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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练40


题组层级快练(四十)
1.(2014· 天津文)设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成等比 数列,则 a1=( A.2 1 C. 2 答案 D 解析 S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1-6.
2 ∵S2 2=S1S4,∴(2a1-1) =a1(4a1-6).

) B.-2 1 D.- 2

1 2 ∴4a2 1-4a1+1=4a1-6a1?a1=- . 2 2.在等差数列{an}中,a3+a11=8,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b6· b8 的值为( A.2 C.8 答案 D a3+a11 解析 ∵{an}为等差数列,∴a7= =4=b7. 2
2 又{bn}为等比数列,b6· b8=b7 =16,故选 D.

)

B .4 D.16

a9+a10 1 3.已知等比数列{an}中的各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 等于( 2 a7+a8 A.1+ 2 C.3+2 2 答案 C 解析 记等比数列{an}的公比为 q,其中 q>0, 则有 a3=a1+2a2, 即 a1q2=a1+2a1q,q2-2q-1=0,q=1± 2. 又 q>0,因此 q=1+ 2. a9+a10 a7q2+a8q2 2 所以 = =q =(1+ 2)2=3+2 2. a7+a8 a7+a8 选 C. B.1- 2 D.3-2 2

)

4.已知{an},{bn}均为等差数列,且 a2=8,a6=16,b2=4,b6=a6,则由{an},{bn}的公共项组成的 新数列{cn}的通项公式 cn=( A.3n+4 C.6n+4 答案 C 解析 设{an}的公差为 d1,{bn}的公差为 d2, ) B.6n+2 D.2n+2

a6-a2 8 b6-b2 12 则 d1= = =2,d2= = =3. 4 6-2 4 6-2 ∴an=a2+(n-2)×2=2n+4, bn=b2+(n-2)×3=3n-2. ∴数列{an}为 6,8,10,12,14,16,18,20,22,…,数列{bn}为 1,4,7,10,13,16,19,22,…. ∴{cn}是以 10 为首项,以 6 为公差的等差数列. ∴cn=10+(n-1)×6=6n+4. 5.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零点,则 b10 等于( A.24 C.48 答案 D 解析 依题意有 anan+1=2n,所以 an+1an+2=2n 1.


)

B.32 D.64

an+2 两式相除,得 =2. an 所以 a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列. 而 a1=1,a2=2, 所以 a10=2· 24=32,a11=1· 25=32. 又因为 an+an+1=bn, 所以 b10=a10+a11=64. 6.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则 a+b +c 的值为( ) 1 1 2 2 1 a b c A.1 C.3 答案 A 1 5 3 解析 由题意知,a= ,b= ,c= .故 a+b+c=1,故选 A. 2 16 16 7.数列{an}是等差数列,若 a1,a3,a4 是等比数列{bn}中的连续三项,则数列{bn}的公比为________. 答案 1 或1 2 B .2 D.4

解析 设数列{an}的公差为 d,由题可知,a2 a4,可得(a1+2d)2=a1(a1+3d),整理得(a1+4d)d=0, 3=a1· 解得 d=0 或 a1=-4d.当 d=0 时,等比数列{bn}的公比为 1;当 a1=-4d 时,a1,a3,a4 分别为-4d,-

1 2d,-d,所以等比数列{bn}的公比为 . 2 8.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则等比数列{an}的公比为________. 答案 1 3

解析 设等比数列{an}的公比为 q(q≠0),由 4S2=S1+3S3,得 4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),即 1 3q2-q=0.∴q= . 3 9.一个数字生成器,生成规则如下:第 1 次生成一个数 x,以后每次生成的结果可将上一次生成的每 一个数 x 生成两个数,一个是-x,另一个是 x+3.设第 n 次生成的数的个数为 an,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________;若 x=1,前 n 次生成的所有数 中不同的数的个数为 Tn,则 T4=________. ... 答案 2n-1,10 1-2n n 解析 由题意可知,依次生成的数字个数是首项为 1,公比为 2 的等比数列,故 Sn= =2 -1. 1-2 当 x=1 时,第 1 次生成的数为 1,第 2 次生成的数为-1,4,第 3 次生成的数为 1,2;-4,7,第 4 次生 成的数为-1,4;-2,5;4,-1;-7,10.故 T4=10. 10.(2015· 吉林实验中学一模)在直角坐标平面内,已知点 P1(1,2),P2(2,22),P3(3,23),…,Pn(n,2n),…. → → → 若 n 为正整数,则向量P1P2+P3P4+P5P6+…+P2n-1P2n 的纵坐标为________. 答案 2 n (4 -1) 3

→ → → + 解析 PkPk+1=(k+1-k,2k 1-2k)=(1,2k),于是P1P2+P3P4+P5P6+…+P2n-1P2n 的纵坐标为 2+23+ 2?1-4n? 2 n - 25+…+22n 1= = (4 -1). 3 1-4 11.在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8.{an}的前 10 项和 S10=55. (1)求 an 和 bn; (2)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概 率. 答案 (1)an=n,bn=2n
-1

2 (2) 9

解析 (1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q.依题意得 10×9 S10=10+ d=55,b4=q3=8, 2 解得 d=1,q=2,所以 an=n,bn=2n 1.


(2)分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,得到的基本事件有 9 个:(1,1),(1,2),(1,4),(2,1), (2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4).符合题意的基本事件有 2 个:(1,1),(2,2). 2 故所求的概率 P= . 9 12.(2014· 湖北)已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的最小值;若 不存在,说明理由. 答案 (1)an=2 或 an=4n-2 (2)当 an=2 时,不存在,当 an=4n-2 时,存在,n 最小值为 41

解析 (1)设数列{an}的公差为 d,依题意,2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d). 化简得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4. 当 d=0 时,an=2; 当 d=4 时,an=2+(n-1)· 4=4n-2. 从而得数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n-2. (2)当 an=2 时,Sn=2n.显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立. n[2+?4n-2?] 当 an=4n-2 时,Sn= =2n2. 2 令 2n2>60n+800,即 n2-30n-400>0, 解得 n>40 或 n<-10(舍去). 此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的 n; 当 an=4n-2 时,存在满足题意的 n,其最小值为 41. 13.某林场为了保护生态环境,制定了植树造林的两个五年计划,第一年植树 16a 亩,以后每年植树 面积都比上一年增加 50%,但从第六年开始,每年植树面积都比上一年减少 a 亩. (1)求该林场第 6 年植树的面积; (2)设前 n(1≤n≤10 且 n∈N)年林场植树的总面积为 Sn 亩,求 Sn 的表达式. 答案 (1)该林场第 6 年植树的面积为 80a 亩

?32a[?2? -1],?1≤n≤5,n∈N?, (2)S =? ?166a-na??n-5? ,?6≤n≤10,n∈N? ?211a+ 2
n n

3

解析 (1)该林场前 5 年的植树面积分别为 16a,24a,36a,54a,81a. ∴该林场第 6 年植树的面积为 80a 亩. (2)设第 n 年该林场植树的面积为 an 亩, 3 ? ??2?n-1×16a,?1≤n≤5,n∈N?, 则 an=? ??86-n?a,?6≤n≤10,n∈N?. ? 3 - ∴当 1≤n≤5 时,Sn=16a+24a+…+( )n 1×16a 2

3 16a[1-? ?n] 2 3 = =32a[( )n-1](亩). 3 2 1- 2 当 6≤n≤10 时,Sn=16a+24a+36a+54a+81a+80a+…+(86-n)a =211a+80a+…+(86-n)a [80a+?86-n?a]?n-5? =211a+ 2 ?166a-na??n-5? =211a+ (亩). 2 ∴所求 Sn 的表达式为

?32a[?2? -1],?1≤n≤5,n∈N?, S =? ?166a-na??n-5? ,?6≤n≤10,n∈N?. ?211a+ 2
n n

3

14.已知在正项数列{an}中,a1=2,点 An( an, an+1)在双曲线 y2-x2=1 上,数列{bn}中,点(bn, 1 Tn)在直线 y=- x+1 上,其中 Tn 是数列{bn}的前 n 项和. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等比数列; (3)若 cn=an· bn,求证:cn+1<cn. 答案 (1)an=n+1 (2)略 (3)略

解析 (1)由已知点 An 在 y2-x2=1 上知,an+1-an=1. ∴数列{an}是一个以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列. ∴an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1. 1 (2)∵点(bn,Tn)在直线 y=- x+1 上, 2 1 ∴Tn=- bn+1.① 2 1 ∴Tn-1=- bn-1+1(n≥2).② 2 1 1 ①②两式相减,得 bn=- bn+ bn-1(n≥2). 2 2 3 1 1 ∴ bn= bn-1,∴bn= bn-1. 2 2 3 1 2 由①,令 n=1,得 b1=- b1+1,∴b1= . 2 3 2 1 ∴{bn}是以 为首项,以 为公比的等比数列. 3 3 2 ?1?n-1 2 (3)由(2)可知 bn= · = n. 3 ?3? 3

2 ∴cn=an· bn=(n+1)·n. 3 2 2 ∴cn+1-cn=(n+2)·n+1-(n+1)·n 3 3 = = 3
n+1[(n+2)-3(n+1)]

2

2 + (-2n-1)<0. 3n 1

∴cn+1<cn.

1.若正项数列{an}满足 lgan+1=1+lgan,且 a2 001+a2 002+a2 003+…+a2 010=2 013,则 a2 011+a2 012+ a2 013+…+a2 020 的值为( A.2 013· 1010 C.2 014· 1010 答案 A an+1 an+1 解析 由条件知 lgan+1-lgan=lg =1,即 =10,所以{an}为公比是 10 的等比数列.因为(a2 an an +…+a2 010)· q10=a2 011+…+a2 020,所以 a2 011+…+a2 020=2 013· 1010,选 A. 2.气象局用 3.2 万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第 n 天的维 修保养费为 n+49 (n∈N*)元,使用它直至报废最合算 (所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最 10 ) B.800 天 D.1 200 天
001

) B.2 013· 1011 D.2 014· 1011

少),一共使用了( A.600 天 C.1 000 天 答案 B

n+49 解析 由第 n 天的维修保养费为 (n∈N*)元,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少 10 而求得最小值成立时的相应 n 的值. n+49 ?5+ ?n 10 3.2×104+ 2 3.2×104 n 99 设一共使用了 n 天,则使用 n 天的平均耗资为 = + + ,当且仅当 n n 20 20 3.2×104 n = 时取得最小值,此时 n=800,故选 B. n 20 3.一个蜂巢有 1 只蜜蜂,第一天,它飞出去找回了 2 个伙伴;第二天 3 只密蜂飞出去,各自找回了 2 个伙伴,…,如果这个找伙伴的过程继续下去且都能找回 2 个伙伴,第五天所有蜜蜂都归巢后,蜂巢中一 共有________只蜜蜂. 答案 243 解析 第一天有 1+2 只,第二天有 a2=3a1=9 只,第三天有 a3=3a2=27 只,……,故第 n 天为 an

=3n,则 a5=35=243 只. 4.设关于 x 的不等式 x2-x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为 an,数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为________. 答案 10 100 解析 由 x2-x<2nx(n∈N*),得 0<x<2n+1,因此 an=2n,所以数列{an}是一个等差数列,所以 S100 = 100×?2+200? =10 100. 2 5.为了增强环保建设,提高社会效益和经济效益,郑州市计划用若干年更换 10 000 辆燃油型公交车, 每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车 128 辆,混合动力型公交车 400 辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加 50%,混合动力型车每 年比上一年多投入 a 辆. (1)求经过 n 年,该市被更换的公交车总数 S(n); (2)若该市计划用 7 年的时间完成全部更换,求 a 的最小值. n?n-1? 3 答案 (1)S(n)=Sn+Tn=256[( )n-1]+400n+ a 2 2 (2)147

解析 (1)设 an,bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量, 3 依题意知,数列{an}是首项为 128,公比为 1+50%= 的等比数列,数列{bn}是首项为 400,公差为 a 2 的等差数列. 3 128×[1-? ?n] 2 3 所以数列{an}的前 n 项和 Sn= =256[( )n-1]. 3 2 1- 2 n?n-1? 数列{bn}的前 n 项和 Tn=400n+ a. 2 所以经过 n 年,该市被更换的公交车总数 n?n-1? 3 S(n)=Sn+Tn=256[( )n-1]+400n+ a. 2 2 (2)若用 7 年的时间完成全部更换,则 S(7)≥10 000, 7×6 3 3 082 即 256×[( )7-1]+400×7+ a≥10 000,即 21a≥3 082,所以 a≥ . 2 2 21 又 a∈N*,所以 a 的最小值为 147.


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