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高中数学通用模型解题方法


13. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解 x;②互换 x、y;③注明定义域)

? ?1 ? x 如:求函数 f (x) ? ? 2 ? ?? x

?x ? 0? 的反函数 ?x ? 0?

? ?x ? 1 ?x ? 1? (答:f ?1 (x) ? ? ) ? ?? ? x ?x ? 0?
14. 反函数的性质有哪些? 反函数性质: 1、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的 x 对应原函数中的 y) 2、 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的 y 对应原函数中的 x) 3、 反函数的图像和原函数关于直线=x 对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关于直线 y=x 对称 ①互为反函数的图象关于直线 y=x 对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;

③设y ? f(x)的定义域为A,值域为C,a ?A,b ?C,则f(a) = b ? f ?1 (b) ? a
? f ?1? f (a )? ? f ?1 ( b) ? a,f f ?1 ( b) ? f (a ) ? b
由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如 ( 04. 上 海 春 季 高 考 ) 已 知 函 数 f ( x) ? log3 (

?

?

4 ? 2 ) , 则 方 程 f ?1 ( x) ? 4 的 解 x

x ? __________.1
对于这一类题目,其实方法特别简单,呵呵。已知反函数的 y,不就是原函数的 x 吗?那 代进去阿, 答案是不是已经出来了呢? (也可能是告诉你反函数的 x 值, 那方法也一样, 呵呵。 自己想想,不懂再问我 15 . 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负)

判断函数单调性的方法有三种: (1)定义法: 根据定义,设任意得 x1,x2,找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系 可以变形为求

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) 的正负号或者 与 1 的关系 x1 ? x2 f ( x2 )

(2)参照图象: ①若函数 f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数 f(x)在关于点(a,0)的对称区间具 有相同的单调性; (特例:奇函数) ②若函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称,则函数 f(x)在关于点(a,0)的对称区间 里具有相反的单调性。 (特例:偶函数) (3)利用单调函数的性质:
-1-

①函数 f(x)与 f(x)+c(c 是常数)是同向变化的 ②函数 f(x)与 cf(x)(c 是常数),当 c>0 时,它们是同向变化的;当 c<0 时,它 们是反向变化的。 ③如果函数 f1(x),f2(x)同向变化,则函数 f1(x)+f2(x)和它们同向变化; (函数 相加) ④如果正值函数 f1(x),f2(x)同向变化,则函数 f1(x)f2(x)和它们同向变化;如 果负值函数 f1(2)与 f2(x)同向变化, 则函数 f1(x)f2(x)和它们反向变化; (函数相 乘) ⑤函数 f(x)与
1 f ( x)

在 f(x)的同号区间里反向变化。

⑥ 若 函 数 u = φ (x) , x[α , β ] 与 函 数 y = F(u) , u∈[φ (α ) , φ (β )] 或 u∈[φ (β ),φ (α )]同向变化,则在[α ,β ]上复合函数 y=F[φ (x)]是递增的; 若函数 u=φ (x),x[α ,β ]与函数 y=F(u),u∈[φ (α ),φ (β )]或 u∈[φ (β ), φ (α )]反向变化,则在[α ,β ]上复合函数 y=F[φ (x)]是递减的。 (同增异减) -1 ⑦若函数 y=f(x)是严格单调的,则其反函数 x=f (y)也是严格单调的,而且,它 们的增减性相同。

f(g) 增 增 减 减

g(x) 增 减 增 减

f[g(x)] 增 减 减 增

f(x)+g(x) 增 / / 减

f(x)*g(x) 都是正数 增 / / 减

如:求 y ? log 1 ? x 2 ? 2 x 的 单 调 区 间
2

?

?

(设u ? ?x 2 ? 2x,由u ? 0则0 ? x ? 2
且 log 1 u ? ,u ? ?? x ? 1? ? 1,如图:
2 2

u

O

1

2

x

当x ?(0,1]时,u ? ,又 log 1 u ? ,∴y ?
2

当x ?[1,2) 时,u ? ,又 log 1 u ? ,∴y ?
2

∴??)

16. 如何利用导数判断函数的单调性?
-2-

在区间?a,b?内,若总有f '(x) ? 0则f (x)为增函数。(在个别点上导数等于
零,不影响函数的单调性),反之也对,若f '( x) ? 0呢?

如:已知a ? 0,函数f (x) ? x3 ? ax在?1, ? ??上是单调增函数,则a的最大
值是( A. 0 ) B. 1 C. 2 D. 3

? a ?? a? (令f ' ( x) ? 3x 2 ? a ? 3? x ? ??x ? ? ?0 3?? 3? ?

则x ? ?

a a 或x ? 3 3 a ? 1,即a ? 3 3

由已知f ( x) 在[1, ? ?) 上为增函数,则
∴a 的最大值为 3)

17. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)

若f (?x) ? ?f ( x) 总成立 ? f ( x) 为奇函数 ? 函数图象关于原点对称 若f (?x) ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为偶函数 ? 函数图象关于y轴对称
注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一 个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x) 是奇函数且定义域中有原点,则f(0) ? 0。
如:若f ( x) ? a·2 x ? a ? 2 为奇函数,则实数a ? 2x ? 1

(∵f ( x) 为奇函数,x ? R,又0 ? R,∴f (0) ? 0
即 a· 2 0 ? a ? 2 ? 0,∴a ? 1) 20 ? 1

2x 又如:f ( x) 为定义在( ?1,1) 上的奇函数,当x ? (0,1) 时,f ( x) ? x , 4 ?1

求f (x)在??1,1?上的解析式。

-3-

(令x ? ??1,0?,则 ? x ? ?0,1?,f ( ? x) ? 又f ( x) 为奇函数,∴f ( x) ? ?

2?x 4?x ? 1

2?x 2x ? ? 4?x ? 1 1 ? 4x

? 2x ?? x ? 4 ?1 又f (0) ? 0,∴f ( x) ? ? x ? 2 ? ?4x ? 1
判断函数奇偶性的方法

x ? ( ?1, 0) x?0 x ? ?0,1?



一、定义域法 一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件. 若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.

.
二、奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算 f (? x) ,然后根据函数的奇偶性的定义 判断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形 f(x)+f(-x) =0 奇函数 f(x)-f(-x)=0 f(x) ?1 f(-x) f(x) ? ?1 f(-x)
三、复合函数奇偶性

偶函数 偶函数 奇函数

f(g) 奇 奇 偶 偶

g(x) 奇 偶 奇 偶

f[g(x)] 奇 偶 偶 偶

f(x)+g(x) 奇 非奇非偶 非奇非偶 偶

f(x)*g(x) 偶 奇 奇 偶

18. 你熟悉周期函数的定义吗?

(若存在实数T(T ? 0),在定义域内总有f ?x ? T? ? f ( x) ,则f ( x) 为周期
函数,T 是一个周期。 )

如:若f ?x ? a? ? ?f (x),则

-4-

(答:f ( x) 是周期函数,T ? 2a为f ( x) 的一个周期)
我们在做题的时候, 经常会遇到这样的情况: 告诉你 f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来, 这时说这个函数周期 2t. 推导: f ( x ? t ) ? f ( x ? 2t ) ? 0 ? ?? f ( x) ? f ( x ? 2t ) , ? 同时可能也会遇到这种样子: f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意 思:函数 f(x)关于直线对称, 对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。比如, f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线 x=a 对称。

f ( x) ? f ( x ? t ) ? 0

?

又如:若f ( x)图象有两条对称轴x ? a,x ? b 即f (a ? x) ? f (a ? x),f (b ? x) ? f (b ? x) ? f ( x) ? f (2a ? x) ? ?? ? ? ?? f (2a ? x) ? f (2b ? x) ? f ( x) ? f (2b ? x) ? 令t ? 2a ? x, 则2b ? x ? t ? 2b ? 2a, f (t ) ? f (t ? 2b ? 2a) 即f ( x) ? f ( x ? 2b ? 2a) 为保守起见,我加了一个绝对值
如:

所以,函数f ( x)以2 | b ? a | 为周期(因不知道a, b的大小关系

19. 你掌握常用的图象变换了吗?

f (x)与f (?x)的图象关于 y轴 对称 联想点(x,y),(-x,y) f (x)与 ? f (x)的图象关于 x轴 对称 联想点(x,y),(x,-y) f (x)与 ? f (?x)的图象关于 原点 对称 联想点(x,y),(-x,-y)

f ( x) 与f ?1 ( x) 的图象关于 直线y ? x 对称

联想点(x,y),(y,x)

f (x)与f (2a ? x)的图象关于 直线x ? a 对称 联想点(x,y),(2a-x,y) f (x)与 ? f (2a ? x)的图象关于 点(a,0) 对称 联想点(x,y),(2a-x,0)
左移a(a?0) 个单位 y ? f ( x ? a) 将y ? f ( x) 图象 ???????? ?? 右移a(a?0) 个单位 y ? f ( x ? a)
-5-

上移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b ???????? ?? 下移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b
(这是书上的方法,虽然我从来不用, 但可能大家接触最多,我还是写出来吧。对于 这种题目,其实根本不用这么麻烦。你要判断函数 y-b=f(x+a)怎么由 y=f(x)得到,可以直接 令 y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹 了。 ) 注意如下“翻折”变换:

f ( x)? ? ? | f ( x把 ) |轴下方的图像翻到上面 x f ( x)? ? ?f( |x 把 | )轴右方的图像翻到上面 y

如:f ( x) ? log 2 ?x ? 1?

作出y ? log2 ?x ? 1? 及y ? log2 x ? 1 的图象

y y=log2x

O

1

x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

(k<0) y

(k>0)

y=b O’(a,b) O x=a x

(1)一次函数:y ? kx ? b ?k ? 0?
( 2 )反比例函数:y ?

(k 为斜率,b 为直线与 y 轴的交点)

k k ?k ? 0?推广为y ? b ? ?k ? 0?是中心O'(a,b) x x?a
-6-

的双曲线。

b? 4ac ? b 2 ? (3)二次函数y ? ax 2 ? bx ? c ?a ? 0? ? a? x ? ? ? 图象为抛物线 ? 2a ? 4a

2

? b 4ac ? b 2 ? b 顶点坐标为? ? , ? ,对称轴x ? ? 4a ? 2a ? 2a
开口方向:a ? 0,向上,函数y min ? 4ac ? b 2 4a

a ? 0,向下,y max ?

4ac ? b 2 4a

根的关系:x ?

?b ? ? 2a b c ? x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? ,| x1 ? x2 |? a a |a|

二次函数的几种表达形式: f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(一般式) f ( x) ? a( x ? m) 2 ? n(顶点式,(m,n)为顶点 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )( x1 , x2是方程的2个根) f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ? h(函数经过点(x1 , h)( x2 , h)
应用:①“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

ax 2 ? bx ? c ? 0,? ? 0时,两根x1、x 2 为二次函数y ? ax 2 ? bx ? c的图象与x轴 的两个交点,也是二次不等式ax 2 ? bx ? c ? 0 (? 0) 解集的端点值。
②求闭区间[m,n]上的最值。

b ) f m a x? f (m ) , f m ?i n f n( ) 2a b 区间在对称轴右边(m ? ? ) f m a x? f (n ) , f m ?i n f m ( ) 2a b 区间在对称轴2边 (n ? ? ? m) 2a 4 ac ? b 2 f m i n? f, m a ?x mfa m x ( f(n ) , ( ) ) 4a 也可以比较m , n 和对称轴的关系, 距离越远,值越大 区间在对称轴左边(n ? ? (只讨论a ? 0的情况)
③求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

-7-

?? ? 0 ? ? b 如:二次方程ax 2 ? bx ? c ? 0的两根都大于k ? ?? ?k ? 2a ? ?f ( k ) ? 0
y

(a>0)

O

k x1

x2

x

一根大于k,一根小于k ? f ( k) ? 0
?? ? 0 ? b ? ?n ?m ? ? 在区间(m,n)内有2根 ? ? 2a ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0 在区间(m,n)内有1根 ? f (m) f (n) ? 0

(4)指数函数:y ? a x ?a ? 0,a ? 1? (5)对数函数y ? loga x?a ? 0,a ? 1?
由图象记性质! (注意底数的限定! )
y (0<a<1) 1 O 1 x y=ax(a>1) y=log ax(a>1)

(0<a<1)

( 6)“对勾函数” y ? x ?

k ?k ? 0? x

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么? (均值不等式一定要注 意等号成立的条件) y

? k
O

k

-8x -

20. 你在基本运算上常出现错误吗?

指数运算:a 0 ? 1 (a ? 0) ,a ? p ?
m

1 (a ? 0) ap

a n ? n a m (a ? 0) ,a

?

m n

?

1
n

am

(a ? 0)

对数运算: log ( ?N ? ) a M
log a

la og M?

l N N ?? ?g M ?, 0 ao

0

M 1 n ?log M ? log a M?log a N, l o g a a M N n

对数恒等式:a loga x ? x
对数换底公式: log ab? log a x ? 1 log x a log n cb ? lo gb n ? am log m c a l bg ao

21. 如何解抽象函数问题? (赋值法、结构变换法)

如:(1)x ? R,f ( x) 满足f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 为奇函数。 (先令x ? y ? 0 ? f (0) ? 0再令y ? ?x,??) (2)x ? R,f ( x) 满足f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 是偶函数。

(先令x ? y ? ?t ? f ?(?t )(?t )? ? f ( t·t )
∴f (?t ) ? f (?t ) ? f ( t ) ? f ( t ) ∴f (? t ) ? f ( t ) ??)

(3)证明单调性:f ( x 2 ) ? f ?x 2 ? x1 ? ? x 2 ? ??
(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了

?

?

-9-

1、 代 y=x, 2、 令 x=0 或 1 来求出 f(0)或 f(1) 3、 求奇偶性,令 y=—x;求单调性:令 x+y=x1 几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数 f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±y)=f(x)±f(y) 2. 幂函数型的抽象函数 f(x)=xa----------------f(xy)= f(x)f(y) ;f( 3. 指数函数型的抽象函数 f(x)=ax------------------- f(x+y)=f(x)f(y) ;f(x-y)= 4. 对数函数型的抽象函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1)-----f(x·y)=f(x)+f(y) ;f( 5. 三角函数型的抽象函数 f(x)=tgx-------------------------- f(x+y)=

x f ( x) )= y f ( y)

f ( x) f ( y)

x )= f(x)-f(y) y

f ( x) ? f ( y ) 1 ? f ( x) f ( y ) f ( x) f ( y ) ? 1 f ( x) ? f ( y )

f(x)=cotx------------------------ f(x+y)=

例 1 已知函数 f (x) 对任意实数 x、 y 均有 f (x+y) =f (x) +f (y) , 且当 x>0 时, f(x)>0, f(-1)= -2 求 f(x)在区间[-2,1]上的值域. 分析:先证明函数 f(x)在 R 上是增函数(注意到 f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2 -x1)+f(x1) ) ;再根据区间求其值域. 例 2 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 均有 f(x+y)+2=f(x)+f(y) ,且当 x>0 时, 2 f(x)>2,f(3)= 5,求不等式 f(a -2a-2)<3 的解. 分析:先证明函数 f(x)在 R 上是增函数(仿例 1) ;再求出 f(1)=3;最后脱去函数 符号. 例 3 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)f(y) ,且 f(-1)=1,f(27) =9,当 0≤x<1 时,f(x)∈[0,1]. (1) 判断 f(x)的奇偶性; (2) 判断 f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明; (3) 若 a≥0 且 f(a+1)≤ 3 9 ,求 a 的取值范围. 分析: (1)令 y=-1;
- 10 -

(2)利用 f(x1)=f( (3)0≤a≤2.

x1 x ·x2)=f( 1 )f(x2) ; x2 x2

例 4 设函数 f(x)的定义域是(-∞,+∞) ,满足条件:存在 x1≠x2,使得 f(x1) ≠f(x2) ;对任何 x 和 y,f(x+y)=f(x)f(y)成立.求: (1) f(0) ; (2) 对任意值 x,判断 f(x)值的符号. 分析: (1)令 x= y=0; (2)令 y=x≠0. 例 5 是否存在函数 f(x) ,使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②f(a+b)= f(a)f (b) ,a、b∈N;③f(2)=4.同时成立?若存在,求出 f(x)的解析式,若不存在,说明 理由. 分析:先猜出 f(x)=2x;再用数学归纳法证明. 例 6 设 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 f(x·y)=f(x)+f(y) , f(3)=1,求: (1) f(1) ; (2) 若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围. 分析: (1)利用 3=1×3; (2)利用函数的单调性和已知关系式. 例 7 设函数 y= f(x)的反函数是 y=g(x).如果 f(ab)=f(a)+f(b) ,那么 g(a +b)=g(a) ·g(b)是否正确,试说明理由. 分析:设 f(a)=m,f(b)=n,则 g(m)=a,g(n)=b, 进而 m+n=f(a)+f(b)= f(ab)=f [g(m)g(n)]?. 例 8 已知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件: ① x1、x2 是定义域中的数时,有 f(x1-x2)=

f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 ; f ( x2 ) ? f ( x1 )

② f(a)= -1(a>0,a 是定义域中的一个数) ; ③ 当 0<x<2a 时,f(x)<0. 试问: (1) f(x)的奇偶性如何?说明理由; (2) 在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由. 分析: (1)利用 f [-(x1-x2)]= -f [(x1-x2)],判定 f(x)是奇函数; (3) 先证明 f(x)在(0,2a)上是增函数,再证明其在(2a,4a)上也是 增函数. 对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意 .有 些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要 进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题. 例 9 已知函数 f(x) (x≠0)满足 f(xy)=f(x)+f(y) ,
- 11 -

(1) 求证:f(1)=f(-1)=0; (2) 求证:f(x)为偶函数; (3) 若 f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式 f(x)+f(x- 分析:函数模型为:f(x)=loga|x|(a>0) (1) 先令 x=y=1,再令 x=y= -1; (2) 令 y= -1; (3) 由 f(x)为偶函数,则 f(x)=f(|x|). 例 10 已知函数 f(x)对一切实数 x、y 满足 f(0)≠0,f(x+y)=f(x) ·f(y) ,且当 x<0 时,f(x)>1,求证: (1) 当 x>0 时,0<f(x)<1; (2) f(x)在 x∈R 上是减函数. 分析: (1)先令 x=y=0 得 f(0)=1,再令 y=-x; (3) 受指数函数单调性的启发: 由 f(x+y)=f(x)f(y)可得 f(x-y)=

1 )≤0. 2

f ( x) , f ( y)

进而由 x1<x2,有

f ( x1 ) =f(x1-x2)>1. f ( x2 )

练习题: 1.已知:f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数 x、y 都成立,则( ) (A)f(0)=0 (B)f(0)=1 (C)f(0)=0 或 1 (D)以上都不对 2. 若对任意实数 x、y 总有 f(xy)=f(x)+f(y) ,则下列各式中错误的是( (A)f(1)=0 (B)f(



1 )= f(x) x

(C)f(

x )= f(x)-f(y) y

(D)f(xn)=nf(x) (n∈N)

3.已知函数 f(x)对一切实数 x、y 满足:f(0)≠0,f(x+y)=f(x)f(y) ,且当 x <0 时,f(x)>1,则当 x>0 时,f(x)的取值范围是( ) (A) (1,+∞) (B) (-∞,1) (C) (0,1) (D) (-1,+∞) 4.函数 f(x)定义域关于原点对称,且对定义域内不同的 x1、x2 都有 f(x1-x2)=

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f(x)为( 1 ? f ( x1 ) f ( x2 )



(A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数 5.已知不恒为零的函数 f(x)对任意实数 x、y 满足 f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f (y)],则函数 f(x)是( )
- 12 -

(A)奇函数非偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数

(B)偶函数非奇函数 (D)非奇非偶函数

参考答案: 1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α ,半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗?

(l ? ? ·R,S 扇 ?

1 1 l·R ? ? ·R 2 ) 2 2

(和三角形的面积公式很相似, 可以比较记忆 . 要知道圆锥展 开图面积的求法)
R

1 弧度 O R

- 13 -


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高中数学函数解题技巧方法总结(高考)-学生版
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