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必修一同步课件:2.1.1(第1课时)根式


第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指 数 函 数
2.1.1 指数与指数幂的运算 第1课时 根 式

一、a的n次方根和根式 1.a的n次方根 (1)定义:如果____ xn=a ,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*. (2)表示: n的分类 n为奇数 n为偶数 a的n次方根的符号表示
n a ___

/>
a的取值范围 a∈R a≥0

?n a ____

2.根式
n a 叫做根式,其中根指数是__, 式子___ n 被开方数是__. a

思考:3 8 是根式吗?根式一定是无理式吗? 提示:是根式.根式不一定是无理式.如 3 8 是根式,但不是无 理式,因为 3 8 =2是有理数.

二、根式的性质

a

a

–a,a<0

判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)当n∈N*时,( n ?3 )n都有意义.(

)
)

(2)因为(±3)4=81,∴ 4 81的运算结果为±3.(

(3) ? ? ? 4 ?2 =4-π .(

)

提示:(1)错误.若( n ?3 )n有意义,则n必为奇数. (2)错误. 4 81 ? 4 34 ? 3. (3)正确.≧π-4<0,? ? ? ? 4 ?2 =|π-4|=-(π-4)=4-π. 答案:(1)〓 (2)〓 (3)√

【知识点拨】 1.解读a的n次方根的个数

2.“根式记号”的注意点 (1)根式的概念中要求n>1,且n∈N*. (2)当n为大于1的奇数时,a的n次方根表示为 n a(a∈R),当n
n (a≥0)表示a在实数范围内的一个 n次方 为大于1的偶数时, a

根,另一个是 ? n a, 从而( ? n a )n=a.

3.对 n a n 和( n a )n的理解 (1) n a n是实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n 的奇偶限制,a∈R,但此式的值受n的奇偶限制:当n为大于1 的奇数时,n a n =a;当n为大于1的偶数时,n a n =|a|. (2)( n a )n是实数 n a 的n次幂,当n为大于1的奇数时,( n a )n=a, a∈R;当n为大于1的偶数时,( n a )n=a,a≥0.由此看只要( n a )n 有意义,其值恒等于a,即( n a )n=a.

类型 一

n次方根的概念问题

【典型例题】

1.16的平方根为______,-27的5次方根为______.
2.已知x7=6,则x=______. 3.若 4 x ? 2 有意义,则实数x的取值范围是______.

【解题探究】1.a的n次方根的符号表示是什么? 2.若xn=a,则x的值是什么? 3. n a(n为偶数)成立的条件是什么? 探究提示:
n 1.n为奇数时,a的n次方根的符号表示为: n为偶数时,a的n a;

次方根的符号表示为: a≥0. ? n a, 2.若xn=a,则x叫做a的n次方根,具体值参考提示1. 3.n a (n为偶数)成立的条件是a≥0.

【解析】1.≧(〒4)2=16,?16的平方根为〒4.-27的5次方根为
5

?27.
5

答案:〒4

?27

2.≧x7=6,?x= 7 6.
7 答案: 6

3.要使 4 x ? 2有意义,则需x-2≥0,即x≥2.因此实数x的取值 范围是[2,+≦). 答案:[2,+≦)

【拓展提升】求n次方根要关注的问题 (1)任意实数的奇次方根只有一个,正数的偶次方根有两个且 互为相反数. (2)( n a )n是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的 奇偶性决定.

【变式训练】若81的平方根为a,-8的立方根为b,求a+b的值.
【解析】≧(〒9)2=81,?81的平方根为〒9,即a=〒9.

又(-2)3=-8,?-8的立方根为-2,即b=-2.
?a+b=-9-2=-11或a+b=9-2=7,

?a+b=-11或7.

类型 二

直接利用根式的性质化简与求值

【典型例题】

1.求下列各式的值
(1)( 5)2=______. (2) 3 ? ?6 ?3 =______. 2.化简:(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 . (2)
3

1

?2 ? 5 ?

3

?

?

1
3

2? 5

?

3

.

【解题探究】1. n a n 的值是什么? 2.(1)化简 a 的关键点是什么?(2)对于分母中含有根号的式子 应如何进行化简?

探究提示: 1. n a n =a(n为奇数),
?a,a ? 0, a ? a ?? ? n为偶数 ?. ??a,a ? 0 2.(1)化简 a 的关键点是将a配凑成完全平方数,去掉根号.
n n

(2)对于分母中含有根号的式子可将此式的分子、分母分别乘 以分母的有理化因式,分母有理化,从而化简 .

【解析】1.(1)( 5 )2=5.(2) 3 ? ?6 ?3 =-6.
答案:(1)5 (2)-6

2.(1) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2
?

? 3?
2

2

?2 3? 2 ?

? 2?
2

2

? 2 ? 2? 2 3 ?
2

? 3?

2

? 2 ? 2? 2 2 ? ? ?

?
1

3?

? 2? 2 ? ? ?2 ? 3?
2 2

?

?2 ? 2 ?

2

3 ? 2 ? 2? 3 ?|2? 2 |

? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 2.

?

?

(2)
3

?2 ? 5 ?

3

?

?

1
3

2? 5

?

3

?

1 1 ? ? 5 ?2? 2? 5 2? 5

?

5 ? 2 ? ?4.

?

【互动探究】题2(2)中,若将原式改为
4

1 ( 2? 5)
4

?
4

1 (2 ? 5)
4

,

还能求出值吗? 【解析】能,
1 ( 4 2 ? 5 )4 ?
4

1 (2 ? 5) 4

?

1 1 ? 2? 5 5 ?2

? 5 ? 2 ? 5 ? 2 ? 2 5.

【拓展提升】根式化简或求值的两个注意点 (1)解决根式的化简问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶 次根式,然后运用根式的性质进行化简. (2)注意正确区分 n a n 与( n a)n.

类型 三

带有限制条件的根式运算

【典型例题】
2 x 1.若x<0,则x+|x|+ =______. x

2.若代数式 2x ? 1 ? 2 ? x 有意义,化简 4x 2 ? 4x ? 1 ? 2 4 ? x ? 2 ?4 .

【解题探究】1.对于式子 x 2 化简时应注意什么? 2.由代数式 2x ? 1 ? 2 ? x 有意义,能得到什么结论? 探究提示:
? x, x ? 0, 1.应特别注意符号问题,即 x ? ? ?? x, x ? 0.
2

?2x ? 1 ? 0, 2.借助代数式有意义可确定x的取值范围,即 ? ?2 ? x ? 0, 1 可得: ≤x≤2. 2

【解析】1.因为x<0,
x ?x x2 所以x+|x|+ =x-x+ ? =-1. x x x

答案:-1 2.由 2x ? 1 ? 2 ? x 有意义,则 ? ?
2x ? 1 ? 0, ?2 ? x ? 0,



1 ≤x≤2. 2

故 4x 2 ? 4x ? 1 ? 2 4 x ? 2 4 ? 2x ? 1 2 ? 2 4 x ? 2 4 ? ? ? ? ? ?

=|2x-1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x)=3.

【拓展提升】有限制条件的根式化简的步骤

【变式训练】设0<x<2,求

x 2 ? 2x ? 1 ? x 2 ? 4x ? 4 的值.

【解题指南】可先将被开方数凑配成完全平方的形式,从而 开方,利用x的范围,去掉绝对值号,进一步化简 . 【解析】原式= =|x+1|+|x-2|, ≧0<x<2,?x+1>0,x-2<0, ?原式=x+1-(x-2)=3.

? x ? 1?

2

?

? x ? 2?

2

【易错误区】化简 n a n 忽略条件而致误 【典例】化简 A.e-e-1

?e

?1

? e ? ? 4 =(
2

)

B.e-1-e

C.e+e-1
【解析】选A.
? e ?2?e ?
2 ?2

D.0

?e

?1

? e ? ? 4 ? e?2 ? 2e?1e ? e2 ? 4
2

?e

?1

? e? ? e ? e
2 ?1



? e ? e?1.

【类题试解】1.下列各式中正确的个数是(

)

(1) n a n =( n a )n=a(n是奇数且n>1,a是实数);
(2) n a n =( n a )n=a(n是正偶数,a是实数);

(3) 3 a 3 ? b2 =a+b(a,b是实数).
A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】选B.对(1),由于n是大于1的奇数,故(1)正确;对
(2),由于n是正偶数,故 n a n 中a可取任意实数,而( n a )n中a 只能取非负数,故(2)错误;对(3), b2 =|b|,故结果错误.

m ? n? 2.当m<n时,4 ? =______.
4

81
4

【解析】4 ? m ? n ?
81
4

?

m ? n 又≧m<n,?|m-n|=n-m,即 , 3

m?n n?m ? ? . 81 3 3 答案:n ? m 3

?m ? n?

4

【误区警示】

【防范措施】 1.熟记结论和性质 对于一些重要的结论和运算性质要掌握准确,熟练应用 .如本 例中对于 n a n 是实数an的n次方根,此时n=2为偶数, 然后去掉绝对值号即可得e-e-1. (e?1 ? e)2 ? e?1 ? e , 2.注意隐含条件的挖掘利用 题中给出的条件要充分利用,有时不能直接利用,可适当变 形后利用.如本例中化简到|e-1-e|时,需判断出e-1-e的正 负,从而去掉绝对值号.

1.以下说法正确的是(
A.正数的n次方根是正数

)

B.负数的n次方根是负数
C.0的n次方根是0(其中n>1且n∈N*) D.a的n次方根是 n a 【解析】选C.A,B,D选项中,没有指明n的奇偶,D中a的正 负也没有说明,故不正确.

2. 3 ?27 的值是(
A.3 B.-3

)
C.9 D.-9

【解析】选B. 3 ?27 ? 3 ? ?3?3 ? ?3.

3.若 n a=-n a, 则( A.a=0 B.a≠0

) C.a≤0 D.a≥0

【解析】选A. n a=-n a 是一个数与其相反数相等,故a=0.

4. ? ?5 ? 2 =_____;( ? ?5 ?2 ) 2 =______.
2 【解析】 ? ?5 ?2 ? 52 ? 5; ( ? ?5 ? ) 2 ? ( 52 ) 2 ? 52 ? 25.

答案:5

25

5.若x<5,则 x 2 ? 10x ? 25的值是______. 【解析】≧x<5,? x 2 ? 10x ? 25 =|x-5|=5-x.

答案:5-x

6.求下列各式的值: (1)( 3 a )3.(2) n ? 2 ? ? ?n (n>1,且n∈N*). (3) 2n ? x ? y ?2n (n>1,且n∈N*). 【解析】(1)( 3 a)3=a. (2)当n为奇数时,n ? 2 ? ? ? =2-π;
n

当n为偶数时, n ? 2 ? ? ?n =π-2. (3) 2n ? x ? y ?2n =|x-y|, 当x≥y时,2n ? x ? y ? =x-y;
2n

当x<y时, 2n ? x ? y ?2n =y-x.


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