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2015-2016学年高中数学 2.3.2-2.3.3向量减法运算及其几何意义 向量数乘运算及其几何意义课件


第二章
平面向量

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

2.2.2 2.2.3

向量减法运算及其几何意义 向量数乘运算及其几何意义 提高篇

预习篇

课堂篇

巩固篇

课时作业

学习目标
1.能用坐标表示向量,知道平面向量基本定理中向量 与有序实数对的一一对应关系. 2.会两个向量的和差及实数与向量积的坐标表示.

重点难点
重点:平面向量的正交分解及坐标表示; 难点:平面向量的坐标运算.

预习篇01
新知导学

向量的正交分解及坐标表示

1.向量的正交分解 把一个向量分解为 两个互相垂直 的向量,叫做把向 量正交分解.

2.向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的 两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有 且只有一对实数x,y使a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y) 叫做向量a的坐标,记作a= (x,y) ,其中x叫做a在x轴上 的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.

1.特别地,i,j,0的坐标分别是什么? 答:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

平面向量的坐标运算

已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: (1)a+b=(x1+x2,y1+y2) ,a-b= (x1-x2,y1-y2), 即两个向量和(差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和 (差). (2)λa= (λx1,λy1) (λ∈R),即实数与向量的积的坐 标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

(3)若点A坐标为(x1,y1),点B坐标为(x2,y2),O为坐标 → → → → → 原点,则 OA= (x1,y1) ,OB= (x2,y2) ,AB=OB- OA= (x2,y2)-(x1,y1)= (x2-x1,y2-y1) .即一个向量的坐标等 于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.

2.与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点? 答:与x轴平行的向量的纵坐标为0,即a=(x,0);与y 轴平行的向量的横坐标为0,即b=(0,y). 3.若A(x1,y1),B(x2,y2),怎样求线段AB的长度? → 答:由于 AB =(x2-x1,y2-y1)且线段AB的长度等于向 → → 量AB的模,所以线段AB=|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2.

1.点的坐标与向量的坐标的区别和联系 (1)区别: ①意义. 点的坐标反映点的位置,它由点的位置决定;向量的 坐标反映的是向量的大小和方向,与位置无关.

②表示形式. → → 如点A(x,y),向量a= OA =(x,y).当平面向量 OA 平 → → → 行移动到 O1A1 时,向量不变,即 O1A1 = OA =(x,y),但 → O1A1的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化.

(2)联系: ①向量a的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点 的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系. ②把坐标原点作为表示向量a的有向线段的始点,这时 向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定, 即终点的坐标就是向量a的坐标.

2.向量的三种运算体系 (1)图形表示下的几何运算. 此运算体系下要注意三角形法则、平行四边形法则的 应用. (2)字母表示下的几何运算. 此运算体系下一方面要注意运算律的应用,另一方面 → → → → → → 要注意OA+AB=OB,OA-OB=BA等运算法则的应用.

(3)坐标表示下的代数运算. 此运算体系下要牢记公式,且细心运算.若已知有向 线段两个端点的坐标,则应先求出向量的坐标,再进行坐 标运算.

课堂篇02
合作探究

平面向量的坐标表示

【例1】

设i=(1,0),

j=(0,1),a=3i+4j,b=-i

+j,求a+b与a-b的坐标. 【分析】 只需将a+b和a-b表示为xi+yj的形

式,从而得出所求坐标.

【解】

∵a=3i+4j,b=-i+j,

∴a+b=(3i+4j)+(-i+j)=2i+5j, a-b=(3i+4j)-(-i+j)=4i+3j. 又i=(1,0),j=(0,1), ∴a+b与a-b的坐标分别是(2,5),(4,3).

通法提炼 i=?1,0?,j=?0,1?分别是与x轴、y轴同方向的单位 向量,向量的坐标?x,y?是相对于i=?1,0?,j=?0,1?来说 的,若向量可以表示成xi+yj的形式,则此向量的坐标就是 ?x,y?.

已知点A(2,2),B(-2,2),C(4,6),D(-5,6),E(-2,- 2),F(-5,-6).在平面直角坐标系中,分别作出向量 → → → → → → AC,BD,EF,并求向量AC,BD,EF的坐标.

解:如图,描出点A(2,2),B(-2,2),C(4,6),D(- → 5,6),E(-2,-2),F(-5,-6),再分别作出向量 AC , → → → → → BD,EF.由图可知:AC=2i+4j,BD=-3i+4j,EF=-3i → → -4j,所以AC=(2,4),BD=(-3,4),EF=(-3,-4).

向量的坐标运算

【例2】

已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-

→ → → → → 4),且CM=3CA,CN=2CB,求M,N及MN的坐标. 【分析】 首先设出M、N的坐标,结合已知条

件,分别建立关于M、N坐标的方程.从而求得M,N的 → 坐标以及MN的坐标.

【解】

由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),可得

→ → CA =(-2,4)-(-3,-4)=(1,8), CB =(3,-1)-(-3,- → → → → 4)=(6,3),所以 CM =3 CA =3(1,8)=(3,24), CN =2 CB = 2(6,3)=(12,6). 设M(x1,y1),N(x2,y2),则
? ?x1+3=3 (3,24),所以? ? ?y1+4=24

→ CM

=(x1+3,y1+4)=

,解得x1=0,y1=20;

→ CN=(x2+3,y2+4)=(12,6), 所以
? ?x2+3=12 ? ? ?y2+4=6

,解得x2=9,y2=2,所以M(0,20),

→ N(9,2),MN=(9,2)-(0,20)=(9,-18).

通法提炼 1.相等向量的坐标是相同的,解题时注意利用向量相 等建立方程?组?. 2.进行平面向量的坐标运算时,应先将向量用坐标表 示出来.一般地,已知有向线段两端点的坐标,应先求出向 量的坐标.求点P的坐标时,可以转化为求以坐标原点为起 点,点P为终点的向量的坐标.

已知a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2),且有c= pa+qb.试求实数p,q的值.

解:∵a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2), ∴pa+qb=p(-1,2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q).
? ?-p+q=3 ∵c=pa+qb,∴? ? ?2p-q=-2 ? ?p=1 ,解得? ? ?q=4

.

故p,q的值分别为1,4.

向量坐标运算的应用

【例3】

→ 已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且 OP =

→ → OA+tAB,试问: (1)t为何值时,P在x轴上,P在y轴上,P在第二象 限? (2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出 相应的t值;若不能,请说明理由.

【分析】 坐标.

→ → → ①关键是利用 OP = OA +t AB 表示出点P的

→ → ②利用平行四边形中OA=PB.

【解】

→ → OA=(1,2),AB=(3,3),

→ OP=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t). 2 (1)P在x轴上,则有2+3t=0,t=-3; 1 若P在y轴上,则有1+3t=0,t=-3; 若P在第二象限,则有1+3t<0,2+3t>0, 2 1 解得- <t<- . 3 3

→ → (2)PB=(3-3t,3-3t).若OABP是平行四边形,则有OA → = PB ,即有3-3t=1,且3-3t=2,这显然是不可能的, 因此,四边形OABP不可能是平行四边形.

通法提炼 已知含参的向量等式,依据某点的位置探求参数的问 题,其本质是坐标运算的运用,用已知点的坐标和参数表 示出该点的坐标,利用该点的位置确定其横、纵坐标应满 足的条件,建立关于参数的方程?组?或不等式?组?,求解即 可.

→ → → 已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若 AP = AB +λ AC (λ∈ R),且点P在第三象限,求λ的取值范围.

→ 解:设点P的坐标为(x,y),则AP=(x-2,y-3). → → 又AB=(3,1),AC=(5,7), → → 所以AB+λAC=(3+5λ,1+7λ). → → → 由 AP = AB +λ AC 得(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),则
? ?x-2=3+5λ ? ? ?y-3=1+7λ ? ?x=5+5λ ,即? ? ?y=4+7λ

? ?5+5λ<0 又点P在第三象限,所以 ? ? ?4+7λ<0

,解得λ<-1,所以

λ的取值范围为(-∞,-1).

提高篇03
自我超越

——多维探究系列—— 对课本例题的解法探究 【例】 已知?ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别

为(-2,1),(-1,3),(3,4),求顶点D的坐标. 【思路分析】 对于此题,教材中解法1利用向量相等

→ → (即 AB = DC )求解,解法2利用向量的加法求解.下面再介 绍四种解题方法.

【解】

→ 方法一(利用平行四边形对边对应的向量相等,即 AD= → BC)如图,设顶点D的坐标为(x,y),

→ → 在?ABCD中,AD=BC, → → 又AD=(x+2,y-1),BC=(4,1), ∴(x+2,y-1)=(4,1),
? ?x+2=4 即? ? ?y-1=1 ? ?x=2 ,解得? ? ?y=2



∴顶点D的坐标为(2,2).

方法二(利用向量加法)如图,设顶点D的坐标为(x, → → → y),并连接OA,OD,则OD=OA+AD. → → → → → ∵AD=BC,∴OD=OA+BC, ∴(x,y)=(-2,1)+(4,1)=(2,2). ∴顶点D的坐标为(2,2).

方法三(利用向量减法)如图,设顶点D的坐标为(x, → → → y),并连接OA,OD,则OD=AD-AO, → → → → → ∵AD=BC,∴OD=BC-AO, ∴(x,y)=(4,1)-(2,-1)=(2,2), ∴顶点D的坐标为(2,2).

方法四(利用中点的向量表达式) 如图,在?ABCD中,设AC的中点为M,则点M也是BD 的中点. → 1 → → ∵OM= (OA+OC) 2 1 → → = (OB+OD), 2

→ → → → ∴OA+OC=OB+OD, → → → → ∴OD=OA+OC-OB =(-2,1)+(3,4)-(-1,3)=(2,2). ∴顶点D的坐标为(2,2).

→ → 在△ABC中,点P在BC上,且 BP =2 PC ,点Q是AC → → → 的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC=( A.(-2,7) C.(2,-7) B.(-6,21) D.(6,-21) )

→ → → 解析:AQ=PQ-PA=(1,5)-(4,3)=(-3,2), 因为点Q是AC的中点, → → 所以AC=2AQ=(-6,4). → → → 所以PC=PA+AC=(4,3)+(-6,4)=(-2,7), → → → → 又因为BP=2PC,所以BC=3PC =3(-2,7)=(-6,21).

答案:B


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