1

8页

14. [ , 2 ) 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应 编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. B 16. B 17. D 18. C

3 4

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤. 19.【解】 (1) d ? 6cm , R ? 3cm , V球 ?

4 3 4 ?R ? ? ? 27 ? 36? cm3 ????2 分 3 3

h ? 2 , V圆柱 ? ?R2 ? h ? ? ? 9 ? 2 ? 18? cm3 ????2 分

V ? V球 ? V圆柱 ? 36? ? 18? ? 54? ? 169 .6 cm3 ????2 分
(2) S球表 ? 4?R 2 ? 4 ? ? ? 9 ? 36? cm ????2 分
2

S圆柱侧 ? 2?Rh ? 2 ? ? ? 3 ? 2 ? 12? cm2 ????2 分
36? ? 12? 48 ? 4 ? m2 4 10 10 48 2 2500 个“浮球”的表面积的和 S 2500 ? 2500 ? 4 ? ? 12? m 10 所用胶的质量为 100 ? 12? ? 1200? (克)????2 分
1 个“浮球”的表面积 S1 ? 答:这种浮球的体积约为 169 .6 cm ;供需胶 1200 ? 克.
3

20.【解】 (1)由题意可知,动点 A 的轨迹为抛物线,其焦点为 F (2, 0) ,准线为 x ? ?2 设方程为 y ? 2 px ,其中
2

p ? 2 ,即 p ? 4 ??2 分 2
2

所以动点 A 的轨迹方程为 y ? 8x ??2 分 (2)过 A 作 AB ? l ,垂足为 B ,根据抛物线定义,可得 | AB |?| AF | ??2 分

y B A
由于 AK ? ???2 分

2 AF ,所以 ?AFK 是等腰直角三角形

K ?2 O

F

其中 | KF |? 4 ????2 分

2

x

所以 S ?AFK ?

1 ? 4 ? 4 ? 8 ????2 分 2
9页

x ? ?2

21.【解】 (1)在 △ ABC 中,由余弦定理得, a ? b ? c ? 2bc cos A …………2 分
2 2 2

1 48 ? 36 ? c 2 ? 2 ? c ? 6 ? (? ) …………2 分 3 2 即 c ? 4c ? 12 ? 0 , (c ? 6)(c ? 2) ? 0 ,解得 c ? 2 …………2 分
(2)由 cos A ? ?

1 2 2 ? 0 得 A 为钝角,所以 sin A ? …………2 分 3 3 a b ? 在 △ ABC 中, 由正弦定理,得 sin A sin B 2 2 6? b ? sin A 3 ? 6 …………2 分 则 sin B ? ? a 3 4 3
由于 B 为锐角,则 cos B ?

3 ……2 分 3 2 1 cos 2 B ? 1 ? 2 sin 2 B ? 1 ? 2 ? ? ? 3 3 6 3 2 2 sin 2B ? 2 sin B ? cos B ? 2 ? ? ? 3 3 3 ? 2 2 1 2 2 4? 2 所以 cos( 2 B ? ) ? ………2 分 (cos2 B ? sin 2 B) ? (? ? )? 4 2 2 3 3 6 ???? ? 22.【理科】 【解】 (1)由已知条件得, A1 A2 ? (1,1), A1 A2 ? OA2 ? OA ,所以 OA2 ? (1,2)……2 分 1

An An?1 ? (1,1),则 OAn?1 ? OAn ? (1, 1)
设 OAn ? ( xn , y n ) ,则 xn?1 ? xn ? 1 , y n?1 ? y n ? 1 所以 xn ? 0 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1 ; yn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ………2 分 即 An ? (n ? 1, n) 满足方程 y ? x ? 1 ,所以点 An 在直线 y ? x ? 1 上. ………1 分 (证明 An 在直线 y ? x ? 1 上也可以用数学归纳法证明.) (2)由(1)得 An (n ? 1, n)

2 Bn Bn ?1 ? OB n ?1 ? OB n ? (3 ? ( ) n ,0) ………1 分 3
设 Bn (u n , vn ) ,则 u1 ? 3 , v1 ? 0

vn?1 ? vn ? 0 ,所以 vn ? 0
2 2 u n ?1 ? u n ? 3 ? ( ) n , 逐差累和得, u n ? 9(1 ? ( ) n ) , 3 3
10 页

所以 Bn (9(1 ? ( ) ), 0) ???2 分
n

2 3

设直线 y ? x ? 1 与 x 轴的交点 P ? ?1,0? ,则

an ? S?PAn?1Bn?1 ? S ?PAn Bn

1? ?2? ? ?10 ? 9 ? ? 2? ?3? ?

n ?1

n ? 1? ?2? ? ? ? n ? 1? ? ?10 ? 9 ? ? ? n 2? ?3? ? ? ? ? ?

2 an ? 5 ? (n ? 2)( ) n ?1 , n ? N * ……2 分 3 2 n ?1 * (3)由(2) an ? 5 ? (n ? 2)( ) , n ? N 3
n n ?1 n ?1 ? ?2? ? ? ? 2? ? 4?n? 2? an ?1 ? an ? ?5 ? ? n ? 1? ? ? ? ? ?5 ? ? n ? 2 ? ? ? ? ? …2 分 ? ? 3 ? 3? ?3? ? ? ?3? ? ? ? ? ? ?

于是, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , a5 ? a6 ? a7 ? ? ………2 分 数列 ?an ? 中项的最大值为 a4 ? a5 ? 5 ?
*

16 16 ,则 P ? 5 ,即最小的正整数 p 的值为 6 ,所以, 27 27

存在最小的自然数 p ? 6 ,对一切 n ? N 都有 a n ? p 成立.??2 分 23.【解】 (1)由 f ( g ( x) ? g ( f ( x)) 得 2 sin x ? sin 2 x 化简得, 2 sin x(1 ? cos x) ? 0 , sin x ? 0 或 cos x ? 1 ………2 分 解得 x ? k? 或 x ? 2k? , k ? Z ,即集合 M ? {x | x ? k? } k ? Z ………2 分 (若学生写出的答案是集合 M ? {x | x ? k? , k ? Z} 的非空子集,扣 1 分,以示区别。) (2)证明:由题意得, a
x ?1

? a x ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )………2 分

变形得, a x (a ? 1) ? 1 ,由于 a ? 0 且 a ? 1

1 ………2 分 a ?1 1 x ? 0 ,即 a ? 1 ………2 分 因为 a ? 0 ,所以 a ?1 ax ?
(3)当 ? 1 ? x ? 0 ,则 0 ? ? x ? 1 ,由于函数 g (x) 在 (?1,1) 上是偶函数 则 g ( x) ? g (? x) ? log2 (1 ? x) 所以当 ? 1 ? x ? 1 时, g ( x) ? log2 (1? | x |) ?????2 分 由于 f ( x) ? x ? 2 与函数 g (x) 在集合 M 上“ 互为 H 函数” 所以当 x ? M , f ( g ( x) ? g ( f ( x)) 恒成立,
11 页

g ( x) ? 2 ? g ( x ? 2) 对于任意的 x ? (2n ? 1,2n ? 1) ( n ? N )恒成立,
即 g ( x ? 2) ? g ( x) ? 2 ?????2 分 所以 g[ x ? 2(n ? 1) ? 2] ? g[ x ? 2(n ? 1)] ? 2 , 即 g ( x ? 2n) ? g[ x ? 2(n ? 1)] ? 2 所以 g ( x ? 2n) ? g ( x) ? 2n , 当 x ? (2n ? 1,2n ? 1) ( n ? N )时, x ? 2n ? (?1,1)

g ( x ? 2n) ? log2 (1? | x ? 2n |) ?????2 分
所以当 x ? M 时,

g ( x) ? g[(x ? 2n) ? 2n] ? g ( x ? 2n) ? 2n ? log2 (1? | x ? 2n |) ? 2n ???2 分

12 页


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