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丹东市2012~2013高二期末统考(理科)数学答案


特别提示,2013 年 3 月下旬辽宁省进行高二学业水平考试,学业水平考试 成绩由省级教育行政部门提供给高校, 作为普通高校自主招生和招生录取的参考 依据。 也就是说, 学业水平考试情况是否会影响高考录取, 将由各高校自主决定。 目前,东北大学已明确表示自主招生将学业水平考试作为录取依据。 建议: 1.2012 年辽宁省数学学业水平考试试题,就是 2013 年学业水平考试《考 试大纲》及《考试说明》上的样题,一定告诉到每个学生,同时布置《考试大纲》 及《考试说明》上的习题为寒假作业。 2.布置立体几何(必修 2)解答题、圆(必修 2)的解答题以及数列解答题 (必修 5)各 10 道为寒假作业。 3.其余部分开学后进行复习。 丹东市教师进修学院高中部 二○一三年元月十三日

2012~2013 学年度(上)期末教学质量监测

高二数学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. (1)A (7)A (2)A (8)D (3)D (9)B (4)A (10)B (5)B (11)D (6)C (12)C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13) 10 (14) 2 3 (15) 5 (16)

x2 y 2 ? ?1 4 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. (17) (本小题满分 10 分) 解:

? 2 t ?x ? 1? ? 2 (I)直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) , ? y ? ?1 ? 2 t ? ? 2

…………(2 分)

2 把 ? ? 2cos ? ? 2sin ? 两边同乘以 ? 得 ? ? 2? cos? ? 2? sin ? , …………(5 分)

∴曲线 C 的直角坐标方程是 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 ;
2 2

? 2 t ?x ? 1? ? 2 2 2 2 (II)把 ? 代入 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 ,得 t ? 2 , t ? ? 2 , ? y ? ?1 ? 2 t ? ? 2
∴直线 l 与曲线 C 的交点的坐标是 A(2, 0) ,或 A(0, ?2) .
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…………(10 分)

(18) (本小题满分 12 分) 解: (I)从从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别是 3,2,1;…………(4 分) (II)(i)在抽取的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A、A2、A3 , 1 2 所中学记为 B1、B2 ,大学记为 C ,则抽取 2 所学校的所有可能结果是:

{ A1、A2 } , { A1、A3} , { A1、B1} , { A1、B2 } , {A1、C} , { A2、A3}, { A2、B1} , { A2、B2 }, {A2、C} , { A3、B1} , { A3、B2 } , {A3、C} , {B1、B2 } , {B1、C} , {B2、C} ,
共 15 种; …………(8 分) (ii)从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校均为小学的所有可能结果是:

{ A1、A2 } , { A1、A3} , { A2、A3},共 3 种,
抽取的 2 所学校均为小学的概率是 P ? (19) (本小题满分 12 分) 解:

3 1 ? . 15 5

………… (12 分)

x2 y 2 (I)设 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , a b

?b ?a ? 1 ? ? ? 15 则 ?a ,解得 ? , ?b ? 15 ? ?42 ? a 2 ? b 2 ?
∴双曲线 C1 的标准方程是 x ?
2

…………(2 分)

y2 ? 1, 15
p ? 1, p ? 2 , 2

…………(4 分)

∵双曲线 C1 的左顶点是 (?1, 0) ,∴ ∴抛物线 C2 的标准方程 y ? 4 x ;
2

…………(6 分) …………(8 分)

(II)方法 1:设直线 l : x ? ky ? 4 , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 把 x ? ky ? 4 代入 y ? 4 x 得 y ? 4ky ?16 ? 0 ,
2 2

y12 y2 2 ? 16 , 4 4 ??? ??? ? ? ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 OA ? OB ? 0 ,∴ OA ? OB .
∴ y1 y2 ? ?16 , x1 x2 ?
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………… (12 分)

方法 2:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l : x ? 4 代入 y 2 ? 4 x , 得 A(4, 4) , B(4, ?4) ,∴ OA ? OB . …………(8 分)

y2 代入得 4 k 2 y2 y 2 y ? y ? 4k ? 0 ,∴ y1 y2 ? ?16 , x1 x2 ? 1 2 ? 16 , 4 4 4 ??? ??? ? ? ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 OA ? OB ? 0 ,∴ OA ? OB .
当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? k ( x ? 4) , x ? (20) (本小题满分 12 分) 解: (I)圆 C:x2 ? ( y ? 1)2 ? 5 ,圆心 C (0,1) ,半径 r ? 5 , 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 方程 y ?

………… (12 分)

3 3 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? ? k ? 0 , 2 2

1 |k? | 2 , r 2 ? d 2 ? ( | AB | ) 2 , ∵圆心 C 到直线 l 距离是 d ? 2 k 2 ?1

…………(2 分)

1 (k ? ) 2 2 ? 22 , k ? ? 3 ,直线 l 的方程 y ? ? 3 x ? 9 , ∴5 ? 2 4 4 4 k ?1
当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程 x ? 1 ; (II)设中点 M ( x, y ) ,则 CM ? ( x, y ?1) , PM ? ( x ? 1, y ? ) , 由垂径定理 CM ? PM ? 0 , 即 x( x ? 1) ? ( y ? 1)( y ? ) ? 0 , 整理得弦 | AB | 的中点 M 的轨迹方程是 x ? y ? x ?
2 2

…………(4 分) …………(6 分)

???? ?

???? ?

3 2

???? ???? ? ?

…………(8 分)

3 2

5 3 y ? ? 0 . …………(12 分) 2 2

(21) (本小题满分 12 分) 解: 如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间 直角坐标系 D—xyz, (I)依题意有 Q(1,1,0) ,C(0,0,1) ,P(0,2,0) , 则 DQ ? (1,1,0), DC ? (0,0,1), PQ ? (1, ?1,0) ∴ PQ ? DQ ? 0, PQ ? DC ? 0 , 即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC, ∴PQ⊥平面 DCQ,
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…………(2 分)

????

????

??? ?

??? ???? ?

??? ???? ?

又∵PQ ? 平面 PQC,∴平面 PQC⊥平面 DCQ;

?? ? ?? ? (II)依题意有 B(1,0,1) C ?,)( ,B 0 , 1 (B.) ? ? ? 21 , 1 P ??? ? ?n ? CB ? 0 ? x ? 0 ? 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 PBC 的法向量,则 ? ??? , 即? ? ?n ? BP ? 0 ?? x ? 2 y ? z ? 0 ? ∴取 n ? (0, ?1, ?2) , …………(8 分) ??? ? ?m ? BP ? 0 ? 设 m 是平面 PBQ 的法向量,则 ? ??? , ? ?m ? PQ ? 0 ? 15 可取 m ? (1,1,1) ,∴|cos ? m, n ?|? , 5
∵二面角 Q—BP—C 是钝二面角, ∴二面角 Q—BP—C 的余弦值为 ? (22) (本小题满分 12 分) 解: (I)设 c ? a2 ? b2 ? a ,则 B(0, b) 、 F (?c, 0) 、 C ( a, 0) , ∴FC、BC 的中垂线分别为 x ?

…………(6 分)

15 . 5

………… (12 分)

a?c b a a , y ? ? (x ? ) , 2 2 b 2

…………(2 分)

联立两方程,解得 P (

a ? c b 2 ? ac , ), 2 2b

…………(4 分)



a ? c b 2 ? ac ? ? 0 ,即 (a ? b)(b ? c) ? 0 , b ? c , 2 2b

∴e ?

2 ; 2

…………(6 分)

注:用直线 x ? y ? 0 线经过线段 BF 中点做得 0 分. (II)∵ k PB

b b 2 ? ac , k AB ? , ? a b (c ? a )

…………(8 分) ………… (10 分)

如果直线 AB 与圆 P 相切,则 kPB k AB ? ?1, 即

b2 ? ac b ? ? ?1 ,整理得 a 2 ? b2 ? 2ac ,即 c 2 ? 2ac , b(c ? a ) a
………… (12 分)

∴ c ? 2a ,与 c ? a 矛盾,因此直线 AB 与圆 P 不能相切.

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