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山东潍坊四县一区高三11月联考数学理


2012-2013 学年度第一学段模块监测

高三数学(理科)

2012.11

本试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题目)两部分,共 150 分,考试 时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项: 1.答第Ⅰ卷前, 考生务必将自己的姓名、 准备考证号、 考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后,再改涂在其它答案标号。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.设集合 A ? {m ? Z | ?3 ? m ? 2}, B ? {n ? N | ?1 ? n ? 3} ,则 A ? B ? A.{0,1} B.{-1,0,1} 2.下列命题中的假命题是 A. ?x ? R,2 x?1 ? 0 C. ?x ? R, x 2 ? 0 3.已知条件 p : x ? 1 ,条件 q : A.充分不必要条件 C.充要条件 C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}

B. ?x ? R, lg x ? 1 D. ?x ? R, tan x ? 2

1 ? 1 ,则 p 是 ? q 成立的 x
B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

4.将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 的解析式为 A. y ? sin( 2 x ? C. y ? 2 sin 2 x 5.已知 t ? 0 ,若 A.1
t

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得函数图象对应 4

?
4

) ?1

B. y ? 2 cos2 x D. y ? ? cos 2 x

?0 (2 x ? 2)dx ? 8 ,则 t =
B.-2 C.-2 或 4 D.4

6.设等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? 8,S6 ? 7 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? A.

1 8
1

B. ?
1

1 8

C.

57 8

D.

55 8

7.设 a ? 0.5 2 , b ? 0.9 4 , c ? log5 0.3 ,则 a, b, c 的大小关系是

A. a ? c ? b 8.函数 y ?

B. c ? a ? b

C. a ? b ? c

D. b ? a ? c

x ? sin x 的图象大致是 3

? 9.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 c ? 4 2,B ? 45 ,面积 S ? 2 ,则 b

等于 A.

113 2

B.5

C. 41

D.25

?log2 x, x ? 0 ? 10.若函数 f ( x) ? ?log (? x), x ? 0 ,若 af (?a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 1 ? ? 2
A. (? 1,0) ? (0,1 ) C. (? 1,0) ? ( 1 , ? ?)
x 11.已知 x0 是 f ( x ) ? ( ) ?

( ? ?, ?1 ) ? ( 1, ? ?) B.
D. (? ?, ?1 ) ? (0,1 )

1 2

1 的一个零点, x1 ? (??, x0 ), x2 ? ( x0 ,0) ,则 x
B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

n 12.已知 an ? ( ) ,把数列 ?an ? 的各项排列成如下的三角形状,

1 3

记 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则 A( = 10,12 )
93 ( ) A.

1 3

92 ( ) B.

1 3

94 C.( )

1 3

112 ( ) D.

1 3

第Ⅱ卷

(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.不等式 | x ? 1 | ? | x ? 1 |? 3 的解集是 .

? x ? y ? 1 ? 0, ? x?2 y 14.若实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0, ,则 z ? 3 的值域是 ? x ? 0, ?

.

15.已知奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f ( ) 的值 为 16.已知函数 f ( x) 的定义域[-1,5] ,部分对应值如表, f ( x) 的导函数 y ? f ' ( x) 的图象 如图所示, x F(x) -1 1 0 2 2 1.5 4 2 5 1

7 2

下列关于函数 f ( x) 的命题; ①函数 f ( x) 的值域为[1,2] ; ②函数 f ( x) 在[0,2]上是减函数; ③如果当 x ?[?1, t ] 时, f ( x) 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? a 最多有 4 个零点. 其中正确命题的序号是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)

?ABC 中,内角 A、B、C 成等差数列,其对边 a,b,c 满足 2b 2 ? 3ac ,求 A.
18.(本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? cos2 x ,求函数 g ( x) 在区间 [0, 19.(本小题满分 12 分) 已知集合 M ? {x | x( x ? a ?1) ? 0(a ? R)}, N ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} , 若M ?N ? N , 求实数 a 的取值范围。 20.(本小题满分 12 分)

?
2

) 的部分图象如图所示。

?
2

] 上的最小值。

已知各项均为正数的数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,首项为 a1 ,且 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
2 (Ⅱ)若 an ? ( ) n ,设 cn ?

1 , an , S n 等差数列。 2

1 2

b

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

21.(本小题满分 12 分) 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件 ,需另投入成本为 C ( x) ,当 .. 年 产量 不足 80 千件 时, C ( x ) ?

1 2 x ? 10 x ( 万 元 ) 。 当年 产量 不小 于 80 千 件时 , 3

C ( x) ? 51x ?

10000 ? 1450 (万元) 。每件 商品售价为 0.05 万元。通过市场分析,该厂生 .. x

产的商品能全部售完。 (Ⅰ)写出年利润 L( x) (万元)关于年产量 x (千件 )的函数解析式; .. (Ⅱ)年产量为多少千件 时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? .. 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? ln x. (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 ( 1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对任意 x1, x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立,求 a 的取 值范围。 注:以下为附加题,附加题满分为 5 分,附加题得分计入总分,但第Ⅱ卷总分不超过 90 分, 若第Ⅱ卷总分超过 90 分,只按 90 分计. 附加题:23.已证:在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边。 求证:

a b c ? ? . sin A sin B sin C

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高三数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ACBCD ADCBA CA 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。 13. {x | x ? ? 或x ?

2012.11

3 2

3? ? 2?

14.[1,9]

15. ? 2

16.①②④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 解:由 A、B、C 成等差数列可得 2 B ? A ? C ,而 A ? B ? C ? ? , 故 3B ? ? ? B ?
2

?
3

,且 C ?

2? ? A .………………3 分 3
2

而由 2b ? 3ac 与正弦定理可得 2 sin B ? 3 sin A sin C …………5 分

? 2 ? sin 2
所以可得

?
3

? 3 sin(

2? ? A) sin A 3

2?

3 2? 2? ? 3(sin cos A ? cos sin A) sin A ? 3 cos A sin A ? sin 2 A ? 1 ? 4 3 3

3 1 ? cos2 A ? 1 sin 2 A ? ? 1 ? sin(2 A ? ) ? ,………………9 分 2 2 6 2
2? ? ? 7? ? ? ? 2A ? ? , 3 6 6 6 ? ? ? ? ? 5? 故 2A ? ? 或 2A ? ? ,于是可得到 A ? 或 A ? . ………………12 分 6 2 6 6 6 6
由0 ? A ? 18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由图可得 A ? 1, ? 当x?

?
6

T 2

2? ? ? ? ? ,所以 T ? ? .? ? 2 . ………………3 分 3 6 2

时, f ( x) ? 1 ,可得 sin( 2 ?

?

?| ? |?

?
2

,?? ?

?
6

6

??) ? 1 , ) .………………6 分 ) ? cos 2 x ? sin 2 x cos

.? f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

(Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ? sin( 2 x ?

?
6

?
6

? cos 2 x sin

?
6

? cos 2 x

?
?0 ? x ?

3 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? sin(2 x ? ) . ……………………9 分 2 2 6

?
2

,? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? . 6

当 2x ?

?
6

??

?
6

,即 x ? 0 时, g ( x) 有最小值为 ?

1 . ……………………12 分 2

19.(本小题满分 12 分) 解:由已知得 N ? ?x | ?1 ? x ? 3?, ………………2 分

?M ? N ? N,

?M ? N .

………………3 分

又 M ? ?x | x( x ? a ?1) ? 0(a ? R)? ①当 a ? 1 ? 0 即 a ? ?1 时,集合 M ? ?x | a ? 1 ? x ? 0?. 要使 M ? N 成立,只需 ? 1 ? a ? 1 ? 0 ,解得 ? 2 ? a ? ?1 ………………6 分 ②当 a ? 1 ? 0 即 a ? ?1 时, M ? ? ,显然有 M ? N ,所以 a ? ?1 符合……9 分 ③当 a ? 1 ? 0 即 a ? ?1 时,集合 M ? ?x | 0 ? x ? a ? 1?. 要使 M ? N 成立,只需 0 ? a ? 1 ? 3 ,解得 ? 1 ? a ? 2 综上所述,所以 a 的取值范围是[-2,2].…………13 分 20.(本小题满分 12 分) 解(1)由题意知 2an ? S n ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ? ……………………12 分

1 2 1 1 当 n ? 2 时, S n ? 2an ? , S n ?1 ? 2an ?1 ? 2 2
两式相减得 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ………………3 分 整理得:

1 , an ? 0 2 1 ? a1 ? 2

………………1 分

an ?2 an ?1

……………………4 分

∴数列 ?an ? 是以

1 为首项,2 为公比的等比数列。 2 1 an ? a1 ? 2 n ?1 ? ? 2 n?1 ? 2 n ?2 ……………………5 分 2
2 ?bn

(2) an ? 2

? 22n?4

∴ bn ? 4 ? 2n ,……………………6 分

Cn ?
Tn ?

bn 4 ? 2n 16 ? 8n ? n?2 ? an 2 2n
8 0 ?8 24 ? 8n 16 ? 8n ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? ① 2 2 2 2 2n

1 8 0 24 ? 8n 16 ? 8n Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 ② 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 16 ? 8n ①-②得 Tn ? 4 ? 8( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ………………9 分 2 2 2 2 2 n?1 1 1 (1 ? n ?1 ) 2 16 ? 8n 2 ? 4 ? 8? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8n ? 4?( 4 1 ? n ?1 ) ? n ?1 2 2 4n ? n .………………………………………………………11 分 2 8n ? Tn ? n . …………………………………………………………………12 分 2
21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为每件 商品售价为 0.05 万元,则 x 千件 商品销售额为 0.05×1000 x 万元,依 .. .. 题意得: 当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ?

1 2 x ? 10 x ? 250 3

1 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 .………………………………2 分 3 10000 ? 1450 ? 250 当 x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ? 51x ? x
= 1200? ? x ?

? ?

10000? ? .………………………………………………4 分 x ?

? 1 2 ? x ? 40x ? 250(0 ? x ? 80), ? ? 3 所以 L( x) ? ? …………6 分 10000 ? ? ?1200? ? x ? ?( x ? 80). ? x ? ? ?
2 (Ⅱ)当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? ? ( x ? 60 ) ? 950 .

1 3

此时,当 x ? 60 时, L( x) 取得最大值 L(60) ? 950万元。 ………………8 分

当 x ? 80 时,

? 10000? L( x) ? 1200? ? x ? ? x ? ? ? 1200? 2 x ? 10000 ? 1200? 200 ? 1000 x

10000 时,即 x ? 100 时 L( x) 取得最大值 1000 万元.………………11 分 x ? 950 ? 1000
此时,当 x ? 所以,当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元。

………………………………………………………………………………………………12 分 22.(本小题满分 14 分)
2 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 3 x ? ln x, f ( x) ? 2 x ? 3 ?

1 .………………2 分 x

因为 f ' (1) ? 0, f (1) ? ?2 . 所以切线方程是 y ? ?2. …………………………4 分

(0, ? ?) (Ⅱ)函数 f ( x) ? 2ax ? (a ? 2) x ? ln x 的定义域是 . ………………5 分
当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 2ax ? (a ? 2) ?

1 2ax2 ? (a ? 2) x ? 1 ? ( x ? 0) x x

令 f ' ( x) ? 0 ,即 f ' ( x) ? 所以 x ? 当0 ?

2ax2 ? (a ? 2) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? ? 0, x x
……………………7 分

1 1 或x? . 2 a

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在[1,e]上单调递增, a

所以 f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f (1) ? ?2 ; 当1 ? 当

1 1 ? e 时, f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f ( ) ? f (1) ? ?2 ,不合题意; a a

1 ? e 时, f ( x) 在(1,e)上单调递减, a

所以 f ( x) 在[1,e]上的最小值是 f (e) ? f (1) ? ?2 ,不合题意………………9 分 (Ⅲ)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,则 g ( x) ? ax2 ? ax ? ln x ,

(0, ? ?) 只要 g ( x) 在 上单调递增即可。…………………………10 分
而 g ' ( x) ? 2ax ? a ? 当 a ? 0 时, g ' ( x) ?

1 2ax2 ? ax ? 1 ? x x
1 (0, ? ?) ? 0 ,此时 g ( x) 在 上单调递增;……………………11 分 x

2 (0, ? ?) 当 a ? 0 时, 只需 g ' ( x) ? 0 在 上恒成立, 因为 x ? (0,??) , 只要 2ax ? ax ? 1 ? 0 ,

则需要 a ? 0 ,………………………………12 分 对于函数 y ? 2ax2 ? ax ? 1 ,过定点(0,1) ,对称轴 x ?

1 ? 0 ,只需 ? ? a 2 ? 8a ? 0 , 4

即 0 ? a ? 8 . 综上 0 ? a ? 8 . ………………………………………………14 分 23.(本小题满分 5 分,但Ⅱ卷总分不超过 90 分)

证法一:如图,在 ?ABC 中,过点 B 作 BD ? AC ,垂足为 D ? BD ? BD ,

? AB sin A ? BC sin C ,…………………………2 分 a c ? 即 c ? sin A ? a ? sin C ? , ………………4 分 sin A sin C a b ? 同理可证 , sin A sin B a b c ? ? ? . ……………………5 分 sin A sin B sin C
证法二: 如图,在 ?ABC 中,过点 B 作 BD ? AC ,垂足为 D

sin ?ABC ? sin[180? ? ( A ? C)]
? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C …………………………2 分

BD CD AD BD ? ? ? AB BC AB BC AB sin A ? AC AC sin A ? ? AB ? BC BC ?
b sin A , ………………………………4 分 a a sin B ? b sin A , a b a c ? ? ? 同理可证 , sin A sin B sin A sin C a b c ? ? ? . ……………………5 分 sin A sin B sin C ?


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