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高中数学复习——《复数》单元测试卷


上海交通大学附属中学《复数》单元测试卷
1. 2. 3. 复数 z = 3 ? 2i , Im z = 。

2 若复数 z ? m ? 5m ? 6 ? ? m ? 3? i 是纯虚数,则实数 m ?

?

?

。 。

复数

(1 ? i )(1 ? i ) 在复平面中所对应的点到原点的距离是 i

4. 5. 6. 7.

已知 z∈C,则命题“z 是纯虚数”是命题“

z2 ? R ”的__________条件。 1? z2

复数 Z 满足 ?1 ? 2i ? Z ? 4 ? 3i ,那么 Z=________。 若复数 z 满足 z+

1 | z |=-1+2i,则 z= 2



设 O 是原点,向量 OA , OB 对应的复数分别为 2 ? 3i ,

?3 ? 2i ,那么向量 BA 对应

8. 9.

的复数是____________。 1? i 2 若复数 z ? ,则 z + z 4 ? z 8 ? _______。 2 已知复数 z 满足|z|=1,则|z+iz+1|的最小值为__________。
2008

? x ? 2 2 10. 设非零复数 x 、 y 满足 x ? xy ? y ? 0 ,则代数式 ? ?x? y? ? ? ?
是____________。 11. 设 f( n )= i ? i
n ?n

? y ? ?? ?x? y? ? ? ?

2008

的值

(n∈ N),则集合{f(n)}中元素的个数为( ) C.2 D.1 )

A.4

B.3

12. 已知 z1 , z2 都是虚数,则 z1 ? z2 的一个必要不充分条件是 ( A. z1 ? z2 ? 0 B. z2 ? z1 C. z1 ? z2 D. z1 ? z2

13. 有下列命题: ① 若 z∈ C, 则 z2≥0; ② 若 z1, z2∈ C, z1-z2>0, 则 z1>z2; ③ 若 z1 , z2 ∈ C, 则| z 1 + z 2 |=| z 1 |+| z 2 |.④z1+z2∈R ? z2 ? z1 其中,正确命题的个数为( ) A.0 B.1
2

C.2

D.3 ( )
1

14. 设 x ? C ,方程 | x | ? | x |? 0 的解集为

A. {0,1}

B. {0, ?1,1}

C. {0, ?1,1, ? i , i }

D.以上都不对

15. 当 m 为何实数时,复数 z= (3)是纯虚数。

2m2 ? 3m ? 2 +(m2+3m-10)i; (1)是实数; (2)是虚数; 2 m ? 25

16. (1)复数 z 满足(1+2i)z+(3-10i) z =4-34i,求 z。 (2)若 ω=-

1 3 3 ?i 6 ? 3 ?i 6 + i,ω3=1,计算 ( ) ?( ) 。 2 2 2 2

17. 已知复数 z 满足|z-2|=2,z+

4 ∈ R,求 z。 z

z 均为实数( i 为虚数单位) ,且复数 ( z ? a i ) 2 在复平面上 2?i 对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围。
18. 已知 z 是复数, z ? 2 i 、

19. 关于 x 的方程 a(1+ i)x2+(1+a2i)x+a2+i=0 (a∈ R)有实根,求 a 的值及方程的根。

20. 已知关于 t 的方程 t ? 2t ? a ? 0 的一个根为 1 ? 3i .(a ? R)
2

(1)求方程的另一个根及实数 a 的值; (2)是否存在实数 m ,使对 x ? R 时,不等式 loga ( x2 ? a) ? m2 ? 2km ? 2k对k ?[?1,2] 恒 成立?若存在,试求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。

2

参考答案 1、 ? 2 2、2 3、2 4、充分不必要 5、 2+i

8 +2i 3 7、 5 ? 5i 8、 ? i
6、- 9、 2 ? 1 10、–1 11、B 12、D 13、A 14、D 15、解:此题主要考查复数的有关概念及方程(组)的解法. (1)z 为实数,则虚部 m2+3m-10=0,即 ?

? m 2 ? 3m ? 10 ? 0 ? m 2 ? 25 ? 0



解得 m=2,∴m=2 时,z 为实数。 (2)z 为虚数,则虚部 m2+3m-10≠0,即 ?

? m 2 ? 3m ? 10 ? 0 ? m 2 ? 25 ? 0



解得 m≠2 且 m≠±5. 当 m≠2 且 m≠±5 时,z 为虚数。

?2m2 ? 3m ? 2 ? 0 1 1 ? (3) ?m 2 ? 3m ? 10 ? 0 ,解得 m=- , ∴ 当 m=- 时,z 为纯虚数。 2 2 ? 2 ? m ? 25 ? 0
16、(1)解:设 z=x+yi (x, y∈ R),则(1+2i)(x+yi)+(3-10i)(x-yi) =4-34i, 整理得(4x-12y)-(8x+2y)i=4-34i. ∴ ?

? 4 x ? 12 y ? 4 ?x ? 4 , 解得 ? , ∴z=4+i. ?8 x ? 2 y ? 34 ? y ?1
?1 ? 3i 6 ?1 ? 3i 6 6 3 ?i 6 ? 3 ?i 6 ) ? (?i ? ) ? i ? [? 6 ? (? 2 )6 ] = ) ?( ) = (?i ? 2 2 2 2
3

( 2 )解: (

-2 17、解:设 z=x+yi, x, y∈ R,则 z+

4 4z 4( x ? yi ) 4x 4y =z+ ? x ? yi ? 2 ? x? 2 ? (y ? 2 )i , 2 2 z zz x ?y x ?y x ? y2 4 4y ∈ R,∴ y ? 2 =0, 又|z-2|=2, ∴(x-2)2+y2=4, 2 z x ?y

∵z+

联立解得,当 y=0 时, x=4 或 x=0 (舍去 x=0, 因此时 z=0), 当 y≠0 时, ?

? ? x ?1 , z=1± 3 , y ? ? 3 ? ?

∴ 综上所得 z1=4,z2=1+ 3 i,z3=1- 3 i. 18、设 z ? x ? yi ( x、y ? R) ,? z ? 2i ? x ? ( y ? 2)i ,由题意得 y ? ?2 .

?

z x ? 2i 1 1 1 ? ? ( x ? 2i )( 2 ? i ) ? (2 x ? 2) ? ( x ? 4)i 2?i 2?i 5 5 5
∵ ( z ? ai) 2 ? (12 ? 4a ? a 2 ) ? 8(a ? 2)i

由题意得 x ? 4 . ∴ z ? 4 ? 2i .

?12 ? 4a ? a 2 ? 0 根据条件,可知 ? ,解得 2 ? a ? 6 ,∴ 实数 a 的取值范围是 (2, 6) . ?8(a ? 2) ? 0
19、

20、(1)另一根为 1 ?

3i
4

?a ?( 1 ? 3 i )(1 ?

i3 ? )

4

(2)设存在实数 m 满足条件,不等式为 m2 ? 2km ? 2k ? log4 ( x 2 ? 4),

log4 ( x 2 ? 4) 的最小值为 1,
? m2 ? 2km ? 2k ? 1 对 k ? [?1, 2] 恒成立,
即 2(1 ? m)k ? m2 ? 1 ? 0 对 k ? [?1, 2] 恒成立, 设 g( k ) ? 2(1 ? m)k ? m2 ? 1 则?

? g ( ?1) ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 ? 2 ? ? g (2) ? m ? 4m ? 3 ? 0

解得 ?

? ?3 ? m ? 1 ?1 ? m ? 3

?m ? 1 ,

因此存在 m ? 1 满足条件.

5


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