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东北三省三校(哈师大附中,东北师大附中,辽宁实验中学)2013届高三第三次联合考试数学(理)试题


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2013 年哈师大附中第三次模拟考试理科数学答案
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)

三.解答题(本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解: (Ⅰ)设 {an } 的公比为 q ,则 q ? 0 , 又? a2 , 3a1 , a3 成等差数列? a2 ? a3 ? 6a1 ?? 2?
? q ? q ? 6 ? 0 ,? q ? 2 ( q ? ?3 舍去) ?? 4?
2

? an ? a1q

n ?1

?2

n ?1

?? 6?

(Ⅱ) bn ? n ? 2n ?1
S n ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
0 1 2 2 3 n ?1

① ② ?? 8?

2 S n ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2

n

由①-②得 ? S n ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ?1 ? n ? 2 n ??10?
? S n ? ( n ? 1) ? 2 ? 1 ??12?
n

18. 解: (Ⅰ)

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(Ⅱ) K 的观测值 k ?
2

100 ? (6 ? 45 ? 24 ? 25) 30 ? 70 ? 31 ? 69

2

?

12100 4991

? 2.424
0.15

? 2.424 ? 2.072

, ? 该 论 断 犯 错 误 的 概 率 不 能 超 过

??12?

19. 法一: (Ⅰ)证明:取 AB 中点 M ,连结 CM ,
? AC ? BC ? CM ? AB. 又? CM ? BB1 , AB ? BB1 ? B ? CM ? 面 A1 ABB1 ,

以 MA, MO, MC 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, 设 AC ? BC ? CC1 ? a ,

(Ⅱ)解:由已知 CO 为平面 ABC1 的一个法向量, CB ? (?
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? CB ? CO cos?CB, CO? ? ??? ??? ? ? ? CB ?CO 1 2 3 2 a?a
2

??? ?

??? ?

2 2

a, 0, ?

2 2

a)

a

?

3 3

,? 直线 BC 与平面 ABC1 所成角的正弦值



3 3

?12?

法二: (Ⅰ)证明:取 AB 中点 M ,连结 CM , OM , ? AC ? BC ? CM ? AB. , 又? OM // BB1 ,? OM ? AB, OM ? CM ? M , OM , CM ? 平面 OCM ,
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? AB ? 平面 OCM ,? AB ? CO ,

连结 CA1 ,? BC ? AC , BC ? CC1 ,? BC ? 平面 A1 ACC 1 , 且 AC1 ? 平面 A1 ACC1 ,? BC ? AC1 , 又? A1C ? AC1 ,且 A1C ? BC ? C , A1C , BC ? 平面 A1 BC ,
? AC1 ? 平面 A1 BC , CO ? 平面 A1 BC , ? CO ? AC1 , AB ? AC1 ? A , 又 ? AB, AC1 ? 平 面 ABC1 , ? CO ? 平 面 ABC1

? 6?

20. (Ⅰ)解: 法一:椭圆方程
x
2

2

? y ? 1 ,取椭圆的右焦点 F2 ,连结 BF2 , F1 ( ?1, 0) F2 (1, 0)
2

y

??? ? ??? ? PF1 AP 1 ? PF1 ? 1 , PF2 ? 3 ? BP ? 3 AP ? ? ? PF2 BP 3
A P M

B

F1

o

F2

N

x

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? AF1 // BF2 且

AF1 BF2

?

1 3

? 3 AF1 ? BF1 ? BF2 ? BF1 ? 2 2 ? 4?

法二: A( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) , BP ? 3 AP ? y2 ? 3 y1 , 设 显然直线 AB 斜率存在, 设直线 AB ? 方程为 y ? k ( x ? 2)
? y ? k ( x ? 2) ?x ? 2 y ? 2
2 2

??? ?

??? ?

由?

得: (1 ? 2k 2 ) y 2 ? 4ky ? 2k 2 ? 0

? ? 0 , y1 ? y2 ? 4 y1 ?
?k ?
2

4k 1 ? 2k
2

, y1 y2 ? 3 y1 ?
2

2k

2 2

1 ? 2k


1 2 4 1 , ) , 3 3

1 4

, 符 合 ??0 , 由 对 称 性 不 妨 设 k ?

, 解 得 A(?

B (0,1) ? 3 AF1 ? BF1 ? 2 2 ? 4?

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21. 解: (Ⅰ)∵ f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? 2ax ?

1 x 1 8

∵ f ( x) 在 x ? 2 处取得极小值,∴ f ?(2) ? 0 ,即 a ? 此时,经验证 x ? 2 是 f ( x) 的极小值点,故 a ? (Ⅱ)∵ f ?( x) ? 2ax ?
1 x 1 8

. ? 4?



①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 [1, ??) 上单调递减, ∴当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 矛盾. ? 6?
2ax ? 1
2

②当 a ? 0 时, f ?( x) ?

x

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令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 2a

; f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ?

1 2a

(ⅰ)当

1 2a

? 1 ,即 0 ? a ?

1 2

时,

x ? (1,

1 2a

) 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x ) 递减,∴ f ( x ) ? f (1) ? 0 矛盾.

(ⅱ)当

1 2a

? 1 ,即 a ?

1 2

时,

x ? [1, ??) 时, f ?( x ) ? 0 ,即 f ( x ) 递增,∴ f ( x ) ? f (1) ? 0 满足题意.

综上, a ?

1 2

. ?8?

22. 证明: (Ⅰ)连结 AE,BC,∵AB 是圆 O 的直径,∴∠AEB=90°,∠ACB=90° ∵MN=MC,∴∠MCN=∠MNC 又∵∠ENA=∠MNC,∴∠ENA=∠MCN ∴∠EAC=∠DCB,∵∠EAC=∠EBC,∴∠MBC=∠MCB,∴MB=MC∴MN=MB. ? 5? (Ⅱ)设 OC∩BE=F, ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB 由(Ⅰ)知,∠MBC=∠MCB,∴∠DBM=∠FCM.又∵∠DMB=∠FMC ∴∠MDB=∠MFC,即∠MFC=90°∴OC⊥MN. ?10? 23. 解: (Ⅰ)直线 l 普通方程为 sin ? x ? cos ? y ? cos ? ? 0 曲线 C 的极坐标方程为 ? cos ? ? 4 sin ? ,则 ? cos ? ? 4 ? sin ?
2 2 2 2 ? ? cos ? ? x, ? sin ? ? y ? C : x ? 4 y ?? 5?

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(Ⅱ) ,将 l : ?

? x ? t cos ? ? y ? 1 ? t sin ?

(t为参数, ? ? ? ? ) 代入曲线 C : x ? 4 y 0
2

2 2 ? t cos ? ? 4t sin ? ? 4 ? 0 ?? 7?

? AB ? t1 ? t2 ?

?4 ? 4 sin ? ? ?8 ? ? ? 4? 2 2 cos ? ? cos ? ?

2

? cos ? ? ?

2 2

?? 9?

?? ?

?
4



3? 4

??10?

24. 解: (Ⅰ) a ? 3 时,即求解 2 x ? 3 ? x ? 1 ? 2 ①当 x ?
3 2

时, 2 x ? 3 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 2
3 2

②当 1 ? x ?

时, 3 ? 2 x ? x ? 1 ? 2 ? 2 ? x ? 2 ? x ? 0
2 3
y
4

③当 x ? 1 时, 3 ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 3 x ? 2 ? x ?
? 2 ? ? 综上,解集为 ? x x ? 或x ? 2 ? ? 5? 3 ? ?

(Ⅱ)即 2 x ? a ? 5 ? x ? x ? 1 恒成立
? 6 ? 2 x, x ? 1 ? 4, x ? 1
o
3
a 2

令 g ( x) ? 5 ? x ? x ? 1 ? ?
? a 2 ? 3 ,? a ? 6 ?10?

则函数图象为

x

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