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全国高中数学联赛模拟试题5附答案


全国高中数学联赛模拟试题(五) 第一试 一、 选择题: (每小题 6 分,共 36 分) 1、空间中 n(n≥3)个平面,其中任意三个平面无公垂面.那么,下面四个 结论 (1) 没有任何两个平面互相平行; (2) 没有任何三个平面相交于一条直线; (3) 平面间的任意两条交线都不平行; (4) 平面间的每一条交线均与 n?2 个平面相交. 其中,正确的个数为 (A)1 (B)2

(C)3 (D)4 2、若函数 y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段,则当 c∈(a,b) 时,f(c)的近似值可表示为 (A) f ?a ? ? f ?b ? 2 ?a?b? (B) f ? ? ? 2 ? (C) ?b ? c ? f ?a ? ? ?c ? a ? f ?b ? ?b ? a ? (D) f ?a ? ? c?a ? f ?b ? ? f ?a ?? b?a 3、设 a>b>c,a+b+c=1,且 a2+b2+c2=1,则 (A)a+b>1 (B)a+b=1 (C)a+b<1 (D)不能确定,与 a、b 的具体取值有关 4、设椭圆 距离是 x2 y2 3 ? 3? ? 2 ? 1 的离心率 e ? , 已知点 P? 0, ? 到椭圆上的点的最远 2 2 a b ? 2? 7 ,则短半轴之长 b= 4 1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 4 16 8 2 5、S={1,2,…,2003},A 是 S 的三元子集,满足:A 中的所有元素可以组成等 差数列.那么,这样的三元子集 A 的个数是 (A) C 3 2003 2 2 (C) A1001 ? A1002 2 2 (B) C1001 ? C1002 (D) A 3 2003 6、长方体 ABCD?A1B1C1D1,AC1 为体对角线.现以 A 为球心,AB、AD、 AA1、AC1 为半径作四个同心球,其体积依次为 V1、V2、V3、V4,则有 (A)V4<V1+V2+V3 (B)V4=V1+V2+V3 (C)V4>V1+V2+V3 (D)不能确定,与长方体的棱长有关 1 二、 填空题: (每小题 9 分,共 54 分) 1、已知 sin 3 ? cos3 ? ? ? k ,则 k 的取值范围为 sin ? cos ? . 2、 等差数列{an}的首项 a1=8, 且存在惟一的 k 使得点(k,ak)在圆 x2+y2=102 上, 则这样的等差数列共有 个. a 3、在四面体 P?ABC 中,PA=PB=a,PC=AB=BC=CA=b,且 a<b,则 的取 b 值范围为 . 4、动点 A 对应的复数为 z=4(cos?+isin?),定点 B 对应的复数为 2,点 C 为 线段 AB 的中点,过点 C 作 AB 的垂线交 OA 与 D,则 D 所在的轨迹方程 为 . 5、 ? 3k 被 8 所除得的余数为 k ?1 2003 . . 6、 圆周上有 100 个等分点, 以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为 三、 (20 分) 已知抛物线 y2=2px(p>0)的一条长为 l 的弦 AB.求 AB 中点 M 到 y 轴的最短距离,并求出此时点 M 的坐标. 四、 (20 分) 单位正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,正方形 ABCD 的中心为点 M,正方 形 A1B1C1D1 的中心为点 N,连 AN、B1M. (1)求证:AN、B1M 为异面直线; (2)求出 AN 与 B1M 的夹角. 五、 (20 分) 对正实数 a、

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