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向量组的线性相关性的判定方法浅析


楚雄师范学院本科论文(设计)

目录

摘 要: .......................................................................................................................................................... I 关键词: .......................................................................................................................................................... I Abstract ......................................................................................................................................................... II Keywords: .................................................................................................................................................. II 1.前言 ........................................................................................................................................................... 1 2.预备知识 ................................................................................................................................................... 1 2.1 线性相关性的概念及性质 .................................................................................................................. 1 2.1.1 线性相关的概念 ............................................................................................................................ 1 2.1.2 线性相关的性质 ............................................................................................................................ 2 3.向量组线性相关的判定方法 ..................................................................................................................... 3 3.1 定义法 .................................................................................................................................................. 3 3.2 根据齐次线性方程组的解进行判定 .................................................................................................. 4 3.3 利用矩阵的秩进行判定 ...................................................................................................................... 5 3.4 利用行列式值进行判定 ...................................................................................................................... 6 3.5 反证法 .................................................................................................................................................. 7 3.6 数学归纳法 ......................................................................................................................................... 7 3.7 用线性变换的性质进行判定 .............................................................................................................. 8 3.8 利用朗斯基行列式来判定 ................................................................................................................ 10 4.结束语 ........................................................................................................................................................ 11 参考文献 ....................................................................................................................................................... 12 致谢 ............................................................................................................................................................... 13

1

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向量组的线性相关性的判定方法浅析
摘 要:本文总结综述了向量组线性相关性的判定方法,并阐述了不同判定方法适用的条件.

关键词:线性相关;线性无关;判定方法.

I

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Several Methods of Judging the Linear Dependence of A Vector Group is analysed
Abstract:This article summarizes the judging methods of vector linear correlation, and expounds the different methods applicable conditions.

Keywords:linear correlation; linear independence; judging methods .

II

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1.前言
向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业 课程中都有体现,如微分几何,高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念,它与线 性空间(包括基,维数),子空间等概念有密切关系,同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的 应用.因此,掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义,也是解决其它问题的重要理论依据. 向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的。本文从线性相关性的定义出发,分别运 用了定义法、矩阵的秩、行列式的值、齐次线性方程组的解、反证法、数学归纳法、线性变换的性 质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数,那么可用朗斯基判别法判定. 特别是反证法,线性变换的性质,朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目,是比较方便的.

2.预备知识
2.1 线性相关性的概念及性质
2.1.1 线性相关的概念 定义 1 向量 ? 称为向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s 的一个线性组合, 如果有数域 P 中的数 k1 , k2 ,
[1]

, ks , 使

? = k1?1 ? k2 ?2 ?
[1]

? ks ? s

定义 2 若向量组 A 中每一个向量 ? i ( i ? 1,2,?, t )都可由向量组 B ={ ?1 ,?, ? s }线性表示,则 称 A 可由 B 线性表示.若两个向量组可互相线性表示,则称这两个向量组等价. 性质 向量组的等价具有 1)反身性;2)对称性;3)传递性. 定义 3 如果向量组 ?1 ,?2 ,
[1]

,?s ? s ? 2? 中有一个向量可以由其余的向量线性表出,那么向量

组 ?1 , ? 2 ,?, ? s 称为线性相关的。 定义 4 向量组 ?1 ,?2 ,
[1]

,?s ? s ? 1? 称为线性相关,如果有数域 P 中不全为零的数 k1 , k2 ,
? ks?s ? 0

, ks ,

使

k1?1 ? k2?2 ?
定义 5 一向量组 ?1 ,?2 ,
[1]

定义 3 与定义 4 在 s ? 2 的时候是一致的。

,?s ? s ? 1? 不线性相关,即没有不全为零的数 k1, k2 ,
? ks?s ? 0

, ks 使

k1?1 ? k2?2 ?

就称为线性无关;或者说,一向量组如 ?1 , ? 2 ,?, ? s 称为线性无关,如果由

k1?1 ? k2?2 ?
可以推出

? ks?s ? 0

k1 ? k2 ?

? ks ? 0

1

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定义 6 设向量组{ ?i1 , ?i2 ,?, ?ir }是向量组{ ?1 , ? 2 ,?, ? s }的部分组.称{ ?i1 , ?i2 ,?, ?ir }是
[1]

{ ?1 , ? 2 ,?, ? s }的极大无关组,如果 i)向量组{ ?i1 , ?i2 ,?, ?ir }线性无关; ii){ ?1 , ? 2 ,?, ? s }中的任意 r ?1 个向量(如果有的话)构成的向量组总是线性相关的. 定义 7 向量组{ ?1 , ? 2 ,?, ? s }的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩. 记为秩
[1]

( ?1 , ? 2 ,?, ? s ). 性质 向量组{ ?1 ,?, ? r }线性无关 ? 秩{ ?1 ,?, ? r } = r . 向量组{ ?1 ,?, ? r }线性相关 ? { ?1 ,?, ? r }秩 ? r . 2.1.2 线性相关的性质 性质(1) 性质(2) 关) 性质(3)
[1]

一个向量组若有部分向量线性相关,则此向量组线性相关.(即:部分相关,整体相关) 若一个向量组线性无关,则它的每个非空部分向量组也线性无关.(即:整体无关,部分无 含零向量的向量组必线性相关,即{ 0, ?1 ,

[1]

[2]

,?s }线性相关.

性质(4) { ? }线性相关 ? ? =0 .
[2]

性质(5) { ? , ? }线性相关 ? ? ? ?? (? ? P ) .
[2]

n [1] 性质(6) P 中单位向量组线性无关.

性质(7) 向量组 ? i = (ai1 , ai 2 ,?, ain ) (i ? 1,2,?, s) 线性相(无)关 ? 齐次线性方程组
[1]

?a11 x1 ? a21 x2 ? ? ? as1 xs ? 0 ?a x ? a x ? ? ? a x ? 0 ? 12 1 22 2 s2 s ? ????? ? ?a1n x1 ? a2 n x2 ? ? ? asn xs ? 0
有(无)非零解. 性质(8)
[2]

设向量组{ ?1 , ? 2 ,?, ? s }线性无关,而向量组{ ?1 , ? 2 ,?, ? s , ? }线性相关,则 ? 一定可

由 ?1 , ? 2 ,?, ? s 唯一的线性表示. 性质(9) 组合. 性质 (10) 如果向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s 可由向量组 ?1 , ?2 ,
[2] [2]

向量组{ ?1 , ? 2 ,?, ? s }(s ? 2 )线性相关的充要条件是其中某一个向量是其余向量的线性

, ?t 线性表出,且 s>t,则 ?1 , ? 2 ,?, ? s 必
则 s ? t(这 , ?t 线性表出,

线性相关. 性质 (11) 如果向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s 线性无关, 且它可由向量组 ?1 , ?2 ,
[2]

是 10)的逆否命题).
2

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性质(12) 任意 n ? 1 个 n 维向量必线性相关.
[1]

性质(13)

[1]

两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.

性质(14) 设向量组{ ?i1 , ?i2 ,?, ?ir }是向量组{ ?1 , ? 2 ,?, ? s }的一个部分组,则{ ?i1 , ?i2 ,?, ?ir }
[2]

是极大线性无关组的充要条件为 i)向量组{ ?i1 , ?i2 ,?, ?ir }线性无关; ii)每一个 ? j ( j ? 1,2,?, s )都可由 ?i1 , ?i2 ,?, ?ir 线性表示. 性质(15)
[1]

向量组的任意一个极大无关组都与向量组本身等价.

性质(16) 向量组的任意两个极大线性无关组等价. 性质(17)
[1]

[1]

向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量.

性质(18) 两个等价的向量组有相同的秩. 性质(19) 一个向量组线性无关的充要条件为它的秩与它所含向量的个数相同. 性质(20) n 阶方阵 A 的行列式为零的充要条件是 A 的秩小于 n. 性质(21) 一矩阵的秩是 r 的充要条件为矩阵中有一个 r 级子式不为零,同时所有 r+1 级子式全为 零. 性质(22) 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.
[1] [1] [1] [1]

[1]

3.向量组线性相关的判定方法
3.1 定义法
定义法是判定向量组的线性相关性的最基本的方法。定义法既适用于分量没有具体给出的抽象 向量组,也适用于分量已经给出的具体向量组。对给定的 s 个向量 ?1 , ? 2 ,?, ? s ,只需令

k1?1 ? k2?2 ?
根据题中的条件去求 k1 , k2 , 当 k1 , k2 ,

? ks?s ? 0

, ks 即可。

当 k1 , k2 , ?1 , ? 2 ,?, ? s 是线性相关的。 , ks 不全为零时,

?1 , ? 2 ,?, ? s , ks 全为零时,

是线性无关的。 例 1 设 ?1, ? 2 , ?3 , ? 4 , ?5 线性无关,证明 ?1 ? ?2 ,?2 ? ?3 ,?3 ? ?4 ,?4 ? ?5 ,?5 ? ?1 也线性无 关. 证明:设对于任意的 k1 , k2 , k3 , k4 , k5 ,有

k1 (?1 ? ?2 ) ? k2 (?2 ? ?3 ) ? k3 (?3 ? ?4 ) ? k4 (?4 ? ?5 ) ? k ( ) ? 0. 5 ?5 +?1
整理得

(k1 ? k5 )?1 ? (k1 ? k2 )?2 ? (k2 ? k3 )?3 ? (k3 ? k4 )?4 +(k4 ? k5 )?5 ? 0 .

3

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由于 ?1, ? 2 , ?3 , ? 4 , ?5 线性无关,得

? k1 ? k5 ? 0 ? k1 ? k2 ? 0 ? ? ? k 2 ? k3 ? 0 ?k ? k ? 0 ? 3 4 ? k 4 ? k5 ? 0 ?
解得

?k1 ? 0 ?k ? 0 2 ? ? ?k3 ? 0 ?k ? 0 ? 4 ? ?k5 ? 0
所以 ?1 ? ?2 ,?2 ? ?3 ,?3 ? ?4 ,?4 ? ?5 ,?5 ? ?1 也线性无关. 例 2 设 1, x ? 1, x2 ? 1, x3 ? 1? P 4 [ x] ,判断它们的线性相关性. 解:设 k1 , k2 , k3 , k4 ? P ,令

k1 ? k2 ( x ? 1) ? k3 ( x2 ? 1) ? k4 ( x3 ? 1) ? 0 ,
整理得

(k1 ? k2 ? k3 ? k4 ) ? k2 x ? k3 x2 ? k4 x3 ? 0 ,
所以有

?k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 0 ?k ? 0 ? 2 ? ? k3 ? 0 ? ? k4 ? 0
解得

k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 0 .
从而 1,1 ? x,1 ? x ,1 ? x 是线性无关的.
2 3

3.2 根据齐次线性方程组的解进行判定
在应用定义法解一个齐次线性方程组,需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性. 即应用定义法的同时也就应用了齐次线性方程组的解进行了线性相关性的判定.于是我们可以利用 以下结论进行判定.

4

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结论 :向量组 ? i = (ai1 , ai 2 ,?, ain ) (i ? 1,2,?, m) 线性相(无)关 ? 齐次线性方程组
[1]

?a11 x1 ? a 21 x2 ? ? ? a m1 xm ? 0 ?a x ? a x ? ? ? a x ? 0 ? 12 1 22 2 m2 m ? ? ? ? ?a1n x1 ? a 2 n x2 ? ? ? a mn xm ? 0
有(无)非零解. 例 3 设 x1 ? (1, 2,-1), x2 ? (3,1,-1), x3 ? (-1,0,1) ,试判断它们是否线性相关. 解:令

k1 x1 ? k2 x2 ? k3 x3 ? 0 .


? k1 ? 3k2 ? k3 ? 0 ? ? 2k1 ? k2 ? 0 ??k ? k ? k ? 0 ? 1 2 3
解得

? k1 ? 0, ? ? k 2 ? 0, ? k ? 0. ? 3
故 x1 , x2 , x3 是线性无关的.

3.3 利用矩阵的秩进行判定
结论 : 设向量组 A : ?1 , ?2 ???, ?s 是由 s 个 n 维列向量所组成的向量组,则向量组 A 的线性相关
[1]

性可由向量组 A 所构成的矩阵 A =( ?1 , ?2 ???, ?s )的秩的大小来进行判定.即 (i) 当 R( A )=s 时,则向量组 A : ?1 , ?2 ???, ?s 是线性无关的. (ii) 当 R( A ) ? s 时,则向量组 A : ?1 , ?2 ???, ?s 是线性相关的. 例4
【2】

设 ?1 =(, 1 -1,2,4),?2 =(0,3,1, 2),?3 ? (3,0,7,14), ?4 ? (1, ?1, 2,0), ?5 ? (2,1,5,6)

试判断它们的线性相关性并求它们的一个极大无关组. 解:将 ?1 ,?2 ,?3,?4 ,?5写成列向量,拼成一个矩阵,并进行初等行变换,将此矩阵化为阶 梯型.

5

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?1 ? ? ?1 ?2 ? ?4

0 3 1 3 0 ?1 1 7 2 2 14 0

2? ?1 ? ? 1? ?0 ? 5? ?0 ? ? 6? ?0

0 3 1 2

3 1 2 ? ?1 ? ? 3 0 3 ? ?0 ? 1 0 1 ? ?0 ? ? 2 ?4 ?2 ? ? 0

0 1 0 0

3 1 2? ? 1 0 1? 0 ?4 ?4 ? ? 0 0 0?

所以,从最后一个矩阵可以看出 ?1 ,?2 ,?3,?4 ,?5的秩为 3,是线性相关的, ?1 ,?2 ,?4 (或

?1 ,?3,?4 )为向量组的一个极大无关组.
3.4 利用行列式值进行判定
行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有 非零解,然后再对向量组的线性相关性作出判定,所以能应用行列式值进行判定的向量组,也可以应 用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定. 但是该方法的局限性在于只有符合 向量组的个数和单个向量的分量个数相等的条件时才用此法. 结论 :若向量组 A : ?1 , ?2 ???, ? s 是由 s 个 s 维列向量所组成的向量组,且向量组 A 所构成的
[1]

矩阵 A =( ?1 , ?2 ???, ? s ),即 A 为 s 阶方阵,则 (i) 当 A =0 时,则向量组 A : ?1 , ?2 ???, ? s 是线性相关的. (ii) 当 A ≠0 时,则向量组 A : ?1 , ?2 ???, ? s 是线性无关的. 例5
【4】

设 ?1 , ?2 ???, ?n 线性无关, 试问向量组 ?1 +?2,?2 +?3, ,?n ? ?1 是否线性相关?并证明你

的结论. 解:当 n 为奇数时,向量组 ?1 +?2,?2 +?3, ,?n ? ?1 线性无关;当 n 为偶数时,向量组

?1 +?2,?2 +?3, ,?n ? ?1 线性相关.
证明如下:令 k1 (?1 +?2 )+k2 (?2 +?3 )+ 有 (k1 ? kn )?1 ? (k1 ? k2 )?2 ?

? kn (?n ? ?1 ) ? 0 于是,

? (kn?1 ? kn )?n ? 0 .

由于 ?1 , ?2 ???, ?n 线性无关,所以,得

?k1 ? kn ? 0 ?k ? k ? 0 1 2 ? ? ? k 2 ? k3 ? 0 ? ? ? ?kn ?1 ? kn ? 0
系数行列式为

6

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1 1 D? 0 0 0


0 1 1 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 1

1 0 0 0 1
=?

?2当n为奇数时 ?0当n为偶数时

当 n 为奇数时,只有零解,故向量组 ?1 +?2,?2 +?3, ,?n ? ?1 线性无关;当 n 为偶数时, 有非零解,故向量组 ?1 +?2,?2 +?3, ,?n ? ?1 线性相关.

3.5 反证法
在有些题目中,直接的给出证明结论往往比较困难,而从结论的反面入手却很容易推出一些与 已知条件或已知的定义,定理,公理相悖的结果,从而说明原结论成立. 例6
【4】

设向量 ? 可由向量组 ?1 , ?2 ???, ?r 线性表示,但不能由向量组 ?1 , ? 2 ???, ? r-1 线性表示,证明:

?r 不能由向量组 ?1 ,? 2 ???,? r-1 线性表示.
证明:用反证法,若

?r ? k1?1 ?
又已知

? kr ?1?r ?1

(1)

? ? l1?1 ?
将(1)代入(2),整理得

? lr ?1?r ?1 ? lr?r

(2)

? ? (l1 ? k1lr )?1 ?

? (lr ?1 ? kr ?1lr )?r ?1

这与 ? 不能由 ?1 , ? 2 ???, ? r-1 线性表示矛盾,所以得证 ? r 不能由向量组 ?1 , ? 2 ???, ? r-1 线性表示.

3.6 数学归纳法
向量组的线性相关性与线性无关性是两个密切相关的概念,理解线性相关我们可以结合线性无 关来理解.在研究一个向量组是否线性相关时,需要结合相应的背景,应用数学归纳法来讨论.例如 矩阵 A 的特征向量有以下性质: 例7
【1】

设 A 为 n 阶方阵,证明:属于 A 的不同特征值的特征向量是线性无关的.

证明:对于 A 的特征值的个数作数学归纳法.由于特征向量是不为零的,所以单个的特征向量 必然是线性无关.现在设属于 A 的 k 个不同特征值的特征向量线性无关, 我们证明属于 A 的 k+1 个不 同特征值 ?1,?2, ,?k+1 的特征向量 ?1,?2, ,?k ?1 也线性无关. 假设有关系式

a1?1 ? a2?2 ?

ak?k ? ak ?1?k ?1 ? 0

(1)

7

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成立.等式两端乘以 ?k+1 ,得

a1?k+1?1 ? a2?k+1?2 ?
(1)式两端同时施行变换,即有

? ak ?k+1?k ? ak ?1?k+1?k ?1 ? 0

(2)

a1?1?1 ? a2?2?2 ?
(3)减去(2)得到

? ak ?k?k ? ak ?1?k+1?k ?1 ? 0

(3)

a1 (?1 ? ?k ?1 )?1 ?

? ak (?k ? ?k+1 )?k ? 0

根据归纳法假设, ?1,?2, ,?k 线性无关,于是

ai (?i ? ?k ?1 ) ? 0, i ? 1, 2,
但 ?i ? ?k ?1 ? 0,(i ? k ) ,所以 ai ? 0, i ? 1, 2,

, k.

, k .这时(1)式变成 ak ?1?k ?1 ? 0 .又因为

?k ?1 ? 0 ,所以只有 ak +1 =0 .故 ?1,?2, ,?k ?1 线性无关.
3.7 用线性变换的性质进行判定
在线性空间的理论中,定义在数域 P 上的线性空间 V 中的元素,我们称之为向量.V 上的线性变 换 ? 有一些比较好的性质,可以帮助我们来讨论向量组的线性相关性. 性质 1
【7】

设 V 是数域 P 上的线性空间, ? 是 V 上的一个线性变换, ?1 , ?2 ,

,?n ?V ,若

?1 , ? 2 , , ? n 线性相关,则 ? (?1 ), ? (?2 ), , ? (?n ) 也是线性相关的.
证明:由于 ?1 , ? 2 ,

, ? n 线性相关,那么存在不全为 0 的数 k1 , k2 , k1?1 ? k2?2 ? ? kn?n ? 0 .

, kn 使得

由于 ? 是 V 上的线性变换,那么有

? (k1?1 ? k2?2 ?


? kn?n ) ? 0 .

k1? (?1 ) ? k2? (?2 ) ?
因此, ? (?1 ), ? (? 2 ),

? kn? (?n ) ? 0 .

, ? (? n ) 是线性相关的. , ? n 并不一定也 , ? n 全部变成零 , ? (? n ) 是

, ? (? n ) 线性相关, ?1 , ? 2 , 是线性相关的.若 ? 为零变换,假设 ?1 , ? 2 , , ? n 是线性无关的,零变换把 ?1 , ? 2 , 向量,它们是线性相关的,从而满足该条件,但是 ?1 , ? 2 , , ? n 是线性无关的.
推论
【7】

但是该定理反过来不一定成立.即 ? (?1 ), ? (? 2 ),

设 V 是数域 P 上的线性空间, 若 ? (?1 ), ? (? 2 ), ? 是 V 上的一个线性变换,

线性无关的,那么 ?1 , ? 2 ,

, ? n 也是线性无关的.

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性质 2 设 V 是数域 P 上的线性空间,? 是 V 上的一个线性变换,且 ? 是 V 中可逆的线性变换,线 性空间 V 中的向量组 ?1 , ? 2 , , ? n 线性相关的充要条件是它们的象 ? (?1 ), ? (? 2 ), , ? (? n ) 线性相
【7】

关. 证明: ? ) 若 ?1 , ? 2 ,

, ? n 线性相关,则存在不全为 0 的数 k1 , k2 , k1?1 ? k2?2 ? ? kn?n ? 0 .

kn ,使得

那么

k1? (?1 ) ? k2? (?2 ) ?
所以 ? (?1 ), ? (? 2 ),

? kn? (?n ) ? 0 .

,? (? n ) 是线性相关的. ,? (? n ) 线性相关,则存在不全为 0 的数 k1 , k2 , k1? (?1 ) ? k2? (?2 ) ? ? kn? (?n ) ? 0 , kn ,使得

?) 若 ? (?1 ), ? (?2 ),

由于 ? 是可逆的,那么有

? (k1?1 ? k2?2 ?
从而

? kn?n ) ? 0 ,

k1?1 ? k2?2 ?
所以 ?1 , ? 2 ,

? kn?n ? 0 .

, ? n 也是线性相关的.

综上所述,该定理是成立的. 例 8 在 C[0,1]中,线性变换

? f (t ) ? ? tf (t)dt ,
0

x

设有向量组 ?1 ? 1, ?2 ? t , ?3 ? 2t ? 3 .求 ??1 , ??2 , ??3 ,并讨论 ??1 , ??2 , ??3 的线性相关 性. 解:由题意可得

??1 ? ? 1 ? ? tdt ? x 2
0

x

1 2

?? 2 ? ? t ? ? t 2 dt ? x3
0

x

1 3

?? 3 ? ? (2t ? 3) ? ? t (2t ? 3)dt ? x 3 ? x 2
0

x

2 3

3 2

因为 ?3 ? 2t ? 3 ? 3?1 ? 2?2 ,即有 ?1 , ? 2 , ? 3 线性相关,所以 ??1 , ??2 , ??3 线性相关.

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3.8 利用朗斯基行列式来判定
在 n 阶线性常系数微分方程中,我们需要讨论基本解组,即找 n 个线性无关的解,这时需要利 用朗斯基行列式的相关理论来判断. 引理 1
[6]

一组 n 个 n 次可微的纯量函数 x1 (t ), x2 (t ),

, xn (t ) 线性相关的充要条件是向量函数

? x1 (t ) ? ? x2 (t ) ? ? x?(t ) ? ? x? (t ) ? ? 1 ?,? 2 ?, ? ? ? ? ? ( n ?1) ? ? ( n ?1) ? ? x1 (t ) ? ? x2 (t ) ?
线性相关. 定理 1 设 x1 (t ), x2 (t ),
[6]

? xn (t ) ? ? x? (t ) ? ? ,? n ? ? ? ( n ?1) ? ? xn (t ) ?

上 ? a, b? 线性相关,则它们的朗斯基行列式

, xn (t ) 在 ? a, b? 上有 n 阶导数,若向量函数 x1 (t ), x2 (t ),

, xn (t ) 在区间

w(t ) ?

x1 (t ) ?(t ) x1

x ( 2 t) ? (t ) x2

xn (t ) ? (t ) xn xn ( n ?1) (t )

?0.

x1( n ?1) (t ) x2( n ?1) (t )
定理 2 设 x1 (t ), x2 (t ),
[6]

间上 ? a, b? 线性无关,则它们的朗斯基行列式

, xn (t ) 在 ? a, b? 上有 n 阶导数,如果向量函数 x1 (t ), x2 (t ),

, xn (t ) 在区

w(t ) ?

x1 (t ) ?(t ) x1

x ( 2 t) ? (t ) x2

xn (t ) ? (t ) xn xn ( n ?1) (t )

?0.

x1( n ?1) (t ) x2( n ?1) (t )
例 9 判定下列向量组的线性相关性. (1) 1, cos x,sin x 解:(1)因为该向量组的朗斯基行列式为

(2) 1 ,x , 2 x ? 3
2 2

1

cos x

sin x

0 ? sin x cos x ? ?1 ? 0 , 0 ? cos x ? sin x
所以 1, cos x,sin x 线性无关. (2)因为该向量组的朗斯基行列式为

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1 0
所以 1 ,x 2 , 2 x2 ? 3 线性相关.

x2 2

2x2 ? 3 4x 4 ?0

0 2x

运用朗斯基判别法的一个缺点就是所要判定的函数必须具有高阶的导数才能判定,缺少了这个 条件是不能判定的.

4.结束语
本文主要对向量组线性相关性的定义以及性质进行了分析,并且给出了一些判定方法,由于向 量组的线性相关性是一个基础和重点问题,仅限于这些讨论是远远不够的,还有待我们作进一步的 研究.

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参考文献
[1]北京大学数学系几何和代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003. [2]徐仲,陆全,张凯院,吕全义,陈芳,袁志杰.高等代数导教导学导考(北大.第三版)[M].西北 工业大学出版社,2003. [3]王品超.高等代数新方法[M].北京:中国矿业大学出版社,2002. [4]钱吉森.高等代数题解精粹(第二版)[M].中央民族大学出版社,2010. [5]刘仲奎等.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2005. [6]王高雄等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006. [7]杨燕新, 王文斌.关于向量组线性相关的几种判定[J].山西农业大学学报, 2005 (8151) : 292-294. [8]罗秀芹,董福安,郑铁军.关于向量组的线性相关性的学习探讨[J].高等数学研究,2005(9): 18-19. [9]肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法[J].伊犁师范学报 (自然科学版) , 2008 (3) : 58-59.

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致谢
值此毕业论文论文完成之际,首先要感谢我的指导老师邓燕林老师。邓老师从最初的定题,到 资料收集,到写作、修改,到论文定稿,他给了我耐心的指导和无私的帮助。给我提供了大量资料 和建议,告诉我应该注意的细节问题,细心的给我指出错误。同时,感谢所有任课老师和所有同学 在这四年来给自己的指导和帮助,是他们教会了我专业知识,教会了我如何学习,教会了我如何做 人。正是由于他们,我才能在各方面取得显著的进步,在此向他们表示我由衷的谢意.

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