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圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一) 教案


[标题] 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一) [内容] 教学目标 1.使学生理解圆的旋转不变性,理解圆心角、弦心距的概念; 2.使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论,并初步学会运用这 些关系解决有关问题; 3.培养学生观察、分析、归纳的能力,向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认 教学 从圆 、 弧、 教学 重点和难点 圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点; 的 旋转不变性出发,推出圆心角 弦、弦心距之间的相等关系是难点. 过程设计 一、创设情景,引入新课 圆是轴对称图形.圆的这一性质, 帮助我们解决了圆 多问题.今天我们再来一起研 下圆还有哪些特性.

的许 究一

1.动态演示,发现规律 投影出示图 7-47,并动态显示:平行四边形绕对角线交点 O 旋转 180°后.问: (1)结果怎样? 学生答:和原来的平行四边形重合. (2)这样的图形叫做什么图形? 学生答:中心对称图形. 投影出示图 7-48,并动态显示:⊙O 绕圆心 O 旋转 180°.由学生观察后,归纳出:圆 是 以圆心为对称中心的中心对称图形. 投影继续演示如图 7-49,让直径 AB 两个端点 A,B 绕圆心旋转 30°,45°,90°,让 学生观察发现什么结论?

得出:不论绕圆心旋转多度,都能够和原来的图形重合. 进一步演示,让圆绕着圆心旋转任意角度α ,你发现什么? 学生答:仍然与原来的图表重合. 于是由学生归纳总结,得出圆所特有的性质:圆的旋转不变性.即圆绕圆心旋转任意一 个角度α ,都能够与原来的图形重合. 2.圆心角,弦心距的概念 我们在研究圆的旋转不变性时, ⊙O 绕圆心 O 旋转任意角度α 后,出现一个角∠AOB,请 同学们观察一下, 这个角有什么特点?如图 7-50.(如有条件可电脑 闪动显示图形.)

在学生观察的基础上,由学生说出这个角的特点:顶点在圆心上. 在此基础上,教师给出圆心角的定义,并板书. 顶点在圆心的角叫做圆心角. 再进一步观察, 是∠AOB 所对的弧,连结 AB,弦 AB 既是圆 心角∠AOB 也是 AB 所对的弦.请同学们回忆,在学习垂径定理时, 常作的一条辅助线是什么? 学生答:过圆心 O 作弦 AB 的垂线. 在学生回答的基础上,教师指出:点 O 到 AB 的垂直线段 OM 的长度, 即圆心到弦的距离叫弦心距.如图 7-51.(教师板书定 义) 最后指出: 这节课我们就来研究圆心角之间, 以及它们所 对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系.(引出课题) 二、大胆猜想,发现定理 在图 7-52 中,再画一圆心角∠A′OB′,如果∠AOB=∠A′OB′,(变化显示两角 相等)再作出它们所对的弦 AB,A′B′和弦的弦心距 OM,OM′,请大家大胆猜想,其 余三组量 与 ,弦 AB 与 A′B′,弦心距 OM 与 OM′的大小关系如何?

学生很容易猜出: = ,AB=A′B′,OM=OM′. 教师进一步提问:同学们刚才的发现仅仅是感性认识,猜想是否正确,必须进行证明, 怎样证明呢? 学生最容易想到的是证全等的方法,但得不到 = 让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么? 学生:在同圆或等圆中,能够完全重合的弧叫等弧. 请同学们想一想,你用什么方法让 学生:旋转. 和 重合呢? = . ,怎样证明弧相等呢?

下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明

把∠AOB 连同 旋转, 使 OA 与 OA′重合, 电脑开始显示旋转过程, 教师边演示边提问. 我们发现射线 OB 与射线 OB′也会重合,为什么? 学生:因为∠AOB=∠A′OB′, 所以射线 OB 与射线 OB′重合. 要证明 与 重合,关键在于点 A 与点 A′,点 B 与点 B′是否分别重合.这两对点 分别重合吗? 学生:重合. 你能说明理由吗? 学生:因为 OA=OA′,OB=OB′, 所以点 A 与点 A′重合,点 B 与点 B′重合. 当两段弧的两个端点重合后,我们可以得到哪些量重合呢? 学生: 与 重合,弦 AB 与 A′B′重合,OM 与 OM′重合. 为什么 OM 也与 OM′重合呢? 学生:根据垂线的唯一性. 于是有结论: = ,AB=A′B′,OM=OM′. 以上证明运用了圆的旋转不变性.得到结论后,教师板书证明过程,并引导学生用简洁 的文字叙述这个真命题. 教师板书定理. 定理:在同圆中,相等的圆心角所对的

弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等. 教师引导学生补全定理内容. 投影显示如图 7-53,⊙O 与⊙O′为等圆,∠AOB=∠A′O′B′,OM 与 O′M′分别为 AB 与 A′B 的弦心距, 请学生回答 与 , AB 与 A′B′, OM 与 O′M′还相等吗?为什么? 在学生回答的基础上,教师指出:以上三组量仍然相等,因为两个等圆可以叠合成同圆 .(投影显示叠合过程) 这样通过叠合,把等圆转化成了同圆,教师把定理补充完整. 然后,请同学们思考定理的条件和结论分别是什么?并回答:. 条件 结论 圆心角所对弧相等; 在同圆或等圆中 圆心角所对弦相等; 圆心角相等 圆心角所对弦的弦心距相等. 思考,在这个大前提下,把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置,可以得到三个新 命题,这三个命题是真命题吗?如何证明? 在学生讨论的基础上,简单地说明证明方法. 最后,教师把这四个真命题概括起来,得到定理的推论. 请学生归纳,教师板书. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组 量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 三、巩固应用、变式练习 例 1 判断题,下列说明正确吗?为什么? (1)如图 7-54:因为∠AOB=∠A′OB′, 所以 = . =

(2)在⊙O 和⊙O′中,如果弦 AB=A′B′.那么

分析:(1)、 (2)都是不对的.在图 7-54 中,因为 和 不 在同圆或等圆中,不能用 定理.对于(2)也缺少了等圆的条件.可让学生举反例说明. 例2 例 2 如图 7-55,点 P 在⊙O 上,点 O 在∠EPF 的角 平分线上,∠EPF 的两边交⊙O 于点 A 和 B.求证:PA =PB. 让学生先思考,再叙述思路,教师板书示范. 证明:作 OM⊥PA,ON⊥PB,垂足为 M,N. ∠APO=∠BPO OM⊥PA . OM=ON . PA=PB. ON⊥PB 把 P 点当做运动的点,将例 2 演变如下: 变式 1 (投影打出) 已知:如图 7-56,点 O 在∠EPF 的平分线上, ⊙O 和∠EPF 的两边分别交于点 A,B 和 C,D. 求证:AB=CD. 变式 2 (投影打出) 已知: 如图 7-57, ⊙O 的弦 AB, CD 相交于点 P, ∠APO=∠CPO, 求证:AB=CD. 由学生口述证题思路.

说明:这组例题均是利用弦心距相等来证明弦相等的问题,当然,也可利用其它方法来 证,只不过前者较为简便.

练习 1 已知:如图 7-58,AD=BC. 求证:AB=CD. 师生共同分析后,学生练习,一学生上黑板板演. 变式练习.已知:如图 7-58,AD=BC,求证:AB=CD. 四、师生共同小结 教师提问: (1)这节课学习了哪些具体内容? (2)本节的定理和推论是用什么方法来证明的? (3)应注意哪些问题? 在学生回答的基础上,教师总结. (1)这节课主要学习了两部分内容: 一是证明了圆是中心对称图形.得到圆的特性——圆 的旋转不变性;二是学习了在同圆或等圆中,圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦、所对的 弦的弦心距之间的关系定理及推论.这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重 要依据. (2)本节通过观察—猜想—论证的方法,从运动变化中发现规律,得出定理及推论,同时 遵循由特殊到一般的思维认识规律,渗透了旋转变换的思想. (3 五、布置作业 课本 p.99.习题 7.2.A 组.1(1),2,3,.4. 思考题:已知 AB 和 CD 是⊙O 的两条弦,OM 和 ON 分别是 AB 和 CD 的弦心距,如果 AB> CD,那么 OM 和 ON 有什么关系?为什么? 板书设计

课堂教学设计说明 这份教案为 1 课时. 如果内容多,部分练习题可在下节课中处理.


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