当前位置:首页 >> 初三数学 >>

反证法教案


“反证法”教学设计
(数学与统计学院 2011 级 222011314011149 聂芳婧)

一、教学设计思路分析
(一)教材内容分析
本课是人教 A 版数学选修 2-2 第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”第二课 时的内容——反证法。 本章包括推理与证明两个部分,是在前面学过的基础上,对所学知识进行回顾与总结,进一 步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异;体会数学证明的特点,了解数学证明的基 本方法。推理与证明贯穿于整个高中数学体系,是数学的基本思维过程。根据《课程标准》 ,在本章 学习过程中,更加注重结合实例,引导学生认识各种证明方法的特点,体会证明的必要性。对证明 的技巧性不宜作过高的要求。 本节——反证法,是在前面介绍了直接证明(综合法、分析法)的基础上学习的,让两种不 同思维形成强烈的反差,有利于学生更深刻地体会两种思维的差别及各自的特点。逆向思维是本节 学习的一个难点,所以,在本节的学习中要注重让学生体会反证法的思考过程及特点,建立起使用 反证法的感觉。

(二)学生基本情况分析
本节内容在初中时期已经初步接触,但是,由于最初学习的时候,知识不够系统,逆向思维 的训练及发展不够充分,使得反证法成为学生学习的一大难点。 本次授课对象为高二理科普通班,数学思维一般,其中推理论证思维稍显不足,知识不够系 统,遗忘知识较多,所以,为了让学生更加轻松地理解反证法的思维过程,所选例题比较简单,逻 辑清晰易懂。在后面还有一个生活趣味反证法,有利于加深学生对反证法的理解。

(三)教学设计流程图

1

二、教学方案设计
(一)教学目标
1. 知识与技能 (1)了解反证法的概念; (2)掌握反证法的解题步骤,会用反证法证明简单的命题 (3)掌握用反证法简单推理的能力; 2. 过程与方法 (1)通过小题探究,体会反证法的思维过程; (2)通过概念形成,培养学生比较、归纳、总结的能力。 3. 情感态度与价值观 ⑴ 通过探究观察、讨论等活动,让学生体会学习的乐趣,树立积极的学习态度; ⑵ 通过问题设置,激发学生学习的内在动力。

(二)教学重点和难点
重点:1、理解反证法的概念; 2、掌握反证法证明命题的思路方法及答题步骤; 3、用反证法证明简单的命题。 难点:1、理解反证法中的“假设”内在含义及作用 2、理解反证法中的矛盾推导。

(三)教学方法
讲授法,对比归纳法,练习法。

(四)教学准备
多媒体课件、黑板

(五)教学过程
教学 流程
【回顾旧知】 上新课前, 我们首先回顾一下在前面所学的语句 的否定形式。 填写相关语句的 否定形式 为反证法的 “假 设”做铺垫

教师活动

学生活动

设计意图

复 习 旧 知
【辨析巩固】

跟随老师一起回 顾语句的否定形 式, 对于个别比较 难的语句, 采用补 例、命题“ m、n ? N , 如果m, n可被3整除,那么 集 的 观 点 进 行 解

m, n中至少有一个能被 3 整除 ”,反设的内容应为 释。 ( B ) A、 m, n 都能被 3 整除 B、 m, n 都不能被 3 整除 C、 n 不能被 3 整除 D、 m 不能被 3 整除
2

【提问】 “否定形式”与“否命题”有何区别? 否定形式:否定结论 否命题:否定条件,否定结论 【小题讨论】 1、问题 将九个球分别染成白色和红色,那么无论怎么 染,至少有五个球是同色的。请证明这个结论。 区分两个概念, 更好地把握如 何对命题进行 “反设”

小 题 讨 论

2、分析题意,讲解思路 (板书) 正面思考:白 红 1 8 2 7 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 通过把染色情况列举出来,很容易可以得出来结论的 正确性。 提问:若小球为 100 个。对于这类问题,我们还能用 列举法轻易解决吗?
引导:很明显,当小球总数为 100 个时,用列举法解 决就显得不妥当了。也就是说,从正面思考这个问题 显得复杂了。那同学们想下,咱们能否从问题的反面 着手解决呢?如果这个问题的反面不成立,是不是同 样说明这个问题成立的正确性? 反面思考:假设有某种染色法使红色和白色球的个数 都不超过 4 个,则球的总数应不超过 4 ? 4 ? 8 个,这 与白球总数是 9 个矛盾。因此,无论怎么染色,至少 有 5 个球是同色的。 其实上述解决问题的方法就是反证法,这个小题,让 同学们回顾了反证法的解题思路。那同学们能不能根 据这个答题思路,简单回顾一下反正法的具体定义 呢?

学生正面思考这 个问题, 并给出答 案。

通过小题设计 及矛盾的制造, 使得学生学会 从正面思维转 向反面思维。 形 成两种思维的 对比。

通过矛盾的制造, 使学生的正向思 维遇到困难, 然后 启发学生从反面 反 证 法 在 初 中 思考 已经初步接触, 所以,经过提 示, 学生容易想 到反证法。 经过 这个小题, 让学 生初步回忆起 思考并简单回答 反 证 法 的 大 致 反面思考的结论。 步骤及思维。

3

【概念新知】 (简单板书)

引 入 新 课

在学过的前提 定义:一般地,假设原命题不成立(即在原命题的 学生根据例题,交 下,根据例题概 条件下,结论不成立) ,经过正确的推理,最后得出 流讨论, 概括反证 括 出 相 关 的 概 矛盾。因此说明假设错误,从而证明了原命题成立。 法的概念及步骤。 念, 有利于提高 学生的观察、 归 简单重述概念内容,理清反证法的思路,引导学生结 纳、概括的能 力。 合例题,归纳反证法的步骤: 1、提出假设(假设原命题结论不成立,即假设结论 的反面成立) 2、推理论证(从这个假设出发,经过推理论证,得 出矛盾) 3、得出结论(从矛盾判定假设不正确,从而肯定命 题的结论正确)

例 1 、 ?ABC的三边a, b, c的倒数成等差数列, 求

练 习 巩 固

例 1、例 2,在系 统整理反证法的 证: B ? 。 概念及步骤的基 2 ? 础上, 通过老师的 证:假设 B ? 成立,则 B 是 ?ABC 中最大的内角。 讲授, 进一步整理 2 1 1 1 1 反证法的思维。 学 因此, b ? a, b ? c ,从而, ? , ? 。 生要观察理解假 b a b c 2 1 1 设在反证法的作 故而有 ? ? 。 用, 及如何通过推 b a c 理论证得出矛盾。 因为 a, b, c 的倒数成等差数列, 同时思考每一步 2 1 1 的作用及价值。 所以 ? ? 。

?

通过具体的例 题, 让学生理解 反证法的思维 过程, 通过老师 对思维过程及 每一个步骤的 讲解, 学生逐步 突破曾经的思 维障碍。

b a c 1 1 2 显然 ? ? 与已知条件矛盾。 a c b
因此假设不成立。原命题成立。 (肯定型命题,与条件矛盾)

教师点明:1、否定的结论作为条件使用,以此进
行推理论证。
做相应笔记

例 1 讲解需详 尽, 充分结合反 证法的思维步 骤进行。 有利于 学生初步接受 反证法。

2、 强调反证法的答题步骤及书写规范。

4

例 2、若函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上是增函数,那么方 程 f ( x) ? 0 在区间 [ a, b] 上至多只有一个实根。 证:假设方程 f ( x) ? 0 在区间 [ a, b] 上至少有两个实 根。设 ? , ? 为它的两个实根,则 f (? ) ? f ( ? ) ? 0 。 因为 ? ? ? ,不妨设 ? ? ? ,又因为函数 f ( x) 在 例 2 的讲解过程 中, 试着让学生 自己思考, 老师 辅助讲解。同 时, 注意针对例 1 提出的“教师 点明”强化。有 利于学生思维 的深入, 并有利 于学生逐步接 受反证法的思 维过程。

[a, b] 上是增函数,所以 f (? ) ? f (? ) 。
显然,这与 f (? ) ? f ( ? ) ? 0 相矛盾。 所以方程 f ( x) ? 0 在区间 [ a, b] 上至多只有一个实 数根。 (结论含有“至多” 、 “至少” 、 “都”等词语的问题, 与假设矛盾) 例 3 学生可以自行 请其他同学 例 3、证:过已知直线 a 外一点 A 只有一条直线 b 与 演练, 已知直线 a 平行。 进行评价, 老师进 证:假设过点 A 还有一天直线 b ? 与已知直线 a 平行, 行相应的补充。 即有 b ? b? ? A 。 又 b ? // b , b // a ,由平行公理得 b ? // b 。 显然 b? ? b ? A 与 b ? // b 矛盾。 故而假设错误,即原命题成立。 (证明唯一性的问题,与公理矛盾)

有利于发展学 生的思维及培 养他们的自信 心。

课 堂 思 考

思考 1、通过以上例题,同学们想一想,用反证法解 题的关键步骤是什么? (1)假设原命题结论不成立 (2)从假设出发,推理论证,得出矛盾。

学生观察例题的 题型, 并结合解题 思维, 合作讨论探 究

有利于激发学 生对于反证法 的思考及知识 的总结。

思考 2、矛盾的推导过程中,如何得出矛盾? (1)与已知条件矛盾 (2)与已有公理、定理、定义矛盾 (3)与假设矛盾 (4)自相矛盾
5

议一议:反证法的适用范围 1、否定型命题 2、唯一性命题 3、存在性命题 4、有些肯定型命题 5、某些命题的逆命题 6、含“至多” 、 “至少”等词的问题

总而言之,正难则反!
1 、回顾本节课的 主要知识 2 、整理自己的体 会, 并发表自己的 个人意见 有利于学生对 所学内容的梳 理, 及时根据自 己的情况进行 查漏补缺。 老师 也可根据同学 们的体会反应, 给以相应的知 识补充或者解 疑答惑。

课 堂 总 结

1、请同学们谈谈本节课的收获。 2、总结本节课的主要内容 3、表扬本节课表现出众的同学

反证法不止存在于数学习题中,生活中,我们也 总是使用反证法的思想。下面同学看个小对话,也就 能更好地理解反证法了。 学生思考对话中 蕴含的反证法思 并结合自己的 乙:在一个天气晴朗,万里无云的星期天早晨,我俩 想, 刚起床后走在马路上,突然发现马路上到处都是水, 生活实际, 消化这 我说“昨晚下雨啦.”你会怎么样说呢? 种思维。

1 、方便学生理 解反证法思想。 2 、实例不仅体 会了数学思想 在生活中的广 泛应用, 也让学 生明白数学来 源于生活实际。

生 活 数 学

甲: 我一定会说 “不! 这么晴朗的天怎么会下雨呢?” 乙:我说“不下雨马路上怎么会这么多水呢?”你将
作何解释?

甲:我会说“要是下雨,马路边的树叶上应该也有
水才是,可树叶上却连一滴水也没有.这不是很矛盾 吗?”

乙:你说得太对了.要是下雨,肯定是不可能只下在
马路上的.你刚才这种说理的方法用的就是反证法.

甲:啊,这就是反证法. 乙:是的.你想,你刚才在跟我争论的观点是不是要
证明“昨晚没有下雨?”

甲:不错呀! 乙: 你知不知道你是用哪一句话来让我心服口服的? 甲:“要是下雨,??”
6

乙:对.你一开始就用“要是下雨”,也就是说“假
设下雨”,然后就会怎么样、怎么样,导出一个奇怪 的现象或矛盾.你看,你没有直接说明“因为什么, 所以没有下雨”,相反地却是先“假设下雨,然后会 怎么样,最后导出一个矛盾”,这就是反证法.

(六) 、板书设计 反证法 主板 概念:?? ?? 步骤: (1) ?? (2)?? (3)?? 例 1、?? ?? ?? ?? 例 2、?? ?? ?? ?? 副板 思考 ?? ? ?? ??

7


相关文章:
反证法教案
反证法教学设计(数学与统计学院 2011 级 222011314011149 聂芳婧) 一、教学设计思路分析(一)教材内容分析本课是人教 A 版数学选修 2-2 第二章“推理与证明...
选修1-2 反证法教学设计
人教A 版高中数学选修 1-2 教学设计 Tonghua NO.1 Middle School 第二章第 2 节第 2 课时 反证法 选修 1-2 反证法教学设计 【学习目标】 知识与能力:通过...
《反证法》教案
反证法教案_司法考试_资格考试/认证_教育专区。《反证法教案教学目标 1、使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法. 2、培养学生用反证法简单推理...
反证法教学设计
沧源民族中学 高二年级 数学选修 1—2 教学设计 2011.04.18 第十周 第二章 2.2.3 推理与证明 间接证明之反证法 主备教师:穆云映 课时计划:2 节课 一、...
《反证法》教案
反证法教案_初二数学_数学_初中教育_教育专区。《三角形的中位线》教案 教学目标 1、了解反证法的含义. 2、了解反证法的基本步骤. 3、会利用反证法证明...
反证法”教学案例
反证法教学案例_数学_初中教育_教育专区。反证法教学案例数学组 梁华超 教学内容:人教版九年义务教育四年制几何第三册第 14—16 页。 教学目的: 1、知识技...
反证法教案
反证法教案_其它课程_高中教育_教育专区。.2.2《直接证明与间接证明-反证法》 滑县二中 董保平 教学目标: 一:结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本...
人教版高中数学必修1反证法教案
人教版高中数学必修1反证法教案_数学_高中教育_教育专区。二 教学时间: 第三课时 课 简易逻辑(§1.7.3 四种命题) 题: §1.7.3 反证法 1.使学生初步掌握...
九年级数学反证法专题讲座(教案)
九年级数学反证法专题讲座(教案)_数学_初中教育_教育专区。反证法 教者:何毅 一、什么叫反证法? 反证法是一种通过证明结论的反面错误,从而得到其正面(即结论)...
浙教版八下《反证法》word教案
浙教版八下《反证法》word教案_数学_初中教育_教育专区。八年级数学4.4 反证法 【教学目标】 1、了解反证法的含义. 2、了解反证法的基本步骤. 3、会利用反证法...
更多相关标签: